Оптимизация портфеля в однофакторной модели Шарпа Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

международный научный журнал «инновационная наука» №12/2015 issn 2410-6070

соответствующей транспортной задачи.

Рассмотрим здесь для определённости услуги медицины и аптечной сети. Намечаются пункты, где можно произвести реконструкцию или расширение действующих предприятий и учреждений - больниц, поликлиник и аптек, или осуществить новое строительство предприятий и учреждений для доставки услуг потребителям.

Построим модель этой задачи. Для этого вначале введём обозначения: i - номер предприятия, товары и услуги производящего - будем сюда включать больницы, поликлиники и аптеки;

n - число предприятий; j - номер потребителя; m - число всех потребителей;

q(i) - затраты на производство единицы продукции на i - м предприятии

a(j) - объём поставки продукции j - му потребителю

n(i) - максимальная возможная мощность i-го предприятия

c(i,j) - доставки единицы прикеодукта от i - го предприятия j - му потребителю

x(i) - объёмпроизводства i - го предприятия

x (i,j) - объём перевозки от i - го предприятия j - му потребителю. Требуется найти минимум общих затрат Tq(i)x(i) + Xc(i,j)x(i,j) =>min

при ограничениях на объёмы производства и объёмы потребления продуктов x(i) = X x(i,j) < n(i), i = 1,...,n, при условии не отрицательности переменных. Однако, известны случаи, когда транспортная задача является несбалансированной. Это может быть обусловлено многими причинами, например, несоответствием графика отправки грузов запланированному графику. При этом возникают дополнительные затраты: в связи с хранением излишних объёмов медикаментов или продуктов или их дефицитом. Некоторые виды штрафов, отражающие эти затраты, а именно кусочно-линейные, могут приводить к использованию комитетных решений транспортных задач.

В случае несовместности систем ограничений метод комитетов предписывает применять вместо представления решения системы некое его универсализацию - консилиум векторов, реализующий понятие «размытого» решения. Другое название - комитет решающих правил. Комитетом (комитетом большинства) системы неравенств над пространством L называется такое конечное множество С из L, что любому неравенству системы удовлетворяют более половины элементов множества С. Список использованной литературы:

1. Ерёмин, Мазуров, Скарин, Хачай. Математические методы в экономике. Екатеринбург, УрГУ. 2006 — 280 с.

2. Мазуров В.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации. Москва, Наука. 1990. - 248с.

3. Экономико - математический энциклопедический словарь - М. - 2003, 688с.

© Мазуров Вл.Д., Гилёв Д.В., 2015.

УДК 51-77

М.И.Маликова

студентка 2 курса магистратуры факультета Прикладной математики и информационных технологий Финансового Университета при Правительстве РФ, г. Москва, РФ

ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ В ОДНОФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ ШАРПА

Аннотация

Одним из ключевых моментов портфельного анализа является изучение взаимосвязи характеристик

международный научный журнал «инновационная наука» №12/2015 issn 2410-6070

акций с различными внутренними и внешними факторами. Когда число акций, входящих в портфель довольно большое, усложняется процесс вычислений, что затрудняет применение на практике многофакторных моделей. Данная работа посвящена исследованию однофакторной модели, позволяющей упростить оптимизационные вычисления, и проверке её эффективности на реальных данных.

Ключевые слова

Портфельный анализ, моделирование, модель Шарпа, однофакторная модель, бета-коэффициент, методы оценки.

Рассмотрим основное уравнение модели:

Ц = а1+ &гт + Еь (1)

где 77 - доходность ценной бумаги 7 за данный период, гт - доходность на рыночный индекс т за тот же период, а^ - коэффициент смещения, ^ -чувствительность ценной бумаги к фактору гт, £( - случайная ошибка.

Показатель «бета» характеризует степень риска бумаги и показывает, во сколько раз изменение цены бумаги превышает изменение рынка в целом. Если бета больше единицы, то данную бумагу можно отнести к инструментам с повышенной степенью риска, т.к. ее цена движется в среднем быстрее рынка. Если бета меньше единицы, то степень риска этой бумаги относительно низкая, поскольку в течение периода глубины расчета ее цена изменялась медленнее, чем рынок. Если бета меньше нуля, то в среднем движение этой бумаги было противоположно движению рынка в течение периода глубины расчета. В индексной модели Шарпа используется тесная корреляция между изменением курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Как правило, за такой фактор берется значение какого-либо индекса.

Рассмотрим три подхода к оценке данного параметра: нескорректированный бета-коэффициент, бета-коэффициент Блюма, бета-коэффициент Васичека. Для тестирования предложенных методов использовались реальные данные, взятые за период с января 2010 года по декабрь 2013, таким образом, изучаемый временной интервал составил 1001 торговый день. В качестве базового актива были выбраны акции ОАО «Мосэнерго» (MSNG), входящего в индекс РТС Электроэнергетики (RTSeu).

Метод 1: Нескорректированный бета-коэффициент

Первый подход просто оценивает бета-коэффициенты по собранным данным. Эти коэффициенты являются альтернативным способом представления ковариации бумаги и рассчитываются как отношение ковариации между доходностью ценной бумаги i и доходностью рыночного индекса, к дисперсии доходности рыночного индекса:

_ С0У(ГьГт) _ - ПЖ^ -

* = ^ = ткъ-гйУ ,(2)

где % - доходность 7-ой ценной бумаги за период от 1=1до 1=Т, гш - доходность рыночного индекса т, г^ - среднее значение доходности 7-ой ценной бумаги, гтг: - среднее значение доходности рыночного индекса. Однако при таком методе оценки возникают большие расхождения между оцененными параметрами и их реальными значениями (см. рис. 1). Это связано с тем, что бета-коэфициент не постоянен во времени.

международный научный журнал «инновационная наука»

№12/2015

2410-6070

Рисунок 1 - График изменения реального и нескорректированного бета-коэффициентов Метод 2: Бета-коэффициент Блюма

Маршалом Блюмом был предложен иной вариант анализа поведения бета во времени. Данный анализ показывал, что с течением времени появляется тенденция к сближению между реальными значениями бета в прогнозном периоде и единицей, нежели оцененными параметрами бета по собранным данным. Его техника пытается описать такой характер сближения при помощи корректировки бета-коэффицинтов. По сути, бета-коэффициент Блюма - это средневзвешенное значение между нескорректированным (стандартным) бета и единицей.

Рассмотрим беты для всех акций в нулевой и единичный периоды. Выражая одно через другое, получаем следующее уравнение: ^ = кг + к2^10 (3)

Но при данной корректировке рост бета в одном периоде будет приводить к росту бета в следующем периоде, и наоборот, что с трудом проявляется в реальности. Поэтому Блюму пришлось заменить свое среднее значение бета на его математическое ожидание.

Рассмотрим реализацию данного метода на реальных данных (рис. 2). Заметно, что этот метод практически отражает реальность.

Рисунок 2 - График изменения реального и рассчитанного методом Блюма бета-коэффициентов

международный научный журнал «инновационная наука»

№12/2015

issn 2410-6070

Метод 3: Бета-коэффициент Васичека

Другая методика, предложенная О. Васичеком, включает в себя ту тенденцию, что среднее значение бета стремится к единице с течением времени. Его бета - это средневзвешенная величина между нескорректированным бета и средним бета по выборочным акциям. Следующая формула раскрывает его основную идею:

а

2

@2i — ~2 : ^Ри + 2 ,

аж+а к o2+ff

^Ч-Рх ,(4)

^ 1 _

- прогнозное значение бета для акции 7 за второй период (последующий период), /— - среднее бета среди выборочных акций в первом периоде раннем периоде), а— - дисперсия распределения имеющихся оценок для бета среди выборочных акций, ^ - оценка бета для акции 7 в первом периоде, о2р - дисперсия оценки бета для акции i в первом периоде. В качестве дополнительных выборочных акций были выбраны котировки ОАО «ИркЭнерго» (ШД2) и ОАО «ТГК-5» (TGKE), входящих в один индекс РТС Электроэнергетики.

Проанализировав график на Рисунке 3, можно заключить, что в результате применения третьего метода оценки бета получены достаточно ошибочные прогнозы, возможно, это вызвано использованием выборочных акций, имеющих маленькую долю в составе индекса RTSeu, но не стоит отрицать и возможную неточность самого метода оценки.

Рисунок 3 - График изменения реального и рассчитанного методом Васичека бета-коэффициентов

Итак, подведем итог всему вышесказанному. Проанализировав три данных метода расчета бета с использованием статистического, математического и регрессионного аппаратов, мы пришли к выводу о том, что техника, разработанная Блюмом, дает наилучшие результаты.

Список использованной литературы:

1. Yansen Ali, Simplifying the portfolio optimization process via Single Index Model, Northwestern University, 2008;

2. В.А. Бабайцев, В.Б. Гисин, Математические основы финансового анализа М.:ФА, 2005. 200с.

© Маликова М.И., 2015