CC BY
61
УДК 519.658, 519.673
ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТРАНСПОРТНОЙ ЛОГИСТИКЕ
1 о _ о
А.Л.Казаков1, А.А.Лемперт2, Д.С.Бухаров3
1,2Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Предлагается новый метод решения актуальных оптимизационных задач транспортной логистики, основанный на аналогии между геометрической оптикой и отысканием глобального экстремума функционала. Разработаны алгоритмы численного решения рассмотренных задач, выполнена их программная реализация. Проведена апробация метода на модельных задачах, а также решена прикладная задача идентификации и сегментации логистических зон утилизации старых автомобилей в Иркутской области. Ил. 8. Табл. 1. Библиогр. 15 назв.
Ключевые слова: математическая модель; численный метод; программное обеспечение; транспортная логистика.
ON A NUMERICAL METHOD TO SOLVE SOME OPTIMIZATION PROBLEMS OCCURRING IN TRANSPORT LOGISTICS
A.L. Kazakov, A.A. Lempert, D.S. Bukharov
Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS, 134, Lermontov St., Irkutsk, 664033. National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
A new method for solving urgent optimization problems of transport logistics is suggested. It is based on an analogy between the geometrical optics and the search for the global extremum of a functional. The algorithms for numerical solution of examined problems are designed. Their program realization is performed. The method was tested by model problems, and the applied problem of identification and segmentation of logistic areas of old autos utilization in the Irkutsk region was solved. 8 figures. 1 table. 15 sources.
Key words: mathematical model; numerical method; software; transport logistics.
Введение. В данной работе предлагается новый метод решения известных оптимизационных задач транспортной логистики, сохраняющих актуальность до настоящего времени: задача об оптимальном маршруте, задача об оптимальном размещении логистического центра, задача идентификации и сегментации логистических зон. Как правило, для решения таких задач используется аппарат теории графов или различные модификации задач математического программирования [1-3].
Для решения задачи об оптимальном размещении логистического центра традиционно используется метод «центра тяжести» [1, а383], основанный на отождествлении логистической системы с системой материальных точек. Достоинством указанного метода является его простота и универсальность. Однако очевиден и недостаток, заключающийся в том, что не используется в полном объеме информация о рельефе местности и наличии естественных преград.
В последние годы в научной литературе стали появляться работы, в которых для решения задачи идентификации и сегментации логистических зон применяются методы кластеризации, основанные на теории нечетких множеств [4, 5]. Недостатком данных методов является использование дискретных моделей, которые не всегда хорошо описывают реальный процесс (например, «теряется» значительная часть населения при дискретизации данных). В [6] представлено решение данной проблемы путем рассмотрения задачи кластеризации в непрерывной постановке.
В качестве метода исследования нами используется подход, основанный на аналогии с геометрической оптикой и отысканием глобального экстремума функционала, идея которого восходит к Иоганну Бер-нулли [7]. Однако данный подход до сих пор не получил широкого распространения. Авторам известны только работы В. В. Башурова, который применял по-
1 Казаков Александр Леонидович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел.: (3952) 453033, e-mail: kazakov@icc.ru
Kazakov Alexander, Doctor of Physical and Mathematical sciences, Leading Researcher, tel.: (3952) 453033, e-mail: kazakov@icc.ru
2Лемперт Анна Ананьевна, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, тел.: (3952) 453030, e-mail: lempert@icc.ru
Lempert Anna, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Research Worker, tel.: (3952) 453030, e-mail: lempert@icc.ru
3Бухаров Дмитрий Сергеевич, аспирант, e-mail: bukharovds@gmail.com Bukharov Dmitry, Postgraduate, e-mail: bukharovds@gmail.com
добный метод для решения задач безопасности [8, 9].
Для решения вышеупомянутых различных логистических задач потребовалось разработать несколько модификаций предлагаемого метода.
1. О методе исследования. Опишем метод исследования более подробно. Пусть свет распространяется в оптически неоднородной среде. В геометрической оптике известен принцип Гюйгенса [10], суть которого заключается в следующем. Каждая точка, до которой доходит фронт световой волны, становится вторичным источником волн. Волны, выпущенные из различных источников, распространяются с различной скоростью. Через некоторый интервал времени строится огибающая вторичных волн, которая и будет являться фронтом волны. Найдя таким образом границу распространения волны, можно сделать следующий шаг по времени и построить другую огибающую, которая и будет определять фронт волны на данном шаге.
Определив подобным образом фронты распространения волны, можно приближенно построить экстремаль в виде ломаной, двигаясь от конечной до начальной точки по фронтам волны в обратном направлении по времени. Нахождение кратчайшей линии - одна из самых известных задач вариационного исчисления, при решении которой находится минимум функционала.
Отыскание минимума функционала является классической задачей вариационного исчисления [1113], для решения которой разработан обширный математический аппарат. Известен ряд методов решения задач вариационного исчисления, среди которых широкое распространение получили метод Эйлера, метод Ритца, метод Канторовича и градиентный метод. Идея метода Эйлера заключается в том, что значения функционала рассматриваются не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а на ломаных, составленных из заданного числа прямолинейных отрезков. В основу метода Ритца и метода Канторовича положена идея о поиске минимизирующей последовательности функций. Градиентный метод основан на определении вектора градиента, который указывает направление наискорейшего изменения значения целевой функции. Однако данные методы позволяют эффективно находить только локальные решения.
Предлагаемый метод позволяет эффективно решать задачу нахождения глобального экстремума путем построения траектории движения фронта световой волны, движущейся в оптически неоднородной среде.
2. Задача об оптимальном маршруте. Пусть требуется определить оптимальный в некотором смысле маршрут передвижения из пункта А в пункт В. Обычно эта задача решается методами теории графов [2]. Однако во многих случаях число возможных вариантов прокладки дороги не является конечным или даже счетным, т.е. задача не может быть адекватно формализована в рамках теории графов.
т — Р2
Пусть в некоторой ограниченной области т — Р с кусочно-гладкой границей заданы точки А(х1,у1),
B(x2,y2) и функция v(x,y)>0, определяющая мгновенную скорость в точке (x,y). Требуется найти минимальное время перемещения из точки A в точку B:
T*(M) = min J —1— dY.
KM) J v(x, y)
Г(м
С точки зрения геометрической оптики выражение (1) определяет время, за которое свет, выпущенный из точки A, достигает точки B, двигаясь в оптически неоднородной среде с местной скоростью v(x,y)=1/f(x,y) [10], где функция f(x,y)>0 характеризует проницаемость среды.
Как уже отмечалось, согласно принципу Гюйгенса каждая точка, которой достигает фронт световой волны, становится самостоятельным источником света. Таким образом, выпустив световую волну из точки A, можно построить траекторию ее движения и зафиксировать момент времени, когда волна достигнет точки B. Далее, двигаясь в обратном направлении по времени, можно восстановить траекторию движения, которая и будет искомой кривой Г(М).
3. Задача об оптимальном размещении логистического центра (склада). Предположим, что имеется n потребителей, расположенных в точках
M1(x1,y1), M2(x2,y2).....Mn(xn,yn). Требуется определить
положение одного обслуживающего их логистического центра (склада). Будем считать оптимальным такое расположение склада, при котором наибольшее время доставки груза со склада до всех n потребителей будет минимально возможным.
Г) — /?2
Пусть в некоторой ограниченной области D — R c кусочно-гладкой границей заданы точки M1(x1,y1), M2(x2,y2),...,Mn(xn,yn) и кусочно-непрерывные функции vk(x,y)>0, k=1,...,n, характеризующие в точке (x,y) скорость движения из Mk(xk, yk). Тогда для любой точки M(x,y) минимальное время доставки из M(x,y) в Mk(xk,yk) по маршруту Гк(М) вычисляется как
тк (Г (м)) = J —Ц d г.
Гк (M) vk (У) (2)
Тогда поставленная логистическая задача будет равносильна следующей вариационной: среди точек Мей требуется найти такую точку М, в которой максимальное время доставки груза
T (M) = max T*(M)
будет минимальным:
T (M *) = min T (M ).
(3)
Для построения решения задачи (3) используется следующая модификация предложенного метода: из всех точек МьМ2,...,Мп в начальный момент времени выпускаются световые волны. При ¿>0 множество точек, которых уже достигла волна с номером к, обозначается йк(1). С течением времени области йк(1) увеличиваются, т.е. Ок(^)сОк(У, если ¿2>^>0.
Если в некоторый момент I появится точка М, которая будет принадлежать всем Dk(f) одновременно, то эта точка будет являться решением задачи (3). В противном случае задача является неразрешимой (имеются точки М, и М/, между которыми перевозки невозможны). Если М* найдена, то можно построить оптимальные маршруты перевозок из М в Мк, Л=1,...д
4. Задача идентификации и сегментации логистических зон. Предположим, что имеется т логистических центров (складов), расположенных в точках А1(х1,у1), А2(х2,у2),...,Ат(хт,ут). Требуется произвести разбиение полигона обслуживания на зоны, каждая из которых обслуживается одним складом. Такая задача иногда называется в логистике «задачей идентификации и сегментации логистических зон» [5]. Будем считать оптимальным такое разбиение, при котором время доставки груза со склада до потребителей будет минимально возможным.
Г) — Г>2
Пусть в некоторой ограниченной области ^ — Л c кусочно-гладкой границей заданы кусочно-непрерывные функции ук(х,у)>0, к=1,...,т, характеризующие в точке (х,у) скорость доставки груза к-му потребителю. Тогда для любой точки А(х,у) время доставки из А(х,у) в Ак(хк,ук) по маршруту Гк(А) вычисляется как
Т (Гк (А)) = \ —Ц Л.
ЛУ I ЛГ Л > 1
Г, (Л) (У) (4)
Требуется разбить область D на m зон так, чтобы для каждой точки AeD время достижения ее из одной из точек Ak было минимальным. Иначе говоря, для каждой точки AeD требуется найти такое к, при котором минимальным будет значение T(A):
T*,(Л) = min Т*,(Л).
к к=1,...,ш к (5)
Для построения решения задачи (5) используется следующая модификация предложенного метода: из всех точек A1,A2,.,Am в начальный момент времени выпускаются световые волны, и для всех точек AeD фиксируется k(A) - номер волны, пришедшей в точку A первой. Значение k(A) определяет зону^обслуживания, к которой относится точка A. Если k(A) определяется неоднозначно (т.е. две или более волны достигают этой точки одновременно), то точка A лежит на границе зон обслуживания.
5. О вычислительном алгоритме. При построении вычислительного алгоритма решения задач возникла проблема выбора системы координат. Для решения задачи (1) удобно использовать полярную систему. Но при решении задачи (3) возникают некоторые трудности, связанные с тем, что световые волны выпускаются из нескольких различных точек. Данная проблема была решена выбором прямоугольной системы координат. Однако при этом возникли неудобства, связанные с тем, что фронт световой волны обычно имеет форму окружности или близкую к ней. Впрочем, трудность удалось достаточно успешно пре-
одолеть, проводя дискретизацию не по времени распространения волны, а по пространству с постоянным шагом Л.
В основу вычислительного алгоритма положена процедура, определяющая для каждого узла сетки А(х,у) значение времени, за которое его достигнет световая волна, выпущенная из начальной точки Ао(хо,уо). Кроме того, на каждом шаге фиксируется координата предыдущего узла сетки, что позволяет, двигаясь в обратном направлении по времени из любой точки А(х,у), которой достигла световая волна, построить экстремаль в виде ломаной. Стоит отметить, что задача может иметь несколько решений при одном и том же наборе данных.
Подобный принцип работы имеет «Волновой алгоритм Ли» [14], предназначенный для трассировки печатных плат. Однако данный алгоритм решает эффективно задачу прокладки пути только на плоскости и не фиксирует в каждой точке время ее достижения, что не позволяет адекватно решать задачу в «горной» местности с учетом естественных преград.
Для поиска оптимального размещения логистического центра в задаче (3) используется следующий алгоритм: из нескольких источников выпускаются световые волны в соответствии с вышеописанным принципом распространения волн. Для каждой точки А(х,у) фиксируется максимальное значение времени, за которое возможно добраться до данной точки. Далее среди всех точек А(х,у) ищется точка с наименьшим значением времени, которая и будет определять оптимальное расположение логистического центра.
Для идентификации зон в задаче (5) используется следующий алгоритм: из нескольких источников выпускаются световые волны. Для каждой точки А(х,у) фиксируется минимальное значение времени, за которое возможно добраться до данной точки из одного из источников света. Также для данной точки фиксируется номер этого источника света, который и определяет принадлежность точки А(х,у) к определенной логистической зоне. Если данную точку достигают две или более волн одновременно, то эта точка находится на границе логистических зон.
6. Программный продукт «Волна 1.4». На основе алгоритмов численного решения задач разработан программный продукт «Волна 1.4», позволяющий эффективно решать поставленные логистические задачи.
Программа позволяет задать ландшафт местности: заполнить таблицу вручную, загрузить из Ехсе1-файла или задать ландшафт для модельных задач (например, равнина или горная местность), а также позволяет при необходимости сохранить ландшафт в Ехсе1-файл и построить его изображение (рис. 1).
Программа позволяет задать координаты источников света (рис. 2) и сохранить их в специальном списке или в Ехсе1-файле, а также сохраняет мгновенные значения скорости света, необходимые для построения фронта волны (рис. 2), оптимальных маршрутов и сегментации логистических зон.
Рис. 1. Интерфейс программы «Волна 1.4»: вкладка «Ландшафт» (левый рисунок), вкладка «2D изображение» (правый рисунок)
Рис. 2. Интерфейс программы «Волна 1.4»: вкладка «Волна» (левый рисунок), вкладка изображение» (правый рисунок)
7. Вычислительный эксперимент. Программный продукт «Волна 1.4» протестирован на следующих примерах, для которых известны аналитические решения:
Задача 1. Я(х,у) и д(х,у) постоянные. Волна распространяется в однородной среде.
Задача 2. ^х,у) кусочно-постоянная. Здесь имеет место проход волны через границу двух сред.
Задача 3. /(х, у) = . В этом случае
решается классическая «задача о брахистохроне».
При решении задач 1-3 получено хорошее соответствие полученных численных и известных аналитических результатов.
Также были решены задачи об оптимальном размещении логистического центра и задача идентификации и сегментации логистических зон для области в виде лабиринта.
Задача 4. Лабиринт. Пусть задана область в виде лабиринта (рис. 3). Белым цветом обозначены области, являющиеся барьером для световой волны. Серым цветом обозначены проходы, причем их ширина существенно отлична от нуля.
На рис. 4 в различные моменты времени изображены фронты волн. От светло-серой до черной области время распространения фронта волны увеличивается. Черными точками обозначены места расположения источников света.
Рис. 3. Лабиринт
На рис. 5 представлено решение задачи об оптимальном размещении логистического центра (склада) между двумя потребителями, которые обозначены черными точками. Расположение склада отмечено белой точкой. Также построены оптимальные маршруты доставки груза со склада до потребителей.
На рис. 6 представлено решение задачи идентификации и сегментации логистических зон. Область лабиринта поделена на две зоны. Темно-серая область обслуживается складом в центре лабиринта. Светло-серая область обслуживается складом в правом нижнем углу лабиринта.
Рис. 4. Фронты световых волн
Рис. 5. Решение задачи об оптимальном размещении логистического центра
|
Рис. 6. Решение задачи идентификации и сегментации логистических зон
Стоит отметить, что модельная задача «Лабиринт» аналогична прикладной задаче размещения объектов городской инфраструктуры. Проходы лабиринта - улицы различной ширины. Пропускную способность проезжей части характеризует покрытие дорог, количество полос и разрешенное направление движения. Непроходимые области - районы сплошной застройки, одиночные здания и лесопарковые зоны.
8. Идентификация и сегментация логистических зон утилизации старых автомобилей в Иркутской области. С 8 марта 2010 года в РФ стартовала программа утилизации старых автомобилей [15], со-
гласно которой все участники программы получают свидетельство об утилизации старой машины. Данное свидетельство позволяет приобрести новый автомобиль со скидкой в 50 тысяч рублей. Программа действует по всей территории РФ.
Пункты утилизации в Иркутской области располагаются в следующих городах: Иркутск (2 пункта), Ангарск, Братск, Усть-Илимск, Зима, Тулун, Тайшет. С информацией о компаниях-утилизаторах можно ознакомиться на официальном сайте Министерства промышленности и торговли РФ (www.minpromtorg.gov.ru). С информацией о пунктах утилизации можно ознакомиться на официальном сайте Правительства Иркутской области (www.irkobl.ru).
Задача идентификации и сегментации логистических зон утилизации старых автомобилей заключается в том, что необходимо для каждого пункта утилизации определить границы зоны утилизации, в пределах которой расходы на доставку автомобиля в соответствующий пункт утилизации были бы меньше, чем расходы на доставку в другой ближайший пункт. Также предполагается, что население непрерывно распределено по всей территории Иркутской области.
Таким образом, в данной задаче функция ^х,у)>0, характеризующая проницаемость среды, определяет плотность населения в точке (х,у). При этом световая волна двигается в данной неоднородной среде с
местной скоростью г(х, у) = 1 / /(х, у) , т.е. скорость движения волны тем больше, чем меньше плотность населения. Для решения задачи применяется программный продукт «Волна 1.4», основанный на алгоритме, который описан в пункте 6 настоящей статьи. Подробно о методике сегментации логистических платформ см. [6].
На рис. 7 в различные моменты времени изображен фронт световой волны, выпущенной из пункта Иркутск. Аналогичные рисунки для остальных пунктов утилизации здесь не приводятся.
На рис. 8 представлено решение задачи. Территория Иркутской области поделена на 8 зон. Черными точками обозначены места расположения пунктов утилизации.
Из таблицы можно видеть, что наибольшую мощность имеют пункты в Иркутске, Ангарске и Братске, что объясняется наибольшей плотностью населения в
этих городах и их пригородах. Наименьшая мощность пункта в Тайшете объясняется тем, что он расположен близко к границе с Красноярским краем.
Рис. 7. Изображение фронта световой волны, выпущенной из пункта Иркутск
н: t
Рис. 8. Логистические зоны утилизации старых автомобилей
Номер Наимено- Население Относительные
зоны вание (тыс. чел.) расходы на
пункта доставку
1 Ангарск 410,239 1,56
2 Братск 439,450 1,81
3 Зима 273,958 1,09
4 Тайшет 114,392 1,27
5 Тулун 201,600 1,22
6 Усть- 252,496 4,14
Илимск
7 Иркутск 404,665 1,00
8 Иркутск-2 456,595 2,06
Относительные расходы на доставку характеризуют стоимость доставки всех автомобилей зоны к соответствующему пункту утилизации, за единицу взята стоимость доставки всех автомобилей зоны 7 в пункт Иркутск.
Расходы на доставку автомобиля в пункт Усть-Илимск в 4 раза больше, чем в пункт Иркутск. Данный факт объясняется тем, что население Иркутской области распределено неравномерно и сосредоточено возле железной дороги и крупных рек, поэтому северная и восточная части Иркутской области практически не заселены и расстояния между населенными пунктами в зоне 6 значительно больше, чем в остальных.
Заключение. Подводя итоги проведенного исследования, отметим, что рассмотренные логистические задачи сведены к задачам вариационного исчисления специального вида. На основе предложенного метода разработаны алгоритмы численного решения задач:
• алгоритм определения оптимального маршрута для решения задачи (1), основанный на аналогии с геометрической оптикой;
• алгоритм определения оптимального размещения логистического центра для решения задачи (3), основанный на минимаксном критерии оптимальности;
• алгоритм идентификации зон для решения задачи (5), основанный на определении принадлежности минимального значения времени в данной точке одному из источников света.
На основе данных алгоритмов выполнена программная реализация на языке программирования Pascal в среде разработки Delphi7. Проведен вычислительный эксперимент, включающий в себя решение модельных задач, а также прикладной задачи идентификации и сегментации логистических зон утилизации старых автомобилей в Иркутской области.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 11-07-00245.
Библиографический список
1. Лукинский В.С. Модели и методы теории логистики: учеб. 3. Ельдештейн Ю.М. Логистика: учебник. Красноярск: КГАУ, пособие. 2-е изд. / под ред. В.С.Лукинского. СПб.: Питер, 2006. 508 с.
2008. 448 с. 4. Миротин Л.Б., Бульба А.В., Демин В.А. Логистика, техно-
2. Логистика: учебник для вузов / под ред. Б.А.Аникина. М.: логия, проектирование складов, транспортных узлов и тер-ИНФРА-М, 2000. 352 с. миналов. Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. 408 с.
5. Журавская М.А., Тарасян В.С., Богданова А.В. Идентификация и сегментация логистических зон утилизации старых автомобилей на основе теории нечетких множеств // Транспорт Урала. 2009. № 3 (26). С. 11-14.
6. Казаков А.Л., Журавская М.А., Лемперт А.А. Вопросы сегментации логистических платформ в условиях становления региональной логистики // Транспорт Урала. 2010. №4 (27). С. 17-20.
7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики / пер. с англ. М.: Мир, 1965. 408 с.
8. Башуров В.В., Филимоненкова Т.И. Математические модели безопасности. Новосибирск: Наука, 2009. 87 с.
9. Башуров В.В. Применение методов геометрической оптики для решения задач безопасности объекта // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, № 4. С. 23-28.
10. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 3: Излучение. Волны. Кванты. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 240 с.
11. Гельфанд И.А., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1961. 228 с.
12. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решений: учебное пособие. СПб.: Лань, 2001. 384 с.
13. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 205 с.
14. Деньдобренко Б.Н., Малика А.С. Автоматизация конструирования рЭА: учебник для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 384 с.
15. Постановление Правительства Российской Федерации от 31 декабря 2009 года № 1194 «О проведении эксперимента по стимулированию приобретения новых автотранспортных средств взамен вышедших из эксплуатации и сдаваемых на утилизацию, а также по созданию в Российской Федерации системы сбора и утилизации вышедших из эксплуатации автотранспортных средств» // Российская газета. № 6. 15.01.2010.
