CC BY
40
34 (76) - 2011
Математические методы анализа
в экономике
УДК 519.83
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫБОРА КОРПОРАТИВНОГО ЗАЕМЩИКА БАНКА НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ
ВАЛЬДА - СЭВИДЖА
Л. Г. ЛАБСКЕР,
кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического моделирования
экономических процессов Е-mail: llabsker@mail.ru
Н. А. ЯЩЕНКО,
доцент кафедры математического моделирования
экономических процессов Е-mail: yashenko70@mail.ru
А. В. АМЕЛИНА,
кредитный аналитик департамента корпоративного и инвестиционного бизнеса ОАО «Банк Москвы», аспирант кафедры математического моделирования
экономических процессов Е-mail: AmelinaAV.FU@gmail.com Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
Для решения задачи оптимизации выбора корпоративного заемщика банка в условиях неопределенности применена теоретико-игровая модель «Игра с природой», в которой оптимальность стратегий определяется с совместной точки зрения выигрышей и рисков на основе введенного в рассмотрение нового синтетического критерия Вальда - Сэвиджа.
Ключевые слова: банк, кредит, операция, заемщик, выбор, предприятие, выигрыш, риск, игровое моделирование, критерий оптимальности.
Банк как кредитная организация имеет исключительное право осуществлять весь спектр банковских операций. Именно кредитные операции банка по объему и значимости являются наиболее важными, так как текущие и долгосрочные его доходы в подавляющем большинстве формируются за счет кредитного портфеля. Кредиты предприятиям составляют более половины всего портфеля активов банка.
При выдаче кредита (или ссуды) всегда есть опасение, что заемщик не вернет кредит. Невоз-
— матрицы соответственно выигрышен и рисков игрока А, где риски определяются следующим образом: т. = ßj - aij, i e I, j e J; а ßj = max{ap : i e I}, j e J, — показатель благоприятности состояния
П [1].
По критерию Вальда (W-критерию): W = min {atj : j e J} — показатель (W-показатель) эффективности стратегии А., ie I; WgC = max{ W i:i e I} — цена (W-цена) игры в чистых стратегиях; Ак — стратегия, оптимальная (W-оптимальная) во множестве SC чистых стратегий, если Wk = WgC; (SC )O (W} — множество стратегий W-оптимальных во множестве SC.
По критерию Сэвиджа (Sav-критерию):
Savi = тах{т^. : j e J} — показатель (Sav-пока-затель) неэффективности стратегии А., i e I;
Savsc = min{Savi:i e I} — цена (Sav-цена) игры в чистых стратегиях;
Ак — стратегия, оптимальная (Sav-оптималь-ная) во множестве SC чистых стратегий, если Sav. = Sav c;
k Sc
(Sc )o( Sav) — множество стратегий, Sav-опти-мальных во множестве SC.
Стратегия A. доминирует стратегию A^, если выполняются неравенства a^ > a^j , j e J. Если стратегия A. доминирует стратегию A. , то WK > W^ и SavK < Sav^ .
В самом деле, из неравенства ak j > ak j , j e J, получаем Wk = min{akj :j e J} > mm^j:j eJ} = Wk. С другой стороны, неравенство ak j > ak j , j e J, влечет за собой неравенство ^j = ßj - aKj < ßj - akij = Tk2j , j e J, из которого имеем
SavK = max{rKj : j e J} < max{Tkij : j e J} = Savk2.
Стратегия Ак называется доминантой или доминантной стратегией, если она доминирует каждую стратегию А., i e I.
Теорема 1. Для того чтобы существовала доминанта необходимо и достаточно, чтобы цена игры в чистых стратегиях по критерию Сэвиджа равнялась нулю (SavgC = 0).
Доказательство. Необходимость. Пусть стратегия Ак — доминанта. Тогда ßj = ajj , j e J, и, следовательно, т. = ßj - ajj = 0, j e J. Отсюда заключаем, что Savk = 0 и так как Savi > 0, i e I, то SavgC = 0.
Достаточность. Пусть SavSC = 0. Тогда найдется стратегия Ak такая, что Savk = 0 . Отсюда, в силу того, что т. > 0, j e J, получаем т. = 0, j e J, т. е. ßj - ajj = 0. Тогда ajj = ß j > aij, i e I, j e J. А это означает, что стратегия Ак — доминанта.
Теорема 2. Доминантная стратегия оптимальна во множестве чистых стратегий и по критерию
Вальда, и по критерию Сэвиджа, т. е. множество (Б )0 (№ )П(БС )0( Бау) не пусто:
(Б)0(№) П (БС )0(Бау) Ф0. (1)
Доказательство. Пусть стратегия Ак — доминанта. Тогда > а ^, i е I, у е J, и, следовательно Жк = тш{а,.:] е 1} > тт[а :] е J} = Щ, i е 1. Это неравенство означает, что №к = ЖзС и потому 4 е (5)0(№).
При условии, что стратегия Ак — доминанта, в доказательстве необходимости теоремы 1 было показано, что Бау, = Бау С = 0. Следовательно,
к Б
Ак е (Б)0(Бау)
Замечание 1. Теорема 2 необратима. Для доказательства этого приведем следующий пример. Пример 1. Пусть
А=
\ П \ j л\ i \ П1 П2 W i
А1 2 3 2
А2 4 1 1
ß 4 3 WSC = 2
и R^=
\П. \ j А\ i П1 П2 Sav. i
А1 2 0 2
А2 0 2 2
Sav C = 2 SC
— соответственно матрица выигрышей и порождаемая ею матрица рисков. В данном случае очевидно, что стратегия А1 е (БС )0(№) П (БС )0(5ау), но не является доминантой.
Для исключения тривиального случая выбора доминантной стратегии в качестве оптимальной во множестве чистых стратегий и по критерию Вальда, и по критерию Сэвиджа, рассмотренного в теореме 2, в дальнейшем будем предполагать, если не оговорено противное, что Бау{ > 0, / е I, и следовательно, БаУ5С > 0 .
Критерии Вальда и Сэвиджа (относительно соответственно выигрышей и рисков) являются критериями крайнего пессимизма, поскольку ориентируют игрока А при выборе им стратегии на то, что природа будет находиться в наихудшем для него состоянии, т. е. ориентируют его соответственно на наименьший выигрыш и на наибольший риск.
Следующий пример доказывает, что критерии Вальда и Сэвиджа между собой несравнимы, т. е. ни
/С<С\0(Ж) /оС\0( Бау)
одно из множеств (Б ) К ' и (Б ) 4 не является подмножеством другого.
Пример 2. Пусть А — матрица выигрышей, дополненная строкой вj показателей благоприятности состояний природы и столбцом ^ показателей эффективности стратегий, а Я — матрица рисков, порождаемая матрицей А, дополненная столбцом Sav¡ показателей неэффективности стратегий:
— соответственно матрица выигрышен и матрица рисков. Матрица A не содержит доминируемых строк. В данном случае I = {1, 2, 3}
и W1 = -1 > -3 = -Sav1 , W2 = -2 = -Sav2 , W3 =-3 <-2 = -Sav3 , т.е. I>={1} , I = {2} , I <= {3}.
В следующей теореме устанавливаются точные границы изменения (Ж^ау)(а)-цены игры в чистых стратегиях при изменении выигрыш-показателя а е [0, 1].
Теорема 4. Справедливы следующие точные неравенства:
(WSav)sC (а) < WC приWsC > 0, ае [0, 1], (5) (WSav) C (а) < -SavSC при Wsc <0, ае[0, 1]. (6) Доказательство. Так как I> с I, то для всех номеров i е I> по правому неравенству (2) имеем (WSav)(а) < W < max {Wt : i е I> } < < max {W : i еI} = WC, i е I>, а е"[0, 1]. (7) Так как I= с I, то для всех номеров i е I= по правому равенству (3) имеем
(WSav),(а) = W < max {W: i е I= } < < max {Wi : i е I}, i е I= , 'а е [0, 1]. (8) Так как I< с I, то для всех номеров i е I< по правому неравенству (4) имеем
(WSav)(а) < -Savt < -min {Savt : i е I< } < -min{Sav, : i е I} = - Sav C , i е I<, а е [0, 1]. (9) Так как SavgC > 0, то из неравенства (9) получаем:
(WSav)^) < 0, i е I< , а е [0, 1]. (10)
Если Wsc > 0, то из неравенств (7), (8) и (10) получаем неравенство (WSav)(а) <WgC , , е I, а е [0, 1]. Так как правая часть этого неравенства не зависит от номера i е I, то оно будет справедливым в частности и для номера ,, максимизирующего его левую часть, т. е. будет справедливым неравенство (5).
Если Wс < 0, то Wi < 0, i е I. Но тогда I = I< и, следовательно, справедливо неравенство (9) для всех i е I. Поскольку правая часть неравенства (9) не зависит от номера ,, то получаем неравенство (6).
Поскольку неравенства (5) и (6) превращаются в равенства соответственно при а = 1 и а = 0, они являются точными.
Отметим, что если W C > 0, то найдутся номера , е 1такие, что Щ > 0 и для этих номеров будет выполняться неравенство Wi > -Savi, поскольку Savt > 0 и, следовательно, -Savi < 0. Таким образом: {i е I: W > 0} Ф0 и { е I: W > 0} с I>, при Wsc > 0. (11)
В следующей теореме дается условие, при котором номер к е и I= (и, следовательно, к 1<), т. е. будет выполняться неравенство Жк > -Savk.
Теорема 5. Пусть при выборе стратегии Ак наименьший выигрыш достигается при состоянии природы П, т. е. наименьший выигрыш в к-й строке матрицы выигрышей стоит в 1-м столбце:
Щ = ттЦ,: 7 е 3} = аы, (12)
Если при этом наибольший выигрыш при состоянии природы П1 неотрицателен:
Р1 = шах{ай: I е I} > 0, (13)
тогда
Жк > -Savk, т. е. к е 1> и 1=. (14)
Доказательство. В силу неравенства (13), гы = Р, -аи >-аи. Тогда Savk = шах^-:7 е3}> гк1 > -ак1, откуда, в силу равенства (12), получим неравенство (14).
Замечание 2. Теорема 5 необратима. Для доказательства этого достаточно привести пример игры с природой, для которой найдется номер к е 1> и 1=, т. е. такой, что будет выполняться неравенство (14), но тем не менее не будет выполняться неравенство (13), т. е. справедливым будет неравенство р, < 0 .
В примере 3, к = 1е 1>, поскольку Щ = -1 > -3 = -Sav1. При этом Щ = -1 = а11, т. е. 1 =1. Но Р, =& =-1 < 0.
В этом же примере к = 2е 1=, так как Щ2 = -2 = -Sav2 и Щ, = -2 = а21, т. е. I = 1. Но тем не менее Р, = Р1 = -1 < 0.
Теорема 6. Если выполняется равенство (12) и Щк < -Savk, (15)
т. е. к е 1< , то
< Р, < 0. (16)
Доказательство. Используя определение рисков, равенство (12), определение показателей неэффективности стратегий и неравенство (15), будем
иметь: р, = р, - ак, + ак, = ги + ак, = га + Wk < ^к + + Wk < 0, т. е. неравенство (16) доказано.
В теореме 4 установлены верхние границы для (WSav)sс (а). В следующих теоремах устанавливаются нижние границы.
Теорема 7. Если игра с природой такова, что
I = 1> и 1=, (17)
то
(Ща)^ (а) , а е [0, 1]. (18)
Доказательство. Используя равенство (17), определения множеств 1>, 1= и неотрицательность показателя а, будем иметь
(WSav)sс (а) = шах((Ж^), (а): I е I} =
= шах((Ж^), : I е !> и I= } =
= тах{(^ + Бауг)а-Бауг : г е 1> и I= } > > тах{ - Бауг: г е 1> и I= } = = тах{-Бауг: г е I} = -Бау С,
т. е. неравенство (18) доказано.
Теорема 8. Если игра с природой такова, что
I = Е и I<, (19)
то
(WSav)SC (а) > WSC, ae[0, 1].
(20)
Доказательство. Используя неравенство W + Savi < 0, вытекающее из равенства (19), и то, что а < 1, будем иметь
(WSav)SC (а) = max{(WSav)i (а): i е I} =
= max{(WSav)i : i е I= UI, } = = max{(W + Savi )a - Savi : i e I= UI,} > > max{ Wi + Savi - Savi: i e I} = max{W : i e I} = Wc, т. е. доказано неравенство (20).
Замечание 3. Теоремы 7 и 8 устанавливают для (WSav)SC (а) оценки снизу при условиях соответственно (17): I = I> U I= и (19): I = I= U I< . Остается открытым случай I = I> U I= U I< , где Е>Ф0 и I< Ф 0.
Из определений (WSav)gC (а), (WSav)i (а), WgC и SavSC будем иметь:
(WS'av)sc (а) = max{(WSav)i(а): i e I} =
= max{a Wt - (1 - a)Savt: i e I} = = max{a W + (а - 1)Savi: i e I} < < max{aWi:i e I} + max{(a - 1)Savi:i e I} = = a max{Wi: i e I} + (1 - а) max{-Savi: i e I} = = aWgC + (1 - a)(-min{Savi: i e I})=
= aWSC - (1 -a)SavSC.
Таким образом, доказано неравенство (WSav)SC (a) < aWSC - (1 - a)SavgC, a e [0,1]. (21)
Заметим, что неравенство (5) следует из неравенства (21). В самом деле, при WgC > 0 справедливо неравенство
-(1 -a)WSC < (1 - a)SavSC, ae[0, 1], (22) поскольку а < 1 и SavgC > 0. Из неравенства (22) имеем: aWSC - Wsc < (1 - a)SavSC, а e [0, 1], откуда а WSC - (1 - a)SavgC < WgC, a e [0, 1]. Из этого неравенства и неравенства (21) получаем неравенство (5). Таким образом, неравенство (21) сильнее неравенства (5).
Так как
(WSav)sc (0) = max{(WSav)i(0): i e I} = = max{ (Wt + Savi) • 0 - Savt : i e I} = = max{-Savi: i e I} = -min{Savi: i e I} = - Sav c,
то при а = 0 неравенство (21) превращается в равенство. Так как
(WSav)Sc (1) = max{(WSav)i(1): i e I} = = max{(W + Savt) • 1 - Savt : i e I} = = max{W : i e I} = WSc,
то при а = 1 неравенство (21) также превращается в равенство.
Естественно возникает вопрос об условиях, при которых неравенство (21) превращается в равенство, если 0 < а < 1.
Теорема 9. Пусть а e (0, 1). Для того чтобы неравенство (21) было равенством, необходимо и достаточно, чтобы существовала стратегия, оптимальная во множестве чистых стратегий и по критерию Вальда, и по критерию Сэвиджа, т. е. чтобы выполнялось условие (1).
Доказательство. Необходимость. Пусть при данном фиксированном а e (0, 1) справедливо равенство
(WSav)Sc (а) = aWSc - (1 - a)Savgc, а e [0,1]. (23) Очевидно, что при любом а существует ( WSav)(а)-оптимальная стратегия. Пусть Ak e (Sc)O[(WSav)(a)]. Тогда по определениям (WSav) (а) -оптимальности стратегии и (WSav)(a)-показа-теля эффективности стратегии будем иметь (WSav)sc (а) = (WSav)k (а) = aWk - (1 - a)Savk,
а e [0,1]. (24)
Допустим, что стратегия Ak £ (Sc)O(Sav). Тогда Sav, > Savc. Отсюда, так как 0 < а < 1 и, следова-
kS
тельно, 1 — а > 0, получим: (1 - a)Savk > (1 - a)SavSC. Из этого неравенства и равенства (24) следует неравенство (WSav)gC (а) < aWgC - (1 - a)SavgC, а e [0, 1], противоречащее равенству (23). Таким образом, допущение неверно, и
A e (Sc )O(Sav). (25)
Теперь допустим, что Ak £ (Sc)O(W). В таком случае Wk < WgC. Отсюда в силу положительности а получим неравенство aWk <aWSc. Из этого неравенства и равенства (24) вытекает неравенство (WSav)s c (а) <aWgC - (1 -a)Savk < a WsC - (1 - a)SavgC, а e [0,1], которое также противоречит равенству (23). Полученное противоречие доказывает принадлежность
Ak e (Sc )O(W). (26)
Из выражений (25) и (26) следует справедливость условия (1). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть выполняется условие (1) и для определенности Ak e (Sc )O(W) П (Sc )O(Sav). Тогда, используя определения (WSav)(a)-показа-
теля эффективности стратегии и (WSav)(a)-цены игры в чистых стратегиях, получим неравенство а^С - (1 - а)Бау С = аЖк - (1 - а)Баук =
= (ЖБау)к (а) < (ЖБау)?с (а), ае(0, 1).
Из этого неравенства и неравенства (21) следует равенство (23). Достаточность доказана.
Замечание 4. При доказательстве необходимости теоремы 9 стратегия Ак была любой из множества (Б ) и, следовательно, на самом деле доказано большее, чем было сформулировано, а именно, доказано, что если при некотором а е (0, 1) выполняется равенство (23), то
(Бс )°Ю(а)] с (Бс ) п (Бс )0(Бау), а е(0, 1), (27)
т. е. каждая стратегия, оптимальная во множестве SC чистых стратегий по критерию Вальда — Сэвиджа, оптимальна во множестве SC и по критерию Вальда и по критерию Сэвиджа.
На основании теоремы 9 можно доказать теорему о структуре множества (БС )0[(ЖБау)(а)) при а е (0, 1).
Теорема 10. Если выигрыш-показатель а не принимает крайних значений 0 и 1, то множество стратегий, оптимальных во множестве чистых стратегий по критерию Вальда — Сэвиджа, совпадает с множеством стратегий, оптимальных во множестве чистых стратегий и по критерию Валь-да, и по критерию Сэвиджа, тогда и только тогда, когда последнее множество не пусто.
Доказательство. Необходимость. Пусть справедливо равенство
(БС )0[«а)] = (БС )0(Ж) П (БС )0(Бау), а е (0, 1). (28)
Из равенства(28),в силутого, что (Sc)
C \O[(WSav)(a)]
Ф
ф 0, следует справедливость условия (1).
Достаточность. Пусть выполняется условие (1). Тогда по достаточной части теоремы 9 справедливо равенство (23), и, следовательно, по замечанию 4 справедливо включение (27).
Докажем обратное включение. При выполнении условия (1) пусть для определенности Ак е (БС )0(Ж) П (БС )0(Бау). Отсюда и из равенства (23) получаем равенство
(ЖБау)к(а) = аЖк - (1 - а)Баук =
= аЖБс - (1 - а)БауБс = (ЖБау)^ (а),
C \O[(WSav)(a)]
. Этим до-
которое означает, что Ак е (Б ) казано включение
(БС)0(Ж) П (БС)0() с (БС )0[(ЖБау)(а)), а е (0, 1).(29) Включения (27) и (29) доказывают равенство
(28).
Равенство (28), эквивалентное условию (1) при а е (0, 1), показывает, что структура множества
(Sc )O[(WSav)(a)] стратегий, оптимальных во множестве чистых стратегий по критерию Вальда — Сэвиджа с выигрыш-показателем а, не зависит от значений a e [0, 1].
Условное схематическое представление ситуации, описанной в теореме 10, представлено на рис. 1.
Можно дать геометрическую интерпретацию условию (1). Предварительно отметим, что поскольку (WSav)(a)-показатель эффективности стратегии А1 есть линейная функция (WSav)i(а) = (Wi + Savi)а - Savi аргумента а e [0, 1], то ее график есть отрезок. Следовательно, цена игры (WSav)sc (а) = max{(WSav)i(а): i e I} есть верхняя огибающая отрезков (WSav)i(a), i e I, которая представляет собой ломаную, состоящую из не более чем m звеньев (m-число чистых стратегий).
Теорема 11. Для того чтобы ломаная, представляющая собой график цены игры (WSav)sc (a), а e [0, 1], являлась отрезком (т. е. ломаной, состоящей из одного звена) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (1).
Доказательство. Необходимость. Пусть графиком цены игры (WSav)sc (а), а e [0, 1], является отрезок. Тогда, так как
(WS'av)sc (a) = max{(WSav)i(a):i e I} =
= max{(W + Savt )a - Savt : i e I} (30) этим отрезком будет один из отрезков (WSav);.(a), i e I. Пусть для определенности
(WSav)Sc (а) = (Wj + Savk)а - Savk. (31)
Из (30) и (31) имеем (Wk + Savk )а - Savk > (W + Savt )a - Savt,
i e I, ae (0, 1). (32)
При а = 0 из (32) получаем неравенство:
-Savk > -Savi, i e I, или
Sav < Sav , i e I.
(33)
Неравенство (33) означает, что Savk = Savc,
т. е.
Aj e(Sc)
Sc
C \O(Sav)
(34)
/(ßC )O(W(SC )O[(WSav)(a)] _ ^N^C )O(SavJ4 (SC )O(W ) p ^C )O (Sav у
Рис. 1. Условное схематическое представление ситуации, описанной в теореме 10
(35)
При а = 1 из (32) имеем
Щк > Щ, /«
откуда следует, что Щк = . А это равенство оз А,
к
начает, что
А е )0(Щ). (36)
Принадлежности (34) и (36) доказывают условие (1). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть выполняется условие (1) и для определенности Ак е )0(Щ) П (SC)0(Sav). Тогда имеют место принадлежности (34) и (36). Из принадлежности (34) следует неравенство (33), а из принадлежности (36) следует неравенство (35). Используя неравенства (33) и (35), будем иметь (WSav)k (а) = а Щк - (1 -а^ >
> а Щ - (1 - а)Savi = (WSav)1(а), I е I.
Это означает, что (WSav)k (а) = аЩк - (1 - а)Savk является верхней огибающей отрезков (WSav)i(а) = а Щ - (1 -а)Savi. К тому же графиком этой верхней огибающей (WSav)(а) является отрезок. Достаточность доказана.
Проведем математическую формализацию поставленной задачи об установлении приоритетного порядка кредитования потенциальных заемщиков. Другими словами, сформируем реализационную структуру модели.
Игроком А является банк (руководство банка, департамент кредитования, кредитный аналитик, принимающие решение). Игрок А обладает чистыми стратегиями: А1, А2, А3, А4, А5, А6, А7, А8, состоящими в кредитовании соответственно предприятий Якутуголь, ЛГОК, МГОК, УС, ОЭМК, ММК, Северсталь, Норникель. Природа П, в качестве которой рассматривается ситуация на кредитном рынке, может пребывать в одном из пяти состояний П1, П2, П3, П4, П5, представляющих собой даты ежеквартальной финансовой отчетности предприятий по состоянию соответственно на
30.09.2009, 31.12.2009,
31.03.2010, 30.06.2010 и на 30.09.2010.
Моделировать предпочтения банка при выборе предприятия как потенциального объекта кредитования в условиях неопределенности (риска) можно с точки зрения нормы прибыли этого предприятия. Для оценки прибыли, полученной
на собственный капитал, или чистой прибыли, финансовые расходы вычитают из операционной прибыли. По решению собственников чистая прибыль может быть использована на выплату дивидендов, на создание резервных и иных фондов, направлена на материальное стимулирование работников. Оставшаяся нераспределенная часть чистой прибыли реинвестируется в дальнейшую деятельность и способствует росту капитала организации. Поэтому в качестве выигрышей игрока А будем использовать показатель «Чистая прибыль за квартал, млн руб.» [2] для предприятий Якутуголь, ЛГОК, МГОК, УС, ОЭМК, ММК, Северсталь, Норникель [3-6, 9-12]. Таким образом, получаем матрицу выигрышей (рис. 2)
Оптимальность стратегий будем понимать в смысле критерия Вальда - Сэвиджа.
В общем виде алгоритм решения рассматриваемой задачи с применением критерия Вальда -Сэвиджа может выглядеть так:
- из показателей ежеквартальной прибыли корпоративных заемщиков банка формируем матрицу выигрышей А = (а^) ш ;
- проверяем наличие в матрице ' доминантной стратегии; если стратегия Ак, к е 1— доминанта, то в банковском перечне приоритетов по выдаче кредитов к-й заемщик ставится на первое место;
- определяем показатели эффективности стратегий Щ, I е 1, по критерию Вальда;
- находим показатели благоприятности состояний природы Ру, у е ^
- формируем матрицу рисков Я = (гу )ш ^,, порождаемую матрицей выигрышей А;
- определяем в матрице рисков показатели неэффективности Sav,, I е 1 по критерию Сэвиджа;
V; 4\ П, III кв. 2009 п2 IV кв. 2009 П3 I кв. 2010 п, II кв. 2010 П5 III кв. 2010 V
Л 1 336 685 1 324 2 725 2 464 685
Л 1 732 581 3 140 6 114 6 665 581
Аз 786 1 158 2 173 5 365 -7 202 -7 202
44 513 84 137 210 -872 -872
Л 1 855 787 2 308 567 1 752 567
Л 7 194 7 478 6 310 677 8 194 677
4 12 210 -7 309 8 404 5 027 5 820 -7 309
48 21 575 32 391 50 587 18 629 44 943 18 629
Р; 21 575 32 391 50 587 18 629 44 943 Ш с = 18 629
Рис. 2. Матрица выигрышей
- находим выражения показателей эффективности (WSav) ;(a), i = 1,..., 8, стратегий A.,, i е I по критерию Вальда — Сэвиджа; графически они представляют собой отрезки;
- находим значения (WSav);(0) и (WSav);(1) показателей эффективности (WSav) Д a), i = 1,..., 8, в концах отрезка [0, 1], т. е. ординаты левых и правых концов этих отрезков;
- по взаимному расположению левых и правых концов этих отрезков устанавливаем пересекающиеся отрезки (для удобства можно составить таблицу пересечений отрезков);
- решая уравнения (WSav)k(a) = (WSav) (a) для пересекающихся отрезков (WSav)k(a) и (WSav)l(a), находим значения выигрыш-показателей a е [0, 1], т. е. абсциссы ak точек пересечения этих отрезков, разбивающие отрезок [0, 1] на ряд частей (для удобства решения соответствующих уравнений можно использовать сервисную функцию в Excel «Поиск решения»);
- вычисляем значения показателя эффективности (WSav) .(a) каждой стратегии Aj в каждой точке akl;
- по вычисленным значениям устанавливаем приоритетную последовательность выбора стратегий при значениях выигрыш-показателей akl и в промежутках между ними.
Из сформированной матрицы выигрышей (см. рис. 2) видим, что стратегия A8 является единственной доминантой и потому, на основании теорем 2 и 10, (SC)O[(WSav)(a)] = {Д8}, a е [0, 1]. Таким образом, при любом значении выигрыш-показателя a е [0, 1] стратегия A8 в приоритетной последовательности займет первое место.
В последнем столбце матрицы выигрышей проставляем W-пока-затели эффективности стратегий W, i е I, и цену игры WC = 18 629, а в последней строке — показатели благоприятности состояний природы Ру, j е J.
Матрица рисков, порождаемая матрицей выигрышей, имеет вид матрицы на рис. 3.
В последнем столбце матрицы рисков проставлены показатели неэффективности чистых стратегий Sav, i е I, и
цена игры SavsC = 0 в чистых стратегиях.
Используя последние столбцы матриц выигрышей (см.рис. 2) и рисков (см рис 3), находим:
(WSav)1 (a) = (685 н = 49 948a- 49 263, (WSav)2(a) = (581-= 48 028a- 47 447, (WSav)3 (a) = (-7 202 = 44 943a- 52145
49 263)a- 49 263 = [0, 1];
a
47 447)a- 47 447 = ae[0, 1];
52145)a- 52145 = ; [0, 1];
a
(WSav)4(a) = (-872 = 49 578a- 50 450, (WSav)5 (a) = (567 + = 48 846a- 48 279, (WSav)6 (a) = (677 4 = 44 954a- 44 277, (WSav)7 (a) = (-7 309 = 34 874a- 42183
■f 50 450)a- 50 450 = ae[0, 1]; 48 279)a- 48 279 = ae[0, 1]; 44 277)a - 44 277 = ae[0, 1];
42183)a- 42183 =
a <
¡[0, 1];
(Щ5'ау)8 (а) = (18 629 + 0)а - 0 = 18 629а, [ае[0, 1]. (37)
Вычисленные значения (WSav)i(а) в концах отрезка [0, 1] представлены в табл. 1.
Как видно из табл. 1, левый конец (WSav)1(0) = = —49 263 отрезка (WSav)1(a) меньше каждого из левых концов (WSav)2(0) = -47 447, (WSav)5(0) = = -48 279, (WSav)6(0) = -44 277, (WSav)7(0) = = -42 183 соответственно отрезков (WSav)2(a), (WSav)5(a), (WSav)6(a), (WSav)7(a), а правый конец (WSav)1(1) = 685 отрезка (WSav)1(a) больше правых концов (WSav)2(1) = 581, (WSav)5(1) = 567, (WSav)6(1) = 677, (WSav)7(1) = -7 309 соответствен-
A\ n, III кв. 2009 n2 IV кв. 2009 Щ I кв. 2010 n4 II кв. 2010 III кв. 2010 Savi
A 20 239 31 706 49 263 15904 42 479 49 263
A2 19 843 31 810 47 447 12 515 38 278 47 447
A3 20 789 31 233 48 414 13 264 52 145 52 145
a4 21 062 32 307 50 450 18 419 45 815 50 450
As 19 720 31 604 48 279 18 062 43 191 48 279
A6 14 381 24 913 44 277 17 952 36 749 44 277
a7 9 365 39 700 42 183 13 602 39 123 42 183
As 0 0 0 0 0 0
SavsC = 0
Рис. 3. Матрица рисков
Таблица 1
Значения показателей эффективности (WSav).(а) в концах отрезка [0, 1]
Показатель эффективности Номер стратегии i
1 2 3 4 5 6 7 8
(WSav) t (0) -49 263 -47 447 -52 145 -50 450 -48 279 -44 277 -42183 0
(WSav) t (1) 685 581 -7 202 -872 567 677 -7 309 18 629
но отрезков (WSav)2(a), (WSav)5(a), (WSav)6(a), (WSav)7(a). Отсюда следует, что отрезок (WSav)1(a) пересекается с каждым из отрезков (WSav);.(a), i = 2, 5, 6, 7.
Аналогичным образом устанавливается, что отрезок (WSav)7(a) пересекается с каждым из отрезков (WSav);.(a), i = 2, 3, 4, 5, 6. Таким образом, взаимные пересечения отрезков (WSav) .(a) выглядят следующим образом (рис. 4).
Наличие крестика в ячейке означает, что отрезки, на пересечении которых находится данная ячейка, пересекаются. Очевидно, что крестики пересечения отрезков расположены симметрично относительно главной диагонали.
Решая уравнение (WSav)1(a) = (WSav)2(a), т. е. уравнение 49 948a - 49 263 = 48 028a - 47 447 (см. выражения (37), например, при помощи сервисной функции Excel «Поиск решения», найдем абсциссу a12« 0,945833 точки пересечения отрезков (WSav)1(a) и (WSav)2(a). Аналогичным образом находим абсциссы a15 « 0,892922, a16 « 0,998398, a17 « 0,469683, a27 « 0,400182, a37 « 0,989373, a
47
Номера i отрезков (WSav); (a) 1 2 3 4 5 6 7 8
1 X X X X
2 X X
3 X
4 X
5 X X
6 X X
7 X X X X X X
8
0,562228, а57 и 0,436301, а67 и 0,207738.
Значения показателей эффективности (WSav)i(a), i = 1,..., 8, при значениях выигрыш-показателей а = 0, а67, а27, а57, а17, а47, а15, а12, а37, а16, 1, округленные после вычислений до сотых, и места стратегий А1 в приоритетных последовательностях при каждом из этих значений а и в интервалах между ними представлены в табл. 2.
Рис. 4. Взаимные пересечения отрезков (WSav)¡(a)
Рассмотрим, например, интервал (0,436301; 0,469683), которому в табл. 2 соответствует 8-я строка. В верхних частях ячеек 7-й и 9-й строк табл. 2, соответствующих концам рассматриваемого интервала, т. е. значениям а = а57 и 0,436301 и а=а17 и0,469683, проставлены соответственно значения (^таяу)(0,436301), i = 1,..., 8, и (WSav)i.(0,469683), i = 1,., 8, округленные до сотых.
В каждой из строк 7 и 9 вычисленные значения ранжируем в невозрастающем порядке и в нижних частях ячеек проставляем соответствующие номера (выделенные в табл. 3 полужирным шрифтом), которые являются номерами мест в приоритетных последовательностях выбора стратегий при выигрыш-показателях а = а57 и 0,436301 и а =
Таблица 2
Значения показателей эффективности и места в приоритетных последовательностях стратегий
Значения Номер i-го показателя эффективности (WSav)l(a) стратегий At
выигрыш- 1 2 3 4 5 6 7 8
показателя a
0 -49263 -47 447 -52 145 -50 450 -48 279 -44 277 -42183 0
6 4 8 7 5 3 2 1
(0; 0,207738) 6 4 8 7 5 3 2 1
0,207738 -38 886,9 -37 469,76 -42 808,63 -40 150,76 -38 131,83 -34 938,34 -34 938,34 3 869,95
6 4 8 7 5 3/2 2/3 1
(0,207738;
0,400182) 6 4 8 7 5 2 3 1
0,400182 -29 274,71 -28 227,05 -34 159,62 -30 609,78 -28 731,713 -26 287,22 -28 227,05 7 454,99
6 4/3 8 7 5 2 3/4 1
(0,400182;
0,436301) 6 3 8 7 5 2 4 1
Окончание табл. 2
Значения Номер /-го показателя эффективности (И^ау).(а) стратегий А.
выигрыш- 1 2 3 4 5 6 7 8
показателя а
0,436301 -27 470,64 -26 492,33 -32 536,32 -28 819,07 -26 967,44 -24 663,52 -26 967,44 8 127,85
6 3 8 7 5/4 2 4/5 1
(0,436301;
0,469683) 6 3 8 7 4 2 5 1
0,469683 -25 803,27 -24 889,06 -31 036,04 -27 164,06 -25 336,86 -23 162,87 -25 803,27 8 749,72
6/5 3 8 7 4 2 5/6 1
(0,469683;
0,562228) 5 3 8 7 4 2 6 1
0,562228 -21 180,83 -20 444,31 -26 876,79 -22 575,86 -20 816,41 -19 002,6 -22 575,86 10 473,74
5 3 8 7/6 4 2 6/7 1
(0,562228;
0,892922) 5 3 8 6 4 2 7 1
0,892922 -4 663,33 -4 561,74 -12 014,41 -6 180,71 -4 663,33 -4 086,58 -11 043,24 16 634,24
5/4 3 8 6 4/5 2 7 1
(0,892922;
0,945833) 4 3 8 6 5 2 7 1
0,945833 -2 020,53 -2 020,53 -9 636,42 -3 557,49 -2 078,84 -1 758,02 -9 198,02 17 619,92
4/3 3/4 8 6 5 2 7 1
(0,945833;
0,989373) 3 4 8 6 5 2 7 1
0,989373 154,2 70,61 -7 679,61 -1 398,86 47,91 199,27 -7 679,6 18 431,03
3 4 8/7 6 5 2 7/8 1
(0,989373;
0,998398) 3 4 7 6 5 2 8 1
0,998398 604,98 504,06 -7 273 -951,42 488,75 604,98 -7 364,87 18 599,16
3/2 4 7 6 5 2/3 8 1
(0,998398;
1) 2 4 7 6 5 3 8 1
1 685 581 -7 202 -872 567 677 -7 309 18 629
2 4 7 6 5 3 8 1
Таблица 3
Последовательности приоритетного выбора стратегий в зависимости от значений выигрыш-показателя
Значение выигрыш-показателя а Места в приоритетных последовательностях
1 2 3 4 5 6 7 8
а = 0 а8 а7 а6 а2 а5 а1 а4 а3
0 < а < 0,207738 а8 а7 а6 а2 а5 а1 а4 а3
а = 0,207738 а8 А6/А7 А7/А6 а2 а5 а1 а4 а3
0,207738< а < 0,400182 а8 а6 а7 а2 а5 а1 а4 а3
а = 0,400182 а8 а6 А2/А7 А7/А2 а5 а1 а4 а3
0,400182< а < 0,436301 а8 а6 а2 а7 а5 а1 а4 а3
а = 0,436301 а8 а6 а2 А5/А7 А7/А5 а1 а4 а3
0,436301< а < 0,469683 а8 а6 а2 а5 а7 а1 а4 а3
а = 0,469683 а8 а6 а2 а5 4/4 А1/Ах а4 а3
0,469683< а < 0,562228 а8 а6 а2 а5 А А7 а4 а3
а = 0,562228 а8 а6 а2 а5 А а4/а7 а7/а4 а3
0,562228< а < 0,892922 а8 а6 а2 а5 А а4 а7 а3
а = 0,892922 а8 а6 а2 а1/а5 А/А а4 а7 а3
0,892922 < а < 0,945833 а8 а6 а2 а1 А а4 а7 а3
а = 0,945833 а8 а6 а,/а2 А/4 А а4 а7 а3
0,945833 < а < 0,989373 а8 а6 А а2 А а4 а7 а3
Окончание табл. 3
Значение выигрыш-показателя а Места в приоритетных последовательностях
1 2 3 4 5 6 7 8
а = 0,989373 А A A A A A a3/a7 A/A
0,989373 < а < 0,998398 А A A A A A a3 a7
а = 0,998398 А A/A A/A A A A4 a3 a7
0,998398 < а < 1 a8 A A A A A4 a3 a7
а = 1 a8 A A A A A4 a3 a7
а
17
0,469683. В 5-й и 7-й ячейках строки 7 стоят равные значения, равные — 26 967,44. Поэтому в приоритетной последовательности стратегии А5 и А7 можно поставить соответственно на 5-е и 4-е места или соответственно на 4-е и 5-е.
Аналогичное разъяснение относится и к 9-й строке. Нетрудно понять, что номер места стратегии в приоритетной последовательности для любого значения выигрыш-показателя а из интервала (0,436301; 0,469683), в котором нет пересечений отрезков, есть номер, общий для концов этого интервала. Так, общим номером места в приоритетных последовательностях стратегии А1 при а, находящемся на концах интервала (0,436301; 0,469683) является 6. Следовательно, стратегия А1 при любом а е (0,436301, 0,469683) займет в приоритетной последовательности 6-е место. Для 7-й ячейки строк 7 и 9 общим номером является 5; поэтому стратегия А7 при любом а е (0,436301, 0,469683) займет в приоритетной последовательности 5-е место. Аналогичные объяснения имеют место для всей табл. 2.
Найденные последовательности приоритетного выбора стратегий в зависимости от значений выигрыш-показателя а е (0, 1) представим в более удобном виде в табл. 3.
Таким образом, выбирая наименее рискованный вариант (а = 0), получаем следующий приоритетный порядок выбора стратегии: А8 (Нор-никель), А7 (Северсталь), А6 (ММК), А2 (ЛГОК), А5 (ОЭМК), А1 (Якутуголь), А4 (УС), А3 (МГОК). При а = 0,469683, т. е. примерно равном отношении к выигрышам и рискам: А8 (Норникель), А6 (ММК), А2 (ЛГОК), А5 (ОЭМК), А1 (Якутуголь), А7 (Северсталь), А4 (УС), А3 (МГОК).
Игнорируя возможные риски (а = 1), получаем следующую последовательность: А8 (Норникель), А1 (Якутуголь), А6 (ММК), А2 (ЛГОК), А, (ОЭМК), А4 (УС), А3 (МГОК), А7 (Северсталь). ОАО «ГМК
«Норильский никель» — крупнейшая российская горно-металлургическая компания, которая производит четыре основных металла — никель, медь, палладий и платину, а также множество других металлов. Высокие финансовые показатели обусловлены ростом цен на цветные и драгоценные металлы, что позволяет ГМК улучшать денежную позицию и занимать лидирующее положение в цветной металлургии.
Список литературы
1. Лабскер Л. Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения. М.: КНОРУС, 2010.
2. О формах бухгалтерской отчетности организаций: приказ Минфина России от 22.07.2003 № 66н.
3. Официальный сайт ОАО «ГМК «Норильский никель» — http//www.nomik.ra.
4. Официальный сайт ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат» — http//www. mmk.ru.
5. Официальный сайт ОАО «Северсталь» — http// www.severstal.com.
6. Официальный сайт ОАО ХК «Якутуголь» — http//www.yakutugol.ru.
7. HurwiczL. Optimality Criteria for Decision Making under Ignorance // Colwes commission papers, 1951, № 370.
8. Savage L. J. The theory of statistical decision // J. Amer. Statist. Assoc., 1951, Vol. 46. № 1.
9. URL: //http//www.metalloinvest.com/rus/ factorys/metallyrgiceskii-divizion/oemk.
10. URL: //http//www.metallinvest.ru/rus/factorys/ gornorydnii-divizion/lebedinskii-gok.
11. URL: //http//www.metallinvest.ru/rus/factorys/ gornorydnii-divizion/mgok.
12. URL: //http//www.metallinvest.ru/rus/factorys/ metallyrgiceskii-divizion/yral_skaa-stal.
