Принятие решений в условиях риска и неопределенности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

УДК 33:517.977.1 ББК 65в Б 71

З.У. Блягоз, А.Ю. Попова

Принятие решений в условиях риска и неопределенности

Аннотация:

В статье рассматривается математическая модель игры, когда возникает необходимость принятия решения в условиях вероятностной неопределенности. При этом подробно излагаются 7 критериев принятия ( , , , .). -рируется применение этих критериев и методика принятия оптимального решения при наличии риска.

:

Риск, неопределенность, вероятность, принятие решений, игра с природой, стратегия.

Важнейшей составляющей частью любого вида человеческой деятельности является принятие решений в условиях вероятностной неопределенности. Сложность выбора того или иного решения зависит от степени определенности возможных исходов или последствий. Существуют си,

вероятность наступления исходов для каждого решения. В этих случаях говорят о принятии решений в условиях рис.

указать вероятность того или иного результата, что связано с недостаточной информированностью о внешних обстоя, .

неопределенность порождается множеством различных факторов, таких как экономическая ситуация в стране, уровень инфляции, курсы валют, рыночная конъюнктура, по, , -стоятельства и т.п. В этом случае речь идет о принятие решений в условиях вероятностной неопределенности

Математическая модель ситуации, в которой принятие решений зависит от объективных обстоятельств, называется игрой с природой.

Подобные модели изучает такой раздел математики как «Теория игр с природой» («Теория принятия реше-»). -нальному образу действий в условиях риска и неопреде, .

Игру с природой можно определить как парную игру, в которой сознательный игрок А, заинтересованный в наиболее выгодном для него исходе игры, выступает против , -

.

, -

но найти наилучшие рекомендации только для игрока А, потому как природа в рекомендациях не нуждается, развиваясь в соответствии с определенными законами независимо от того, удобно это человеку или нет.

Пусть игрок А располагает т возможным и стратегиями, которые обозначим Л!, А2,..., Ат, тогда как природа П может принимать одно из п своих состояний Пь П2,..., Пп.

, -

нить результаты выбора им каждой из своих стратегий Аь

/=1,...,т, при каждом состоянии природы П, ,=1,...,п, количественно выражающиеся действительными числами а,. Эти числа называются выигрышами игрока А.

В таком случае игра может быть задана матрицей Р = ^тхи, называемой платежной матрицей (юш матрицей игры).

Если в платежной матрице элементы к-юй строки не меньше соответствующих элементов бюй строки, те. ак - а sj 0=1,и к то доминируемую (дублируемую) строку s можно удалить, т.к. она определяет стратегию Л.5, заведомо не лучшую стратегии Ак . Это позволяет значительно упростить платежную матрицу игры. Отбрасывать же те или иные состояния природы нельзя, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо от , .

После упрощения платежной матрицы иногда выгодно перейти от нее к матрице рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы.

Риском Гц игрока А, когда он пользуется чистой стратегией Л при состоянии Пц природы, называется разность между максимальным выигрышем тахац, который он

мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние ГЦ, и тем выигрышем ац,

который он получит, используя стратегию А1, не зная, какое из состояний П| природа реализует.

Таким образом, элементы Гц матрицы рисков определяются по формуле:

Гу =РЦ - ау - 0 (1)

где (3 ц - максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии П| (максимальный элемент Ц-го столбца платежной матрицы).

Учитывая специфику игр с природой, при поиске оптимальных решений обращаются к различным критериям, дающим некоторою логическую схему принятия решения.

В условиях риска, т.е. когда известны вероятности д| , , , - . -ях неопределенности критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица .

1. Критерий Байеса

Этот критерий используется в предположении, что вероятности ^ СОСТОЯНИЙ природы П| известны. В качестве

показателя эффективности чистой стратегии Л используется средневзвешенный выигрыш при стратегии А1 с весами .. ,дп, т.е. величина

bi = £ aijqj j=1

= 1,m)

(2)

Оптимальной по Байесу чистой стратегией является стратегия с максимальным показателем эффективности. Цена игры в этом случае определяется по формуле:

n

b = max bi = max X aijqj (3)

1<i<m 1<i<mj=i

Аналогично можно найти оптимальную по Байесу

,

n . ___,

Ri = I rjqj (i =1,m) (4)

j=i

и матрицу рисков. В этом случае средний риск следует минимизировать. Однако, следует заметить, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш, совпадает со страте, .

2. Критерий Латаса

Если игрок А не располагает объективной информацией об вероятностях qj состояний природы П| и считает в

равной мере правдоподобными все состояния, то их вероятности полагают одинаковыми и равными 1/n. Этот прием называют принципом недостаточного основания Лапласа.

Отсюда вытекает и критерий Лапласа, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш игрока А при равенстве всех вероятностей.

В этом случае показатели эффективности каждой чистой стратегии рассчитываются по формуле:

1 n

li = -lay nj=1

= 1,m),

а цена игры равна

1n

l = max li = max — X aij 1<i <m 1<i< mnj=1

(5)

(6)

> решение реализуется (тео^ически) бесконечно .

> для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (&сконечной) реализации какой-либо риск .

3. Критерий Вальда

, -

вестны и нет возможности получить о них какую-либо ста,

решения можно использовать критерий Вальда

Критерий Вальда является критерием крайнего пес, . . , природа П едействует» против него наихудшим образом, т.е. реализует такие состояния ГЦ, при которых величина

его выигрыша принимает наименьшее значение.

Показатели эффективности каждой чистой стратегии рассчитываются по формуле:

Wi =

min aij,

1<j<n

(i = 1,m)

(7)

Оптимальной по критерию Вальда считается та чис-

,

максимальным, т.е. обеспечивается максимин

w = max wi = max min aij . (8)

1<i< m 1<i< m1< j< n

Критерий Вальда часто также называют максимин-

.

Выбранные таким образом варианты полностью ис. , не может столкнуться с худшим результатом, чем тог, на который он ориентируется.

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, следующая:

> о возможности появления внешних состояний '

: Hj

ничего не известно;

> приходится считаться с появлением различных внешних состояний ГЦ;

> решение реализуется только один раз;

> необходимо исключить какой бы то ни было риск. 4. Критерий Сэвиджа

, , критерием крайнего пессимизма, ибо и здесь игрок А исходит из предположения, что природа реализует самые неблагоприятные для него состояния. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую , -.

, -

ется как величина максимального риска:

1< j<n

(i = 1,m)

При использовании критериев Байеса и Лапласа , , -, :

> вероятности появления состояний Пц известны и не зависят от времени.

А цена игры равна

s = min si = min max rij. 1<i <m 1<i < m1< j< n

(9)

(10)

При использовании критерия Сэвиджа ситуация, в которой принимается решение, должна удовлетворять тем же , .

5. Критерий Гурвица

Занять более уравновешенную позицию, которая на-

-

, .

также часто называют критерием пессимизма-оптимизма В области чистых стратегий показатель эффективности определяется из условия:

(11)

gi = у min aij + (1 -у) max aij, (i = 1,m, 0 <y< 1)

1<j<n 1< j<n

Оптимальной по Гурвицу считается та чистая страте, -большее значение

g = max gi = max \ у min aij + (1 - y) max aij L 0 < у < 1. (12)

1<i< m 1<г < ml 1< j<n 1< j<n I

Параметр у выбирается из субъективных соображе-, -

венную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Чаще всего у полагают равным 0,5.

При у = 1 критерий Гурвица превращается в критерий ( ).

При у = 0 - в критерий крайнего оптимизма, или критерий «шартного игрока», делающего ставку на то, что исход игры будет для него самым благоприятным:

g = max gi = max max aij (13)

1<i< m 1<i< m1< j<n

При 0 <j < 1 получается нечто среднее между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма

Критерий Гурвица применяется в случае, когда:

1) О вероятностях появления СОСТОЯНИЯ Flj ничего не

известно;

2) с появлением состояния Flj необходимо считаться;

3) ;

[ n

h = max hi = max ■< v Y. aij 1<i<m 1<i<m I j=1

4) допускается некоторый риск.

6. Критерий Ходжа-Лшана

Этот критерий опирается одновременно на критерий Вальда и критерий Байеса-Лапласа С помощью параметра V выражается степень доверия к используемому распределений вероятностей, а коэффициент (1^0 характеризует количественно степень пессимизма игрока А. Чем больше доверия игрока А данному распределению вероятностей , .

Если доверие велико, то доминирует критерий Байеса-Лапласа, в противном случае - критерий Вальда, т.е. показатель эффективности чистой стратегии А^ равен:

Ь = V X а^1 + (1 - у) тт ац (1 = 1, т, 0 < V < 1). (14) Ц=1 1<Ц<п

Стратегия с максимальным показателем эффективности является оптимальной. Цена игры определяется по :

i + (1 - v) min aij >, 0 < v < 1 (15)

1< j< n

При у=1 критерий Ходжа^^мана переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при V=0 становится критерием .

Выбор V субъективен т.к. определить степень досто--

.

Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация в которой принимается решение, удовле-:

> вероятности появления состояния Щ неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

> принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

> при малых числах реализации допускается неко-

.

7. Критерий произведений

Критерий произведений используется в тех случаях, когда все элементы платежной матрицы положительны, т.е. aij >- 0, i = 17m, j = 17n . Если это условие нарушается, то

можно перейти к строго положительным значениям с помощью преобразования а^ +а при подходящем образом

подобранном а>0. Результат при этом будет, естественно, зависеть от а

При использовании этого критерия показатель эффективности каждой чистой стратегии определяется по фор:

Pi = naij, (i = TTm). (16)

j=1

Оптимальной по критерию произведений будет та

,

.

n

p = max pi = max П aij . (17)

1<i<n 1<i< mj=1

Применение этого критерия обусловлено следующи-:

1) j ;

2) j -ности необходимо считаться;

3) -

;

4) .

Пример.

«Фото Колор» - небольшой производитель химии-ческих реактивов и оборудования, которые используются некоторыми фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает «Фото Колор» - фиксаж ВС-6. Накопленный опыт работы показывает, что спрос на этот продукт может составлять 11, 12 или 13 .

получает 350 руб. прибыли. ВС-6, как и многие фотографические реактивы, имеет очень малый срок годности. По, ,

. 560

рублей, она теряет эту сумму в случае, если ящик не продан к концу недели. Кроме того, если спрос на продукт бу-, -6 ,

,

160 руб. за ящик.

Определить еженедельный объем производства фик--6, .

Решение:

В рассматриваемой ситуации в качестве созна-

« ». чистыми стратегиями будут: А1 - решение о еженедельном выпуске 11 ящиков фиксажа ВС-6, А2 - решения о еженедельном выпуске 12 ящиков, А3 - решение о еженедельном 13 .

В качестве второго игрока будем рассматривать совокупность всех внешних обстоятельств, в которых формируется спрос на продукт, - природу П. В данном случае природа может реализовать любое из своих состояний: Д

- еженедельный спрос на фиксаж ВС-6 составляет 11 ящиков, П2 - 12 ящиков, П3 - 13 ящиков.

Выигрыши aij игрока А - еженедельная прибыль от

продажи ВС-6 представлены в следующей таблице.

П1 (11) П2 (12) Пэ (13)

А1 (11) 3850 3690 3530

А2 (12) 3290 4200 4040

А3 (13) 2730 3640 4550

Наиболее благоприятными будут комбинации (Аь П}), (А2; П2) и (А3; П3), когда еженедельный спрос на фиксаж будет совпадать с объемом производства В этом случае прибыль будет равна

а11 = 11*3 50 = 3 850 руб.,

а22 = 12*350 = 4200 руб., а33 = 13*350 = 4550руб.

В случае если еженедельный спрос на продукт превышает объем выпуска (си^ации (А^ П2), (Аь П3) и

( 2; 3)),

а12 = 11*350-160 = 3690 руб., а13 = 11*350 - 2*160 = 3530 руб., а23 = 12*350 -160 = 4040 руб.

Если же объем выпуска продукции будет превышать

( ( 2; 1), ( 3; 1) ( 3; 2)),

а21 = 11*350-560= 3290руб. а31 = 11*350-2*560 = 2730руб. и а32 = 12*350 - 560 = 3640 руб.

, -, .

Прежде чем начать анализ, построим матрицу рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы. Расчет производим, используя формулу (1).

П1 (11) П2 (12) П3 (13)

А1 (11) 0 510 1020

А2 (12) 560 0 510

A3 (13) 1120 560 0

Подсчитаем показатели эффективности стратегий

> по критерию Байеса в предположении, что вероятности продать 11, 12 или 13 ящиков в течение недели равны

0,45, 0,35 0,2,

> по критерию Лапласа в предположении, что эти вероятности в равной мере правдоподобны и равны 1/3,

> по критерию Ходжа-Лемана с коэффициентом доверия к вероятностям состояний природы, например, V = 0,6 ,

> по критерию Вальда, критерию Сэвиджа, критерию произведений, критерию Гурвица с показателем у = 0 ( ),

оптимизма, например, у = 0,5.

Данные результаты расчетов приведены в таблице.

Ц (11) П2 (12) П3 (13) Байеса Лапласа Вальда Гурвицапри у= 0 (^айнего оптимизма) произведений

А1 (11) 3850 3690 3530 3730 3690 3530 3850 50148945000

А2 (12) 3290 4200 4040 3758,5 3843,33 3290 4200 55824720000

Аз (13) 2730 3640 4550 3412,5 3640 2730 4550 45214260000

qB 0,45 0,35 0,2

qL 0,333 0,333 0,333

Для расчета показателей эффективности по критерию Сэвиджа используем матрицу рисков.

Д (11) П2 (12) П3 (13) Сэвиджа

А: (11) 0 510 1020 1020

А2 (12) 560 0 510 560

A3 (13) 1120 560 0 1120

Д (11) П2 (12) П3 (13) Гурвица при у = 0,5

yminajj J (1 — y)max aij j gi

А1 (11) 3850 3690 3530 1765 1925 3690

А2 (12) 3290 4200 4040 1645 2100 3745

A3 (13) 2730 3640 4550 1365 2275 3640

В данном примере у решения имеются две поворотные точки относительно весового множителя у : до у = 0,39 в качестве оптимальной выбирается стратегия А3, при 0,39 < у < 0,59 - стратегия А2, а при больших значениях - А!.

П1 (11) П2 (12) П3 (13) Ходжа - Лемана при v = 0,6

n v I aijqi j=1 (1 — v) min a; 1<j<n J hi

A1 (11) 3850 3690 3530 2214 1412 3626

A2 (12) 3290 4200 4040 2306 1316 3622

A3 (13) 2730 3640 4550 2184 1092 3276

qH-L 0,333 0,333 0,333

Критерий Ходжа-Лемана рекомендует стратегию А! (выпуск 11 ящиков) - так же как и критерий Вальда Смена рекомендуемой стратегии происходит при V = 0,62. Поэто-, -пределению вероятностей достаточно высока в качестве

2.

При использовании 8 критериев стратегия А2 выбиралась в качестве оптимальной 5 раз, стратегия А1 - 2 раза и стратегия А3 - 1 раз. Поэтому можно сделать вывод о том, что применение стратегии А2 (выпуск 12 ящиков фиксажа -6) .

Примечания:

1. Абчук, В А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций / В А. Абчук. - СПб.: Союз, 1999. - 246с.

2. Аронович, АБ Сборник задач по исследованию операций / АБ. Аронович, М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. - М.: Изд-во МГУ, 1997. - 252с.

3. Грешилов, АА. Как принять наилучшее решение в реальных условиях? / А А. Грешилов. - М.: Радио и связь, 1991. - 118с.

4. Исследование операций в экономике: учебное пособие / Н.Ш. Кремер [и др.]. - М.: ЮНИТИ, 1997. -428с.

5. , . . -

тимальности решений в условиях риска и неопределенности / Л.Г. Лабскер, ЕВ. Яновская // Финансовый менеджмент. - 2002.

- №5.

6. Просветов, Г.И. Математические методы в экономике: учебнометодическое пособие / Г.И. Просветов. - М.: Изд-во РДЛ, 2004.

- 364 .

7. - :

учеб. пособие для вузов / Под ред. ВБ. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 391с.