CC BY
38
УДК 519.6+004.4
DOI 10.17150/2500-2759.2016.26(6).1031-1038
АЛГОРИТМ РАЗМЕЩЕНИЯ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ЦЕНТРОВ В ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ ПРИ ТОЧЕЧНОМ И НЕПРЕРЫВНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
А. А. Лемперт1, Нгуен Гуй Лием2, Ле Куанг Мынг2
1 Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук, г. Иркутск, Российская Федерация
2 Иркутский национальный исследовательский технический университет, г. Иркутск, Российская Федерация
Информация о статье
Дата поступления 3 ноября 2016 г.
Дата принятия к печати 21 ноября 2016 г.
Дата онлайн-размещения 30 декабря 2016 г.
Ключевые слова
Проблема размещения; логистический центр; неевклидова метрика; оптико-геометрический подход;численный метод; вычислительный эксперимент
Финансирование
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проекты № 14-07-00222, 16-06-00464
Аннотация
Статья посвящается широко известной проблеме, касающейся оптимального размещения логистических центров в заданной области при точечном и непрерывном распределении потребителей. Критерием оптимальности в данном случае является обеспечение максимальной доступности для «интегрального» клиента (минимум суммарного времени достижения логистического центра для всех потребителей). Обычно при решении подобного рода задач все клиенты предполагаются либо расположенными в конкретных точках, либо распределенными по полигону обслуживания с некоторой (переменной или постоянной) плотностью. Однако на практике встречаются ситуации, например, при рассмотрении крупных городских агломераций, когда целесообразно комбинированно использовать оба этих подхода. В работе предложена авторская математическая формализация рассматриваемой проблемы, разработан численный метод исследования построенной модели, базирующийся на принципах геометрической оптики Гюйгенса (построение фронтов вторичных волн) и Ферма (перемещение луча света по кратчайшему пути между точками) и использующий аналогию между построением траектории движения светового луча в оптически неоднородной среде и нахождением минимума интегрального функционала. Выполнена программная реализация разработанного алгоритма, проведен вычислительный эксперимент, который показал практическую применимость предложенного подхода.
AN ALGORITHM FOR LOCATING LOGISTICS CENTERS FOR THE POINT AND CONTINUOUS DISTRIBUTION OF CONSUMERS
Anna A. Lempert1, Nguyen Huy Liem2, Le Quang Mung2
1 Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, Russian Federation
2 Irkutsk National Research Technical University, Irkutsk, Russian Federation
Article info
Received November 3, 2016
Accepted November 21, 2016
Available online December 30, 2016
Keywords
Facility location problem; logistics center; non-Euclidean metric; optical-geometrical approach; numerical method; computational experiment
Abstract
This paper addresses a well-known facility location problem for the discrete and continuous distribution of consumers. In this case, the optimali-ty criterion is to ensure maximum availability for an integral client. In other words, we want to provide the minimum total time required to reach a logistics center by all consumers. Usually, such statements of problems assume that all clients are either located at given points or distributed with a variable or constant density. However, in real life situations, for example, when we consider large urban agglomerations, it is beneficial to employ both of these approaches together. In this paper, we suggest a mathematical model and a numerical method based on the two principles of the geometrical optics: the Huygens principle (secondary waves propagation) and the Fermat principle (the path taken between two points by a ray of light is the path that can be traversed in the least time). The technique that we propose uses the similarity between plotting trajectories
© А. А. Лемперт, Нгуен Гуй Лием, Ле Куанг Мынг, 2016
Ф П ч
01 И 5<
а
л г
п *
о
о
о
а ^
о ч
я ф
X X
о
п
о у
X
ф ^
п S
ч
ф
ч
2 О
2 ,
Z
ю
С
о
ы
о
ы
09
Financing
This research has been partly supported by the Russian Foundation for Basic Research, Projects no. № 14-07-00222, 16-06-00464
for a ray of light moving in optically inhomogeneous medium and finding the minimum of an integral functional. The method was implemented and computationally tested. Results of numerical experiments demonstrated practical applicability of the approach proposed.
Транспортно-логистическая система является важной частью социальной и производственной инфраструктуры любого государства, поэтому вопросы ее оптимизации с целью получения определенного экономического эффекта остаются актуальными и на сегодняшний день [1; 2]. В частности, для оптимизации транспортно-логистических систем необходимо решить ряд проблем, из которых наиболее известными и содержательными являются проблемы, касающиеся оптимального размещения одного или нескольких логистических обслуживающих центров и организации коммуникаций между этими логистическими узлами [1; 3; 4]. Иначе говоря, необходимо определить расположение распределительных центров (складов) относительно потребителей и поставщиков и построить соединяющие их маршруты, чтобы суммарные затраты (расстояние, время доставки, стоимость перевозимых грузов, расходы на строительство подъездных путей и новых распределительных центров и т. д.) достигали минимального значения.
Обозначенным проблемам посвящены десятки тысяч работ, однако стоит отметить лишь некоторые из них, наиболее близко относящиеся к настоящему исследованию. Как правило, для решения указанных проблем применяются методы теории графов [5; 6] или различных модификаций задач линейного и дискретного программирования [4; 7]. В частности, если говорить об оптимальном размещении логистических центров, то чаще всего используют традиционный метод «центра тяжести» для размещения одного центра [4] и метод кластеризации «к-средних» в случае нескольких центров [8; 9]. Проблема оптимальной организации коммуникаций обычно решается путем построения минимального остового дерева [10; 11].
В большинстве случаев алгоритмы решения логистических задач работают с евклидовым расстоянием между объектами, при этом особенности рельефа местности и наличие естественных преград (горы, овраги, водоемы), остаются неучтенными. Для устранения этого недостатка предлагается технология решения логистических задач, основанная на аналогии между распространением света в оптически неоднородной среде
и минимизацией интегрального функционала (оптико-геометрический подход) [12-16], в частности, ранее уже исследовались проблемы оптимального размещения логистических центров при точечном распределении потребителей [14; 16] и оптимизации системы коммуникаций с учетом региональных осо-бенностей[12; 15].
В данной работе рассматривается проблема оптимального размещения логистических центров в некоторой области при наличии как одиночных (точечных) потребителей, так и непрерывно распределенных по ней. Для ее решения предлагается вычислительный алгоритм и представлен вычислительный эксперимент.
Отметим, что в этом исследовании продолжается работа авторов по изучению транс-портно-логистических систем регионального уровня. Оно имеет практическое значение, поскольку позволяет решить большое количество прикладных задач логистики: размещение новых логистических узлов (железнодорожных станций, аэропортов), больших супермаркетов, рынков и других объектов, расположенных вне населенных пунктов.
Далее необходима математическая формализация проблемы.
Пусть в некоторой ограниченной области D с R2 задана непрерывная функция 0 <f(x,y) <ß, определяющая мгновенную скорость движения в любой точке. Минимальное время передвижения между точками a и b определяется следующим образом:
г dr
т(а, b) = min I-, (1)
гееа b)J f(x, y)
где G(a, b) — множество всех возможных непрерывных кривых, лежащих в D и соединяющих точки a и b.
Пусть имеется заданное количество ограниченных областей P. с D, j = 1, m с плотностью населения рДх, у), соответственно, число потребителей обозначим как
N =Ifp;x У) dxdy. (2)
pj
Кроме того, имеются потребители с объемом потребления bi, расположенные в следующих точках:
m ___
Bt(x, у,.) е D \ U P, j = 1, m, i = 1, n.
j = 1
Необходимо определить расположение логистических центров
Q = {Qk (xk, yk) g p, j = iTm, k = Vr},
чтобы суммарное время достижения потребителями ближайшего узла было минимальным.
Введем в рассмотрение множества номеров точечных и распределенных потребителей, обслуживаемых центром Qk, k = 1, r:
Ik = {i: T(Qk, Bi) < x(Qp, Bi), p = im} (3)
и
Jk = {j : T(Qk, dPj) < T(Qp, dPj), p = im (4)
соответственно.
Тогда для решения поставленной задачи необходимо минимизировать функционал
r Г ^
X ZbtQ,Bi) + £ Nx(Qk, 6Pj) . (5) k = i VieIk jeJk У
Далее предлагается вычислительный алгоритм, являющийся интеграцией и развитием численных методов, используемых в авторских работах [i4; i5; 17], который базируется на аналогии между распространением световой волны в оптически неоднородной среде и отысканием минимума интегрального функционала.
Алгоритм вычисления: _
1. Для каждой области P. с D, j = 1, m находятся координаты Oj(xo ,yo ) центра покрывающего ее круга минимального радиуса в смысле заданной метрики (1) с помощью алгоритма, предложенного в работе А. Л. Казакова «Алгоритм построения оптимальных покрытий равными кругами невыпуклых многоугольников с неевклидовой метрикой» [17]. По формуле (2) подсчитыва-ется число потребителей Nj.
2. Задаются начальные координаты логистических центров Qk, k = 1, r методом случайной генерации положений. Если какое-либо из начальных расположений оказывается в одной из областей Pj, то производится перегенерация.
3. Производится сегментация области D на заданное количество зон r относительно точек Qk, k = 1, r, аналогичная процедура представлена в работе «Об одном подходе к решению задач оптимизации, возникающих в транспортной логистике» [13]. Определяются множества Ik и Jk, k = 1, r по правилам (3) и (4) соответственно. Таким образом, для всех Bi, i = 1, n и Oj, j = 1, m устанавливается принадлежность к зоне обслуживания предприятия Qk, k = 1, r.
4. Для каждой зоны обслуживания предприятия Qk находится круг минимального радиуса, покрывающий точки Bi, i е Ik и Oj,
j e Jk, k = 1, r. Для этого из этих точек выпускаются световые волны, скорость которых прямо пропорциональна соответствующим объемам потребления. Первая точка, которой достигли все выпущенные волны, будет центром искомого круга Qk. Затем переходим к сегментации области D на зоны r с
Qk := Qk.
Процесс переопределения координат (3 и 4 пункты алгоритма) повторяется до тех пор, пока изменяются координаты хотя бы одного предприятия Qk.
5. Определяется суммарное время обслуживания логистическими центрами «своих» потребителей с учетом их мощности. Запоминается конечное положение Qk и соответствующее ему суммарное время. Если заданное число запусков случайной генерации начальных положений не достигнуто, переходим ко 2-му пункту алгоритма.
6. Из сохраненных конечных положений Qk (после реализации пункта 5 алгоритма вычисления) выбирается то, которому соответствует минимальное суммарное время.
Тестирование предложенного алгоритма проводилось с использованием персонального компьютера конфигурации Intel(R) Core(TM) i7-5500U (частота 2,4 ГГц, 8 Гб ОЗУ) и операционной системой Windows 10. Алгоритм реализован на языке программирования С# с помощью пакета Visual Studio 2013.
Пример 1. Приводится сравнение скорости работы предложенного алгоритма со скоростью работы алгоритма решения задачи размещения логистических центров при точечном распределении потребителей. Введем евклидову метрику f(x, у) = 1, функцию плотности распределения потребителей p(x, у) = 1. Получим результаты расчетов в случае одной зоны с непрерывным распределением потребителей (серый квадрат) при увеличении ее площади (рис. 1).
Приведем результаты сравнения скорости известного и предложенного алгоритмов (табл. 1).
Таким образом, можно увидеть, что время работы предложенного алгоритма значительно меньше, чем время работы точечного алгоритма. При этом в случае, когда количество потребителей более 10 000, точечный алгоритм использовать невозможно.
Пример 2. Введем линейную метрику f(x, у) =1 + kx, две населенных области с функцией плотности распределения потребителей р(х, у) =1 + kx + k2y. При этом заданы координаты точечных потребителей (табл. 2) и описаны области непрерывно распределенных потребителей (табл. 3).
ф
п ч
01 И 5<
а
л т
п *
о
о
о
а
и ^
о ч
я ф
X X
о
п
о у
X
ф ^
п S
ч
ф
ч
2 О
2
Z
10
С
о
ы
о
ы
09
а б в
Рис. 1. Результаты размещения одного логистического центра при увеличении площади зоны непрерывного распределения потребителей
Сравнение скорости работы алгоритмов
Таблица 1
Результат размещения логистического центра при увеличении зоны непрерывного распределения потребителей Число потребителей в зоне непрерывного распределения P, чел. Время работы точечного алгоритма told, сек. [13] Время работы предложенного алгоритма tnew, сек. At = ^new
А 125 5,90 2,08 2,84
Б 965 28,83 5,30 5,44
В 3 725 101,63 9,29 10,94
Точечное
Таблица 2 распределение потребителей
Потребители Координаты, км Количество человек
X Y
1 5 5 200
2 95 5 1 100
3 95 95 200
4 5 95 1 000
5 5 50 100
6 5 25 200
7 90 25 200
8 90 50 100
9 90 75 200
10 25 5 100
11 50 5 200
12 75 5 100
13 25 90 200
14 50 90 100
15 75 95 200
Таблица 3 Непрерывные населенные области
Область Вершины Координаты, км
X Y
1 1 55 20
2 70 15
3 75 25
4 75 40
5 60 45
6 45 35
2 1 20 55
2 27 45
3 35 65
4 30 80
5 25 75
Представим результаты расчетов по размещению двух логистических центров в случае, когда потребители в «непрерывных» зонах распределены равномерно р(х, у) = 1 (рис. 2), а также центров с функцией плотности р(х, у) = 1 + х (рис. 3).
У
Рис. 2. Оптимальное размещение двух логистических центров с двумя непрерывными областями расположения потребителей
Черные точки на рис. 2—3 — точечные потребители, звезды — логистические центры, круги — оптимальные места выхода потребителей из «непрерывных» зон, серые многоугольники — области непрерывного распределения потребителей, черные линии — кратчайшие маршруты к логистическим центрам.
Точечное
Таблица 5 распределение потребителей
У
Рис. 3. Оптимальное размещение двух логистических центров при к = 0,01; к1 = 1; к2 = 0
Очевидно, что расположение логистических центров смещается в сторону «непрерывных» областей при увеличении общего числа расположенных в них потребителей (табл. 4).
Таблица 4 Координаты логистических центров
Рисунок Общее число потребителей, чел. Координаты, км Суммарное время, сек.
X Y
2 910 90 10 190,072
5 95
3 1 820 80 20 205,862
17 85
Пример 3. Введем линейную метрику f(x, У) =1 + 0,01 х, три непрерывно населенных многоугольных области с функцией плотности распределения потребителей р(х, у) = 1 + х + у. Зададим расположение точечных потребителей (табл. 5) и координаты вершин областей с непрерывным распределением населения (табл. 6).
Потребители Координаты,км Количество
X Y человек
1 5 5 100
2 95 5 1 500
3 95 95 1 000
4 5 95 900
5 5 50 100
6 5 25 200
7 90 25 200
8 90 50 100
9 90 75 200
10 25 5 100
11 50 5 200
12 75 5 100
13 25 90 200
14 50 90 100
15 75 95 200
Таблица 6 Непрерывные населенные области
Область Вершины Координаты, км
X Y
1 1 55 20
2 70 15
3 75 25
4 75 40
5 60 45
6 45 35
2 1 20 55
2 27 45
3 35 65
4 30 80
5 25 75
3 1 80 75
2 72 83
3 60 75
4 66 60
5 75 55
Результаты задачи размещения двух и трех логистических центров можно представить графически (рис. 4).
У
Рис. 4. Оптимальное размещение двух (а) и трех (б) логистических центров с тремя непрерывными областями расположения потребителей
ф п ч
01 И 5<
а
л т
п *
о
о
о
а ^
о ч
я ф
X X
о
п
о у
X
ф ^
п S
ч
ф
ч
2 О
2 ,
Z
ю
С
о
ы
о
ы
09
Итоговое время движения всех потребителей
Таблица 7
Количество логистических центров Координаты T, сек.
2* (62; 69), (95; 5) 161,102
3* (5; 90), (85; 15), (90; 90) 116,380
4 (90; 90), (10; 90), (54; 21), (95; 5) 84,159
5 (25; 5), (90; 90), (95; 5), (76; 31), (5; 95) 68,037
6 (5; 95), (64; 78), (5; 25), (95; 95), (95; 5), (76; 31) 57,469
7 (90; 90), (50; 5), (95; 5), (5; 95), (90; 50), (76; 31), (5; 55) 56,218
8 (5; 95), (50; 5), (11; 5), (0; 0), (5; 25), (79; 69), (64; 44), (95; 5) 52,155
9 (76; 31), (50; 5), (11; 5), (0; 0), (5; 25), (95; 5), (22; 65), (5; 95), (90; 90) 46,733
10 (95; 95), (76; 31), (95; 5), (62; 69), (50; 5), (90; 75), (5; 95), (22; 65), (5; 25), (90; 25) 32,362
* Данные по двум и трем логистическим центрам приведены на рис. 4а и 46 соответственно. Для логистических центров, представленных в большем количестве, информация отсутствует.
Приведем результаты решения: координаты размещенных логистических центров и суммарное время их достижения потребителями (табл. 7).
С учетом приведенных данных (см. табл. 7) можно сделать вывод, что если количество логистических центров увеличивается, то суммарное время достижения потребителями соответствующих (ближайших) логистических центров уменьшается. При этом скорость убывания суммарного времени достижения замедляется с ростом числа обслуживающих центров.
Таким образом, в ходе проведенного исследования разработаны новая математическая модель и численный алгоритм для решения обозначенной проблемы. Выполнена программная реализация разработанного алгоритма, указывающая на его преимущества при сравнении времени его работы с временем работы точечного алгоритма. Проведен численный эксперимент, который показал, что предложенный подход может применяться для решения ряда прикладных задач с практическим значением.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Логистика : учеб. пособие / под ред. Б. А. Аникина. — 2-е изд. — М. : Инфра-М, 2001. — 327 с.
2. Оценка влияния размещения складской сети на транспортные расходы / В. С. Лукинский, A. A. Бочка-рев, О. Ю. Пеховский, И. А. Цвиринько // Экономика и менеджмент на транспорте : сб. науч. тр.— СПб. : С.-Петерб. инж.-экон. ун-т, 2002. — Вып. 2. — C. 99-106.
3. Копылова О. А. Методика выбора мест размещения транспортно-логистических центров / О. А. Ко-пылова, А. Н. Рахмангулов // Актуальные проблемы современной науки, техники и образования : материалы 69-й науч.-техн. конф. — Магнитогорск : Изд-во Магнитогор. гос. техн. ун-та им. Г. И. Носова. — 2011. — Т. 1. — С. 13-16.
4. Модели и методы теории логистики / В. С. Лукинский, В. В. Лукинский, Ю. В. Малевич [и др.]. — СПб. : Питер, 2007. — 448 с.
5. Лотарев Д. Т. Цифровая модель местности для задачи размещения коммуникаций / Д. Т. Лотарев // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 12. — C. 41-49.
6. Лотарев Д. Т. Размещение транспортных сетей на неоднородной территории / Д. Т. Лотарев, А. П. Уз-демир // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 7. — C. 117-127.
7. An effective heuristic for large-scale capacitated facility location problems / P. Avella, M. Boccia, A. Sforza, I. Vasil'ev // Journal of Heuristics. — 2009. — Vol. 15, № 6. — P. 597-615.
8. Мандель И. Д. Кластерный анализ / И. Д. Мандель. — М. : Финансы и статистика, 1988. — 176 c.
9. MacQueen J. Some methods for classification and analysis of multivariate observations / J. MacQueen // Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability / ed. by Lucien M. Le Cam, Jerzy Neyman. — Berkeley : University of California Press, 1967. — Vol. 1. — P. 281-297.
10. Иванов А. О. Теория экстремальных сетей / А. О. Иванов, А. А. Тужилин. — М. ; Ижевск : Ин-т компьютер. исслед., 2003. — 424 с.
11. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн ; под ред. И. В. Красикова. — М. : Вильямс, 2005. — 1296 с.
12. О методе решения задачи оптимальной прокладки высокоскоростных железнодорожных магистралей с учетом региональных особенностей / А. Л. Казаков, М. А. Журавская, А. А. Лемперт, Д. С. Бу-
харов // Транспорт: наука, техника, управление : науч.-информ. сб. — М. : ВИНИТИ РАН, 2012. — Вып. 2. — С. 41-44.
13. Казаков А. Л. Об одном подходе к решению задач оптимизации, возникающих в транспортной логистике / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 7. — С. 50-57.
14. Казаков А. Л. К вопросу о сегментации логистических зон для обслуживания непрерывно распределенных потребителей / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт, Д. С. Бухаров // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 6. — С. 87-100.
15. Казаков А. Л. Оптимизация системы коммуникаций с учетом региональных особенностей: Математическая модель и численный метод / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт, Гуй Лием Нгуен // Вестник Иркутского государственного технического университета. — 2014. — № 12. — С. 17-23.
16. Лемперт А. А. Математическая модель и программная система для решения задачи размещения логистических объектов / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт, Д. С. Бухаров // Управление большими системами : сб. тр. — M. : Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2013. — Вып. 41. — С. 270-284.
17. Казаков А. Л. Алгоритм построения оптимальных покрытий равными кругами невыпуклых многоугольников с неевклидовой метрикой / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт, Г. Л. Нгуен // Вестник Иркутского государственного технического университета. — 2016. — № 5 (112). — С. 45-55.
REFERENCES
1. Anikin B. A. (ed.). Logistika [Logistics]. 2nd ed. Moscow, Infra-M Publ., 2001. 327 p.
2. Lukinskii V. S., Bochkarev A. A., Pekhovskii O. Yu., Tsvirin'ko I. A. Evaluation of the impact of the stocks network on transportation costs. Ekonomika i menedzhment na transporte [Economics and management in transport]. Saint Petersburg State University of Engineering and Economics, 2002, iss. 2, pp. 99-106. (In Russian).
3. Kopylova O. A., Rakhmangulov A. N. The selection procedure for locating transport and logistics centers. Aktual'nye problemy so-vremennoi nauki, tekhniki i obrazovaniya. Materialy 69-i nauchno-tekhnicheskoi konfe-rentsii [Relevant Issues of Modern Science, Technology, and Education. Proceedings of the 69th Research Conference]. Magnitogorsk State Technical University Publ., 2011, vol. 1, pp. 13-16. (In Russian).
4. Lukinskii V. S., Lukinskii V. V., Malevich Yu. V. et al. Modeli i metody teorii logistiki [Models and methods of the logistics theory]. Saint Petersburg, Piter Publ., 2007. 448 p.
5. Lotarev D. T. Digital modeling of areas for locating communication lines. Avtomatika i telemekhanika = Automatics and Telemechanics, 1999, no. 12, pp. 41-49. (In Russian).
6. Lotarev D. T., Uzdemir A. P. Location of transport nets on a heterogeneous territory. Avtomatika i telemekhanika = Automatics and Telemechanics, 2002, no. 7, pp. 117-126. (In Russian).
7. Avella P., Boccia M., Sforza A., Vasil'ev I. An effective heuristic for largescale capacitated facility location problems. Journal of Heuristics, 2009, vol. 15, no. 6, pp. 597-615.
8. Mandel' I. D. Klasternyi analiz [Cluster Analysis]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1988. 176 p.
9. MacQueen J. Some methods for classification and analysis of multivariate observations. In Le Cam Lucien M., Neyman Jerzy (eds). Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Berkeley, University of California Press, 1967, vol. 1, pp. 281-297.
10. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Teoriya ekstremal'nykh setei [Extreme networks theory]. Moscow, Izhevsk, Institute of Computer Science Publ., 2003. 424 p.
11. Cormen Thomas H., Leiserson Charles E., Rivest Ronald L., Stein Clifford. Introduction to Algorithms. 2nd; ed. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. 1180 p. (Russ. ed.: Cormen T., Leiserson Ch., Rivest R., Stein K.; Krasikov I. V. (ed.). Algoritmy: postroenie i analiz. Moscow, Vil'yams Publ., 2005. 1296 p.).
12. Kazakov A. L., Zhuravskaya M. A, Lempert A. A, Bukharov D. S. A method for solving the problem of construction of high speed railroads subject to regional specificities. Transport: nauka, tekhnika, upravlenie [Transport: science, technology, management]. Moscow, Russian Institute for Scientific and Technical Information (VINITI RAS) Publ., 2012, iss. 2, pp. 41-44. (In Russian).
13. Kazakov A. L., Lempert A. A. An approach to solving optimization problems in transport logistics. Avtomatika i telemekhanika = Automatics and Telemechanics, 2011, no. 7, pp. 50-57. (In Russian).
14. Kazakov A. L., Lempert A. A., Bukharov D. S. On segmenting logistical zones for servicing continuously developed consumers. Avtomatika i telemekhanika = Automatics and Telemechanics, 2013, no. 6, pp. 87-100. (In Russian).
15. Kazakov A. L., Lempert A. A., Nguyen Huy Liem. Communication system optimization considering regional features: a mathematical model and a numerical method. VestnikIrkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo uni-versiteta = Bulletin of Irkutsk State Technical University, 2014, no. 12, pp. 17-23. (In Russian).
16. Lempert A. A., Kazakov A. L., Bukharov D. S. Mathematical model and program system for solving a problem of logistic objects placement. Upravlenie bol'shimi sistemami [Management of large systems]. Moscow, Institute of Control Sciences RAS, Publ., 2013, iss. 41, pp. 270-284. (In Russian).
17. Kazakov A. L., Lempert A. A., Nguen Gui Liem. Algorithm for the equal circles optimal covering problem for non-convex poligons with non-euclidean metric. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universite-ta = Bulletin of Irkutsk State Technical University, 2016, no. 5 (112), pp. 45-55. (In Russian).
Ф 0 4
01 И 5<
а
л т
n *
о
о
о
а
и ^
о ч
я ф
X X
о
п
о у
X
ф ^
п S
н
ф
ч
2 О
2
Z
10
С
о
ы
о
ы
09
Информация об авторах
Лемперт Анна Ананьевна — кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, е-таП: lempert@icc.ru.
Нгуен Гуй Лием — аспирант, Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83, е-таН: nguyenhuyliem225@gmail.com.
Ле Куанг Мынг — аспирант, Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83, e-mail: quangmungle2010@gmail.com.
Библиографическое описание статьи
Лемперт А. А. Алгоритм размещения логистических центров в заданной области при точечном и непрерывном распределении потребителей / А. А. Лемперт, Нгуен Гуй Лием, Ле Куанг Мынг // Известия Байкальского государственного университета. — 2016. — Т. 26, № 6. — С. 1031-1038. — DOI: 10.17150/2500-2759.2016.26(6).1031-1038.
Authors
Anna A. Lempert — PhD in Physics and Mathematics, Leading Researcher, Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 134 Lermontov St., 664033, Irkutsk, Russian Federation, e-mail: lempert@icc.ru.
Nguyen Huy Liem — PhD student, Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., 664074, Irkutsk, Russian Federation, e-mail: nguyenhuyliem225@gmail.com.
Le Quang Mung — PhD student, Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., 664074, Irkutsk, Russian Federation, e-mail: quangmungle2010@gmail.com.
Reference to article
Lempert A. A., Nguyen Huy Liem, Le Quang Mung. An algorithm for locating logistics centers for the point and continuous distribution of consumers. Izvestiya Baikal'skogo gosudarstvennogo univer-siteta = Bulletin of Baikal State University, 2016, vol. 26, no. 6, pp. 1031-1038. DOI: 10.17150/2500-2759.2016.26(6).1031-1038. (In Russian).
