Оптимизация портфеля на основе меры риска Value At Risk Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)

Математические методы и модели ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ НА ОСНОВЕ МЕРЫ РИСКА VALUE AT RISK Елена Рифовна КОЛЯСНИКОВА3*, Диана Альбертовна ГЕЛЕМЯНОВАь

а кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических методов в экономике,

Башкирский государственный университет, Уфа, Российская Федерация

[email protected]

ь студентка института экономики, финансов и бизнеса, Башкирский государственный университет,

Уфа, Российская Федерация

[email protected]

* Ответственный автор

Аннотация

Предмет и тема. При формировании портфеля инвестор чаще всего принимает решение в условиях неопределенности и риска. Рассматриваются вопросы формирования и оптимизации параметрических портфелей ценных бумаг на основе меры риска Value At Risk, проводится обзор существующих методик. Предлагается трехшаговая модель формирования оптимального портфеля на основе следующих мер риска: стоимости под риском Value At Risk, стандартного отклонения и полуотклонения. Отличительной чертой предлагаемой модели является выраженная практическая направленность.

Цели и задачи. Предложить трехшаговую модель для решения задачи формирования оптимального портфеля на фондовом рынке. Провести вычислительный эксперимент, реализующий предложенную модель, с учетом реальных данных на рынке ценных бумаг. Дать рекомендации инвестору по составлению оптимального портфеля. Методология. Исследование проводилось на основе статистического и портфельного анализа с применением оптимизационных методов. Обработка статистической информации осуществлялась в программах MS Excel и STATISTICA 10, оптимизационные задачи реализованы в MS Excel.

Результаты. Рассмотрена задача формирования портфеля на фондовом рынке, учитывающая следующие меры риска: стоимость под риском Value At Risk, стандартное отклонение, полуотклонение.

Область применения. Работа адресована широкому кругу экономистов, работникам банков, аналитикам, инвесторам, работающим на финансовых рынках и желающим сформировать оптимальный портфель из финансовых инструментов.

Выводы и значимость. В результате проведенного исследования сформирован портфель по предложенной трехшаговой модели. Модель позволяет дать рекомендации инвестору, как оптимально распределить денежные средства по ценным бумагам.

© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2015

История статьи:

Принята 21.05.2015 Одобрена 08.07.2015

УДК 336.76

Ключевые слова: стоимость, риск, Value At Risk, портфель ценных бумаг, полуотклонение, стандартное отклонение

Обзор литературы

Краеугольным камнем теории финансов является соотношение риска и доходности, где большая ожидаемая доходность сопряжена с большим уровнем риска. Поэтому идентификация, классификация, измерение рисков и управление ими являются ключевыми задачами инвестиционного процесса.

Финансовые риски - это вероятность потери части ресурсов, дополнительных расходов или неполучения доходов вследствие каких-либо нежелательных изменений в конъюнктуре внешних и внутренних факторов среды. Невозможно найти единой методологии измерения всех финансовых

рисков. Однако существуют некоторые методы, с помощью которых можно с приемлемой точностью измерять величину финансовых рисков1.

Наиболее эффективным инструментом измерения финансовых рисков в настоящее время в мире является методология Value At Risk (VaR) - стоимость под риском или мера риска). Value At Risk является суммарной мерой риска, способной производить сравнение риска по различным портфелям и по разным финансовым инструментам. Value At Risk -это величина убытка, которая с вероятностью,

1 Бочаров С.А., Иванов А.А., Олейников С.Я. Риск-менеджмент: учебный комплекс. М.: ЕАОИ, 2008. 193 с.

равной уровню доверия (например, 99%), не будет превышена2.

Использование VaR-методологии оценки риска обладает рядом несомненных преимуществ, она позволяет:

- определять VaR для портфелей с различными видами активов, включая производные, в отличие от измерителей риска, предназначенных для однородных финансовых инструментов;

- оценить риск в терминах потерь, соотнесенных с вероятностями их возникновения;

- измерить риски на различных рынках универсальным образом;

- агрегировать риски отдельных позиций в единую величину для всего портфеля, учитывая при этом информацию о количестве позиций, волатильности на рынке и периоде поддержания позиций.

Вместе с тем VaR обладает существенными недостатками:

- не учитывает возможности больших потерь, которые могут произойти с маленькими вероятностями;

- не может различить разные типы хвостов распределения потерь и поэтому недооценивает риск в случае, когда распределение потерь имеет «тяжелые хвосты», т.е. его плотность медленно убывает.

Изучение и распространение VaR-методики чрезвычайно актуально, так как она является стандартным инструментом финансовых менеджеров крупных мировых корпораций в разных отраслях экономики. Методика используется в качестве единого унифицированного подхода к оценке риска международными банковскими и финансовыми организациями.

Впервые методика VaR была использована в 1994 г. крупнейшей инвестиционной компанией США Дж.П. Морган в системе оценивания риска Riskmetrics. Value At Risk является функцией двух параметров: временного горизонта и доверительного интервала (уровня доверия)3.

2 Бронштейн Е.М., Куреленкова Ю.В. Сравнение оптимальных инвестиционных портфелей, минимизирующих различные меры риска // Экономический анализ: теория и практика. 2006. № 3. С. 8-14.

3 ТананаД.Б., БабушкинаК.В. Использование свойств показателя VaR (Value-at-Risk) при формировании инвестиционного портфеля и пересмотре его структуры // Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов: материалы

Существуют параметрический и непараметрический подходы к оценке VаR.

Параметрический подход предполагает использование параметров распределения вероятностей экономических характеристик и включает вариационно-ковариационный метод. При использовании параметрического метода на основании исторических данных делается предположение о возможном распределении цен либо доходностей финансовых инструментов, при этом в качестве распределения доходностей используется нормальное распределение, а в качестве распределения цен - логнормальное.

Непараметрический подход оценивает показатель VаR на основе исторического метода или имитационного моделирования (метод Монте-Карло). В историческом методе фиксируются значения изменений стоимости финансового инструмента или портфеля финансовых инструментов на выбранном временном горизонте с заданной доверительной вероятностью. Из полученного массива изменения стоимостей финансовых инструментов выбирается значение, удовлетворяющее нижней (верхней) границе с заданной вероятностью. Метод Монте-Карло предполагает моделирование большого количества возможных ситуаций на рынке ценных бумаг и построение возможных финансовых результатов по исследуемым финансовым активам.

В 1995 г. Базельский комитет по надзору за банками предложил банкам использовать собственные модели оценки VаR в качестве основы для расчета резервов капитала. Авторы работы [1] предложили полупараметрический метод оценки VаR на основе теории экстремальных значений и методов максимального правдоподобия, где наблюдения на «хвостах» распределения моделируются параметрически, а историческое моделирование используется для всех остальных наблюдений.

Авторы работы [2] представляют исследование применимости различных моделей вычисления оценок риска VаR на нестабильных финансовых рынках. В работе рассмотрены следующие методы: метод постоянных ковариаций, метод экспоненциально взвешенных ковариаций, GARCH-модели, модель, использующая непараметрические методы вейвлет-анализа.

V Международной научно-практической интернет-конференции, 15.12.2013- 15.02.2014. Волгоград: Консалт. URL: http://www. volsu.ru/forum/forum76/topic474/.

Параметрический VаR рассмотрен В.Д. Никифоровой4 применительно к одной из его разновидностей - абсолютного VаR, представляющего максимальную сумму денег, которую может потерять инвестор в течение определенного времени с заданной доверительной вероятностью.

В работе [3] предлагается механизм оценки VаR инновационного риска, основанный на представлении бизнес-процессов инновационного проекта стохастическими сетевыми графами с циклами. Предлагается также проводить анализ бизнес-процессов средствами имитационного стохастического моделирования, раскрывается алгоритм количественной оценки VаR инновационного интегрированного риска, основанный на декомпозиции основных факторов риска с учетом особенностей их проявления в ходе реализации инновационного проекта. Авторы работ [4, 5] используют имитационное моделирование для оценки валютных рисков на основе показателя VаR.

Анализ риска на основе показателя VаR с помощью GARCH-модели производит О.И. Никонов [6]. Методика расчета показателя VаR для портфеля ценных бумаг, содержащего инструменты с короткой историей торгов, представлена А.А. Кадниковым [7]. В свою очередь О.А. Хорева [8] предлагает использование методики VаR при измерении контрагентного риска для форвардных фрахтовых соглашений.

Анализ применимости различных методов расчета VаR на российском рынке акций приводится авторами работ [9]. Авторы работы [10] рассматривают различные виды лимитов на риск на основе VаR.

Общие положения

Для описания действий инвестора на фондовом рынке вводится понятие портфеля финансовых вложений. Под инвестиционным портфелем активов (рисковых ценных бумаг с возможным содержанием безрискового актива, например государственной облигации) понимается определенная совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу, либо физическим или юридическим лицам, как целостный объект управления [11].

Основными характеристиками ценной бумаги

являются доходность и риск. Ожидаемая доходность актива - отношение дохода, который планирует получить инвестор через некоторый промежуток времени, к сумме первоначально вложенных им средств, исходя из оценок вероятности получения дохода в желаемом размере [12]. Ожидаемая доходность вычисляется как математическое ожидание при известном законе распределения или как среднее арифметическое при известных фактических данных.

Ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной величиной ожидаемых доходностей активов, входящих в портфель, где в качестве весов выступают доли активов в портфеле. Рассчитывается ожидаемая доходность портфеля по формуле

^ Р = I xA'

где ц - ожидаемая доходность портфеля;

х. - доля актива i в портфеле;

ц. - ожидаемая доходность актива

п - количество активов в портфеле.

Риск актива - вероятность неполучения ожидаемой доходности в требуемом размере. В работах Гарри Марковица впервые в портфельной теории риск получил точное количественное выражение, что и позволило формализовать математические модели задач оптимизации инвестиционных портфелей [13]. В теории Марковица риск определяется как дисперсия

а2 =

I (^-Ю2

N -1

где N - количество наблюдений;

ц. - доходность актива в 7-м периоде;

ц - ожидаемая доходность актива,

или стандартное (среднеквадратическое) отклонение

4 Никифорова В.Д. Рынок ценных бумаг: учеб. пособие. СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов, 2010. 160 с.

с = \с .

Для снижения риска (дисперсии) в портфель следует включать активы, наименее коррелированные между собой.

Коэффициент корреляции между активами, входящими в портфель, показывает, в какой степени изменение их доходности зависит друг от друга. Чем ближе коэффициент корреляции

1=1

к минимальному значению (-1), тем больше возможность составить портфель с нулевым риском. Вычисляется коэффициент корреляции по формуле

Р* = , с.с *

где о* - ковариация доходностей активов 7 и j;

,о*- стандартные отклонения доходностей активов 7 и j соответственно.

Ковариация - показатель зависимости двух случайных величин. Положительная ковариация свидетельствует о том, что при изменении значения одной переменной другая изменится в том же направлении. Отрицательная ковариация говорит о тенденции переменных изменяться в противоположном направлении. В случае наличия статистической информации о фактических данных доходностей активов ковариация о о* рассчитывается по формуле

Ё ,t , )(Ц]t j)

c j =■

N -1

_2

=

N-1

который может быть уменьшен или нивелирован за счет диверсификации. В последнее время предложен ряд новых мер оценки рыночных рисков.

Наиболее распространенной в настоящее время методологией оценивания финансовых рисков является Value at Risk. За последние несколько лет VaR стал одним из самых популярных средств оценки, управления и контроля за риском. Оценка VaR используется организациями, осуществляющими надзор за банками, для определения резервов капитала. Параметрический VaR актива рассчитывается по формуле [3]:

VaR, = -(Ц,+ z, ),

(1)

где Ци - доходность актива 7 за момент времени 7; Ц . - ожидаемая доходность актива 7; ц*7 - доходность актива * за момент времени 7; Ц* - ожидаемая доходность актива *; N - количество наблюдений.

Однако применение дисперсии или стандартного отклонения в качестве меры риска нередко оказывается неэффективным. Это объясняется тем, что дисперсия не раскрывает структуры отклонений, т.е. не различает положительных и отрицательных отклонений и не учитывает риска больших, но редких убытков. Дисперсия одинаково учитывает отклонения в доходности актива в сторону ее увеличения и снижения. В то же время инвестора, купившего финансовый актив, беспокоит именно снижение его доходности. Рост доходности, по сути, не является для него риском, поэтому позже Марковиц предложил в качестве меры риска показатель полудисперсии [14]:

I (ц,-Ц)2

1=1;ц, <ц

В работах Уильяма Шарпа риск финансового актива разделяется на рыночный (неспецифический) и собственный (специфический) риск портфеля,

где 2а, - квантиль нормального распределения для заданного уровня вероятности потерь а';

<Ji - стандартное отклонение (корень из дисперсии).

На фондовом рынке обращаются рисковые финансовые активы. Требуется определить, в какие финансовые инструменты вкладывать денежные средства и в каком количестве.

Главная цель инвестора при формировании портфеля ценных бумаг - обеспечение оптимального соотношения между риском и доходностью - может быть достигнута только за счет решения задачи тщательного отбора фондовых инструментов.

Алгоритм действий инвестора

Для решения поставленной задачи инвестор руководствуется следующим алгоритмом действий.

На первом этапе в зависимости от цели выбираются временной горизонт и тип актива. Согласно принципам формирования портфеля инвестору необходимо собрать в портфель наиболее ликвидные и безопасные с точки зрения риска ценные бумаги с наибольшей доходностью - акции. При этом портфель должен быть диверсифицированным. Среди многочисленных эмитентов российского фондового рынка выделяют отдельную группу наиболее надежных и котируемых. Внутри эмитентов этой группы акции также подразделяют на высоко- , средне- и низколиквидные. Иными словами, при высокой оценке и котировке акций эмитентов среди них выделяют голубые фишки (с наилучшими показателями ликвидности и наиболее котируемые) и эмитентов второго эшелона. Будем считать, что инвестор отдаст предпочтение акциям голубых фишек.

На втором этапе отбор активов в портфель

t=1

осуществляется по уровню ожидаемой доходности каждого актива. Уровень ожидаемой доходности должен быть положительной величиной, поскольку инвесторы предпочтут вложить средства в наиболее доходные ценные бумаги.

На основе статистических данных за временной промежуток Т определяется фактическая доходность по каждому активу по формуле

Pt =

P - P

11 11-1

P,,

I*

p = t=1

N

где с - фиксированный уровень доходности портфеля.

В качестве модели оптимизационного построения портфеля предложим трехшаговую модель, включающую три модели минимизации риска при заданном уровне доходности.

Шаг 1. Формируется оптимальный портфель по модели минимизации стоимости под риском:

где ц - доходность актива за момент времени

Р ( - средневзвешенная цена за период I;

Р-1 - средневзвешенная цена за период ^ - 1).

Значение ожидаемой доходности актива при известных фактических данных доходностей определяется по формуле

(3)

(2)

На третьем этапе рекомендуется диверсифицировать портфель. Для этого следует отобрать в портфель те активы, которые имеют наименьшую взаимную корреляцию доходностей между собой. Отбор акций по показателю наименьшей взаимной корреляции направлен на уменьшение возможных рисков по портфелю. Чем меньше корреляция активов, составляющих портфель, тем более он устойчив к возможному снижению доходности в случае возникновения на рынке нисходящего движения.

На заключительном четвертом этапе происходит формирование портфеля в соответствии с выбранной математической моделью.

Формализация математической модели формирования оптимального портфеля

Пусть на рынке обращаются активы с доходностями ц. . Если х. - доля актива ¿' в портфеле, выполняется

п

I х = 1.

¿=1

Пусть не допускается кредитование ценными бумагами на рынке, т.е. отсутствуют «короткие продажи», тогда х{ > 0, вес актива 7 не может быть отрицательным.

Ожидаемая доходность портфеля равна

_ п

цр =1 хР, > С

¿=1

VaRp = ^IVaRp х R х IVaRTp ^ min;

n

р p =Z -с;

1=1

n _

Z xi = 1, xi - 0, i = 1, n,

1=1

где VaRp - стоимостная оценка риска портфеля;

IVaRp - вектор-столбец индивидуальных значений VaR. по каждому активу, входящему в портфель, взвешенный на долю каждого актива в портфеле;

IVaRT - транспонированный вектор-столбец

IVaR p

p'

R - матрица корреляций между доходностями активов в портфеле [15].

Полученное по модели (3) значение VaR портфеля

запоминается VaR = v

р

Шаг 2. Формируется оптимальный портфель по модели минимизации стандартного отклонения доходности портфеля:

а p =

n,n.а.. ^ min;

j 1 j '

VaRp = ^IVaRp x R x IVaRp < v;

pp =IxiPi >c;

i=1

n _

I x = 1, xf > 0, i = 1,/

(4)

где ср - стандартное отклонение доходности портфеля;

V - минимальное значение VaRp, рассчитанное по модели (3).

Таким образом, модель (4) использует расчетные значения модели (3).

Запоминается полученное значение с портфеля:

с = е.

р ~

Шаг 3. Формируется оптимальный портфель по модели минимизации полуотклонения доходности портфеля:

i=1

C1/2 p =

JEl

n,n.с ^ min;

j 1 J 1

VaRp = jIVaRp x R x IVaRp < v;

c P =

JZZsJJ < Q;

n

ц p =Z -c;

i=i

n _

Z X = 1, x - 0,1 = 1, и,

(5)

где c1/2 - полуотклонение доходности портфеля;

1

6

'Q(a') = Z(o,) + -(z^-1) S +

+ ^i(Z(3o') - 3Z(a')) K - 36(2Z(3a') - ^a')^,

(6)

К - коэффициент эксцесса;

- коэффициент асимметрии.

Коэффициент асимметрии или скоса характеризует смещение распределения относительно математического ожидания [17]. При положительном значении коэффициента распределение скошено вправо, т.е. более длинная часть распределения лежит правее центра, и наоборот, если значение коэффициента асимметрии отрицательно. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0. Коэффициент асимметрии рассчитывается по формуле

с .. - полуковариация между доходностями двух е = активов (рассчитывается аналогично обычной ковариации, но учитывает лишь неположительные значения наблюдаемых отклонений доходности актива);

с

Q - минимальное значение ср, рассчитанное по модели (4).

Таким образом, модель (5) использует расчетные значения моделей (3) и (4). То есть инвестору предлагается формировать оптимальный портфель по трехшаговой модели.

В модели (3) показатель стоимостной оценки риска VаR рассчитывается параметрическим методом, который предполагает использование параметров распределений вероятностей экономических характеристик. В финансовом анализе, как правило, используется предположение, что доходности финансовых инструментов имеют нормальное распределение, а их цены - логнормальное. Однако на практике это предположение редко выполняется, поскольку распределения имеют «тяжелые хвосты», т.е. плотность распределения медленно убывает. Для учета отклонения распределения доходностей активов от нормального используем разложение Корниша -Фишера [16] (для расчета VaR активов, распределение доходностей которых отлично от нормального). Поправка, учитывающая отклонение от нормального распределения, рассчитывается по формуле

где ' ) - поправка, учитывающая отклонение от нормального распределения;

2(а.) - квантиль стандартного нормального распределения с уровнем доверия а' ;

где Е(ц-ц)А - математическое ожидание ^й степени отклонения случайной величины доходности ц от ее математического ожидания ц;

с - стандартное отклонение случайной величины доходности ц.

Эксцесс характеризует остроконечность (при положительном значении коэффициента эксцесса) или пологость (при отрицательном значении) распределения по сравнению с нормальной кривой [17]. Теоретически нормальное распределение должно иметь нулевое значение эксцесса. Эксцесс К рассчитывается по следующей формуле

К Е(ц-ц)4 3

К = ~С4--3.

При расчете поправки в работе уровень доверия а ' принимается равным 5%, так как в случае использования меньшей вероятности потерь расчетный VaR занижается по отношению к реальному [7]. При высоком эксцессе распределения с некоторого момента квантили начнут возрастать стремительно при увеличении уровня доверия. С учетом поправки скорректированный VaR для активов, распределения доходностей которых отлично от нормального, будет рассчитываться по следующей формуле [16]

VaR = -(ц + ^(а ' )с). Вычислительный эксперимент

Для анализа были взяты 23 обыкновенные высоколиквидные акции российских компаний за временной промежуток с 21.07.2014 по 28.01.2015 (132 торговых дня). В качестве источника данных о котировках акций был использован информационный портал Investfunds5. При расчете VaR активов

5 Investfunds. URL: http://stocks.investfunds.ru/.

1=1

Таблица 1

Акции российских компаний с положительной дневной доходностью на временном горизонте с 21.07.2014 по 28.01.2015

Компания Ц, %

Алроса 0,47

ВТБ 0,41

Газпром 0,02

Газпром нефть 0,02

Норникель 0,39

Магнит 0,13

Мегафон 0,02

ММК 0,55

НЛМК 0,46

Роснефть 0,03

Северсталь 0,59

Уралкалий 0,19

ФСК - ЕЭС 0,01

использовался дельта-нормальный метод со следующими параметрами: временной горизонт - 1 день, глубина выборки данных - 132 торговых дня, уровень доверия - 95%.

Для оценки ожидаемой доходности и стандартного отклонения по каждой акции были рассчитаны значения выборочного среднего по формуле (2) и выборочного стандартного отклонения доходности на интервале в 132 торговых дня. В результате для анализа были взяты 13 акций российских эмитентов, отобранные по положительному значению средней дневной доходности (табл. 1) и наименьшей коррелированности между собой (ограничение на коэффициент корреляции < 0,5) для уменьшения риска портфеля (см. рисунок).

2

По критерию согласия X Пирсона была проверена гипотеза о нормальности распределения доходностей акции анализируемых компаний. В результате проверки на нормальность распределения для акций «ВТБ», «Газпром», «Газпром нефть», «Мегафон», «Уралкалий», «ФСК - ЕЭС» гипотеза отклоняется на уровне значимости а = 0,05. Распределение доходностей перечисленных акций не соответствует нормальному, так как р-уровень перечисленных акций меньше уровня доверия а = 0,05, поэтому для них будем применять при расчете VARp поправку. В табл. 2 представлены промежуточные расчеты основных характеристик по каждой акции: коэффициенты асимметрии, эксцесса, поправка О(а') и расчет VаR с учетом поправки для акций, распределение доходностей которых отлично от нормального, и по формуле (1) для акций с нормальным распределением доходностей.

2

•J

0 я

1

о

«

:=

5 -

Я -

о

6

&

§

се -

=

I

U m w

I

И

и ©

:= S

Л &

н

и &

о

я

Щ

U

л н ■fr

о =

и £

=

0 ■fr

л -

1

л

4

£

5 =

6

о

я

® ¡5 л t

В "fr

п О

гй в

м

о &

в

м

W н со

л и

о &

Ч <

о I

о I

о"

<N

О

<N

CD~

<N

сл <N

сл <N

CD CD

CD CD

СЛ <N CD

СЛ CD

<N

CD

О I

<N

CD

<N

CD CD I

OO <N

CD

CD

<N

CD

CD

CD^ CD

О I

CD

<N

CD

CD

t--

CD I

OO

о

t--о

<N

CD

<N

CD

СЛ CD

CD

OO О

CD

<N

OO <N

СЛ CD

О I

t-<N CD I

О I

OO <N

О I

oo <N

t--О

CD CD

CD CD

<N

CD

t--CD

i

<N О

<N

CD

<N

CD

<N

CD

i

OO

CD CD

<N

CD

СЛ CD CD

<N

CD

<N

CD

<N <N

CD

Л H

■fr

щ

В

о &

в

м

Vi s в

¡s

в о ■fr

л -

л н

■fr

щ

в

и £

Таблица 2

Расчет основных характеристик для меры риска VAR

Компания S (асимметрия) К (эксцесс) 'ß(a') VAR

Алроса 0,34 1,12 1,72 -0,0372

ВТБ 1,08 2,98 1,87 -0,0247

Газпром 6,17 50,54 1,66 -0,0010

Газпром нефть 5,99 44,5 1,78 -0,0010

Норникель 0,23 2,57 1,66 -0,0319

Магнит -0,05 1,88 1,59 -0,0354

Мегафон -0,22 3,78 1,51 -0,0359

ММК 0,27 0,85 1,7 -0,0399

НЛМК 0,96 3,6 1,83 -0,0302

Роснефть 0,24 2,32 1,67 -0,0268

Северсталь -0,6 5,54 1,36 -0,0038

Уралкалий -1,33 13,38 0,96 -0,0456

ФСК - ЕЭС -1,68 16,88 0,77 -0,0504

В моделях (3)-(5) зададим с = 0,04%, т.е. заданный уровень ожидаемой доходности примем равным или больше 0,04% в день. Это составляет 10,6% годовых (по эквивалентности процентных ставок из расчета 252 торговых дня). Данная ставка соответствует рыночным ставкам по депозитам на январь - февраль 2015 г.

В результате построены портфели, оптимальные по показателям риска VARp, ср и с1/2p с учетом заданного уровня ожидаемой доходности. Для решения поставленной задачи применяется «Поиск решения» в MS Excel.

По модели (3) получено: VARp = 0,076%, ц = с. При вероятности потерь 5% это означает, что:

- величина убытка составит не более 0,076% на следующий торговый день;

- в ближайший день потери окажутся выше величины VARp с вероятностью 5%;

- можно быть на 95% уверенным, что потери в следующий торговый день не превысят величины

VAR .

p

Наибольшую долю в портфеле занимают акции «Газпрома» и «Газпром нефти». Нужно заметить, что большая часть активов не вошла в оптимальный портфель. Оптимальный портфель включает в себя акции следующих эмитентов: «Газпром» (доля в портфеле - 50,17%), «Газпром нефть» (46,02%), «ММК» (0,35%), «Северсталь» (3,05%), «Уралкалий» (0,4%). Стандартное отклонение полученного оптимального портфеля стр составило 0,076%. Однако по показателю стандартного отклонения трудно судить однозначно о безопасности портфеля, так как стандартное отклонение не раскрывает структуры отклонений, т.е. не различает положительных и

отрицательных отклонений и не учитывает риска больших, но редких убытков. Поскольку инвестора интересует именно риск снижения доходности, был рассчитан показатель полуотклонения для полученного портфеля, который составил 0,034%.

По модели (4) получено: ср = 0,076%, с1/2р = = 0,061% при заданной доходности портфеля на уровне 0,04% в день и заданном уровне VARp = V = = 0,076%. Наибольшую долю в портфеле занимают акции «Газпрома» и «Газпром нефти». Значительная часть активов не вошла в оптимальный портфель. Оптимальный портфель включает акции следующих эмитентов: «Алроса» (доля в портфеле - 0,01%), «ВТБ» (0,03%), «Газпром» (49,41%), «Газпром нефть» (46,8%), «ММК» (0,39%), «Северсталь» (3,01%), «Уралкалий» (0,36%).

По модели (5) получено: с1/2 р=0,034%, ср=0,076% при заданной доходности портфеля на уровне 0,04% в день и заданном уровне VARp = V = 0,076. Наибольшую долю в портфеле занимают акции «Газпрома» и «Газпром нефти». Большая часть активов не вошла в оптимальный портфель. Оптимальный портфель включает акции следующих эмитентов: «Алроса» (доля в портфеле - 0,04%), «Газпром» (49,24%), «Газпром нефть» (46,97%), «ММК» (0,41%), «Северсталь» (2,96%), «Уралкалий» (0,38%).

Результаты вычислительного эксперимента приведены в табл. 3.

Выводы

Портфель, полученный по моделям (3) и (5), привлекательнее для инвестора по показателям риска в сравнении с портфелем, построенным по модели (4). Итогом трехшаговой модели является модель (5), в соответствии с которой инвестору предлагается формировать оптимальный портфель.

Таблица 3

Результаты вычислений, %

Модель VAR p с p C1/2p Pp

(3) 0,076 0,076 0,034 0,04

(4) 0,076 0,076 0,061 0,04

(5) 0,076 0,076 0,034 0,04

Список литературы

1. Danielsson J., De Vries C.G., J0rgensenB.N. The Value of Value at Risk: Statistical, Financial, and Regulatory Considerations // FRBNY Economic Policy Review. October 1998. P. 107-108.

2. МеньшиковИ.С., Шелагин Д.А. Рыночные риски: модели и методы. М.: Вычислительный центр РАН, 2006. 55 c.

3. Демкин И.В. Оценка интегрированного инновационного риска на основе методологии Value At Risk // Проблемы анализа риска. 2006. № 4. С. 362-378.

4. Ткаченко Т. С. Использование методов имитационного моделирования в оценке валютного риска // Регион: экономика и социология. 2007. № 2. С. 80-89.

5. Уфимцев А.А. Измерение валютных рисков с помощью методологии Value At Risk // Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 8. С. 137-142.

6. Никонов О.И., Фирсов А.А. Регрессионная модель фондового рынка в коммерческом банке на основе GARCH-процесса для двух временных рядов // Вестник УГТУ. 2007. № 4. С. 70-75.

7. Кадников А.А. VаR портфеля, содержащего инструменты с короткой историей торгов // Вестник Новосибирского государственного университета. Сер.: Социально-экономические науки. 2009. Т. 9. № 3. С. 39-52.

8. Хорева О.А. Использование методологии VаR при измерении контрагентного риска для форвардных фрахтовых соглашений // Известия Санкт-Петербургского университета экономики и финансов. 2009. № 2. С. 169-170.

9. Лобанов А., Порох А. Анализ применимости различных моделей расчета VаR на российском рынке акций // Рынок ценных бумаг. 2001. № 2. С. 65-70.

10. Кайнова Е.А., Лобанов А.А. Сравнительный анализ методов расчета VаR лимитов с учетом модельного риска на примере российского рынка акций // Управление финансовыми рисками. 2005. № 1. С. 44-55.

11. Колясникова Е.Р., Скороспелова Н.А. Формирование портфеля на финансовом рынке. Алгоритм, методика, модели. Saarbrücken: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. 80 с.

12. Колясникова Е.Р., Скороспелова Н.А. Формирование портфеля с учетом различных мер риска // Управление финансовыми рисками. 2013. № 3. С. 204-220.

13. БронштейнЕ.М., ШапошниковаА.Г. Проблемы инвестирования // Аудит и финансовый анализ. 2010. № 5. С. 1-5.

14. Markowitz H. Portfolio selection: Efficient diversification of investments. New York: John Wiley & Sons, Inc., London: Chapman & Hall, Limited, 1959. 344 p.

15. Лобанов А. Проблема метода при расчете Value At Risk // Рынок ценных бумаг. 2000. № 21. С. 54-58.

16. Liang B., Park H. Risk Measures for Hedge Funds: A Cross-Sectional Approach. // European Financial Management. 2007. № 13. P. 333-370.

17. Garp P.J. Financial risk manager handbook. New Jersey: John Wiley & Sons. 2007. 714 p.

ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)

Mathematical Methods and Models

PORTFOLIO OPTIMIZATION BASED ON VALUE AT RISK AS A MEASURE OF RISK

Elena R. KOLYASNIKOVA3*, Diana A. GELEMYANOVAb

a Bashkir State University, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russian Federation [email protected]

b Bashkir State University, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russian Federation [email protected]

* Corresponding author

Article history:

Received 21 May 2015 Accepted 8 July 2015

Keywords: Value at Risk (VaR), securities portfolio, optimal portfolio, semi-deviation, standard deviation

Abstract

Importance When building an investment portfolio, investors often make decisions under uncertainty and risk. The article considers the formation and optimization of parametric securities portfolio based on Value at Risk as a measure of risk, and reviews the existing techniques. Objectives The study's objective is to develop a model to create an optimal portfolio in the stock market.

Methods We employed statistical and portfolio analyses and optimization methods. We processed the statistical information in MS Excel and STATISTICA 10, and implemented optimization problems in MS Excel.

Results We offer a three-step model of optimal portfolio based on the following risk measures: Value at Risk, standard deviation, and semi-deviation. We have conducted a computational experiment implementing the proposed model, taking into account the real data of the securities market. The article includes recommendations for investor on how to build an optimal portfolio. Conclusions and Relevance We have built a portfolio under the proposed three-step model. The model enables to make recommendations to investors on optimal allocation of funds. The work is intended for a wide range of economists, bankers, analysts, investors working in financial markets and wishing to create an optimal portfolio of financial instruments.

© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2015

References

1. Danielsson J., De Vries C.G., J0rgensen B .N. The Value of Value at Risk: Statistical, Financial, and Regulatory Considerations. FRBNYEconomic Policy Review, 1998, October, pp. 107-108.

2. Men'shikov I.S., Shelagin D.A. Rynochnye riski: modeli i metody [Market risks: models and methods]. Moscow, Computing Center of RAS Publ., 2006, 55 p.

3. Demkin I.V. Otsenka integrirovannogo innovatsionnogo riska na osnove metodologii Value At Risk [Assessing the integrated innovation risk under the Value at Risk methodology]. Problemy analiza riska = Problems of Risk Analysis, 2006, no. 4, pp. 362-378.

4. Tkachenko T.S. Ispol'zovanie metodov imitatsionnogo modelirovaniya v otsenke valyutnogo riska [Using the simulation modeling techniques to evaluate foreign exchange risk]. Region: ekonomika i sotsiologiya = Region: Economics and Sociology, 2007, no. 2, pp. 80-89.

5. Ufimtsev A.A. Izmerenie valyutnykh riskov s pomoshch'yu metodologii Value at Risk [Currency risk measurement under the Value at Risk methodology]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta = Bulletin of Chelyabinsk State University, 2012, no. 8, pp. 137-142.

6. Nikonov O.I., Firsov A.A. Regressionnaya model' fondovogo rynka v kommercheskom banke na osnove GARCH-protsessa dlya dvukh vremennykh ryadov [The regression model of the stock market in a commercial bank based on the GARCH-process for two time-series]. Vestnik UGTU = Bulletin of USTU, 2007, no. 4, pp.70-75.

7. Kadnikov A.A. VaR portfelya, soderzhashchego instrumenty s korotkoi istoriei torgov [VaR of the portfolio containing tools with a short history of trading]. Vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo universiteta.

Ser.: Sotsial'no-ekonomicheskie nauki = Bulletin of Novosibirsk State University. Series: Socio-Economic Sciences, 2009, vol. 9, no. 3, pp. 39-52.

8. Khoreva O.A. Ispol'zovanie metodologii VaR pri izmerenii kontragentnogo riska dlya forvardnykh frakhtovykh soglashenii [Using the VaR methodology in measuring the counterparty risk in forward freight contracts]. Izvestiya Sankt-Peterburgskogo universiteta ekonomiki i finansov = Bulletin of Saint Petersburg State University of Economics, 2009, no. 2, pp. 169-170.

9. Lobanov A., Porokh A. Analiz primenimosti razlichnykh modelei rascheta VaR na rossiiskom rynke aktsii [Analysis of the applicability of different models of VaR calculation in the Russian equity market]. Rynok tsennykh bumag = Securities Market, 2001, no. 2, pp. 65-70.

10. Kainova E.A., Lobanov A.A. Sravnitel'nyi analiz metodov rascheta VaR-limitov s uchetom model'nogo riska na primere rossiiskogo rynka aktsii [A comparative analysis of methods for VaR limits calculation taking into account the model risk (the case of the Russian stock market)]. Upravleniefinansovymi riskami = Financial Risk Management, 2005, no. 1, pp. 44-55.

11. Kolyasnikova E.R., Skorospelova N.A. Formirovanie portfelya na fmansovom rynke. Algoritm, metodika, modeli [Building a portfolio in the financial market. Algorithm, methodology, model]. Saarbrücken, LAP Lambert Academic Publishing, 2013, 80 p.

12. Kolyasnikova E.R., Skorospelova N.A. Formirovanie portfelya s uchetom razlichnykh mer riska [Building a portfolio based on various risk measures]. Upravlenie finansovymi riskami = Financial Risk Management, 2013,no.3, pp. 204-220.

13. Bronshtein E.M., Shaposhnikova A.G. Problemy investirovaniya [Problems of investment]. Audit i finansovyi analiz = Audit and Financial Analysis, 2010, no. 5, pp. 1-5.

14. Markowitz H. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New York, John Wiley & Sons, Inc., London, Chapman & Hall, Limited, 1959, 344 p.

15. Lobanov A. Problema metoda pri raschete Value at Risk [A problem of the method for Value at Risk calculation]. Rynok tsennykh bumag = Securities Market, 2000, no. 21, pp. 54-58.

16. Liang B., Park H. Risk Measures for Hedge Funds: A Cross-Sectional Approach. European Financial Management, 2007, no. 13, pp. 333-370.

17. Garp P.J. Financial risk manager handbook. New Jersey, John Wiley & Sons, 2007, 714 p.