CC BY
105
ние процесса управления портфелем ценных бумаг в условиях неопределенности: Дисс....канд. экон. наук. - Астрахань, 2006. С. 19 и др.
3. Fisher I. The theory of interests. - New York: Macmillan, 1930; Modigliani F., Miller M. The Cost of Capital, Corporation Finance and Theory of Investment // American Economic Review. 1958. June. P.261-297.
— Коротко об авторе -----------------------------------------
Филиппов К.В. - аспирант кафедры АСУ, Московский государственный горный университет.
© К.В. Филиппов, 2008
К.В. Филиппов
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ НА БАЗЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
А нализ классических методов оптимизации инвестицион-^Г!Жных портфелей (Марковица, Шарпа и др.), а также основанных на них новаторских подходов к управлению инвестициями позволили выявить следующие их недостатки:
- применяемые методы не позволяют оценить абсолютное значение величины риска, поскольку определяют его не в виде абсолютной величины, а в виде дисперсии;
- риск, представленный в виде дисперсии, одинаково учитывает как отрицательные изменения доходности, так и положительные, распределение которых представляется симметричным, между тем как использование опционов и другие современные финансовые инструменты, стоимость которых относительно рыночных цен активов меняется нелинейно, ведет к неправильной оценке рисков и допускает большую величину погрешности;
- риск в условиях современного развития российской экономики является одним из определяющих факторов эффективности инвестиций, в связи с чем модели, не позволяющие адекватно оценить не только вероятность наступления неблагоприятных прогнозов, но и величину потерь, не приемлемы для российских фондовых рынков.
Общим недостатком моделей определения размеров риска инвестиционного портфеля является то, что они рассчитаны на определенный сформированный портфель. Однако модели оптимизации портфеля должны позволять оценивать эффективность соотношения финансовых инструментов в портфеле, и при оптимизации портфеля должны использоваться в разумном сочетании.
Перспективным направлением решения этих проблем является разработка генетических алгоритмов.
Подобные алгоритмы, а в частности рассматриваемый нами, представляют собой некое множество допустимых вариантов инвестиционных портфелей (обозначаемое как конечная популяция особей), отвечающих требованию оптимального соотношения заданных критериев, обозначаемому в популяционной генетике как «мера приспособленности особи к окружающей среде».
Поскольку в основу данного подхода положена модель «эволюции ограниченной популяции особей», для построения и описания процессов поиска генетических алгоритмов, как правило, принято использовать символьный язык популяционной генетики.
Не отступая от этого принципа, опишем процесс выбора оптимального портфеля.
Исходя из модели эволюции, целью генетического алгоритма является не просто выбор, но моделирование на основе имеющегося набора «хромосом» новой особи, максимально приспособленной
к окружающей среде, т.е. имеющей наиболее оптимальные значения всех заданных критериев выбора.
Каждая особь при этом (в нашем случае - инвестиционный портфель) кодируется в виде определенного набора генов (представляющих собой битовые строки заданной длинны). Каждый ген представляет собой кодовое обозначение заданного интервала значений одного из критериев. Полный набор «генов» портфеля составляет хромосому
- основной материал для моделирования эволюционного процесса. Количество «генов», составляющих хромосому, определяется размерностью задачи.
Определим начальные условия задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг из некоего ограниченного множества N.
1. Обозначим популяцию как совокупность индивидуумов
(М).
2. Определим особь М как возможный вариант решения (в нашем случае - возможную структуру инвестиционного портфеля), представляющий собой набор N-1, состоящий из xi хромосом. Введем ограничение, обусловленное требованиями инвестора:
П
'Sydi = 1, где 0i - доля капитала, вкладываемого в i-й актив.
i=1
Это ограничение является необходимым условием задачи и отражает ограниченность (конечность) инвестиционного капитала. Оно должно учитываться при построении популяции.
3. Обозначим хромосому Xi - при решении задачи оптимизации инвестиционного портфеля хромосомы будут представлять собой закодированную в двоичной системе долю исходного инвестиционного капитала, вкладываемую в i-й актив.
4. При решении алгоритма необходимо учитывать, что для альтернативных вариантов задачи имеется некоторый ограниченный инвестиционный капитал Cap, который должен быть распределен между альтернативами (ценными бумагами, входящими в портфель). При этом целевые функции отбора для различных индивидуумов популяции, по которым в дальнейшем будет оцениваться приспособленность «особей», будут различаться.
Исходя из этих условий, в общем виде генетический алгоритм отбора оптимальных инвестиционных портфелей можно представить следующим образом:
Шаг 1. Инициализация. Формирование начальной популяции «особей» - инвестиционных портфелей.
Шаг 2. Оценка каждого портфеля посредством оценочной функции (функции приспособленности).
Шаг 3. Проверка соответствия полученных решений условию остановки алгоритма. При соответствии - ОСТАНОВ. При несоответствии - шаг 4.
Шаг 4. Отбор с помощью селекции двух портфелей из полученного множества (родители).
Шаг 5. Последовательное применение к паре портфелей «родители» генетических операторов (скрещивание, мутация, инверсия с заданной вероятностью).
Шаг 6. Формирование новой популяции.
Шаг 7. Проверка соответствия полученных решений новой популяции условию остановки алгоритма. При соответствии - ОСТАНОВ. При несоответствии - шаг 4.
Таким образом, генетический алгоритм на начальном этапе будет генерировать случайным образом множество вероятных решений (родительскую популяцию). Затем, последовательно применяя к ней функцию приспособленности, будет осуществляться перебор полученных решений на их соответствие требуемым условиям. До тех пор, пока оптимальное решение не будет найдено, алгоритм будет на основе веденных критериев отбора генерировать новые поколения популяции решений. При этом каждому варианту решения при отборе присваивается вероятность psi, равная отношению «приспособленности особи» к среднему значению приспособленности популяции. Последующий отбор решений происходит на основании величины psi.
Особенностью генетического алгоритма является последовательность двух действий, с помощью которых генерируется новая популяция либо выдается множество готовых решений:
1) пропорциональный отбор (рулетка, roulette-wheel selection);
2) последовательное воздействие на возникшую в результате отбора новую популяцию генетическими операторами.
Отбор позволяет, используя принцип рулетки, осуществлять селекцию решений с помощью n запусков программы. Селекция новых особей осуществляется пропорционально присвоенной им psi. Таким образом, вводится пропорциональная зависимость веро-
ятности отбора от степени соответствия случайно генерированного решения условиям оценочной функции.
Чтобы более эффективно планировать скорость вычислений, и затраты времени, в генетический алгоритм был введен ограничитель по количеству особей в поколении.
Следует отметить, что эффективность генетических алгоритмов во многом зависит от принципов отбора родительских особей в популяции.
Исследования показали, что в основе алгоритма отбора родительских пар используют различные математические методы.
Метод случайного выбора, когда родительская пара особей выбирается из множества случайным образом, причем нет ограничений на ее участие в генерировании новых пар. В результате любая особь может стать «родителем» нескольких пар решений. Достоинством данного метода является универсальность. К недостаткам можно отнести высокую чувствительность к численности особей в популяции: рост численности снижает эффективность отбора и существенно увеличивает вычислительные затраты.
Метод селективного отбора, когда в «родительские» пары, участвующие в генерации новых поколений, включаются лишь те варианты решений, показатели которых превышают средние показатели по популяции. Достоинствами такого подхода являются быстрота выбора решения и снижение затрат на вычисления. К недостаткам метода можно отнести так называемую «быструю сходимость» алгоритма, когда останов происходит в точке локального экстремума, в результате чего глобальный экстремум функции остается за пределами области решения задачи оптимизации.
Метод элитного отбора по своим принципам сходен с предыдущим методом. В его основе лежит отбор родительских пар среди наиболее «приспособленных» особей популяции. Этот алгоритм отбора применяется крайне редко, поскольку недостатки селективного метода в нем выражены более ярко.
Метод отбора родительских пар с использованием модели генетических механизмов - аутбридинга (принцип «дальнего родства») и инбридинга (принцип «близкого родства»). «Родство» в генетических алгоритмах понимается как расстояние (разница) между хромосомными наборами членов популяции (родство генотипов) либо разница между геометрическим расстоянием особей в пространстве исследуемых параметров (фенотипическое родство).
Как правило, эти методы применяются одновременно либо в сочетании с другими методами, и не имеют самостоятельного значения, поскольку инбридинг приводит к концентрации решений в местах локальных экстремумов (т.е. характеризуется быстрой «сходимостью» алгоритма), в то время как аутбридинг препятствует этому процессу.
Метод отбора вытеснением (steady-state). Предполагает обязательный переход фиксированной части популяции в следующее поколение без изменений. В результате вероятность отбора особи в новую генерацию определяется двумя факторами: приспосабли-ваемостью (ря) и наличием в новой популяции особей со сходным генетическим набором. При наличии сходных генотипов предпочтение отдается особям с лучшей степенью приспосабливаемое™. Достоинством этого метода является поддержание достаточного разнообразия популяции при селективном отборе лучших решений. Этот метод является оптимальным для решения функций с многими экстремумами. Надостатком метода являются высокие вычислительные затраты.
Метод специального отбора. Сходен с селективным отбором, однако в качестве родительских особей для нового поколения выбираются не лучшие особи, а оптимальное множество особей в соответствии с принципом Парето. Это позволяет избежать как быстрой сходимости алгоритма, так и существенных вычислительных затрат. На наш взгляд, данный метод соответствует целям поставленной в исследовании задачи оптимизации наилучшим образом.
Поскольку механизм поиска оптимальных решений осуществляется посредством применения к популяции генетических операторов, рассмотрим их воздействие на множество генерированных решений более подробно.
Первоначально новое поколение решений (дочерняя популяция особей) подвергается скрещиванию, называемому также, по аналогии с термином популционной генетики, кроссовером (крос-синговером) с заданным коэффициентом вероятности pcros. Для этого каждое дочернее поколение решений разбивается на n/2 пары, где n - общее количество решений в поколении. Различают три варианта кроссовера: одноточечный (с одной точкой разрыва), двухточечный и многоточечный, причем, согласно данным опублио-ванных в литературе вычислительных экспериментов, они не имеют преимуществ друг перед другом.
Кроссовер включает в себя следующую последовательность операций:
Шаг 1. Выбор в каждой «хромосоме» родительской пары случайной точки - точки разрыва.
Шаг 2. Разделение «хромосом» (генерированных решений) в данной точке на два сегмента.
Шаг 3. Соединение участков «хромосом» родительских особей между собой, в результате чего получается два новых генотипа, вытесняющих собой родительские особи в популяции.
Шаг 4. Формирование новой генерации решений, состоящей из рсго8 новых (подвергшихся кроссоверу) и (1- рсго8) старых (оставшихся без изменений особей).
Шаг 5. Воздействие на дочернюю генерацию решений оператором мутации.
Мутация (термин также заимствован из популяционной генетики) - это изменение каждого бита (участка хромосомы, обозначенного нами как ген) с рмут долей вероятности на противоположный. Затем происходит вытеснение новыми особями родительских особей в соответствии с отбором с учетом степени их приспособленности р81.
Следует отметить, что в литературе описываются и другие генетические операторы. Так, например, Холландом предложен оператор инверсии, который предполагает изменение не одного гена (как при одиночной мутации), а их последовательности (по аналогии с инверсиями в генетике). Но в литературе имеются данные, что его введение не улучшает качества отбора, а лишь ненужным образом усложняет его структуру, поэтому данный оператор применяется крайне редко.
Поэтому мы воспользуемся последовательным воздействием на генерацию двух генетических операторов - кроссовера и мутации. Был также введен принцип случайного выбора варианта кроссовера.
Таким образом, в процессе исследования для решения задачи многокритериальной оптимизации был разработан генетический алгоритм, обладающий достаточной гибкостью для поиска необходимых решений.
Эффективность данного алгоритма проверялась с помощью генерации случайных портфелей с заданным количеством ценных бумаг и параллельным решением задачи Марковица-Тобина-Шарпа
с использованием алгоритмов, имеющих ограничения по критерию риска (использовалась модель на основе классического анализа). Было произведено 50 контрольных замеров, моделирующих рынок, состоящий из различного количества ценных бумаг. При этом учитывался процент расхождения предлагаемых решений.
Наглядно эффективность предложенного генетического алгоритма продемонстрирована в таблице.
Как видно из таблицы, предложенный генетический алгоритм решения оптимизационной задачи с двумя критериями оптимизации показал высокую эффективность в сравнении с традиционными методами.
Несомненным преимуществом данного алгоритма является отсутствие необходимости формализации ограничений по доходности или риску, что не всегда возможно для частного инвестора, не имеющего собственных предпочтений.
Следует отметить, что применение данного метода для управления инвестиционным портфелем с ограниченным набором активов, при соблюдении порядка своевременного обновления
287
Таблица 1
Результаты тестирования генетического алгоритма оптимизации инвестиционного портфеля
№ п/п Количество ценных бумаг в моделируемом портфеле Количество замеров Процент соответствия результатов генетического моделирования и классической модели Марковица — Тобина — Шарпа с заданным уровнем риска (15 %)
По структуре портфеля По уровню прогнозируемой доходности По уровню прогнозируемого риска
1. Портфель из 5 альтернатив 10 97,8 95,5 93,2
2. Портфель из 10 альтернатив 10 94,2 98,6 91,3
3. Портфель из 50 альтернатив 10 95,1 93,4 92,2
4 Портфель из 100 альтернатив 10 90,3 89,7 91,0
5. Портфель из 200 альтернатив 10 89,6 83,2 87,6
Средний уровень совпадения результатов 93,4 92,08 91,06
Общий показатель соответствия результатов измерений 92,18 %
базы исходных данных финансовой отчетности и пересмотра портфеля позволяют осуществлять регулярный мониторинг инвестирования, что расширяет круг задач применения предлагаемой модели.
1. Френкель М.Б. Генетический подход к формированию оптимального портфеля ценных бумаг с использованием количественного анализа финансовых рынков // Материалы V-й международной научно-практической конференции «Результаты и проблемы социально-экономического развития Астраханской области». - Астрахань, 2006. С.236-240.
2. См. например: Markowitz H. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952; Sharpe W.F. Portfolio Theory and Capital Markets. - Me. Grow-Hill, 1970
3. Гладков Л.А. Генетические алгоритмы. - М.: Физматлит, 2006. С. 52.
— Коротко об авторе -----------------------------------------
Филиппов К.В. - аспирант кафедры АСУ, Московский государственный горный университет.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
© О.Е. Фомичева, О.В. Головина,
