Метод расчета оптимальных портфелей с глобальным и локальным ограничениями на величину риска на основе генетических алгоритмов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Фондовый рынок

Удк 336.767; 519.246.8

метод расчета оптимальных портфелей с глобальным и локальным ограничениями на величину риска на основе генетических алгоритмов

Л. П. ЯНОВСКИЙ, доктор экономических наук, профессор кафедры экономики АПК Е-mail: [email protected]

О. С. КУЛЬНЕВА, аспирант кафедры экономики АПК Е-mail [email protected] Воронежский государственный аграрный университет

В статье используется генетический алгоритм для построения весов синтетического портфеля инструментов с оптимальным темпом роста капитала при заданном ограничении на колеблемость портфеля, ЕVAR и время между ребалансировкой портфеля.

Ключевые слова: портфель ценных бумаг, реинвестирование, меры риска, ЕVAR, генетический алгоритм.

В работе С. Н. Владыкина «Выбор портфеля с учетом горизонта инвестирования» решалась задача построения оптимального портфеля с одним критерием риска — степенью колеблемости портфеля. Авторы строят портфель на основе ограничений как на весь спектр доходностей в виде критерия колеблемости результатов, так и на основе ограничения экстремальных убытков, в виде 5 % ЕУЛЯ-критерия1.

Владыкин использовал метод стохастического лучевого поиска с эмуляцией «отжига» и в случае,

1ЕУАЯ — статистика, позволяющая оценить потери по портфелю, выходящие за пределы УаЯ (наибольшего ожидаемого убытка, обусловленного колебаниями цен на финансовых рынках).

когда вектор весовых коэффициентов выходил за границу области определения, он заменялся на ближайший вектор, удовлетворяющий следующему условию:

V (К}) < V

где V — максимально допустимое значение колеблемости портфеля.

Авторы задачу построения оптимального портфеля решают на основе генетического алгоритма, и выполнение ограничений на риск портфеля осуществляется с использованием штрафных функций. Также у С. Н. Владыкина строился оптимальный портфель на 2007 г. для одного заданного уровня риска. Авторы приводят расчеты на 2007—2010 гг. при разных уровнях ограничений на риск портфеля.

Построение классического портфеля Тоби-на—Марковица сводится либо к максимизации арифметической средней доходности портфеля и ограниченности дисперсии портфеля, либо — к минимизации дисперсии портфеля при заданном уровне средней (арифметической) доходности. Инвестор, использующий портфель с такими характе-

ристиками, предполагает, что он будет составлять однопериодные портфели на одну и ту же сумму средств (балансировать портфель с постоянными оптимальными долями инструментов и с постоянным капиталом в начале периода) в течение многих периодов, а число прогнозных будущих периодов определяется числом предыдущих периодов, по которым вычислялась средняя доходность. То есть этот портфель изначально рассчитан на «богатого» инвестора, который в случае убытков сможет найти дополнительные средства для приведения вкладываемой суммы к исходной величине.

Так же даже портфель с положительной средней доходностью может быть убыточен для долгосрочного инвестора. Приведем простой пример. Пусть долгосрочный первый инвестор вкладывает единицу капитала в портфель Тобина—Марковица на два периода, а второй краткосрочный инвестор вкладывает в каждом периоде в портфель Тобина—Марковица единицу капитала сроком на один период.

Предположим, что первая сделка приносит 50 % прибыли капитала, а вторая сделка — 40 % убытка. Если не будем реинвестировать прибыль, то в данной последовательности сделок получим 10 % прибыли. Если будем реинвестировать — потери за два периода составят: 1 — 1,5 • 0,4 = 0,1, т. е. 10 % первоначального капитала.

Таким образом, максимизация арифметической средней доходности в долгосрочном периоде, состоящем из N краткосрочных периодов, не означает, что построенный портфель при любой схеме управления капиталом портфеля даст наибольший рост капитала за тот же период. Наибольший прирост капитала за N периодов без ребалансировки обеспечит портфель с максимальным средним геометрическим темпом прироста (Тр), т. е. портфель, для которого

Тр = N П (!+d) ^ max,

(1)

где d¡ — доходность портфеля в ¿-м периоде (положительная или отрицательная), измеренная в долях капитала в конце (¿-1) -го периода; (1 + d¡) — окупаемость портфеля за ¿-й период. Очевидно, что устойчивость роста капитала портфеля с учетом реинвестирования связана не с разбросом доходностей вокруг среднего значения, а с отклонением Тр — среднего темпа прироста капитала за долгосрочный период от показателя, совпадающего с темпом прироста в случае постоянного роста капитала в каждом периоде (так же как для

случая постоянного инвестированного капитала в каждом периоде — абсолютно устойчив портфель с нулевой дисперсией, когда все значения совпадают со средним). Так как для портфеля с постоянным темпом прироста капитала выражение (1) совпадает со средней доходностью (среднее арифметическое совпадает со средним геометрическим), то колеблемость портфеля V можно определить по формуле:

V = 1 --

Tp

Ё (1+d)/к

i=1

Очевидно, что колеблемость V> 0 в силу соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим конечного набора положительных чисел.

Сформулируем теперь оптимизационную задачу построения портфеля с оптимальным темпом роста капитала.

Пусть существует набор из k финансовых инструментов, предназначаемых для использования в портфеле. Предположим, что имеется информация по N наблюдениям (обучающей выборке для построения портфеля с оптимальным темпом роста). Обозначим цену /-го инструмента в j-й период за dj . Тогда окупаемость (темп роста цены) i-го инструмента в j-й период равна

j d,j-i i = 1,...k, j = 1...N.

Также решено ограничить риск портфеля с помощью еще одного критерия. В современном риск-менеджменте большой популярностью пользуется подход к измерению рисков на основе показателя «стоимости под риском» (value at risk — VaR). VaR — это наибольший ожидаемый убыток, обусловленный колебаниями цен на финансовых рынках.

Пусть фиксирован некоторый портфель открытых позиций. VaR портфеля для данного доверительного уровня (1 — а) и данного периода поддержания позиций t определяется как такое значение, которое обеспечивает покрытие возможных потерь х держателя портфеля за время t с вероятностью

(1 - а) : P (VaR > x) = 1 - а.

Показатель VaR как статистика, характеризующая риск инвестиционного портфеля, несомненно обладает многими достоинствами, главными из которых являются относительная простота пред-

i=1

ставления информации о риске (в виде только одного значения в стоимостном выражении) и практическая полезность для управления портфелем. Однако поскольку УaR представляет собой только одну заданную квантиль распределения прибылей и убытков, он имеет и целый ряд существенных недостатков.

Во-первых, УAR не учитывает возможных больших потерь, которые могут произойти с маленькими вероятностями (меньшими, чем а).

Во-вторых, УAR не может различить разные типы хвостов распределения потерь и поэтому недооценивает риск в случае, когда распределение потерь имеет «тяжелые хвосты» (т. е. его плотность медленно убывает).

В-третьих, УAR не является когерентной мерой, в частности, он не обладает свойством субаддитивности. Можно привести примеры, когда таХпор-тфеля больше, чем сумма УaR двух подпортфелей, из которых он состоит. Это противоречит здравому смыслу. Действительно, если рассматривать меру риска как размер капитала, резервируемого для покрытия рыночного риска, то для покрытия риска всего портфеля нет необходимости резервировать больше, чем сумму резервов составляющих подпортфелей.

Одной из мер риска, удовлетворяющих условиям когерентности, является показатель ожидаемых потерь (EУaR) — статистика, позволяющая оценить потери по портфелю, выходящие за пределы УaR. Он определяется формулой

ЛРа^а (X) = Л (Х|Х > Ра^а ), где (1 — а) — уровень доверия;

X — потери портфеля через ^дней.

Эта мера риска сохраняет все преимущества УaR и в то же время лишена его недостатков.

Значение EУaR может быть определено следующими методами: используя закон распределения, методом исторического моделирования и методом Монте-Карло.

EУaR был рассчитан методом исторического моделирования, который заключается в следующем. Ранжируем выборку доходностей актива

по возрастанию и вычисляем величину

1 м

EVaRl_а (X) а £ ^,

тах ¿а1

где 0,.., ¿тах — интервал времени, на котором производится выборка доходностей.

При этом

М = 1 + [(1 -аХ^тах " 1)].

Обозначим i = 1,2..., к, доли ¿-го инструмента в портфеле инвестора. Тогда задача нахождения оптимального портфеля с параметрами

^ , i = 1,2., к состоит в максимизации темпа роста портфеля за исторический период, состоящий из N наблюдений при фиксированном уровне риска портфеля — отклонении среднего темпа роста капитала за один период (среднего геометрического доходностей за N периодов) от арифметической средней доходности и ограничении на ожидаемые потери и записывается в виде:

= т^; (2)

;

где К — максимально допустимое значение колеблемости портфеля;

ЕРаЯ — максимально допустимое значение

EУaR портфеля.

К сожалению, построение портфеля с оптимальным темпом роста сводится к решению задачи нелинейного программирования, а не квадратичного программирования, как задача построения портфеля Тобина — Марковица.

Эту задачу решали одним из приближенных методов, а именно с помощью генетического алгоритма.

Генетические алгоритмы являются одними из эволюционных алгоритмов, применяемых для поиска глобального экстремума функции многих переменных. Принцип работы генетических алгоритмов основан на моделировании некоторых механизмов популяционной генетики:

— манипулирование хромосомным набором при формировании генотипа новой биологической особи путем наследования участков хромосомных наборов родителей (кроссинговер);

— случайное изменение генотипа, известное в природе как мутация.

Другим важным механизмом, заимствованным у природы, является процедура естественного отбора, направленная на улучшение от поколения к поколению приспособленности членов популяции путем большей способности к «выживанию» особей, обладающих определенными признаками.

Введем основные понятия, применяемые в генетических алгоритмах.

Вектор — упорядоченный набор чисел, называемых компонентами вектора. Так как вектор можно представить в виде строки его координат, то

в дальнейшем понятия вектора и строки считаются идентичными.

Хромосома — вектор (или строка) из каких-либо чисел.

Индивидуум (генетический код, особь) — набор хромосом (вариант решения задачи). Обычно особь состоит из одной хромосомы, поэтому в дальнейшем особь и хромосома — идентичные понятия.

Кроссинговер (кроссовер) — операция, при которой две хромосомы обмениваются своими частями.

Мутация — случайное изменение одной или нескольких позиций в хромосоме.

Пригодность (приспособленность) — критерий или функция, экстремум которой следует найти.

Реализацию базового генетического алгоритма можно представить как итерационный процесс (см. рисунок), включающий несколько этапов.

1. Генерируем начальную популяцию из п хромосом.

2. Вычисляем для каждой хромосомы ее пригодность.

3. Выбираем пару хромосом-родителей с помощью одного из способов отбора.

4. Проводим кроссинговер двух родителей с вероятностью рс, производя двух потомков.

5. Проводим мутацию потомков с вероятностью рт-

6. Повторяем шаги 3—5, пока не будет сгенерировано новое поколение популяции, содержащее п хромосом.

7. Повторяем шаги 2—6 пока не будет достигнут критерий окончания процесса.

Опишем более подробно, как использовался генетический алгоритм в рассматриваемом случае.

1. Начальную популяцию сформировали из 25 особей. Каждая хромосома представляет собой вектор весовых коэффициентов ^(.}к= 1. Генерация хромосом должна быть равномерно распределена на симплексе > 0; 2^=1 = 1. С этой целью

Начальная популяция

т

\ Новая популяция"

Мутация, рт

Г

Кроссинговер,р

Выбор

родителем

Результат^"^>

Блок-схема генетического алгоритма

использовался алгоритм, подробно раскрытый А. А. Новоселовым. Приведем краткое описание этого алгоритма.

Обозначим Ск-1 = [0, 1]к-1 единичный гиперкуб в RkЛ. Равномерное распределение на С-1 получается обычным способом как вектор и = (и1,..., ик1) с независимыми компонентами, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке [0,1].

Пусть П — совокупность всевозможных перестановок п = (¿,..., ¿к1) на множестве {1,2,., к — 1}, и I = (1,2,., к — 1) — тождественная перестановка. Для перестановки п = (¿1,...,г'к1) е ^обозначим Г совокупность точек у = (V) е С, обладающих свойством У; < у1г < ■■■ < У^ а, а — его замыкание

К = Ь' = [>1.....У к-О Ьь, <у^<-< }•

В частности, для тождественной перестановки /имеем

Кг = Ь = (71.....Ук-1) |У1 < У2 <■■■< Уъ-1>

Обозначим

к-1

№

ё > 0.....Уь-1 > 0; < 1| =

И рассмотрим отображение F■.V1 IV, ставящее точке у = О7!, ■ ■-гУ^-х) <= V/ в соответствие точку у ' = (у*1(..., у'^) Е V/ по правилу

У\ =Ул}У* 2 = У2 ~Угт'-У\-1 =Ук-1 У ¡с—2щ

Для у = (у-,...у^^} 6 IV построим точку по правилу

у 1=Уг>У 2 = У*...У ь-1

Ь-1п

Ук-

1>

I

.

Полученная точка имеет равномерное распределение на симплексе

5к = {у = [>1.....Ук-1) е П*\Уг > 0.....У* > 0;

.

2. Изначально под пригодностью хромосомы { Ж} понималась ее целевая функция F(W). Так как базовый генетический алгоритм не подразумевает наложение ограничений на значение хромосом, а в задаче такие ограничения есть, чтобы добиться выполнения ограничений, использовался метод штрафных функций Джойса и Хоука. Для этого сначала рассчитывалась величина штрафа

где С, а — константы, С = 1, а = 2; I — номер итерации.

При этом

^ (о,.) = тах{0, V ({о,}) - V};

Реря(о,) = тах{0, ЕРаЯ({о,}) -ЛРаЯ}.

Далее целевая функция уменьшалась на величину штрафа, и полученное число определяло величину пригодности особи. Поскольку с увеличением числа итераций величина штрафа очень быстро растет, то к концу процесса поиска максимума в популяции останутся только пригодные особи.

3. Выбор пары хромосом-родителей осуществлялся с помощью рангового метода. Для этого все хромосомы популяции сортировались в порядке возрастания их целевых функций, далее случайным образом выбирались 2 хромосомы. При этом вероятность ¿-й хромосомы быть выбранной пропорциональна ее порядковому номеру. Такой способ отбора, с одной стороны гарантирует то, что более пригодные особи с большей вероятностью будут допущены к размножению, а с другой стороны, то, что популяция будет достаточно разнообразна.

4. Кроссинговер, или скрещивание, хромосом (1) и (2) выполнялось по следующему алгоритму:

— случайным образом выбиралось число ж е (-0,25; 1,25);

— получали 2 новые хромосомы по формулам:

= {а

ХС0'

ю*

1-е).

ИЛ

IV

^ + «

,

+ в(1,1 - с}), X < О

,

1 и , 1 > 1 1 ^ у ил^илх V

г: ™

Если какая-либо из координат новой хромосомы имела значение меньше 0, то такая хромосома считалась нежизнеспособной и в популяцию не допускалась. Равенство суммы координат каждой из полученных хромосом единице вытекает непосредственно из способа кроссинговера.

5. В качестве оператора мутации использовалась неравномерная мутация Михалевича. При этом в хромосоме производилась инверсия двух генов: один увеличивался на расчетное значение, другой — уменьшался на это же значение. Это было сделано для того, чтобы сумма координат (генов) полученной хромосомы равнялась 1. Значения генов после оператора мутации рассчитываются по формулам:

¡ с, 4- 1 - с}), х < О

,

где х — целое случайное число, принимающее значение 0 или 1;

г [0,1] — случайное вещественное число; етах — максимальное количество эпох алгоритма.

6. Вычислительный процесс останавливался, если было выполнено максимальное число итераций (в данном случае 500) или если популяция сходилась. Считалось, что популяция сошлась, если среднее евклидово расстояние между всеми особями популяции меньше порогового значения. То есть, верно условие

I 2

,

где е — полагают равным 10-3.

Каждый год формировали 4 разных портфеля. Описание использовавшихся вариантов портфелей приведено в табл. 1.

В блок акций включались акции 10 компаний, входящих в индекс ММВБ и имеющих достаточно большую историю (с 2006 по 2010 гг.). А именно ОАО «Сургутнефтегаз», ОАО «Сбербанк России», ОАО «Ростелеком», ОАО «РБК Информационные Системы», ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «ГМК «Норильский никель», ОАО «АВТОВАЗ», ОАО «Аэрофлот», ОАО «Татнефть», ОАО «Уралсвязьинформ». В качестве безрискового вложения использовался депозит Сбербанка России (4 % годовых). В качестве фьючерса брался товарный фьючерс на золото, так

Таблица 1

Портфели ценных бумаг

наименование инструмент Ограничение на долю инструмента в портфеле

Портфель № 1 Акции. Безрисковое вложение Нет ограничений

Портфель № 2 Акции. Безрисковое вложение Акции составляют минимум 10 % портфеля. Безрисковое вложение составляет минимум 10 % портфеля

Портфель № 3 Акции. Фьючерсы. Безрисковое вложение Нет ограничений

Портфель № 4 Акции. Фьючерсы. Безрисковое вложение Акции составляют минимум 10 % портфеля. Фьючерсы составляют минимум 10 % портфеля. Безрисковое вложение составляет минимум 10 % портфеля

как он в меньшей степени коррелирует с акциями по сравнению с фьючерсами на акции.

Для расчета степени колеблемости и EVaR портфеля использовались дневные приращения цен.

Переформирование портфелей производилось либо в конце каждого торгового дня, либо в конце каждого 5-го торгового дня.

Для получения более достоверных результатов пороговые значения колеблемости Vи EVaR задавались в следующих диапазонах:

К = 0,00015,...,0,0005 с шагом 0,00005;

ЕУаЯ = 0,03,...,0,05 с шагом 0,005.

Далее решалась задача максимизации темпа роста (2), на основе полученных весовых коэффициентов формировался портфель на следующий год, и проводилась тестовая торговля.

Результаты торговли приведены в табл. 2. Здесь прибыль рассчитана как средняя прибыль для всевозможных ограничений на пороговое значение V и EVaR.

Как показывает анализ данных табл. 2, включение в портфель фьючерса на золото, т. е. повышение

степени диверсификации портфеля с помощью добавления производного инструмента, стабильно увеличивало прибыль портфеля в 2007—2010 гг., несмотря на то, что при покупке и продаже фьючерсов необходимо платить комиссию.

Установление минимального ограничения на долю каждого вида инструментов позволяет добиться лучших результатов. В частности, в 2007 г. при отсутствии ограничения модель «не советовала» использовать банковский депозит, что повлекло большие убытки в 2008 г. Вложение же 10 % средств в банк позволило сократить убытки в кризис 2008 г. Также модель без использования ограничений в 2009 г. рекомендовала все средства вкладывать в банк и не торговать вообще. Однако покупка акций и фьючерсов на 20 % средств (по 10 % на актив) дала хорошую прибыль в 2009 г.

Увеличение интервала переформирования портфеля также дает положительный результат. Это связано с тем, что более длительный интервал переформирования позволяет сгладить случайные колебания рынка.

Таблица 2

Результаты торговли в тестовом периоде 2007—2010 гг., %

Наименование 2007-2010 2007 2008 2009 2010

Реинвестирование каждый день

Максимизация темпа роста

Акции, депозит 0,02 17,54 -67,72 5,31 44,95

Акции, депозит. Ограничение на долю актива 0,80 18,88 -60,82 5,78 39,36

Акции, фьючерсы, депозит 5,77 20,39 -67,52 20,63 49,56

Акции, фьючерсы, депозит. Ограничение на долю актива 6,66 13,51 -56,25 25,21 44,19

Портфель Марковица

Акции, депозит -16,25 5,86 -92,84 -12,02 34,01

Акции, депозит. Ограничение на долю актива -20,21 16,81 -94,49 -37,85 34,68

Акции, фьючерсы, депозит -5,03 16,72 -100,02 26,89 36,28

Акции, фьючерсы, депозит. Ограничение на долю актива 0,04 17,93 -77,13 24,87 34,51

Реинвестирование каждые 5 дней

Максимизация темпа роста

Акции, депозит -0,16 22,62 -65,87 5,26 37,36

Акции, депозит. Ограничение на долю актива 2,23 21,75 -58,87 6,30 39,74

Акции, фьючерсы, депозит 7,39 22,08 -65,85 22,86 50,46

Акции, фьючерсы, депозит. Ограничение на долю актива 8,86 25,87 -55,26 23,02 41,81

Портфель Марковица

Акции, депозит -9,76 21,29 -93,35 6,44 26,58

Акции, депозит. Ограничение на долю актива -7,22 16,46 -89,53 12,30 31,89

Акции, фьючерсы, депозит -4,30 15,21 -94,91 26,17 36,35

Акции, фьючерсы, депозит. Ограничение на долю актива 2,08 30,80 -72,60 % 19,03 31,08

Предложенная модель формирования портфеля при различных способах определения долей активов и сроков реинвестирования дает лучший результат по сравнению с моделью Марковица.

Список литературы

1. Буренин А. Н. Управление портфелем ценных бумаг. М.: НТО Вавилова С. И. 2008.

2. Владыкин С. Н. Выбор портфеля с учетом горизонта инвестирования // Финансы и кредит. 2009. № 29.

3. КисляковА. В. Генетические алгоритмы: операторы скрещивания и мутации // Информационные технологии. 2001. № 1.

4. Панченко Т. В. Генетические алгоритмы. Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет». 2007.

5. Artzner P., Delbaen F. L., Eber J.-M, Heath D. Coherent measures of risk // Mathematical Finance. 1999.

6. Ling S. H. Real-Coded Genetic Algorithm with Average-Bound Crossover and Wavelet Mutation for Network Parameters Learning. The Hong Kong Polytechnic University. 2005.

7. Michalewicz Z. Genetic Algorithms, Numerical Optimization and Constraints, Proceedings of the 6th International Conference on Genetic Algorithms. Pittsburgh. 1995.

8. URL: http://www.finam.ru.

и полиграфические работы

ф

Тел.:8-499-166-61-80 http://dipak.ucoz.ru/

Издания любой сложности

• книги • журналы

• проспекты • буклеты

• рекламная продукция

Товаросопроводительная, деловая и представительская документация

Оперативность Высокое качество