Оптимизация периодически нагруженных cтержневых систем с использованием декомпозиции пространства проектирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2079-2081

2079

УДК 624.072

ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРОСТРАНСТВА ПРОЕКТИРОВАНИЯ

© 2011 г. А.С. Волков, Г.И. Гребенюк, Е.В. Яньков

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)

Volkofff@bk.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Рассматривается задача оптимизации периодически нагруженной стержневой системы. Разработана структура итерационного процесса оптимизации системы с использованием различных приемов декомпозиции. Приведен сравнительный анализ результатов решения задачи весовой оптимизации гармонически нагруженной трехпролетной балки с использованием и без использования направленного обобщения переменных проектирования.

Ключевые слова: итерационный процесс, оптимизация, декомпозиция, аппроксимация, балка.

Задача оптимизации периодически нагруженной стержневой системы ставится как задача математического программирования: требуется найти штДХ), Xе Е при ограничениях gJ(X, P(X, 0) < 0, 7 = 1, ..т, гдеДХ) - целевая функция, построенная на основе выбранного критерия (или критериев) оптимальности системы; X — вектор варьируемых характеристик (параметров) системы; Р(Х, £) — вектор параметров состояния системы, зависящий в данном случае не только от изменяемых характеристик системы, но и от времени; выражения gJ(X, Р(Х, t)) вытекают из ограничений строительного проектирования (по прочности, жесткости, устойчивости и т.д.).

Для решения задачи оптимизации используем декомпозиционный подход, основанный на построении процесса оптимизации как многоуровневого, где на верхних уровнях аппроксимируются решения задач оптимизации по варьируемым параметрам этих уровней, а на первом уровне организуется итерационный процесс оптимизации по варьируемым параметрам первого уровня при фиксированных переменных проектирования верхних уровней. В задачах оптимизации стержневых строительных конструкций, как правило, достаточно ограничиться разделением пространства переменных проектирования на три уровня: параметры сечений элементов, общие геометрические параметры системы, параметры топологии системы. В задачах оптимизации динамически нагруженных систем на отдельный уровень рационально дополнительно выделять параметры, определяющие демпфирующие свойства системы. Так как число варьируемых пара-

метров и число обращений к решению задачи оптимизации первого уровня бывает очень значительным, большое значение приобретает рациональная декомпозиция задачи оптимизации на первом уровне. Рассмотрим приемы декомпозиции пространства проектирования и аппроксимации параметров состояния периодически нагруженных стержневых систем, снижающие трудоемкость процесса оптимизации.

Процедура обобщения переменных проектирования на итерации состоит в определении соотношения

X = BK ■ Y, (1)

где X е En — исходный вектор варьируемых параметров (переменных проектирования); Y е E — вектор обобщенных параметров проектирования, r << n; BK — матрица базисного преобразования на итерации K.

Пусть на итерации активным является ограничение по прочности. Тогда разбиение групп оптимизируемых элементов с одинаковыми сечениями (групп ОЭ) на обобщенные группы предлагается выполнять следующим образом. В начале итерации K проводится перерасчет конструкции на заданную нагрузку при X = X°K. С учетом найденных значений параметров состояния находятся величины максимальным эквивалентных напряжений в группах ОЭ:

тах С экв/ (XOK , t), i = 1,..., n,

tH <t<tK

n — число групп ОЭ. Так как при произвольном периодическом нагружении колебания системы не являются установившимися, то с использовани-

ем алгоритма [1] для каждой из групп ОЭ определяется опасный момент времени. Далее находится среднее значение

1 п

°эквт(ХЖ) = ПX шах Сэкв,г (Х°К , t). (2)

экв,т(Х ) п гн<г<гК

Разделение групп ОЭ на обобщенные группы проводится согласно следующим соотношениям: — если

7 е 11

тах сэ

ін <і <і,

,.(ХОК, і) > сэ

Д хОК),

Методика аппроксимации параметров состояния путем разложения в усеченный ряд Тейлора не обеспечивает высокой скорости сходимости итерационного алгоритма оптимизации конструкции. Поэтому зачастую более предпочтительным является глобальный подход с построением регрессионных зависимостей на всей области поиска. При этом зависимо сть для параметра состояния на итерации К, как правило, представляется в виде

К

— если тах с

рК (7) =£ аК Фг (7),

(5)

І=1

экв,;

(ХоК, і) > с

экв, іт

(Х°К), 7 е 12,(3)

^н <^К

где 11, 12 — множества номеров более и менее нагруженных групп ОЭ. Описанный подход соответствует разделению групп ОЭ на две обобщенные группы. При этом составляющие матрицы базисного преобразования равны либо 0, либо соответствующей составляющей вектора Х°д, а У°К = У°К = 1.

В качестве простейшего варианта локальной аппроксимации предлагается разложение в усеченный ряд Тейлора в начальной точке У°К на итерации К. При сохранении членов с производными до первого порядка зависимость для 7-го параметра состояния имеет вид

рК (У) = Р} (70, t¿K) +

+ УР} (70,t¿П)Т • (7 - У0), (4)

ж

где ^п — опасный момент времени для7-го параметра состояния. Составляющие вектора градиента удобно определять в конечных разностях, что требует 4 дополнительных перерасчета системы.

к

где а“ — коэффициенты аппроксимации на итерации К; ф.(У) — «координатные» функции. В качестве координатных функций ф;(7) взяты орто-нормированные полиномы Лежандра, что позволило получить аналитические выражения для ко -эффициентов аппроксимации.

Разработана методика рационального выбора точек аппроксимации, число которых при квадратичной аппроксимации равно 9. В качестве тестового примера оптимизации системы с использованием разработанных приемов декомпозиции рассмотрена трехпролетная балка прямоугольного поперечного сечения (рис. 1).

Рассматриваемая конструкция разделена на 30 участков. В качестве варьируемых параметров приняты высоты сечений балки на участке X. = И, і = 1, ..., 30. Ширина сечений балки считается постоянной и равна 0.1 м. Критерием оптимальности является минимум объема материала, т.е. /(X) = ^г=і 0.1 • Xі • 0.6 . Результаты решения задач оптимизации без использования и с использованием декомпозиции представлены на рис. 2.

Рис. 1

Рис. 2

Как следует из рис. 2, процесс оптимизации достаточно быстро сходится. Результаты решений без использования и с использованием декомпозиции близки (разница составляет 2.7%). В то же время трудоемкость процесса поиска оптимального решения в исходном пространстве проектирования значительно выше. Результаты решения с декомпозицией при квадратичной аппроксимации несколько улучшают решение с использованием декомпозиции и при линейной аппроксимации параметров состояния. Большая трудоемкость

квадратичной аппроксимации компенсируется ускорением сходимости.

Работа выполнена по гранту Министерства образования и науки РФ № 2.1.2./12301.

Список литературы

1. Гребенюк Г.И., Роев В.И. Методика построения дискретного решения для вынужденных колебаний диссипативных систем // Изв. вузов. Строительство. 2006. №2. С. 94—101.

OPTIMIZATION OF PERIODICALLY LOADED ROD SYSTEMS USING DECOMPOSITION

OF THE DESIGNING SPACE

A.S. Volkov, G.I. Grebenjuk, E. V. Jankov

The problem of optimizing periodically loaded rod systems is considered. The structure of iterative optimization process for rod systems is developed using various decomposition procedures. The results analyzing the problem of weight optimization of a harmoniously loaded three-span beam with and without using the directed generalization of variable design parameters are compared.

Keywords: iterative process, optimization, decomposition, approximation, a beam.