CC BY
8
УДК 658.51
ЭФФЕКТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТОМ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
© 2012 г. А.С. Сомов, А.В. Петракова
Южный федеральный университет, Southern Federal University
г. Ростов-на-Дону Rostov-on-Don
Решена задача многокритериальной оптимизации при нахождении эффективного управления проектом разработки и выпуска проектно-сметной документации подводки газового трубопровода к жилым зданиям в населенном пункте. Найдены оптимальные значения стоимости и времени исполнения проекта, их допустимые отклонения, построена область эффективных решений, выбран наилучший ресурс.
Ключевые слова: социотехническая система; область эффективных решений; компромисс; критерий; векторная оптимизация; эффективное решение.
This article solves the multicriterial optimization problem in finding efficient project management for developing gas pipelining design estimations for residential buildings. Optimal cost and project performance time variables and their allowable variations have been found. The range of efficient solutions has been created and the most efficient resource has been chosen.
Keywords: sociotechnological system; range of efficient solutions; compromise; criterion; vector optimization; effective solution.
Под заданными свойствами будем понимать показатели проекта: качество, время выполнения, сложность и стоимость. Переменными, на которые можно воздействовать с целью достижения заданных свойств проектом, могут быть: ресурс (исполнители: количество и их профессиональные компетенции, финансы, в том числе инвестиции), оборудование (программные средства), характеристики материалов, комплектующих и др.
Пусть функцией цели оптимизации управления определен векторный критерий 1(у)=(11(у), 12 (у)), где 11(у) - стоимость выполняемого проекта; 12 (у) - время его реализации при определенно фиксированном качестве 1(у); - ресурс.
Управление проектами обычно строится на теории и методах сетевого моделирования. Однако сетевые модели являются упрощенными представлениями реальных ситуаций, прежде всего, из-за того, что в них главное внимание сосредоточивается только на сроках выполнения отдельных работ и комплекса в целом, и совсем не учитывается потребность в ресурсах, их стоимость и наличие.
В реальных условиях выполнение отдельных или даже всех работ проектного комплекса можно ускорить путем выделения для них большего количества ресурсов. Это приводит к увеличению общих прямых затрат на выполнение работ. Вместе с тем, появляется множество различных комбинаций продолжительно-стей работ. Каждая комбинация может давать различные значения общей стоимости проекта.
Рассмотрим особенности использования изложенного в работе [1] подхода к управлению проектом разработки и выпуска проектно-сметной документации подводки газового трубопровода к жилым зданиям в населенном пункте. Так как продолжительность
работ данного вида деятельности не может определяться четко, а лишь приблизительно, необходимо рассматривать сетевое моделирование в неопределенных условиях. Это связано с тем, что заранее не известно, сколько времени займет согласование технических условий и согласование работы в различных инстанциях. Хотя примерный анализ сложности выполняемой работы выводится из объема работ, остается так называемая комплексная сложность в процессе проектирования отдельно взятого участка или работы в целом. Сложность работы будет оцениваться имеющейся инфраструктурой. В городе может оказаться недостаточная ширина улицы в совокупности с телефонными и электрическими кабелями, присутствуют водный трубопровод и канализация. В поселении городского типа, как правило, не бывает инфраструктуры такой плотности.
Рассматривая работы с точки зрения сетевого планирования в неопределенных условиях, необходимо оценить математическое ожидание (т) и дисперсию ^) продолжительности выполнения работ [2]. Если проводится реконструкция объекта или планируемые работы не являются новыми, то предполагается, что данные величины известны.
Закон распределения продолжительности выполнения работ предполагается нормальным и описывается ¿-функцией, которая оценивается математическим ожиданием и дисперсией:
т = (3* О + 2* Р) / 5; (1)
5 = 0,04 *(Р - О)2, (2)
где О и Р - соответственно оптимистическая и пессимистическая оценки.
Процедура построения и разметки сетевого графа в случае со случайной продолжительностью работ ничем не отличается от той, что используется с детерминированной продолжительностью работ. Продолжительность критического пути также будет иметь две оценки - ожидаемую и погрешность. Ожидаемая продолжительность пути равна сумме ожидаемых продолжительностей критических работ, а погрешность определяется суммой их дисперсий. В этом случае говорить о том, что комплекс работ будет завершен к какой-то определенной дате (т.е. будет иметь фиксированную продолжительность выполнения 4), можно лишь с некоторой вероятностью Р(4 < х) = Р^дг < г), где г определяется по таблицам стандартного нормального распределения вероятностей и является единицей стандартного отклонения.
Пусть разработка проектно-сметной документации определяется средней сложностью. Оценки во времени измеряются в месяцах и приведены в табл. 1.
Таблица 1
Оценки выполняемых работ во времени
Работа Предшественники Оптимистическая оценка «О» Наиболее вероятная оценка Пессимистическая оценка «Р»
A - 0,033 1 1,46
B A 7 7,46 8
C AB 2 2,46 3
D C 5 5,23 6
E D 1 2,7 3
F E 2,46 3 3
Примечание. Здесь и в табл. 2 и 3 А - получение технического задания; В - разработка схемы газоснабжения области (района, населенного пункта); С - сбор исходных данных; D - разработка проекта (проектирование); Е -согласование; F - прохождение экспертизы.
Найдем ожидаемую продолжительность работ и ее дисперсию по формулам (1) и (2). При вычислении используется двухоценочная вероятностная методика.
Занесем математическое ожидание и дисперсию на каждом этапе работы в табл. 2.
Таблица 2
Оценки математического ожидания и дисперсии работ
Работа Ожидаемая продолжительность m Дисперсия продолжительности s
A 0,6 0,08
B 7,4 0,04
C 2,4 0,04
D 5,4 0,04
E 1,8 0,16
F 2,7 0,01
Критический путь сетевого графика составляют работы А-В-С^-Е-Г. Ожидаемая продолжительность
критического пути будет равна 21,3 мес. Так как продолжительность критического пути равна ожидаемому, то проект будет длиться 21,3 мес. Дисперсия критического пути составляет 0,37.
На основе полученных оценок можно рассчитать все характеристики проекта, но они будут выступать как средние. При достаточно большом объеме работ можно утверждать, а при малом объеме предполагать, что общая продолжительность работ, в том числе и критического пути, имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений пути продолжительности составляющих его работ, а также дисперсии, равной сумме дисперсий этих работ.
При вероятностном задании в условиях неопределенности можно решить две дополнительные задачи:
1. Определить вероятность того, что продолжительность критического пути не превысит заданное допустимое время (Т);
2. Определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ (Т) при заданном уровне вероятности (Р).
Первую задачу возможно решить путем вычисления интеграла вероятностей Лапласа Ф(2): Р (4р<Т) = = 0,5 + 0,5 Ф(2), где нормированное отклонение случайной величины г находится по формуле: г = (Т - 4р) / Sкр; Sкр)— среднеквадратичное отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути, определяется величиной £кр = 0,53, а вероятности продолжения работ Р (4р< 22) = = 0,68 и Р (4р < 23) = 0,95.
Следовательно, вероятность того, что весь комплекс работ по проекту будет выполнен не более чем за 22 мес., составляет 0,68, вероятность выполнения того же проекта за 23 мес. равна 0,95.
Вторая задача решается с использованием выражения, являющегося обратным к первой задаче:
Т = т Lкp + г £кр. (3)
Предположим, что необходимо узнать время выполнения работы при заданном уровне вероятности 0,9. Значение г выбирается из таблицы стандартного нормального распределения. При использовании выражения (3) получаем: Т = 21,54, а это означает, что максимальный срок завершения проекта при уровне вероятности 0,9 составляет 22,2 мес. В таком случае можно положить, что оптимальный срок завершения проекта без учета его стоимости составляет 120 = 23 мес. Будем считать допустимым увеличение (уменьшение) срока его выполнения на 1 мес., т.е. в соответствии с [1] \12(у) - 120\<М2, где М2 = 1 мес.
Построим математическую модель, определяющую связь между временем выполнения работ и затратами. Такая модель позволит найти эффективное управление ресурсами, направленное на достижение минимальных затрат при определенной продолжительности проекта.
Пусть проект состоит из тех же шести работ (табл. 3).
Таблица 3
Связь работ со сроками и затратами
Работа Нормальные сроки Сжатые сроки Единичное приращение
Текущие Предшествующие t Затраты (д. ед.) t Затраты (д. ед.) (д. ед.)
A - 1 - 0,033 - -
B A 8 300 7 325 25
C A, B 3 50 2 100 50
D C 6 4200 4 4500 150
E D 3 50 1 100 25
F E 3 400 3 400 -
О
5600
ю а
5400
н о ю й а
5 ООО
Выполнение всех работ в сжатые сроки
Линия максимальных прямых затрат
Область возможных прямых заграг
Линия минимальных прямых затрат
т
18
X
19
т
ло
Т
21
Выполнение всех работ, кроме критических в сжатые сроки
Все работы выполняются б сжатые сроки
т
22
Т
23
Продолжительность про;ста. мес.
Область эффективного решения при минимальных сроках выполнения
Каждая работа может выполняться за разное время - от верхнего «нормального» срока при некоторых «нормальных» затратах до меньшего «сокращенного» срока при соответствующих более высоких затратах. Если предполагается, что компромиссное соотношение между временем и затратами для каждой работы является линейным, то затраты при промежуточных продолжительностях работы, лежащих между нормальными и сокращенными сроками, определяются с помощью единичного приращения затрат для каждой работы. Рассмотрим работу С - на выполнение текущей работы за два месяца вместо трёх затратим 150 денежных единиц (50 + (3 - 2)100). Стоимость всего проекта составит 5000 денежных единиц (рисунок). Примем во внимание, что неправильное реше-
ние, согласно которому ускоряется выполнение работ, не лежащих на критическом пути, не приводит к сокращению продолжительности проекта. Однако при этом стоимость проекта возрастает до величины 5425 денежных единиц. Таким образом, уменьшать сроки выполнения проекта нужно путем сжатия времени проектирования с минимально возможным увеличением общей стоимости проекта.
В рассмотренном примере общая стоимость проекта определяется суммой прямых затрат на выполнение каждой из работ. Между верхним и нижним значениями стоимости проекта при продолжительности 24 мес. возможны несколько других значений в зависимости от сокращения срока некритических работ. В рассмотренном примере линия минимальных прямых
затрат построена методом проб и ошибок. Однако когда рассматриваются проекты с сотнями и тысячами работ, такая технология поиска решения оказывается проблематичной. В таких случаях целесообразно проводить вычисления минимальных затрат 71(у) при любом возможном значении продолжительности проекта методом динамического программирования [3], позволяющим достаточно быстро определить кривую минимальных затрат. Это возможно и в тех случаях, когда соотношения между временем и затратами являются нелинейными.
Таким образом, определена функция 71 = ф(72) для рассматриваемого проекта \7^) - 710\<М1, где М1 = = 5425 денежных единиц.
Поступила в редакцию
Прежде чем принять заключение о реализуемости проекта в области допустимых компромиссов, необходимо убедиться, что система I1 = ф(/2); I Ii - Ii0I <M (i = = 1, 2) совместна.
Литература
1. Моделирование и синтез обучающей среды в многокритериальной задаче оптимизации / В.А Петраков [и др.] // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2011. № 5. С. 207 - 213.
2. Основные параметры распределений [Электронный ресурс]. - URL: http://www.risktheory.ru/distr_handbook.html (дата обращения: 15.10. 2011).
3. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960. 40 с.
21 ноября 2011 г.
Сомов Александр Сергеевич - аспирант, кафедра «Системный анализ и управление», Южный федеральный университет. Тел. 7-903-401-10-47; E-mail: [email protected]
Петракова Анастасия Вадимовна - студент, кафедра «Системный анализ и управление», Южный федеральный университет. Тел. 7-928-195-25-45.
Somov Alexander Sergeevich - post-graduate student, department «Systems Analysis and Control», Southern Federal University. Ph. 7-903-401-10-47; E-mail: [email protected]
Petrakova Anastasiya Vadimovna - student, department «Systems Analysis and Control», Southern Federal University. Ph. 7-928-195-25-45._
