CC BY
17
1.2. ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ДИАГНОСТИКИ В УСТАНОВКЕ ТОКАМАК
Зотов Игорь Викторович, доцент, факультет ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова. E-mail: iv-zotov@cs.msu.ru
Аннотация. В установках управляемого термоядерного синтеза токамак используется развитая система диагностики. В работе рассматривается задача оптимизации системы электромагнитной диагностики, предназначенной для реконструкции равновесия и исследования детальной структуры МГД-активности плазмы. Представлен алгоритм решения некорректной обратной задачи реконструкции граничной поверхности. Изучается задача оптимального выбора количества датчиков системы электромагнитной диагностики. Для строящейся в настоящее время новой российской установки токамак Т-15М определено минимально необходимое количество магнитных зондов, гарантирующее нахождение границы с приемлемой точностью. Исследуется возможность сжатия данных магнитных измерений в эксперименте на установке Т-15М на основе низко-рангового матричного разложения.
Ключевые слова: математическое моделирование, токамак, электромагнитная диагностика.
1.2. OPTIMIZATION OF THE ELECTROMAGNETIC DIAGNOSTICS SYSTEM IN THE TOKAMAK INSTALLATION
Zotov Igor V., associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics. E-mail: iv-zotov@cs.msu.ru
Abstract. Tokamak facilities for Controlled Thermonuclear Fusion use a developed diagnostics system. This study considers the problem of optimization of the electromagnetic diagnostics system, intended for reconstructing the equilibrium and studying the detailed structure of the MHD plasma activity. An algorithm for solving the incorrect inverse boundary reconstruction problem is presented. The problem of the optimal choice of the number of sensors of the electromagnetic diagnostics system is being studied. The minimum required number of magnetic probes ensuring that the boundary is found with acceptable accuracy is determined for the new Russian tokamak T-15M that is currently under construction. The possibility to compress the experimental data of magnetic measurements in T-15M based on low-rank matrix decomposition is investigated.
Index terms: mathematical modeling, tokamak, electromagnetic diagnostics.
В современных установках управляемого термоядерного синтеза с магнитным удержанием плазмы токамак используются развитые системы электромагнитной диагностики. Результаты электромагнитных измерений используются как для реконструкции магнитной конфигурации плазмы, так и в системах управления плазменным шнуром в процессе разряда на основе активной обратной связи. Вытянутое поперечное сечение плазмы, ограниченное сепаратрисой, применяется для создания полоидального дивертора - устройства, предназначенного для удаления продуктов реакции и уменьшения поступления примесей со стенок камеры в плазму. Изучаются как одно нулевые так и двух нулевые конфигурации с верхним и нижним расположением Х-точки сепаратрисы. В этом случае появляется вертикальная неустойчивость плазмы по отношению к смещению шнура как целого в направлении Х-точки. Поэтому требуется эффективный контроль границы плазмы в процессе разряда.
В связи с проводимой модернизацией новой российской установки Т-15 необходима детальная проработка системы электромагнитной диагностики [1-3]. В настоящее время уже идет изготовление элементов конструкции установки, в частности, вакуумной камеры. Поэтому контуры, на которых будут размещены зонды, уже жестко определены. Однако число зондов и их расположение на контуре все еще
может меняться. В работе проводится оптимизация системы магнитной диагностики, при условии, что ошибка в определении границы плазмы не должна превосходить заданной величины. Постановка задачи предполагает, что потоки и поля в датчиках и петлях измеряются со случайной ошибкой. Ошибки задаются как равномерно распределенные случайные величины. Их амплитуда меняется в диапазоне от 0 до 2 %, и, по существу, является основным параметром в проводимых расчетах. Анализ влияния ошибок на точность определения границы плазмы проводится на основе одного из возможных сценариев разряда в установке Т-15М, рассчитанного с помощью численных модулей TOKSCEN [4] и DINA [5]. Анализируется стадия подъема тока, а также стационарная стадия разряда (полный ток от 1,4 до 2 МА). Восстановление границы плазмы выполняется с помощью кода RPB (Reconstruction of Plasma Boundary) [6] при условии расположения зондов и петель на первой стенке камеры.
Рассматривались следующие задачи:
1. Нахождение точности определения границы плазмы в зависимости от величины погрешности измерений.
2. Поиск минимального числа датчиков, обеспечивающих приемлемую точность восстановления границы плазмы при заданной величине ошибки измерений.
3. Сжатие экспериментальной информации при сохранении точности нахождения границы плазмы.
Зотов И.В.
Система электромагнитных измерений Т-15М
Внутри вакуумной камеры располагаются два комплекта из 39 двухкомпонентных датчиков формы внешней магнитной поверхности (в разных меридиональных сечениях). Второй комплект используется для повышения надежности работы системы в целом. Датчики расположены в полои-дальном сечении ВК почти равномерно по обходу (рис. 1). Каждый датчик состоит из 2-х ортогональных обмоток (для измерения двух компонент магнитного поля - нормальной и тангенциальной по отношению к контуру камеры). Кроме того, имеются комплекты поясов Роговского для измерения тока в плазме, в витках пассивной стабилизации, «гало» токов, замыкающихся между элементами конструкции дивер-тора. Имеется также комплект из 21 секторной петли для измерения распределения полоидального магнитного потока. Точность установки датчиков и петель на поверхности ВК составляет 5 мм. Датчики обеспечивают измерения магнитных полей с точностью 1-2 % с частотами до 10 кГц.
на основе квазиоптимального метода. Для этого минимизируется функционал невязки вида
J К, v2 ) = p\\Br - Br + q\\Bz - Bz\\ + r - Щ | + a
El NIL
0,5 1,0
Рис. 1. ВК и система магнитных измерений Т-15М. Двухну-левая равновесная конфигурация на стационарной стадии = 2500 мс), нижняя Х-точка сдвинута вправо. Магнитные датчики для определения формы внешней поверхности (■), диафрагма (—). Внутри камеры показаны диверторные пластины и элементы пассивной стабилизации. Синим цветом внутри камеры выделена граница плазмы
Помимо этого, в шести меридиональных сечениях имеются вставленные в ВК тонкостенные трубки со сборкой двухкомпонентных магнитных датчиков, количество которых можно менять. Они также располагаются равномерно по длине всей ВК.
Постановка задачи и метод ее решения
Наличие информации о потоке магнитного поля и значений компонент поля в датчиках позволяет поставить задачу о восстановлении магнитного поля как задачу Коши для двумерного уравнения равновесия Грэда-Шафранова. Для ее решения применяется метод интегральных уравнений. Поток магнитного поля в вакуумной области ищется в виде суммы двух потенциалов простого слоя с носителями на двух контурах 11 - 12 (один внутри плазмы, один вне ВК). Для двух компонент поля и потока выписывается система двух интегральных уравнений Фредгольма первого рода. При решении такой некорректной задачи применяется метод регуляризации Тихонова. Параметр регуляризации выбирается
Здесь p, q, г - весовые коэффициенты; a - параметр регуляризации; vi, i = 1, 2 - неизвестные носители потенциалов простого слоя на контурах 11 - /2; норма ||v|| ^ = f (v2 + v" )dl за-
2 i
дает регуляризацию первого порядка.
Для оценки качества реконструкции границы Г использовались следующие характеристики:
8Г = max \\M(e)-M(Q)||e ; о < e < 2 n
SX = ||X - X\|f ;
Sn(r)= max ||л-л||£; о < e < 2 п
SB. (Г)= max B В ^E .
о < e < 2 п ||Bt||
Здесь 0 - полоидальный угол; М е Г, М е Г - точная и восстановленная границы (М, М- точки на них); Х, Х- точная и восстановленная сепаратрисные точки; n, n - точный и восстановленный вектор внешней нормали к границе; Bt, B - точное и восстановленное тангенциальное магнитное поле на границе плазмы. Индекс E обозначает евклидову норму. Первая величина 6Г показывает точность реконструкции границы в целом. Вторая 6X - точность восстановления Х-точки сепаратрисы. Третья 6п(Г) - точность реконструкции внешней нормали n на восстановленной границе. Четвертая 6Bt(Г) - точность реконструкции магнитного поля на границе. Если первые две величины 6Г и 6X характеризуют качество восстановления границы и сепаратрисы, то следующие две величины бп(Г) и 6Bt(Г) используются на втором этапе решения обратной задачи - для восстановления профиля тока в плазме. Зависимость этих характеристик от числа датчиков при заданной ошибке измерений б = 0, 1 и 2 % приведена на рис. 2-5. В этих расчетах использованы только данные о поле, полученные с датчиков. Наибольшее расхождение для нормали n приходится на ту часть границы, которая ближе всего располагается к Х-точке (в области наибольшей кривизны линии). На рис. 1 показана двухнулевая равновесная конфигурация в Т-15М на стационарной стадии, для которой на рис. 2-5 показаны результаты анализа структуры системы магнитной диагностики.
Результаты расчетов
Все приведенные выше характеристики бГ, 6X, бп(Г) и 6Bt(T) вычислялись как результат усреднения по различным случайным выборкам, с помощью которых моделировались ошибки измерений поля и потока в зондах и петлях. Практика расчетов показала, что для достижения устойчивых результатов с верной третьей значащей цифрой их требуется порядка 60. В качестве генератора равномерно-распределенных псевдослучайных чисел использовался комбинированный Фибоначчи - конгруэнтный датчик с периодом порядка 1019 и низкой серийной корреляцией, что гарантирует статистическую достоверность полученных результатов [7].
Расчеты показали, что оптимальное число датчиков примерно 70, дальнейшее увеличение их числа не приводит к повышению точности восстановления границы. По-видимому, достигаемый при этом уровень ошибки соответствует погрешности модели.
i=i
T-15, var 2 (double-null), /„ = 2 MA
0,06
0,05
0,04
" 0,03
«3 to
0,02
0,01
0,00.
\ \\
V ч
— —
_L
_L
_L
_L
_L
_L
_L
J
20 30 40 50 60 70 80 90 100 М
Рис. 2. Точность определения границы 6Г в зависимости от числа датчиков М при разном уровне погрешности б = 0 % (пунктир), 1 % (сплошная)
0,025
0,020
5Й
3 0,015
Ii
to
5
■g 0,010 Й
0,005
T-15, var 2 (double-null), / = 2 MA
0,000
7 \ \
Л \\ к\ \\ у 1 \ .-V А
\\ V V V-"
20
30
40
50
60 М
70
80
90
100
T-15, var 2 (double-null), I = 2 MA
0,08 0,07 0,06
* 0,05
c? и
to 0,04
* 0,03
to
0,02 0,01
0,00
ч 1
\ 1 \
[\ \1
\1 А у \
гх С V N г-*-*
20
30
40
50
60 M
70
80
Рис. 3-4. Точность определения нижней нижней (down) и верхней (up) Х-точки сепаратрисы 6X в зависимости от числа датчиков M (б = 0 % (сплошная), 1 % (пунктир))
0,08
0,07
0,06
£
3 0,05 м
to
0,04
0,03
0,02
T-15, var 2 (double-null), /„ = 2 MA
0,01
1
1 \ .1
\ \ \
1 ч \ Ч
ч
20
30
40
50
60 M
70
80
90 100
0,18 0,16 0,14 0,12
° 0,10
£ 0,08
T-15, var 2 (double-null), /„ = 2 MA
0,06 0,04 0,02
\
1 4
1 1
V \\ и
и \\ \\
\
V N
20 30 40 50 60 70 80 90 100 M
Рис. 5-6. Точность определения внешней нормали на границе плазмы бп и тангенциальной компоненты полоидального поля
на границе плазмы бб( в зависимости от числа датчиков M б = 0 % (пунктир), 1 % (сплошная))
Сжатие экспериментальных данных
В условиях высокого разрешения магнитных измерений, как по времени, так и по пространству, возникает необходимость сжатия экспериментальных данных. И здесь, прежде всего, требуется ответить на вопрос: «Можно ли при этом сохранить точность восстановления крайней магнитной поверхности? Насколько это скажется на результате решения обратной задачи?»
Будем использовать для сжатия экспериментальной информации метод главных компонент (PCA - Principal Component Analysis). Пусть данные измерений записаны в виде матрицы F размером Nx M. Строки - образцы измерений в количестве N (в различные моменты времени), столбцы -переменные в количестве M (разные точки измерений):
90 100
/11 fl2 • ' flj ^ f1M
/21 f22 • • f2 j • f2M
/1 ¿2 • • fj • fiM
/N1 fN2 fNj fNM
F
Зотов И.В.
Цель метода - извлечение из этих данных нужной информации с учетом погрешности измерений. Данные содержат нежелательную составляющую (случайный шум), природа которой различна - погрешность измерений, неточность положения датчиков и их ориентации в пространстве и т.д. Случайный шум и избыточность данных приводят к корреляционным связям между переменными.
Суть метода РСА - это существенное снижение размерности данных. Исходная матрица Я заменяется двумя новыми матрицами Г и Р, одна размерность которых I меньше чем число переменных (столбцов) у исходной матрицы Я. Вторая размерность - число образцов (строк) N сохраняется: Р - I х М, Г - N х I. Если декомпозиция выполнена верно, то матрица Г несет в себе столько же информации, сколько ее было в начале в матрице Я.
В методе РСА вводятся новые формальные переменные t¡ = , ... , tNlУ, I = 1, I, являющиеся линейной комбинацией исходных переменных = /, ... , ), j = 1, М с коэффициентами р1 = (р 1, ... , р ш¡ = 1, I:
Ь = Р11Л +••• + Рм fм.
С помощью этих переменных (главных компонент) матрица Я разлагается в произведение двух матриц Г и Р:
F = ТР
I.
Ы)+Е; Л = Е Рц + еи
||£| ^ = тах
1 < j < N
||£||2 = тах
1 < j < N
тах л1
1< i < м ч \
( м 1/2
Е2
V = 1
( м 1/2
V = 1
100;
100.
(1)
(2)
Здесь Я - исходная матрица; Е - точность приближения.
Норма (1) представляет собой аналог нормы пространства С, норма (2) - аналог нормы пространства 1Г Кроме
того, использовалась норма (3) на основе евклидовой нормы матрицы (норма Фробениуса):
ЕЕ <
i=11=1
1/2
ЕЕ $
i=11=1
1/2
100.
(3)
где Г - матрица счетов (Ш х I), Р - матрица нагрузок (I х М); Е - матрица остатков размера N х М. Новые переменные называются главными компонентами. Число столбцов t¡ в матрице Г и строк р1 в матрице Р равно I и является числом главных компонент. Важным свойством метода РСА является ортогональность (независимость) главных компонент. Поэтому матрица счетов не перестраивается при увеличении числа компонент, а добавляется еще один столбец, соответствующий новому направлению. То же происходит и с матрицей нагрузок Р.
Поиск базиса из главных компонент позволяет сделать переход в новое пространство и приблизить в этом новом пространстве (в его базисе - базис Карунена-Лоэва) исходные измерения с точностью, соответствующей точности исходных измерений. Это существенно сокращает объем исходных данных и позволяет в любой момент с помощью сокращенного набора данных получить исходную матрицу с точностью не хуже заданной.
Для оценки точности Е приближения матрицы измерений Я в зависимости от количества главных компонент использовались следующие нормы:
Результаты вычислений представлены на рис. 7. Видно, что для приближения всей матрицы измерений на протяжении стационарной стадии разряда ^ = 1039-2039 мс) с точностью б = 2 % достаточно 5 компонент, с точностью б = 1 % достаточно 7 компонент. Данный вывод сохраняется одновременно для двух компонент магнитного поля Вг и В2. Аналогичная картина наблюдается и для другого количества датчиков. Здесь представлены результаты для М = 36 зондов. Это позволяет существенно снизить объем хранимой информации. Особенно это важно в случае системы со значительным количеством датчиков. Например, для установки Т-15М планируется использовать специальные системы (сборки) магнитных датчиков, находящихся в тонкостенных трубках в шести меридиональных сечениях, количество которых может быть достаточно велико (100-200). Так, например, при числе датчиков М = 100 при частоте измерений 10 кГц только на стационарную стадию разряда длительностью 1 с потребуется хранить матрицу размера 100 • 104 = 106 чисел. Причем это требуется отдельно для каждой компоненты поля. В случае применения данного метода для приближения с точностью 1 % достаточно будет оставить только 100 • 7 + 104 • 7 = 70 700 чисел. Для 2 % - достаточно 100 • 5+ 104 • 5 = 50 500 чисел. Уменьшение объема данных составляет более чем один порядок при точности приближения 1 %.
14 г
Т-15, ( = 1039-2039 МС, М = 36
12
10
-Г1 О"
8
со 1и
£0
Л
\У \ V к \
\ ч \ 1 \ \\
ч>ч \
1--4
6 МРС
10
Рис. 7. Зависимость точности приближения Е для матрицы измерений Я от числа главных компонент NPC в разных нормах для случая М = 36 зондов. Черные кривые для матрицы, соответствующей первой компоненте поля В (пунктир -норма (1), сплошная линия - норма (2)). Красные - аналогично для второй компоненты поля В . Синие кривые -норма (3), сплошная - В, пунктир - В
Е
3
1 < i < м
Выводы
Применяемая в методе восстановления границы модель простого слоя позволяет находить границу плазмы в Т-15М с точностью порядка:
а) 0,5 см при отсутствии погрешности;
б) 1,5 см при погрешности 1 % в случае использования информации о двух компонентах поля, полученной с датчиков.
Число датчиков, обеспечивающих данную точность, может быть не более 70.
Показана возможность использования низко-рангового матричного разложения для сжатия данных магнитных измерений в эксперименте на Т-15М. Это позволяет уменьшить общий объем данных более чем на порядок при приближении в 1 % и сохранить приемлемую точность определения границы.
Автор благодарен профессору Днестровскому Ю.Н. за внимание к работе и ценные замечания.
Работа поддержана грантами РФФИ № 17-07-00544-а, 17-07-00883-а.
Литература
1. Melnikov A.V. et al. Physical program and diagnostics of the T-15 upgrade tokamak (brief overview) // Fusion Engineering and Design. 2015, 96-97. Pp. 306-310.
2. Zotov I.V., Belov A.G., Sychugov D.Yu., Lukash V.E., Khayrutdinov R.R. Simulation of electromagnetic diagnostics system of the tokamak T-15M // 41st EPS Conference on Plasma Physics. Berlin, Germany. 2014. ECA, v. 38F, P. 4.045.
3. Зотов И.В., Белов А.Г., Сычугов Д.Ю., Лукаш В.Э., Хайрутдинов P.P. Численное моделирование системы электромагнитной диагностики токамака Т-15М. // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Термоядерный синтез. 2015. Вып. 2. С. 51-61.
4. Sadykov A.D., Sychugov D.Yu., Shapovalov G.V., Chektybaev B.Zh., Skakov M.K., Gasilov N.A. The numerical code TOKSCEN for modeling plasma evolution in tokamaks // Nuclear Fusion. 2015. V. 55, № 4. P. 043017.
5. Лукаш В.Э., Докука В.Н., Хайрутдинов P.P. Программно-вычислительный комплекс ДИНА в системе MATLAB для решения задач управления плазмой токамака // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Термоядерный синтез. 2004. Вып. 1. С. 40-49.
6. Belov A.G., Zotov I.V., Sychugov D.Yu. Numerical method for reconstruction the toroidal plasma boundary - International Conference on Applied Mathematics and Sustainable Development // Special track within SCET2012 (Spring World Congress on Engineering and Technology). Xi'an, China. May 27-30, 2012. Pp. 278-280, (http:// www.scirp.org).
7. Marsaglia G. Random number generators // J. of Modern Applied Statistical Methods. 2003. V. 2, № 1. Pp. 2-13.
