ОПТИМИЗАЦИЯ ПОКУПКИ АКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ КРИТЕРИЯ ГЕРМЕЙЕРА И ОБОБЩёННОГО КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА ОТНОСИТЕЛЬНО РИСКОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

инвестиции и рынки

А.Н. ГУЛЮГИН

аналитик инвестиционной компании «АЛТЫН Инвест»

ОПТИМИЗАЦИЯ ПОКУПКИ АКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ КРИТЕРИЯ ГЕРМЕЙЕРА И ОБОБЩЁННОГО КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА ОТНОСИТЕЛЬНО РИСКОВ

Задача выбора оптимальной стратегии для инвестора на рынке акций уже рассматривалась ранее [2]. Напомним её условия. Пусть инвестор решил вложить свои средства в покупку акций одной из российских компаний: «Газпром», «Лукойл», «Норникель», «РАО ЕЭС», «Сургутнефтегаз», являющихся «голубыми фишками». При этом он предпочитает руководствоваться доходностью от инвестирования, абстрагируясь от риска. Так как выбор акций конкретной компании для большинства инвесторов зависит скорее не от поведения конкретных контрагентов на фондовом рынке, а от складывающейся в данный момент на фондовом рынке конъюнктуры, то для моделирования поведения инвестора было решено использовать модель «игра с природой», в которой игрок А является инвестором. Его чистые стратегии: А А2, А3, А4, А5 - выбор, соответственно, компаний «Газпром», «Лукойл», «Норникель», «РАО ЕЭС», «Сургутнефтегаз».

В качестве природы был взят индекс РТС, являющийся основным индикатором российского

фондового рынка. Предполагалось, что природа может находиться в одном из своих состояний: П П П П П представляющих собой принадлежность доходности индекса РТС соответствующим диапазонам:

(--1,5%], (-1,5%; -0,5%], (-0,5%; 0,5%], (0,5%; 1,5%], (1,5%; + .

Выигрыши ау.; / = 1,..., т; ] = 1,..., п , в результате выбора инвестором стратегии А{ и нахождения природы в состоянии Пj, измерялись доходностью акций. По результатам проведённых статистических наблюдений, вектор приближенных вероятностей состояний природы имеет следующий вид:

д = (д, = р(Щ) « 13%, =р(П2) « 15%, д3=р(Пз) « 30%, д4=р(П) « 21%, д5=р(П) « 21%).

В результате построения рыночной модели получена следующая зависимость между доходностью отдельной акции и доходностью индекса РТС:

Доходность индекса РТС Доходность акции - 2% - 1% 0 1% 2%

«Газпром» - 2,42 - 1,25 - 0,09 1,08 2,24

«Лукойл» - 2,45 - 1,27 - 0,09 1,10 2,28

«Норникель» - 2,58 - 1,25 0,08 1,41 2,74

«РАО ЕЭС» - 2,25 - 1,02 0,20 1,42 2,64

«Сургутнефтегаз» - 2,99 - 1,61 - 0,22 1,16 2,54

Используя некоторые приближения, связанные с приравниванием конкретного числового значения целому интервалу, была получена матрица

выигрышей, в последней дополнительной строке которой расположены вероятности состояний природы.

\ п лЧ П1 П2 П3 П4 П5

A1 - 2,42 — 1,25 - 0,09 1,08 2,24

A2 - 2,45 - 1,27 - 0,09 1,10 2,28

A3 - 2,58 - 1,25 0,08 1,41 2,74

A4 - 2,25 - 1,02 0,20 1,42 2,64

A5 - 2,99 - 1,61 - 0,22 1,16 2,54

qj 0,13 0,15 0,30 0,21 0,21

(1)

Чj > 0 j = I,-.,П q +... + qn

Пусть

1.

(2)

\Л/ Ai П1 П n

Ai aii a, 1n

A т. am1 a mn

qj 4l q n

Ra =

пi П n

A1 r 11 r, 1n

A m rm1 r mn

qj 4l q n

Умножая каждый элемент г у, г = 1,..., т, матрицы ЯА при состоянии природы Пу, у = 1,...,п на вероятность Цу этого состояния, получим матрицу Гермейера относительно рисков

Gr(q) =

Для поиска оптимальной стратегии игрока был применён критерий, представляющий собой комбинацию критерия Гермейера относительно выигрышей и обобщённого критерия Гурвица относительно выигрышей [2]. Найдём теперь оптимальную чистую стратегию игрока, используя комбинированный критерий Гермейера относительно рисков и обобщённый критерий Гурвица относительно рисков.

Рассмотрим игру с природой [1, гл.1], в которой = {А1,..., АтI1 (т > 2) - множество чистых стратегий игрока А, П .., Пп (п > 2) - состояния природы, ц = (д1 = р(П1),..., цп = р(Пп)) - вектор вероятностей состояний природы, удовлетворяющий условиям2:

ni П n

ai rii 4i r. q 1n n

A m rmiqi r q mn n

- матрица выигрышей игрока А с добавленной последней строкой вероятностей состояний природы; ву = шах{й(у : г = 1,...,т} - показатель благоприятности состояния природы П, а гу = ву - ау - риск игрока А при выборе им стратегии А, при условии нахождения природы в состоянии Пу, состоящий в неполучении наибольшего выигрыша ву. Очевидно, что гу> 0,г = 1,...,т;у = 1,...,п .

Заменяя в матрице А все элементы ау на элементы Гу, перейдём к матрице рисков МА, имеющей ту же размерность, что и матрица А:

Каждый элемент г ¡у Цу матрицы количест-

венно характеризует степень удовлетворённости игрока А риском г у с учётом вероятности Цу состояния природы Пу и называется элементом Гермейера риска гу [1, с. 227].

Если показатель неэффективности стратегии Аi определить как сумму элементов Гермейера рисков гуЦу в ¡-той строке матрицы Су(#), то получим критерий Байеса относительно рисков [1, с. 99].

Если же показатель неэффективности определить как наибольший элемент в ¡-той строке матрицы то получим критерий Гермейе-

ра относительно рисков [1, с. 226]. Однако критерий Гермейера относительно рисков (так же как и неэквивалентный ему критерий Гермейера относительно выигрышей) является критерием крайнего пессимизма, так как учитывает только наихудшие для игрока А состояния природы, т.е. только те состояния природы, при которых риск каждой чистой стратегии с учётом вероятностей этих состояний природы наибольший, и, следовательно, наименее удовлетворительный для игрока А. Поэтому, применяя критерий Гермейера относительно рисков, желание не проиграть у игрока превалирует над желанием выиграть. Ситуации, в которых пессимистический настрой игрока является нецелесообразным, на практике встречаются достаточно часто.

Если же показатель неэффективности стратегии Аi определить как наименьший элемент ¡-той строке матрицы то получим миниминный

критерий с учётом вероятностей состояний природы [1, с. 362], являющийся противоположным по смыслу критерию Гермейера относительно рисков и выражающий крайне оптимистичную настроенность игрока А. Такие принципы выбора стратегий на практике также являются неприемлемыми.

Для того, чтобы сгладить экстремальности перечисленных критериев, можно к матрице применить комбинированный критерий Гермейе-ра-Гурвица относительно рисков [3]. Однако такой критерий учитывает только наибольшие

1 В верхнем индексе обозначения SA = {A1,..., Am } буква с - первая буква английского clean - чистый.

2 Состояния природы, вероятность которых равна нулю, не рассматриваются.

и наименьшие элементы в каждой строке матрицы абстрагируясь от промежуточных.

Поэтому, для того, чтобы восполнить данный недостаток, предложим новый критерий, являющийся комбинацией критерия Гермейера относительно рисков и обобщённого критерия Гурвица относительно рисков.

В каждой строке матрицы О'(д) переставим все элементы в невозрастающем порядке:

- Гй2(0 - ... - rHn(i), ' 1,..., m •

(3)

где /1(/),..., /п(0 - некоторая перестановка номеров 1,..., п, зависящая от стратегии А.

Для упрощения записи обозначим = Ир, тогда неравенства (3) перепишутся в следующем виде:

Лл > Иа> ... > кт, I =1,..., т. (4)

а матрица преобразуется в матрицу И(д):

H(q) =

1 n

A1 hu h1

A m hm1 h mn

h1 h n

и несут следующую смысловую нагрузку: Х^ количественно характеризует субъективное представление игрока А о том, что при выборе им любой чистой стратегии он получит выигрыш, элемент Гермейера которого имеет ] -й ранг.

Показателем пессимизма игрока А назовем число

И„ = ¿п/]Ир = если п -чётное,

и Ар = = (1/2) И [п/2. если п - нечётн0е, (7)

где [п/2] - целая часть числа п/2 . Показатель оптимизма игрока А определим так:

X = если n -чётное,

x0

шЛ0 2)Xn,= + ОТ

j=[n/2]+2 p

Xp,

X)

если n - нечётное.

1.

к которой присоединена дополнительная строка из наименьших элементов в столбцах:

hj = min {hj 1< i < m}, j =1,..., n. (5)

Элементы матрицы H(q), стоящие в j-м столбце, будем называть элементами Гермейера риска j-го ранга.

Тогда элементы Гермейера 1-го ранга представляют собой показатели неэффективности стратегий игрока по критерию Гермейера относительно рисков: hi( = max{q.д : 1 < j < n} = Grt(q), i =1,..., m, а h1 = mm{hn : 1 < i < m} = G)c (q)-есть цена игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно рисков.

Элементы Гермейера n-го ранга будут являться показателями неэффективности стратегий по ми-ниминному критерию с учётом вероятностей состояний природы: hm = min^r : 1 < j <n} =ßi (q), i =1,..., m, a hn=min{h :1<i'<2}= G((q) -есть цена игры в чистых стратегиях по минимин-ному критерию с учётом вероятностей состояний приa2ды=nтqЗ'днo видета, что и „c (q) = 0 при любом векторе q = (q1,..., qn) состояний природы.

Пусть X = (Л ..., Лп) - вектор, координаты которого удовлетворяют условиям

В силу условий (6), очевидно, что Хр + Хо

Критерием, являющимся комбинацией критерия Гермейера оптимальности чистых стратегий относительно рисков и обобщённого критерия Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков с вектором коэффициентов И , сокращённо (ОЕИиг)г (д,И) _ критерием, назовём критерий, по которому:

- показателем неэффективности чистой стратегии А,, или (ОЕИиг)г (д,И) - пoрaиmрелем неэффективности стратегии А,, называется число

(ОЕИиг)Г(д;И) = ¿;с1ИД., / = 2,...,т; (9)

- ценой игры в чистых стратегиях, или (ОЕИиг)г (д;И) _ цoиoИ )гры в чистых стратегиях, называется минимальный из показателей неэффективности (9):

(ОЕИиг)' (д;И) = тт{ (ОЕИиг)г (д;И) :

: 1 < I < т} = т1п(.пс1 ИрИ„ .1 < I И т}; (10)

- оптимальной во множестве чистых стратегий, или (ОЕИиг)г(д;И) - оп^Ип^альной во множестве S<C, называется чистая стратегия Ак с минимальным (ОЕИиг)г (д;И) - 1^ок£^зп^)елем неэффективности:

(GEHar) k (q; X) X min{(G£Har)r (q; X )X : 1 < i < m} = (GEHar)r (q;X) .

(11)

Обозначим через (SA)

C \ O((GEHar)r (q;X))

Л - 0; j = 1,..., n; Л +...+ Л„ = 1

(6)

множество

всех стратегий, (ОЕИиг)г (д;И) — иaоaиcШьных во

множестве SC.

Установим границы для показателей неэффективности чистых стратегий по (ОЕИиг)г (д;И) — критерию. Используя условия (6), неравенства (4) и определение (9), будем иметь:

Ц,(q) = hm = < D' = Or)S(q;H) =

=i; j < xha=hi хкл=к=к.

Таким образом,

Ц, (q) < (GEHur)Г(q;H) < G.(q) =1,..., m, (12)

для любых векторов q = (qt,..., q;) и Я = (X ,..., X;)

со свойством (6).

Установим теперь границы для цены игры в чистых стратегиях по (GEHur)r(q;H) ~ Rprn") рию. Поскольку левое неравенство (12) справедливо для любого i =1,..., m, то оно будет справедливым, в частности, и для того i = k, при котором (GEHur)k(q;H) минияельно, т.е.:

Ц(q) < (GEHur)k(q;H) = (GEHur)(с (q;H). (13)

Irlo так как 0 < ц< (q) ^Ц^.(q), то из (13) получаем A

00<Ц(c(q) < (GEHur)(с (q;H). ("))

Так как правое неравенство (12) справедливо для любого i =1,..., m, то оно будет справедливым, в частности, и для i = l, для которого Grl (q) минимально, то есть Gr¡ (q) = GrsC (q) . Следовательно, по определению (10) A

(GEHur )(с (q;H) < (GEHur)S (q;H) < G^ (q). (15)

Из (14) и (15) получаем

0 = Ц(Сл (q) а (GEHur)(с (q;H) < G.. (q). (16)

для любого вектора Я = (X .., XJ со свойством (5) и любого вектора q = (qj,..., q;) вероятностей состояний природы со свойством (2).

Левое неравенство неравенства (16) можно уточнить. В самом деле, используя (10), (6) и определение hj, получим

(GEHur) (с (q;H) ) oun)) ЯД. : 1 < i < m} >

> mm^") hr : j а i а m} ) i" ЯД ) i"-ЯД(17)

Приступим к решению поставленной задачи выбо ра оптимальной стратегии для инвестора на рынке акций с помощью комбинированного критерия Гермейера относительно рисков и обобщённого критерия Гурвица относительно рисков. Нетрудно заметить, что каждая из стратегий А А А5 строго доминируется [1, § 1.3] стратегией А а потому стратегии А1, А2, А5 нужно удалить из рассмотрения как заведомо невыгодные. В результате из матрицы (1) получим матрицу (18)

\ п A>< п П2 П3 П4 П5

A3 - 2,58 — 1,25 0,08 1,41 2,74

A4 - 2,25 - 1,02 0,20 1,42 2,64

qj 0,13 0,15 0,30 0,21 0,21

(18)

Преобразуем данную матрицу к матрице с неотрицательными элементами, прибавив к каждому её элементу число, не меньшее абсолютной величины наименьшего элемента (|-2,5 8| = 2,58). В результате матрица (18) перейдёт к следующему виду (19):

\ п п П2 П3 П4 П5

A3 0 1,33 2,66 3,99 5,32

A4 0,33 1,56 2,78 4 5,22

вк 0,33 1,56 2,78 4 5,32

(19)

В последней строке матрицы (19) расположены показатели благоприятности природы в

На основе матрицы (19) составим матрицу рис-

ков R •

A

RA =

п АД. п i П2 П3 П4 П5

А3 0,33 0,23 0,12 0,01 0

А4 0 0 0 0 0,1

q 0,13 0,15 0,30 0,21 0,21

(20)

Умножая каждый элемент матрицы ЯА при состоянии природы П на вероятность q, получим матрицу Гермейера относительно рисков &(ф:

G(q))

а, \ ni П2 П3 П4 П5

А3 0,043 0,035 0,036 0,002 0

А4 0 0 0 0 0,02

q 0,13 0,15 0,30 0,21 0,21

(21)

Переставим в каждой строке матрицы &(ф все элементы в невозрастающем порядке, перейдём к матрице Н(д):

H(q))

^^Ранги А, 1 2 3 4 5

А3 0,043 0,036 0,035 0,002 0

А4 0,02 0 0 0 0

qj 0,13 0,15 0,30 0,21 0,21

Коэффициенты Ир, ] = 1,2,3,4,5 , выбираются игроком А произвольно, исходя из субъективных соображений. Эту произвольность можно несколько ограничить, формализуя метод выбора, например, в соответствии с принципом невозрастания средних рисков для игрока-пессимиста и в соответствии с принципом неубывания средних рисков для игрока-оптимиста (см., например, [1, с. 618]).

Пусть В1 = 0,064, В2 = 0,036, В3 = 0,035, В4 = 0,002, В5 =0 - суммы элементов матрицы Н(ф по столбцам, а В = 0,137 - сумма всех её элементов. Тогда В1 / В = 0,47, В2 / В = 0,26, В3 / В = 0,25, В4 / В = 0,02, В5 / В = 0 - доли сумм элементов каждого столбца матрицы Н(д) в сумме всех её элементов.

Пусть игрок А настроен пессимистично, тогда, в соответствии с принципом невозрастания средних рисков, коэффициенты Х, можно выбрать равными В. / В, ] = 1, 2, 3, 4, 5, т. е.:

И =(Х1= 0,47; Х2= 0,26; Х3= 0,25; Х4= 0,02; Х5= 0).

Очевидно, вектор И удовлетворяет условиям (6) при п = 5.

Подсчитывая по формуле (9) показатели неэффективности стратегий А3 и А4, получаем:

(ОЕИиг)3 (д;И ) = 0^, (ОЕИиг)4 (д;И) = 0,0098?.

Сравнивая полученные значения, приходим к выводу, что оптимальной стратегией является стратегия А4 с наименьшим показателем неэффективности.

Если же игрок А настроен оптимистично, то коэффициенты Х., можно выбирать в соответствии с принципом неубывания средних рисков, равными В / В,. = 1, 2, 3, 4, 5. В этом случае получаем:

И =(Х1= 0; Х2= 0,02; Х3= 0,25; Х4= 0,26; Х5= 0,47).

Тогда показатели неэффективности стратегий А3 и А4 будут равны: (ОЕИиг)З (д;И) = 0,009!п, (ОЕИиг)4(д;И) = 0. Питвнивая полученные значения, приходим к выводу, что оптимальной стратегией снова является стратегия А4 с наименьшим показателем неэффективности.

В данной задаче результаты, полученные с помощью комбинативного критерия Гермейера и обобщённого критерия Гурвица относительно рисков, совпали с результатами, полученными с помощью комбинативного критерия Гермейера и обобщённого критерия Гурвица относительно выигрышей [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. ЛабскерЛ.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения. - М.: КноРус. 2008.

2. Лабскер Л.Г., Гулюгин А.Н. Комбинация критерия Гермейера и обобщенного критерия Гурвица для определения оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей в играх с природой // Управление рисками, 2008, № 2. - 43-52 с.

3. Штохова И.Н. Теоретико-игровое моделирование принятия решений в задаче страхования рисков космических проектов // Материалы II Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». - Воронеж, 11-16 декабря 2007 г.