CC BY
33
11. Бурлаков А.С. Описание семантики машинных команд // Мат. Всерос. молодежной науч.-практ. конф. с междунар. участ. (Иркутск, 21-23 марта, 2013 г.). Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2013. С. 137-141.
12. Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Volume 2, http://www.intel.com/content/dam/www/ pub-lic/us/en/documents/manuals/64-ia-32-architectures-software-developer-instruction-set-reference-manual-325383.pdf
13. Donald E. Knuth. On the Translation of Languages from Left to Right, Information and control 1965, Vol 8. Р. 608-639.
14. Фридл Дж. Регулярные выражения. Библиотека программиста. СПб.: Питер, 2001. C. 200-218.
15. Bison-GNU parser generator, http://www.gnu.org/software/ bison/
УДК 519.178; 519.17:33
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ КОММУНИКАЦИЙ С УЧЕТОМ РЕГИОНАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
© А.Л. Казаков1, А.А. Лемперт2, Г.Л. Нгуен3
Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134. Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Построена и исследована новая математическая модель оптимальной сети коммуникаций, которая имеет вид неориентированного графа в метрическом пространстве размерности два. Использование специальной метрики позволяет более полно, по сравнению с традиционными моделями, учесть географические, экологические, экономические и прочие особенности местности. Решены модельные примеры, а также рассмотрена задача о прокладке маршрутов минимальной стоимости с учетом экологических ограничений. Ил. 5. Табл. 1. Библиогр. 15 назв.
Ключевые слова: математическое моделирование; минимальное остовное дерево; задача Штейнера; оптико-геометрический подход; транспортная логистика; экологические ограничения.
COMMUNICATION SYSTEM OPTIMIZATION CONSIDERING REGIONAL FEATURES: A MATHEMATICAL MODEL
AND A NUMERICAL METHOD
А.L. Kazakov, А.А. Lempert, H.L. Nguyen
Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, 134 Lermontov St., Irkutsk, 664033, Russia. Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article is devoted to the construction and study of a new mathematical model for an optimal communication network. The model has the form of an undirected graph in a two-dimensional metric space. As compared to traditional models, the use of the special metric allows a more complete consideration of geographical, ecological, economic, and other terrain features. Model examples are solved and the problem of minimum cost routing with regard to environmental constraints is considered as well. 5 figures. 1 table. 15 sources.
Key words: mathematical modeling; minimum spanning tree; Steiner problem; optical and geometrical approach; transport logistics; environmental constraints.
Введение
Задача оптимальной организации коммуникаций представляет большой интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений и является одной из классических научных про-
блем. Можно в качестве примера указать, что постановка задачи о нахождении точки в треугольнике, которая равноудалена от его вершин, восходит к Пьеру Ферма (проблема Ферма), а первые известные результаты по ее решению были получены еще в первой
1 Казаков Александр Леонидович, доктор физико-математических наук, зав. лабораторией математических методов анализов свойств динамических систем, тел.: (3952) 453033, е-mail: kazakov@icc.ru
Kazakov Alexander, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Laboratory of Mathematical Methods of Dynamic System Property Analysis, tel.: (3952) 453033, e-mail: kazakov@icc.ru
2Лемперт Анна Ананьевна, кандидат физико-математических наук, зав. лабораторией системного анализа и вычислительных методов, тел.: (3952) 453030, е-mail: lempert@icc.ru
Lempert Anna, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Laboratory of System Analysis and Computing Methods, tel.: (3952) 453030, e-mail: lempert@icc.ru
3Нгуен Гуй Лием, аспирант, тел.: 79246278364, e-mail: nguyenhuyliem225@gmail.com Nguyen Huy Liem, Postgraduate, tel.: 79246278364, e-mail: nguyenhuy-liem225@gmail.com
половине XVII века учениками Галилео Галилея Э. Торричелли и Б. Кавальери.
Оптимизация, вообще говоря, может в данном случае пониматься в различных смыслах, однако наиболее распространенными являются две следующих постановки:
1. Имеется некоторый набор пунктов, которые необходимо соединить коммуникациями, причем стоимость прокладки каждой из них заранее известна. Требуется построить систему, стоимость которой будет минимальной, при этом предполагается, что ветвления возможны только в местах расположения самих пунктов. Если использовать терминологию теории графов, то данная задача является задачей о построении минимального остовного дерева во взвешенном неориентированном графе. В вычислительном плане она является относительно несложной, известны алгоритмы (Прима, Краскала, Борувки и др. [1]), которые обеспечивают решение данной задачи за время
O(m2) , где m - число вершин в графе (т.е. за полиномиальное время). На рис. 1 минимальное остовное дерево для вершин A, B и C состоит из отрезков AC и CB.
2. Требуется решить сформулированную выше задачу в предположении о том, что в системе возможны ветвления: если требуется связать пункты A, B и C, то выгоднее может оказаться не прокладывать коммуникации, совпадающие с двумя сторонами треугольника АВС, а ввести дополнительный «перекресток», связав A, B и C с некоторой точкой D. В теории графов это задача о построении дерева Штейнера (проблема Штейнера; «перекресток» D - точка Штейнера) [2, 3]. Классическим ее вариантом является построение связного плоского графа наименьшей длины, проходящего через заданное конечное множество точек плоскости. Отметим, что упомянутая выше проблема Ферма является простейшим частным случаем проблемы Штейнера. Ее решение в наиболее содержательном случае, когда все углы треугольника меньше 120o, представлено на рис. 1. Дерево Штейнера состоит из отрезков AD, DB и DC, причем точка Штейнера D расположена таким образом, что выполняется следующее равенство:
Z ADB = Z BDC. = Z C.DA = 120\
В случае, когда ZAC-B> 120°, точка Штейнера
находится в вершине C, т.е. дерево Штейнера совпадает с минимальным остовным деревом.
Может сложиться впечатление, что переход от построения минимального остовного дерева к построению дерева Штейнера не является принципиальным усложнением рассматриваемой задачи. Однако это далеко не так. Известно, что задача Штейнера даже в классической постановке является NP - полной и известные алгоритмы (например, алгоритм Мелзака [4, 5] и его модификации [6]) позволяют эффективно ее решать лишь в достаточно простых случаях [6, 7].
В
Рис. 1. Решение проблемы Ферма
Наиболее очевидной сферой приложения результатов по построению оптимальной сети коммуникаций является транспортная логистика, но не только. Так, в теории пространственной экономики известна задача Лаунхардта об определении оптимальной точки расположения промышленного предприятия по отношению к источникам сырья и рынкам сбыта. Решением ее является «локационный треугольник», в котором местом расположения предприятия является точка Штейнера [8]. Кроме того, коммуникации вообще не обязаны быть транспортными (и даже инженерными): подобного рода задачи возникают также при проектировании информационных систем и микросхем.
В настоящей статье рассматривается задача об оптимизации сети коммуникаций в случае, когда из-за особенностей местности вес ребра определяется не только его длиной (как в большинстве известных моделей). Исследование продолжает работы авторов по изучению транспортно-логистических систем регионального уровня [9-15]. В частности, нами ранее были исследованы задачи прокладки коммуникаций с ограничениями на кривизну маршрута [13] и задача размещения нескольких логистических объектов с одновременным построением связывающего их евклидова минимального остовного дерева [15].
При решении всех рассмотренных задач использовалась единая методика, основанная на сведении прикладных задач к задачам непрерывной бесконечномерной оптимизации специального вида [10] и применении для их решения авторских алгоритмов, основанных на аналогии между распространением света в неоднородной среде и нахождением минимума интегрального функционала (оптико-геометрический подход) [11, 12]. В данной работе указанный подход используется для построения минимального остовного дерева в специальной (вообще говоря, не евклидовой) метрике и предлагается процедура его улучшения за счет введения дополнительных точек ветвления (точек Штейнера).
1. Задача о построении минимального остовного дерева
Пусть имеется т объектов А1Ат, которые
необходимо обеспечить коммуникациями (дороги, трубопроводы, линии электропередачи и т.п.), при этом суммарная их стоимость должна быть минимально возможной. Отметим, что стоимость здесь -величина условная и может определяться не только длиной ребер, но и, к примеру, временем их преодо-
ления, а также зависеть от выполнения определенных требований, в частности, включать штраф за прохождение по определенным участкам.
Будем сначала предполагать, что точки ветвления (точки Штейнера) отсутствуют, т.е. необходимо построить минимальное остовное дерево. Такая постановка актуальна, например, при прокладке телекоммуникационных линий.
Здесь и далее мы полагаем, что вес участка между /-м и к-м объектом, в отличие от подобной задачи на графах [6], заранее неизвестен и зависит от выбранного маршрута (рис. 2), который, в свою очередь, напрямую связан с особенностями местности (наличие труднопроходимых участков, различных препятствий, экологических ограничений и т.п.). В такой постановке задачу можно разбить на две подзадачи: отыскание кратчайших (здесь и далее в смысле минимума по времени преодоления) маршрутов между всеми рассматриваемыми объектами и, собственно, построение минимального остовного дерева, например, методами теории графов [1].
шин, а
Г* -
множество их возможных попарных со-
Рис. 2. Организация коммуникаций
Для решения первой подзадачи будем использовать подход, предложенный в [10], который подразумевает решение следующей задачи бесконечномерной оптимизации:
Тг к (Г*,, ) = тт ¡-Ц Л. (1) еО г„ у(X У)
Здесь Тк - время перемещения между Д и Ак по
оптимальному маршруту Г*^ е О (г,к = 1, т; к Ф г)
, где в - множество всевозможных кривых, соединяющих заданные точки; 0 < у(х, у) <у - кусочно-непрерывная функция, характеризующая в точке (х,у) мгновенное значение скорости передвижения.
В результате решения первой подзадачи получим связный неориентированный взвешенный граф
¡¥(и,Г*), в котором I/ = Д - множество вер-
единений (ребер), причем для каждого ребра (i, к) однозначно определен его вес w(i, к) = ^.
Задача состоит в нахождении такого связного ациклического подграфа M ^ W, содержащего все вершины, что суммарный вес его ребер будет минимален:
w(M) = £ TiM ^min. (2)
(i,k )eM
Нетрудно видеть, что при v(x, y) = 1 задача (1),
(2) будет классической задачей о построении минимального остовного дерева в евклидовой метрике.
Отметим, что способ, при котором требуется отыскать кратчайшие маршруты между всеми парами объектов, является весьма затратным, поскольку для
этого необходимо решить m(m —1)/2 задач бесконечномерной оптимизации вида (1). Предлагаемый ниже алгоритм построения обобщенного минимального остовного дерева (Generalized Minimum Spanning Tree, GMST) позволяет снизить вычислительную
трудность до m — 1 за счет специальной отбраковки «лишних» ребер.
Алгоритм GMST
ШАГ 1. Из заданного множества объектов Д
(к = 1, m) выбирается один и маркируется.
ШАГ 2. Из маркированного объекта выпускается световая волна. В момент времени t световая волна достигает ближайший немаркированный объект.
ШАГ 3. Достигнутый волной объект маркируется и соединяется маршрутом с объектом-источником. Если одновременно достигаются два или более немаркированных объектов, то маркируется один. Если немаркированный объект одновременно достигается двумя или более волнами, то выбирается любой из соответствующих объектов-источников и строится маршрут.
ШАГ 4. Из каждого маркированного объекта выпускается световая волна. В некоторый момент времени t одна из световых волн достигает ближайший немаркированный объект. Если оставшихся немаркированных объектов больше двух, то выполняется шаг 3. В противном случае достигнутый волной объект маркируется и соединяется маршрутом с объектом-источником.
В результате выполнения вышеизложенного алгоритма (за конечное число шагов) будет построено кратчайшее дерево, т.е. определено множество кривых, соединяющих заданные точки и доставляющих минимум функционалу (2). Построение фронтов волн основано на оптико-геометрическом подходе, представленном в [14]. Алгоритм построения GMST фактически является обобщением известного алгоритма Прима [1] для математической модели (1), (2).
2. Построение точек Штейнера
Как уже упоминалось выше, в ряде случаев минимальное остовное дерево можно улучшить за счет введения дополнительных «перекрестков» - точек
Штейнера. Иначе говоря, необходимо определить множества дополнительных вершин В = и
дополнительных ребер В таких, что w(M *) < м/(М), где М * с Ж (и и В, Г* и В*).
Алгоритм
ШАГ 1. Для множества и строится минимальное
остовное дерево М .
ШАГ 2. Инициализируется новый подграф £ = М.
ШАГ 3. Формируется множество А троек вершин А, В, С таких, что ребра АВ и ВС принадлежат М.
ШАГ 4. Если множество А = 0 , то переходим к
шагу 7. Из множества А выбирается тройка йг, из вершин которой выпускаются световые волны. Определяется точка Ц, суммарное время достижения которой всеми волнами будет минимально возможным. Данная точка будет точкой Штейнера для йг .
ШАГ 5. Определяются ребра минимального веса, соединяющие точку Ц с вершинами ^ . Проверяется, произошло ли уменьшение суммарного веса. Если да, переходим к шагу 6, если нет, исключаем ^ из множества А и переходим к шагу 4.
ШАГ 6. Точка Ц и выходящие из нее ребра добавляются к £, ребра АгВг и ВСг из £ удаляются. Переходим к шагу 3, исключив АгВг и ВгСг из М.
ШАГ 7. Окончание работы алгоритма, подграф £ - найденное решение.
Отметим, что в случае, когда задано ограничение на максимальное число дополнительных «перекрестков», работа алгоритма может быть досрочно завершена, если оно достигнуто.
В результате работы алгоритма будет построено
дерево £ , которое, по крайней мере, не хуже минимального остовного дерева М, хотя далеко не всегда является деревом Штейнера. Однако указанное обстоятельство компенсируется тем, что вычислительная трудность не превышает 0(т2), где т -число вершин в графе, и, соответственно, предложенный алгоритм находит решение за полиномиальное время.
3. Вычислительный эксперимент
Пример 1. Данный пример иллюстрирует работу алгоритма СМБТ в не евклидовой метрике, которая порождается функцией
х, у) = (х2 + у2) / (1 + х2 + у2) в области Ц = {-2 < х < 2; -2 < у < 2} (рис. 3).
Нетрудно убедиться, что построенные деревья существенным образом отличаются друг от друга как по составу ребер, так и по их геометрии, поскольку в первом случае все ребра, очевидно, являются отрезками прямых, а во втором - часть ребер имеет заметные искривления.
Пример 2. Здесь решается задача из примера 1 в случае, когда в систему можно вводить неограниченное число перекрестков. Результаты решения представлены на рис. 4. Длина минимального остовного дерева составляет 6437, дерева с одним «перекрестком» - 6404, с двумя - 6400, с тремя - 6379 условных единиц. Введение четвертой и последующих точек Штейнера в соответствии с предложенным алгоритмом не приводит к дальнейшему сокращению длины дерева, что, впрочем, не означает неулучшаемость полученного решения с помощью каких-либо других алгоритмов.
Рис. 3. Минимальное остовное дерево: слева - в евклидовой метрике; справа - в метрике,
порожденной функцией у(х, у)
Рис. 4. Дерево с одной, двумя и тремя точками Штейнера
Пример 3. Решается задача определения оптимального маршрута с учетом экологических ограничений. Пусть в рассматриваемой области имеются источники загрязнений, уровни выбросов которых известны, не зависят от времени, а скорость рассеивания постоянна.
Данная задача является частным случаем задачи (1)—(2), когда задано всего два объекта:
A(x, y) е D B(x7, y) е D R
v 1'-71/ , v 2'-72У - и требуется определить оптимальный по стоимости маршрут, учитывая экологические ограничения. Не ограничивая общности, будем полагать, что стоимость маршрута прямо пропорциональна времени его прохождения, тогда
будем искать следующую кривую Г е G, соединяющую точки A и B:
„* . г dГ Г = arg min I—--, (3)
Г Гz(x y)
где z(x,y) = (1~a)v(x,y) + ag(x,y), «е[0;1], g (x, y) - функция штрафа за нарушение экологических ограничений.
Рассмотрим
область
Ц = {-11 < х < 11;-11 < у < 11}, в которой имеются два источника выбросов: р с координатами (18,32) и мощностью 3 условных единицы и Р с координатами (89,85) и мощностью 1. Значение функции g (х, у) прямо пропорционально концентрации загрязняющих веществ в точке (х, у). Рельеф местности у(х, у) определяется аналогично примеру 1 с вершиной «горы» в точке (34,37) .
На рис. 5 представлены линии уровней концентрации загрязняющих веществ (увеличивается от светлого к темному), линии уровня высот (серые) и оптимальные маршруты без учета экологических ограничений (а = 0), без учета рельефа (а = 1), с равным влиянием двух ограничений (а = 0.5).
В таблице представлена структура затрат на прокладку маршрута (в условных единицах).
а=0,5
Рис. 5. Оптимальные маршруты
Структура затрат на прокладку маршрута (усл. ед.)
a Затраты по преодолению рельефа Штраф за нарушение экологических требований Затраты суммарные
1 2436 733 3169
0,5 2302 811 3113
0 2258 906 3164
Заключение
В статье построена математическая модель оптимальной сети коммуникаций (транспортных, инженерных, телекоммуникационных), которая имеет вид неориентированного графа в метрическом пространстве размерности два. Она позволяет более полно (по сравнению с обычными графовыми моделями) учесть особенности местности за счет использования специальной метрики, которая, вообще говоря, на обязана быть евклидовой, но может являться таковой.
Предложено два варианта модели: без ветвления ребер и с «перекрестками» (точками Штейнера). Описаны и программно реализованы численные методы их исследования, основанные на физических аналогиях (оптико-геометрический подход). Разработанный метод позволяет найти минимальное остовное дерево, являющееся оптимальным решением в случае, когда ветвления невозможны или нецелесообразны.
Также предложена процедура улучшения минимального остовного дерева за счет добавления точек Штейнера в случае, когда ветвления допускаются. Указанная процедура, вообще говоря, не дает возможности найти глобальный оптимум. Тем не менее, поскольку эффективные алгоритмы, позволяющие построить решение проблемы Штейнера за полиномиальное время, до сих пор не найдены даже для евклидовой метрики, более того, маловероятно, что они будут вообще когда-либо получены, то результат, по мнению авторов, представляет определенный интерес как с точки зрения развития методов вычислительной математики, так и с точки зрения возможных приложений.
Исследование выполнено при частичной поддержке РФФИ, коды проектов 14-07-00222, 13-0700653.
Статья поступила 10.11.2014 г.
Библиографический список
1. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ / под ред. И.В. Красикова. М.: Ви-льямс, 2005. 1296 с.
2. Hwang F.K., Richards D.S., Winter P. The Steiner tree problem. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 1992. 352 p.
3. Гордеев Э.Н., Тарасцов О.Г. Задача Штейнера. Обзор // Дискретная математика. 1993. Вып. 2. С. 3-28.
4. Melzak Z.A. On the problem of Steiner. Canad. Math. Bull // 1961. V. 4. P. 143-148.
5. Melzak Z.A. Companion to concrete mathematics, Wiley-Interscience, New York, 1973.
6. Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 424 с.
7. Лисин А.В., Файзуллин Р.Т. Эвристический алгоритм поиска приближенного решения задачи Штейнера, основанный на физических аналогиях // Компьютерная оптика. 2013. Т. 37, № 4. С. 503-510.
8. Вебер А. Теория размещения промышленности. М.-Л.: Книга, 1926. 223 c.
9. Казаков А.Л., Журавская М.А., Лемперт А.А. Вопросы сегментации логистических платформ в условиях становления региональной логистики // Транспорт Урала. 2010. № 4. С. 17-20.
10. Казаков А.Л., Лемперт А.А. Об одном подходе к решению задач оптимизации, возникающих в транспортной логистике // Автоматика и телемеханика. 2011. № 7. С. 50-57.
11. Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С. Об одном численном методе решения некоторых задач оптимизации, возникающих в транспортной логистике // Вестник ИрГТУ. 2011. Т. 53, № 6. С. 6-12.
12. Бухаров Д.С., Казаков А.Л. Программная система «ВИ-ГОЛТ» для решения задач оптимизации, возникающих в транспортной логистике // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2012. Т.
13. № 2 (26). С. 65-74.
13. Журавская М.А., Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С. О методе решения задачи оптимальной прокладки высокоскоростных железнодорожных магистралей с учетом региональных особенностей // Транспорт: наука, техника, управление. 2012. № 2. С. 41-44.
14. Лемперт А.А., Казаков А.Л., Бухаров Д.С. Математическая модель и программная система для решения задачи размещения логистических объектов // Управление большими системами: сборник трудов. 2013. № 41. С. 270-284.
15. Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С. К вопросу о сегментации логистических зон для обслуживания непрерывно распределенных потребителей // Автоматика и телемеханика. 2013. № 6. С. 87-100.
