Оптимизация расположения датчиков давления на дозвуковых летательных аппаратах с использованием имитационной модели локальных полей газодинамических параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том ХЫ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010

№ 4

УДК 629.7.015.3.035.5

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПОЛОЖЕНИЯ ДАТЧИКОВ ДАВЛЕНИЯ НА ДОЗВУКОВЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

Н. А. ЗЛЕНКО, В. Ю. ПОДАРУЕВ

Предлагается алгоритм решения задачи оптимизации расположения датчиков давления на носовой части самолета. Выбор расположения датчиков и их тарировка осуществляются с использованием результатов параметрических расчетов, представленных в виде имитационной модели локальных полей газодинамических параметров потока.

Ключевые слова: имитационная модель, вычислительная аэродинамика, регрессионный анализ, датчики давления.

При определении параметров набегающего потока и пространственного положения летательного аппарата (ЛА) основными источниками информации являются датчики давлений, аэродинамических углов, температуры и др. Как правило, они располагаются не в зоне невозмущенного потока, а непосредственно на фюзеляже, где влияние геометрии ЛА на показания датчиков параметров потока может быть существенным. В этом случае задача выбора места расположения датчиков становится достаточно сложной, так как для ее решения требуется не только получить информацию о распределении газодинамических параметров потока на поверхности ЛА для всего диапазона режимов полета, но и проанализировать эти локальные поля в районах предполагаемого расположения датчиков. Функциональная связь между показаниями датчиков и параметрами набегающего потока должна быть однозначной и максимально простой. Кроме того, при выборе расположения датчиков должен выполняться целый ряд условий, таких как отсутствие отрывов потока и скачков уплотнения в зоне расположения датчиков, недопустимость размещения датчиков на иллюминаторах и лючках, исключение возможности повреждения чувствительных элементов датчиков грязью и камнями из-под шасси и др.

Обоснованное заключение о месте расположения датчиков того или иного типа возможно только после анализа распределения газодинамических параметров потока как на поверхности ЛА, так и в его ближайшей окрестности. Один из возможных вариантов решения такой задачи — это проведение аэродинамического эксперимента по определению локальных полей газодинамических параметров потока. Так в работе [1] место расположения датчика аэродинамического угла флюгерного типа выбирается на основе данных, полученных в экспериментальных исследованиях обтекания носовой части ЛА в аэродинамической трубе. Рекомендации по месту размещения датчиков и выбор тарировочных зависимостей осуществляется по результатам анализа фотографий поля скоростей, полученных с использованием метода шелковинок. Однако при проведении экспериментальных исследований приходится сталкиваться с целым рядом ограничений, которые заметно сужают круг решаемых задач и снижают качество окончательных результатов. В частности, когда возникает необходимость экспериментального определения нескольких разнородных локальных полей, приходится изготавливать ряд моделей, каждая из которых имеет специализированную препарировку, проводить испытания на различных установках, изменять прибор-

ное оснащение. Все это резко увеличивает стоимость исследований, время получения данных и, к сожалению, не всегда обеспечивает необходимый объем потребной информации.

В отличие от эксперимента численные расчеты позволяют получить непрерывные поля распределения газодинамических параметров потока как на поверхности ЛА, так и в ближайшей его окрестности. При численном моделировании течений газа тоже встречается много проблем, связанных, например, с построением расчетной сетки для объектов со сложной геометрией, с потребностью выделения значительных вычислительных ресурсов, с необходимостью представления и анализа большого объема получаемых результатов и др. В рамках имеющегося пакета прикладных программ EWT-ЦАГИ [2] возможно проведение параметрических расчетов с приемлемыми эксплуатационными затратами.

Замена дискретного набора локальных полей адекватной имитационной моделью [3] позволяет существенно упростить решение ряда практических задач, в том числе и оптимизационных. Наряду с этим появляется возможность на этапе получения исходных данных использовать методы математического планирования эксперимента [4], позволяющие уменьшить объем потребных параметрических расчетов. В настоящей работе приводятся результаты построения имитационной модели локальных полей на поверхности носовой части пассажирского самолета и предлагается математическая постановка задачи оптимизации, т. е. набор некоторых критериев, на основании которых осуществляется поиск места расположения датчиков. С использованием имитационной модели локальных полей определяются не только области, пригодные для расположения датчиков воздушного давления, но и формулы для коррекции показаний этих датчиков.

1. Имитационная модель для эллипсоида. При построении имитационной модели наиболее ответственным и одновременно наименее алгоритмизуемым этапом является выбор вида функциональной связи между факторами (независимыми переменными) и откликами (величинами, получаемыми в процессе численных расчетов). В случае отсутствия априорной информации о виде такой функциональной связи в работе [3] вид многофакторных уравнений регрессии, входящих в имитационную модель, определяется на основе результатов анализа набора одномерных характеристик. Подобные характеристики показывают влияние на значения отклика только одного фактора, когда значения остальных фиксированы. В настоящей работе предлагается в дополнение к алгоритмам, рассмотренным в [3], учитывать вид функциональной связи между откликами и факторами на примере тела с более простой геометрией, для которого имеется точное решение задачи обтекания. В качестве такого тела рассматривается эллипсоид вращения, который близко отражает форму реальной носовой части ряда ЛА (рис. 1). Для эллипсоида вращения существует аналитическое решение задачи обтекания несжимаемым невязким потоком жидкости [5]. Это дает, во-первых, априорную информацию о виде имитационной модели, и, во-вторых, упрощает задачу оценки адекватности регрессионных уравнений, входящих в эту модель.

Как уже было отмечено выше, для построения имитационной модели в первую очередь необходимо получить совокупность локальных полей течения (и, V, w, р) на поверхности тела для различных режимов. При этом выбор набора откликов и факторов является необходимым начальным этапом построения имитационной модели. В данном случае откликами являются

X - С ей Г|, 0 £ ^ £ «о /■ = С5Ь^ЯПГ1, Оег^П

х

Рис. 1. Эллипсоид вращения в набегающем потоке с продольной составляющей скорости и* и поперечной составляющей V,*,

{и, v, w, p/p*}, значения которых зависят не только от параметров набегающего потока {V*, а* }, но и от координат {х, y, z} точки на поверхности эллипсоида. Следует отметить, что включение координат {х, y, z} в список факторов существенным образом осложняет задачу выбора вида функциональной связи между откликами и факторами, причем для объектов со сложной геометрией эта задача может оказаться неразрешимой.

С целью исключения из набора факторов геометрических координат {х, y, z} предлагается,

так же как и в работе [3], для каждого узла расчетной сетки задавать регрессионные уравнения, определяющие функциональную связь между откликами и параметрами набегающего потока {V*, а*}. Несмотря на то, что при этом количество уравнений заметно возрастает, объем необходимых для построения имитационной модели вычислений в целом уменьшается. При этом качественным образом упрощается проблема определения вида функциональной связи между откликами и факторами.

В монографии [5] приводятся аналитические решения задач продольного и поперечного обтекания эллипсоида вращения и приводятся аналитические выражения для потенциалов как продольного, так и поперечного обтекания. На основании этого можно получить вид формул, определяющих функциональную связь между параметрами набегающего потока {V*, а*} и откликами {и, v, w, p/p*} в каждом узле расчетной сетки на поверхности эллипсоида:

и = V*( cos (а*) + sin (а*)),

v = V*(v cos (а*) + b2 sin (а*)),

/ \ (1.1)

W = V*(biw cos (а*) + b2w sin (а*)),

— = bf + V* ( b2p + Ьзр cos(2а*) + bp sin (2а* ) ).

^p*

При выборе плана параметрических расчетов представление имитационной модели в виде (1.1) осложняет использование методов математического планирования эксперимента [4], которые позволяют на этапе подготовки исходных данных минимизировать объем потребных вычислений. В связи с этим целесообразно рассмотреть альтернативные (1.1) варианты имитационной модели, которые с достаточной степенью адекватности отражали бы функциональную связь между факторами и откликами.

В работе [3] предлагается поэтапный процесс выбора вида имитационной модели: сначала для каждого из факторов анализируются одномерные характеристики с целью подбора адекватной аппроксимационной формулы, после чего на основе полученных одномерных формул создаются многофакторные регрессионные уравнения. Применительно к рассматриваемому здесь случаю обтекания эллипсоида вращения имеется два типа одномерных характеристик: f (V*)

при а* = fix и f (а*) при V* = fix. Точный вид соотношений, определяющих влияние фактора V* на значение откликов, определяется из (1.1):

и = bUV*, v = bvV*,

<

W = bWV*,

. p/p*= bp + b2pV*2,

Я = Ъ* + Ъ2^* + bfVj (1.2)

подходит в качестве регрессионного уравнения для одномерных характеристики f ( V*) любого из откликов.

Аналогично для характеристик f (а* ) из (1.1) получается набор регрессионных уравнений:

u = Ъ cos (а* ) + Ъ^ sin (а* ), v = bv cos (а*) + Ъ2 sin (а*),

<

w = biw cos (а*) + Ъ% sin (а*),

_p/p* = bp + Ъ2Р cos (2а* ) + Ъ3Р sin (2а* ),

который может быть заменен единым регрессионным уравнением вида:

= Ъ* + Ъ* cos (а* ) + Ъ* sin (а* ) + Ъ* cos (2а* ) + Ъ* sin (2а* ), (1.3)

пригодным для аппроксимации одномерных характеристик f (а* ) любого из откликов.

Если функциональная связь между откликами и скоростью V* выражается в виде полинома не выше второй степени, то характеристики f (а*) представляются более сложными уравнениями (1.3). Вид этих уравнений, как отмечалось выше, не позволяет использовать стандартные планы эксперимента [6], ориентированные на полиномиальные модели. В качестве альтернативы уравнениям (1.3) в настоящей работе рассматриваются аппроксимационные формулы полиномиального вида:

* = Ъ* + Ъ* а* + Ъ* а*, (1.4)

* = Ъ* + Ъ* а* + Ъ* а* + Ъ* а*, (1.5)

где * — один из откликов u, v, w или p/p* . Формулы (1.4) и (1.5) можно трактовать как фрагменты разложения в ряд Тейлора соотношений (1.3). Качество аппроксимации одномерных ха-

рактеристик f (V*) и f (а*) иллюстрируется рис. 2 и 3, где сплошная линия соответствует ап-проксимационным значениям. На рис. 3 видно, что уже формула (1.4) обеспечивает вполне приемлемое качество аппроксимации характеристик f (а*). Адекватность представления одномерных характеристик f (а*) с помощью формул (1.5) сравнима с точным решением (1.3), что

следует из табл. 1, где для каждого отклика приведена максимальная погрешность аппроксимации одномерных характеристик.

Т аблица 1

Отклик Максимальное отклонение (по порядку) в точках плана

{l, Vto , Vto2} {l, cos (ато), sin («то), cos(2ато), sin(2«to)} {l, ато, aTO, aTO} a a }

u 1 •lO-13 1 •lO-07 1 •lO-05 1 •lO-03

v 1 •lO-13 1 •lO-07 1 •lO-05 1 •lO-03

w 1 •lO-13 1 •lO-07 1 •lO-05 1 •lO-03

p p 8 1 •lO-15 1 •lO-11 1 •lO-07 1 •lO-06

Рис. 2. Аппроксимация одномерных сечений и, р/рш = /(Ух) полиномом

второй степени

Рис. 3. Аппроксимация одномерных сечений и, р/рш= /(аш) полиномом

второй степени

Следующим этапом создания имитационной модели является формирование для каждого из откликов многофакторного уравнения регрессии. Один из возможных способов определения вида подобного уравнения — это перемножение одномерных уравнений с последующим исключением членов более высокого порядка по сравнению с исходными одномерными уравнениями. Так на основании формул (1.2) и (1.4) получаем уравнение:

Уг = Ъ\' + Ъ2 ^ + ЪЪ а<* + ЪуУ£ + Ъ51+ Ъ6 , (1.6)

а для формул (1.2) и (1.5):

После определения вида имитационной модели необходимо составить план параметрических расчетов, т. е. в пространстве факторов определить набор узлов, для которых будут вычисляться значения откликов. Следует отметить, что выбор плана является достаточно ответственным этапом, так как расположение узлов аппроксимации в пространстве факторов во многом определяет статистические свойства результирующей имитационной модели. В настоящей работе для обоих вариантов регрессионных уравнений (1.6) и (1.7) используется план эксперимента, соответствующий полному факторному эксперименту [6]. С целью предварительной оценки качества полученных имитационных моделей (1.6) и (1.7) вычисляются погрешности аппроксимации в узлах плана, значения которых приводятся в табл. 2.

Данные таблицы показывают, что в отличие от (1.6) модель (1.7) с достаточной точностью аппроксимирует отклики в узлах плана.

Отклик Максимальное отклонение (по порядку) в точках плана

Имитационная модель (1.6) Имитационная модель (1.7)

и 1-10-01 1-10-03

V 1-10-01 1-10-03

1-10-01 1-10-03

р/р<ю 1-10-03 1-10-04

В работе [3] отмечается, что строгая оценка адекватности имитационной модели невозможна из-за неопределенности понятия дисперсии для результатов численных вычислений, и предлагается набор эвристических приемов, позволяющий принять решение о качестве полученной имитационной модели. При оценке адекватности имитационной модели помимо анализа точности аппроксимации в узлах плана проводится экспертный анализ восстановленных полей откликов в контрольных узлах факторного пространства, не совпадающих с узлами плана параметрических расчетов. На рис. 4 для модели вида (1.7) приводится распределение как узлов плана, так и контрольных узлов. В контрольных узлах при оценке качества восстановления локальных

гоэ

30

56.7

33.3

10

«----------

II

^-----------

I

I

--------

■Ж-----------

I <х ■

I I

---------------ж

! « :

*------------

А Л 1

X---------------X---

X — узлы плана контрольные

—*

I

-®-4

узлы

5°

10°

15°

Рис. 4. Схема расположения контрольных узлов для имитационной

модели (1.7)

&и

-I

0.00025

0.0002

0.00015

0.0001

-5е-005

-0.0001

; -0.00015

Рис. 6. Поле и эпюра модуля отклонений регрессионных значений давления р/р* ных в контрольном узле (V* = 15 м/с, а* = 7.5°)

от расчет-

полей откликов наряду с численными оценками принимаются во внимание и результаты визуальных экспертных оценок полей ошибок аппроксимации и эпюр этих ошибок вдоль характерных линий на поверхности эллипсоида вращения. Пример локального поля и эпюры ошибок аппроксимации для отклика и приводится на рис. 5. «Пестрота» поля на рис. 5 говорит о случайном характере отклонений и является признаком адекватного представления данного отклика выбранными уравнениями регрессии. На рис. 6 приводятся поле и эпюра модуля отклонений регрессионных значений давления р/р* от расчетных для контрольного узла V* = 15 м/с, а* = 7.5°. Учитывая, что максимальное отклонение имеет величину ~0.01%, можно констатировать адекватность представления локального поля давления р/р* полученной имитационной моделью.

2. Имитационная модель локальных полей на поверхности носовой части фюзеляжа пассажирского самолета. В настоящем разделе рассматриваются особенности создания имитационной модели локальных полей газодинамических параметров потока для тела, которое схематично показано на рис. 7. При построении имитационной модели локальных полей на поверхности носовой части реального ЛА приходится сталкиваться с дополнительными трудностями. Во-первых, размерность задачи возрастает, так как рассматриваемый объект зачастую не является осесимметричным (см. рис. 7), а следовательно, значения газодинамических параметров потока на поверхности ЛА зависят не только от угла атаки а*, но и от угла скольжения в*. Во-вторых, отсутствует точное решение задачи обтекания, что не позволяет использовать априорные сведения о виде регрессионных уравнений, входящих в имитационную модель, и одновременно требует привлечения численных методов на этапе получения исходных данных.

Рис. 7. Математическая модель носовой части фюзеляжа

Под имитационной моделью носовой части реального ЛА в этом случае подразумевается, как и ранее, набор регрессионных уравнений, определяющих в каждом из узлов расчетной сетки функциональную связь между факторами {М*,а*,в*}, где М* — число Маха набегающего

потока, и откликами {и, V, w, р/р*}. Вид одномерных аппроксимационных формул, определяющих характер функциональной связи каждого из факторов с откликами, выбирается на основе имитационной модели для эллипсоида (формулы (1.2) и (1.5)):

V* ^ М* ^ у. = Ъ? + Ъ? М* + Ъ? М*, (2.1)

У, = су + а* + сЗ? а* + су а*, (2.2)

а* ^в* ^ У, = <г + 4*в* + dУ^в* + dy4^в*. (2.3)

Анализ этих уравнений с помощью системы АРРЕХ [7] показывает, что для аппроксимации одномерных характеристик /(М*) вместо полинома второй степени целесообразно использовать кубический полином (рис. 8). Поэтому аппроксимационная формула (2.1) заменяется на формулу следующего вида:

у, = Ъ? + Ъ2 М* + Ъ? М* + Ъ? М*. (2.4)

Формулы для аппроксимации одномерных характеристик /(а*) и /(в*) оставляются в виде (2.2) и (2.3) соответственно. Многофакторное уравнение регрессии формируется аналогично тому, как это сделано в предыдущем разделе, т. е. путем формального умножения одномерных формул (2.2), (2.3) и (2.4):

у,=£ £ £ Ы М*а*вт. (25)

к=0 I=0 т=0

При определении плана параметрических расчетов из таблиц планов эксперимента выбирается план полного факторного эксперимента для полинома третьей степени трех переменных. Схема этого плана показана на рис. 9.

Рис. 8. Одномерная аппроксимация давления полиномами третьей и второй (пунктирная линия) степени по числу Маха в одном из узлов расчетной сетки

Параметрические расчеты обтекания носовой части фюзеляжа (см. рис. 7) проводились с использованием полной системы уравнений Эйлера по программе А38 из пакета Е^Ш’-ЦАГИ [2].

Целесообразно отметить, что выбранный план параметрических расчетов по отношению к модели (2.5) является насыщенным, т. е. количество узлов плана N = 64 совпадает с количеством коэффициентов регрессии в (2.5). В результате имитационная модель (2.5) обладает хорошими интерполяционными свойствами: в узлах плана регрессионные локальные поля газодинамических параметров потока совпадают с расчетными. Однако в промежуточных узлах факторного пространства возможны значительные ошибки аппроксимации. Чтобы избежать этого, необходимо провести корректировку модели с целью уменьшения количества членов в регрессионных уравнениях. Такую корректировку можно осуществить с помощью процедуры шаговой регрессии, которая позволяет оставить в результирующем уравнении регрессии только значимые члены.

На основании перекрестного анализа результатов применения шаговой регрессии в нескольких характерных узлах расчетной сетки из модели (2.5) исключаются следующие члены:

Рис. 9. Схема плана полного факторного эксперимента для полинома 3-го порядка

a. p., M. a.p., M. a 2 p., M. a. p.,

M. p. M. a p. M2 a2 p

ooHoo? шсо 00Г00 5 iV1oo oora

M 2 a p. M. a2 p.

iVAoo ooHoo? шоо coroo

(2б)

m. a2 p m. a2 p 2 m. a p.

iVAoo ooroo? iVAco coroo? iVAoo ooHoo *

Таким образом, у модифицированной модели появляется 12 степеней свободы, и ее поведение между узлами аппроксимации существенно улучшается.

Процесс оценки адекватности модифицированной имитационной модели включает в себя экспертный анализ полей статистических характеристик, таких как величина среднеквадратичного отклонения и значение коэффициента множественной корреляции, и характера и величины ошибок аппроксимации в контрольных узлах. Следует отметить, что контрольные узлы не только не совпадают с узлами плана параметрических расчетов, но и в большинстве своем располагаются вблизи границ пространства варьирования факторов, где можно ожидать завышенных значений ошибок аппроксимации. На рис. 10 в качестве примера приведено поле среднеквадратичных отклонений давления. Максимальное значение среднеквадратичного отклонения отклика p/p* составляют порядка 0.01%. Поля коэффициента множественной корреляции для всех откликов достаточно однородны: максимальное отклонение от 1 не превышает 0.0001, что является признаком удовлетворительного качества аппроксимации.

С целью оценки предсказательных свойств имитационной модели в контрольных узлах наряду с полями ошибок аппроксимации анализируется вид изолиний откликов, форма которых чувствительна даже к небольшим модификациям поля, а соответственно может служить качественной мерой близости исходного и аппроксимационного полей. На рис. 11 для контрольного узла M* = 0.35, а* = 13°, р* =-8° приведено поле абсолютных отклонений расчетных значений давления от значений, полученных с помощью построенной имитационной модели. Видно, что максимальные отклонения имеют величину порядка 10-3, что вполне приемлемо для практических целей.

Рис. 10. Поле и эпюра среднеквадратичных отклонений регрессионных значений давления р/р* от расчетных

Рис. 12. Исходные (пунктир) и аппроксимационные (сплошные) изолинии относительного давления p/p* в контрольном узле M* = 0.7, а* =-6°, р* = 13°

Рис. 13. Исходные (пунктир) и аппроксимационные (сплошные) линии тока в контрольном узле M* = 0.7, а* = -6°, р* =13°

Пример хорошего совпадения изолиний аппроксимационного поля давлений p/p * (контрольный узел M* = 0.7, а* =-6°, в* = 13°) с изолиниями расчетного поля приводится на рис. 12. На рис. 13 приводятся аппроксимационные и исходные линии тока, которые являются надежным и чувствительным индикатором возможных модификаций любого из трех полей откликов {u, v, w}. Анализ, проведенный для всех контрольных узлов, убедительно показал, что созданная имитационная модель (2.5), из которой исключены перечисленные в (2.6) члены, адекватно отображает локальные поля откликов {u, v, w, p/p* } во всей области варьирования факторов и, следовательно, может быть рекомендована для решения ряда практических задач.

3. Использование имитационной модели локальных полей при выборе расположения датчиков на борту ЛА. Практически нереально сформулировать какие-либо общие рекомендации по расположению датчиков, поскольку летательные аппараты заметно различаются как геометрией, так и выполняемыми задачами. Вообще говоря, вопрос о критериях оптимального расположения датчиков целесообразнее всего решать совместно с конструкторским бюро отдельно для каждого конкретного ЛА.

В данной работе приводится пример использования имитационной модели для решения задачи о выборе оптимального места положения датчика статического давления.

Критерий оптимальности расположения датчиков давления формулируется следующим образом: выбрать такое место на поверхности носовой части ЛА, где показания датчиков менее всего подвержены влиянию угла скольжения. Математически это означает, что давление, являясь на поверхности ЛА функцией трех параметров {M*, а*, в*}, в искомой области должно зависеть только от {M*, а*}:

p(М*, а*, в*) p(M*, а*).

Известно, что полусумма давлений на подветренной и наветренной стороне значительно меньше подвержена влиянию угла скольжения, поэтому целесообразно искать области, в которых

Pr2 + pL = f (М*, а*, в*) f (М*, а*)±Д, f ~1, А « 1,

2 Р*

где Pr , Pl — показания датчиков статического давления на правом и левом бортах ЛА соответственно; А — погрешность, вызванная влиянием угла скольжения.

Считая, что функция f (М*, а*, в*) известна в каждой точке (x, y, z) поверхности ЛА из построенной в предыдущей главе имитационной модели, проводится следующая процедура:

выбирается точка на поверхности (x, y, z) ^ fix;

при фиксированных числе Маха и угле атаки определяется

M*, а* = fix^(Pr + Pl)/2p* = f (в*);

ищется максимум и минимум функции f по углу скольжения (в* е[-15°; 15°]) и строится

функция А = max { f } - min { f } ;

в* в*

в исследованном диапазоне (=[0.3; 0.8], а* е [-7°; 15°]) ищется максимум новой

функции по числу Маха и углу атаки Amax = max {Д(M*,а*)};

M*, а*

процедура повторяется для всех точек поверхности, в результате получается поле

Amax (x, У, z).

Датчики следует разместить в такой области Q, где величина погрешности Amax не превышает некоторый заданный уровень, например:

Q = {((y, z) : |Amax (x,У,z)| ^ 0 005}. (31)

На рис. 14 представлено поле Amax p/р*, а белой линией выделена искомая оптимальная область, удовлетворяющая условию (3.1).

Рассмотрим несколько иную задачу. Пусть имеются датчики статического и полного давления, показания которых предполагается использовать для определения числа M*. Для простоты положим, что они устанавливаются рядом, хотя обычно их разносят с целью исключения взаимного влияния.

Рис. 14. Поле погрешности давления А( р/рш), вызванной влиянием угла

скольжения

Из известного газодинамического соотношения нетрудно выразить Мда:

Ро

=11

к-1

М

к

2 1к-1

к-1

Ро

л'4

-1

(3.2)

где к — константа, равная отношению теплоемкостей при постоянном давлении и объеме: К = Ср/Су = 14

Как известно, полное давление при отсутствии скачков уплотнения в невязком газе сохраняется, поэтому показания датчика, если он находится вне пограничного слоя, должны совпадать с полным давлением в набегающем потоке. Немного усложняя задачу, будем считать, что показания датчика все-таки отличаются от полного давления в набегающем потоке (погрешности самого датчика в расчет не берутся). Такая ситуация имеет место, например, при появлении отрывов или при возникновении местных сверхзвуковых зон. В численных расчетах, проведенных на основе уравнений Эйлера, потери полного давления имитирует так называемый «энтропийный слой», возникающий у твердой поверхности.

Чтобы отличать полное давление набегающего потока от показаний датчика, будем добавлять к первому индекс «да». Тогда соотношения (3.2) можно записать как:

Ро.

■ = 1 1

к-1

М

к

2 1к-1

к-1

Ро,

Л

1— к

-1

(3.3)

Учитывая, что датчик статического давления измеряет локальное давление на поверхности, строится новая имитационная модель, связывающая локальные параметры с параметрами набегающего потока:

Ро

Р

г

Ро,

Л

г(«», Р.)

(3.4)

где функция g (ада, Рда) позволяет учесть влияние углов атаки и скольжения, которые предполагаются известными (например, из показаний соответствующих датчиков).

Вид функции g (аот, р^,) получится из перемножения уравнений (2.2) и (2.3), которые, как показывает анализ в предыдущей главе, адекватно отражают функциональную связь между давлением и факторами ах и р^:

3 3

gi (, Р„) = 2Ё*>»Р». (3.5)

у=0 т=0

Определение коэффициентов регрессии Ьіут из уравнения (3.5) производится на основании

тех же исходных данных, которые были подготовлены для создания имитационной модели (2.5). После определения всех коэффициентов регрессии, входящих в (3.4), это уравнение используется для выделения на поверхности носовой части ЛА областей, пригодных для установки датчиков. Такие области определяются в результате реализации следующей цепочки действий:

случайным образом в пространстве факторов {аот, р^} выбирается ряд тестовых режимов; для каждого из этих режимов на основании численных расчетов определяется поле Ро/ р. Это же поле восстанавливается с помощью имитационной модели (3.4);

после вычитания полученных полей одно из другого, получается поле абсолютных отклонений величины Ро/ р;

среди всех тестовых режимов для каждого узла расчетной сетки выбирается максимальное (по модулю) отклонение;

в полученном поле максимальных отклонений 5шах (х, у, г) сравниваются значения на правом и левом бортах и берется наибольшее; в результате получается окончательное поле максимальных отклонений б^аХ (х, у, г), симметричное по обоим бортам (рис. 15); для заданного уровня погрешности, например:

бтах (х, у, г)< 0.005, (3.6)

находятся искомые оптимальные области, выделенные на рис. 15 белыми линиями.

Следует отметить, что в задаче об определении числа Маха набегающего потока необходимо определить аналитические выражения для коррекции показаний датчиков, а также оценить получаемые погрешности вычисления М^.

Аро/р

4. Коррекция показаний датчиков. Рассмотрим датчики полного и статического давления, расположенные на левом борту ЛА, и получим для них функцию коррекции. Тогда скорректированные показания можно непосредственно подставлять в (3.3) и определять искомое число Маха набегающего потока.

Выражение (3.4) можно переписать в следующем виде:

— = g1 (., Р.) + g2 (., Р.)

Р Р<

Po.

app

sensor

(4.1)

где функции g1, g2 однозначно определяются из построенной имитационной модели, а индексы «app» и «sensor» определяют погрешности аппроксимации и датчика соответственно. Аналогично (3.6) устанавливаем верхний уровень погрешности Д( p0/p ) = 0.005.

Задавая погрешность датчиков полного и статического давления 5p = 25 Ра, получаем:

sensor

рЛр -2 po Лр < P+Po ^ < 2.2-Ц. = o.ooo55 * Л

р2 Р Р 1o5

app

где Дро, Др — погрешность измерения полного и статического давлений. Отсюда заключаем, что

Д(Ро/Р) = Д(Ро/Р)app + Д(Ро/РLnsor *Д(PolР)app.

После простых преобразований выражения (4.1) имеем функцию коррекции и соответствующую погрешность:

po. = g1 (а., Р. )

1

Po

P. g2 (., P.) g2 (., Р.) Р

o.oo5

Г Р ^

po«

(4.2)

g2 (а., Р.)

где Ро/Р определяется по показаниям датчиков.

Теперь определим ошибку измерения числа Маха в набегающем потоке. Погрешность косвенного измерения определяется формулой:

, x2, ..., xn

L

Лх1

vdx1 у

vdx2

Ax2

2

vdxn у

Учитывая, что M. = M.

Г P >

po.

.

после дифференцирования (З.З) имеем:

к-1

Г P v

po«

AM .=

к

к-1 2 Г P ' po. 1-1 к -1

p 8

Г P >

po«

.

Используя (4.2), после некоторых упрощений получаем:

V2 (к-1)

Р0»

ЛМ»=-

0.005

г \ 1-і §2 (а», Р»)

2к Р0» к -1

11 V р» )

Считая к = 7/5, переписываем (4.3) окончательно в виде:

л/5

Р0о

ЛМ »=■

0.005

Р0»

^/7 §2 (», Р»)'

-1

(4.3)

(4.4)

Т аблица 3

Примеры численных оценок абсолютной погрешности ДМ, соответствующей различным значениям числа Мм, приводятся в табл. 3, а распределение этой погрешности в области варьировании а^ и при числе Мот = 0.4

иллюстрируется на рис. 16.

Анализ формулы (4.4) показывает, что для выбранной области варьирования факторов {а^, р^} ошибка в определении числа Мю не превышает 0.01.

М» а» Р» §2 ЛМ»

0.35 13.0 -8.0 1.2791 0.008

0.75 13.0 8.0 1.3291 0.003

0.45 4.0 0.0 1.1494 0.006

Рис. 16. Изолинии погрешности ЛМ»(а», р») при М» = 0.4

В заключение следует отметить, что выражения (4.2) — (4.4) полностью завершают решение поставленной выше задачи об определении числа Маха. Все результаты, полученные в данном разделе, можно повторить и для датчиков, установленных на правом борту. Необходимо

подчеркнуть, что датчики на правом и левом бортах могут работать независимо друг от друга, что, несомненно, повышает безопасность полета в случае отказа одного из них.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волошин О. Л., Мамров В. П., Прысев Б. Ф. О выборе места установки датчика аэродинамического угла флюгерного типа // ТВФ. 2004. Т. ЬХХУШ, вып. 1 (666).

2. Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных по времени уравнений Навье — Стокса. Сб. статей //

Труды ЦАГИ. 2007, вып. 2671.

3. Зленко Н. А. Использование методов регрессионного анализа при создании имитационной модели локальных полей // ТВФ. 2009. Т. ЬХХХШ, № 1.

4. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. — М.: Наука, 1976.

5. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987.

6. Бродский В. З., Бродский Л. И., Голикова Т. И., Никитина Е. П., Панченко Л. А. Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей (справочное издание). — М.: Металлургия, 1982.

7. Бобцов В. А., Зленко Н. А. Автоматизированная диалоговая система аппроксимации экспериментальных данных // Труды ЦАГИ. 1993, вып. 2522.

Рукопись поступила 15/¥ 2009 г.