CC BY
89
СУДОСТРОЕНИЕ И СУДОРЕМОНТ
УДК 629.122.004.67 C. О. Барышников,
канд. техн. наук, профессор, СПГУВК;
С. А. Куликов,
старший преподаватель, СПГУВК
ОПТИМИЗАЦИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ ДОПУСКОВ СОПРЯЖЕННЫХ ДЕТАЛЕЙ УЗЛОВ ПРИ РЕМОНТЕ
TOLERANCE MECHANISM KNOT COMPONENTS OPTIMIZATION IN REPAIRS
В статье рассматривается численный алгоритм оптимизации узловой сборки механизмов при выполнении комплекса работ по ремонту машин. Алгоритм основывается на сплайн-методе оптимального распределения ресурсов по процессам. Приводятся примеры расчетов.
In this article the numerical algorithm for tolerance mechanism knot components optimization is considered. Algorithm is founded on spline-method for optimal distribution resources to processes. Numerical examples are listed.
Ключевые слова: ремонт машин, узловая сборка, допуск, алгоритм, оптимизация, сплайн.
Key words: machine repairs, knot component composition, tolerance, algorithm, optimization, spline.
ОДНИМ из важнейших направлений повышения эффективности и качества выполнения общего комплекса работ по ремонту машин является совершенствование сборочных технологических процессов как узловой, так и общей сборки в условиях судоремонтных предприятий [1]. В современных технологических процессах ремонта машин объемы сборочных работ достаточно велики и могут составлять до 35-40 % от общего их объема в мелкосерийном производстве. Выполнение ремонтных работ в условиях дефицита ресурсов требует развития и применения оптимизационных процедур, современных ресурсосберегающих технологий и вычислительных сред при минимальных затратах на их реализацию. Оптимизация технологических операций сборки судовых машин и механизмов на основе научно обоснованных положений, методов и моделей с применением эффективных технических решений позволяет кардинально решать проблему ресурсосбережения в данной предметной области. Исследования показали, что в процессе сборки механизмов целесообразно
использовать алгоритмы и модели параметрической оптимизации, эффективного распределения ресурсов, определяющих стоимость выполнения сборочных работ при соблюдении ограничений, обеспечивающих высокое качество сборки.
Ремонт деталей, узлов и сборка механизмов должны производиться с соблюдением технических норм, допусков и технологий обработки поверхностей, предусмотренных соответствующими технологическими документами. Если в процессе изготовления деталей допущены значительные отклонения от требований чертежа, то при сборке не будет обеспечена необходимая собираемость сборочных единиц. Дополнительная обработка деталей или их выбраковка приводят к повышению себестоимости продукции. В случае ужесточения требований к предельным отклонениям производственные расходы увеличиваются, поскольку с повышением точности обработки значительно возрастают стоимость и время изготовления деталей. Если же отсутствует оборудование, обеспечивающее высокую точность изготовления, то на сборке
Выпуск4
¡Выпуск 4
неизбежны сортировка деталей и переход к селективной сборке.
Применение статистического контроля совокупности деталей при нормальном законе распределения основано на том, что поле допуска задается параметром бо (статистический допуск), где о — среднее квадратичное отклонение нормального распределения. В этом случае число бракованных изделий из партии деталей не будет превышать 0,27 %.
При сопряжении деталей предельные отклонения их размеров рассчитываются при условии выполнения требований, предъявляемых к допуску сборочной единицы. Можно полагать, что общий допуск собранного узла равен сумме отдельных допусков деталей, входящих в узел.
Существуют различные методы расчета составляющих допусков сопряженных деталей. Методы, основанные на статистической оценке допусков и нахождении их среднеквадратических отклонений, позволяют уменьшить степень риска при расширении пределов допуска на сопряженные детали и сократить потери при сборке. Правильное назначение допусков позволяет достигнуть значительной экономии материальных средств и снизить расходы на производство. Наиболее эффективными могут быть решения, полученные путем реализации оптимизационных процедур, обеспечивающих минимизацию критерия качества в условиях ограничений, определяемых составляющими технологического процесса сборки узла.
Модели распределения ресурсов играют важную роль в решении задач судоремонта и эксплуатации объектов водного транспорта. Эти модели позволяют в условиях ограничений объемов ресурсов в каждой конкретной ситуации использовать их с наименьшими потерями, что достигается за счет алгоритмизации и использования оптимизационных методов и эффективных вычислительных процедур.
Следует отметить, что для определенного класса моделей задача оптимальной сборки узла по заданному суммарному допуску может быть решена аналитически. Предположим, что требуется собрать узел, состоящий из п
различных деталей. Поскольку допуск узла не должен превышать заданного значения Т единиц и он равен сумме допусков п деталей, то условие сопряжения можно записать:
Т= (1 + ^ + ■ + (п = ^1 (= Ф(t1, ^ t3, -, tn), (1)
где (. — допуск 7-й детали (7 = 1, 2, 3, п).
Предположим, что стоимость изготовленной 7-й детали g¡ состоит из двух составляющих: постоянной g , представляющей собой
Р7
стоимость заготовки, и переменной с., зависящей от сложности и качества обработки. В общем случае переменная составляющая должна быть нелинейной функцией ¿.:
&=£рг+сД). (2)
Будем полагать, что переменная составляющая с.(1) обратно пропорциональна допуску (. в т-й степени и может быть представлена зависимостью
, Ч Кг С1 (0~ ’
(3)
где: К. — постоянный коэффициент, зависящий от формы, размеров и свойств материала 7-й детали; т — целое число. Тогда стоимость всех деталей, входящих в узел,
^ Л кх к2 к
G-Z^ëi-—+—+■■■+—+gPl+gP2 +
1=1 и ¿о
Г Г 2
(4)
Задача состоит в минимизации стоимости всех, входящих в узел, деталей О при выполнении ограничения (1), если известны (2) и (3). Поиск минимума О осуществляется путем вариации допусков Г. Из всех возможных значений (., входящих в (1), следует выбирать такие величины допусков деталей узла
tl+t2+... + tn—T, (5)
чтобы функция стоимости (4) принимала минимальное значение.
Для определения требуемых значений допусков деталей можно воспользоваться известными методами параметрической оптимизации. В частности, рассмотрим решение задачи с помощью метода множителей Лагранжа. Согласно этому методу для поиска экстремума требуется решить систему уравнений:
т+ь-тг-0-
Э?! Э?!
*+х-^=о,
д1
Ьи
(6)
Ък ыш
где X — множитель Лагранжа.
Простые вычисления частных производных функций (4) и (1) по переменным позволяют записать:
-т-К1-^т+1) + 'к = О -т-К21-{т+1) + Х = О
(7)
-т-Кп-^т+1) + Х = 0. 1
Пусть Тогда из первого и
т + \
второго уравнений системы (7) получим оп-
*
тимальный допуск второй детали £2 как функцию оптимального допуска первой (базовой) детали:
Ч
/ \а *2 кх
\ 1 у
(8)
Аналогично запишем ¿3 в терминах ^:
•С (9)
Для выбранной модели (1)-(4), если
1 < 7 < (п - 1), по индукции получаем
и -
■ч-
к,
\ 1 у
Оптимальный допуск п-й детали:
/ \а К. Л
~Ч •
(10)
(11)
После подстановки (9)-(11) в уравнение (1) будем иметь:
Т = Б ■ С
где
V1=1 У
(12)
(13)
Оптимальный допуск базовой детали ^ определим с помощью простой зависимости
(14)
Допуски других деталей узла рассчитаем по формулам (8)-(11).
Рассмотрим пример. Выберем сборочный узел, состоящий из пяти деталей. Допуск узла Т = 0,022 (мм). Стоимость деталей оценим по формуле (2) при следующих значениях коэффициентов:
К1 = 0,0035; К2 = 0,0018; К3 = 0,00028; К4 = 0,0070; К. = 0,0012; gpI = 120; gp2 = 180; gpз = 47,5; gp4 = 150; gp3 = 250 (усл. ед.).
Показатели степени в формуле (3) для всех деталей одинаковы и равны т = 2.
В результате вычислений по формулам
(8)-(14) получены оптимальные допуски деталей узла, представленные вектором
с = [х* г2 ¿3 гА д =
= [0,0051 0,0042 0,0023 0,0066 0,0037].
Минимальная стоимость деталей составила Рт = 1280,2 усл. ед.
Для сравнения был выполнен расчет стоимости деталей при равных допусках
Т
= —. В этом случае Р = 1459,3 усл. ед. Таким 1 п
образом, оптимальное распределение допусков деталей узла позволяет уменьшить расходы на 179,1 усл. ед.
Решенная задача может быть отнесена к классу простых задач оптимального распределения ресурсов. Аналитическое решение получено благодаря выбору т = 2. Кроме того, в модели отсутствуют ограничения на элементы вектора состояния и др. Ресурсом является параметр Т, который наиболее эффективным способом распределяется по п процессам.
Для функциональных зависимостей
ф(^ ^ ^ .„, 1п ), /(^ ^ ^ ..., Xп ) и gI «) сложной формы трудоемкость вычислений значительно возрастает. Например, для функций (3) с различными показателями степени т1-т5 при наличии линейных и нелинейных ограничений, а также ограничений на переменные состояния решения в аналитическом виде получить практически невозможно, и
Выпуск 4
¡Выпуск 4
приходится использовать численные методы и алгоритмы оптимизации. Построение таких алгоритмов целесообразно выполнять с использованием каталога функций рабочих инструментариев различных вычислительных сред. Для решения класса задач с унимодальными функциями стоимости (3), а также семейства нелинейных задач, отвечающих условиям Куна - Таккера, в работе применен сплайн-метод оптимизации, предложен алгоритм и разработана программа, базирующаяся на применении функции fmincon среды MatLAB. Фрагмент программы представлен файл-функцией sl.m и блоками скрипт-файла:
% sl.m
% Файл-функция.
% Оптимальное распределение допуска узла как ресурса по процессам.
function L = sl(x)
global hl h2 h3 h4 h5
L = [ppval(h1,x(1)) + ppval(h2,x(2)) + ppval(h3,x(3)) + ppval(h4,x(4)) + ppval(h5,x(5))];
Первый блок скрипт-файла.
% Сборка механизма по сплайн-методу.
% Исходные данные: global hi h2 h3 h4 h5 % Исходные данные для расчетов:
T = 0,022; ki = 0,0035; k2 = 0,0018; k3 = 0,00028; k4 = 0,0070; k5 = 0,0012; m = 2;
gpi = 120; gp2 = 180; gp3 = 47,5; gp4 = 150; gp5 = 250; N = 5;
m1 = 1,9; m2 = 1,72; m3 = 1,85; m4 = 2,05; m5 = 1,73;
Tmin = 0,001; Tmax = 0,008;
% Оценка функций стоимости в (D + 1) интерполяционных узлах:
D = 8;
t = Tmin : (Tmax-Tmin)/D : Tmax; f1 = k1./(tAm1); f2 = k2./(t.Am2); f3 = k3./ (t.Am3); f4 = k4./(t.Am4); f5 = k5./(t.Am5);
% Формирование матриц исходных данных:
g1 = [t; f1]; g2 = [t; f2]; g3 = [t; f3]; g4 = [t; f4]; g5 = [t; f5];
% Построение сплайнов: h1 = spline(g1(1,:), g1(2,:)); h2 =
spline(g2(1,:), g2(2,:));
h3 = spline(g3(1,:), g3(2,:)); h4 =
spline(g4(1,:), g4(2,:));
h5 = spline(g5(1,:), g5(2,:));
jô>
Рис. 1. Функции расходов на изготовление и обработку деталей узла
Рис. 2. Оптимизация технологического процесса сборки механизма
По полученным расчетным данным построены графики функций стоимости для пяти деталей (см. на рис. 1). Интерполяционные узлы представлены на каждой характеристике в виде точек. Оптимальные значения допусков деталей при вариации допуска узла от 0,015 до 0,030 мм, а также минимальные расходы на сборку получены с помощью второго блока скрипт-файла:
% Реализация алгоритма оптимального распределения ресурса T по n процессам.
% Ограничения на переменные состояния:
lb = ones(5,1)*Tmin; ub = ones(5,1)*Tmax;
% Процедура численной оптимизации: Aeq = [1 1 1 1 1]; beq = T; options = optimset(‘Display’,’Iter’);
[x, J1] = fmincon(‘s1’,lb*4,[],[],Aeq,beq,lb, ub,[],options).
% Результаты расчетов G = k1./(x(1).Am1) + k2./(x(2).Am2) + k3./ (x(3) Am3) + k4./(x(4).Am4) + k5./(x(5).Am5) + ... sum([gp1 gp2 gp3 gp4 gp5]).
По завершении расчетов получены оптимальные параметры сборки узла для различных значений допуска T. Результаты пред-
ставлены в графической форме (рис. 2). Расчеты выполнены при введении ограничений на переменные состояния х1-х5. Видно, что допуск детали х4 для значений Т > 0,020 мм принимает максимально допустимое значение, определенное границей иЬ (см. фрагмент файла) и равное 0,008 мм. Допуск детали х1 достигает правой границы, если Т >
0,027 мм. Минимальная стоимость сборки О(Т) = 0(0,015) = 1335,8 руб. С увеличением Т стоимость сборки узла уменьшается и при Т = 0,030 мм составляет О(Т) = 0(0,030) =
955,5 руб. Если допуск узла Т = 0,040 мм, то согласно правой границе все допуски деталей должны быть равны 0,008 мм, и вариация переменных состояния не производится.
Ввод исходных данных связан с получением структуры и оценкой параметров моделей (2)-(4). Подготовка исходных данных является наиболее трудоемкой и ответственной частью решения и обычно базируется на эксперименте. Преимущества сплайн-метода «а состоят в том, что данные эксперимента могут быть введены в виде векторов измерений невысокой размерности, без определения структуры и параметров входных сигналов.
Не вводятся ограничения и на выбор шага
Выпуск 4
¡Выпуск 4
дискретности изменений. Операции по аналитическому представлению исходных характеристик по эксперименту реализованы в терминах сплайн-аппроксимаций с использо-
ванием экспериментальных точек в качестве интерполяционных узлов, что на практике обеспечивает высокую точность и простоту выполнения вычислений.
Список литературы
1. Сумеркин Ю. В. Совершенствование сборки судовых дизелей при ремонте. Теоретические основы. — М.: Транспорт, 1985. — 144 с.
1«:
