Дискретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций при импульсном нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.045.04

Г.И. Гребенюк, М. С. Вешкин

Дискретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций при импульсном нагружении

G.I. Grebenyuk, M.S. Veshkin

Discrete Models for Calculation and Optimization of the Rod Construction at Impulse Loading

Рассматриваются дискретные подходы к расчету стержневых систем, нагруженных весьма коротким (мгновенным) импульсным воздействием, а также импульсом конечной протяженности. Получены решения задачи оптимизации объема однопролетной балки с использованием условий дискретной равнопрочности. Проведен сравнительный анализ результатов оптимизации при изменении числа участков разбиения балки и протяженности импульса. Ключевые слова: балка, оптимизация, расчет, равно-прочность, импульс.

The work considers discrete approaches to calculating the rod systems loaded with rather short (instant) impulse influence, and also with final extent impulse. Decision of a problem to optimize volume of one-flying beam using conditions of discrete equal durability is obtained. The comparative analysis of the optimization is carried out at a change of number of beam splitting sites and an impulse extent.

Key words: beam, optimization, calculation, impulse.

1. Алгоритмы динамического расчета дискретных систем. Уравнения динамического равновесия дискретной системы представим с позиции метода перемещений КЭ в виде

Кт1 (I) + Ка2 (I) + К,2 (I) + Я, (Г) = 0, (1)

где Кт, К, Ке - матрицы инерционных, диссипативных и упругих коэффициентов; ЯР (/) = гРЕ(() - вектор, обобщающий заданные силовые воздействия; гР - матрица порядка п х /; п - степень свободы узлов системы; /- число заданных силовых воздействий.

Согласно видоизмененной гипотезе Фойгта, для системы с одной степенью свободы [1]

Ка = у(с т)05 (сила/скорость). (2)

Величины с, т - реакции в наложенной связи от единичного смещения и движения с единичным ускорением, причем данные концевые усилия и коэффициент неупругого сопротивления у однозначны.

Так как компоненты матриц Кт^/), К^ у-го КЭ идентичны по физическому смыслу компонентам (2), то рационально использовать для вычисления компоненты К а ,■ * матрицы К^ соотношение

К г, * = У(Кт г, К I, * )0'5 (сила/ск°р°сть). (3)

Далее рассматривается предлагаемая методика дискретного расчета стержневых систем при действии весьма короткого (мгновенного) импульса.

Согласно общему уравнению удара [2], для системы точечных масс справедливо соотношение

£ (т*АУ* - 8* )5р(к) = 0, (4)

к =1

где п - число точечных масс; т* - масса к-й точки,

АУ* - приращение скорости точки «к»; 8 *- им__ »_» о *

пульс, передающийся в к-ю точку; о р - вариация перемещения к-й точки.

Распространяя (4) на случай стержневой системы и принимая в качестве возможных координатные перемещения, получим:

г 1

а(1 )Т I у( 1 -1 (и )£(1 -1 (и )йи = 0.

1 =! 0

Уравнение (5) приводится к виду:

яІ(т) + Я' = 0, (6)

где

— (к)

Я = ±а 1 )Т (К") + КН ))а( 1) +±а (1к )Т (М(к) + М )а(1к); 1=1 к=1

г _(1 п

ЯХ = £ а( 1 )Т8 +£ а( 1к )Т8(К).

1=1 к=1

После определения составляющих вектора І из решения системы алгебраических уравнений (6) задача динамического расчета при воздействии мгновенной импульсной нагрузки сводится к расче-

Дискретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций.

ту системы на свободные колебания с начальными

условиями _ о = 0; ^

? = 0 = 2 (^

Представляет интерес оценка, насколько влияет на результаты расчета и дискретной оптимизации представление нагрузки в виде импульса конечной протяженности.

Решение 2 (г) е Еп матричного дифференциального уравнения (1) без учета демпфирования в случае действия импульса конечной протяженности представим в виде сумы векторов:

2 (г) = 2 (г)+¿г (г),

где 2 (г) - общее решение однородного уравнения Кт2(г) + Ке2(г) = 0; 2 (г) - частное решение (1).

Вектор узловых сил Е(г) удобно представить [3] в виде выражения Е(г) = В • ¿(г), где ¿(г) - тР - мерный вектор одночленных функций времени; В -числовая матрица.

Частное решение представляется в аналогичном виде:

2 (г) = Q • I (г),

где Q - числовая матрица порядка п х тР.

Неизвестные составляющие матрицы Q находятся из решения системы линейных уравнений:

(7)

Кт • Q • H (2) + К, • Q + rF B _ 0,

интенсивностью q = |да ^- началь-

ная амплитуда импульсной нагрузки).

Суммарная интенсивность импульса во всех вариантах принята равной q = 2 • 10-3 (кН • с/м). Для

определения параметров дискретно-равнопрочной балки использован алгоритм оптимизации, приведенный на рисунке 2.

где Н(2) - дифференциальный оператор второго порядка от ¿(г).

Составляющие вектора постоянных интегрирования на участке 1 при 0<г<Тх (Тх- протяженность по времени заданного импульса) определяются из начальных условий. Если считать импульс протяженным, то в начальный момент времени

2 (г)|(=0 = 0; 2 (г)|(=0 = 0.

На втором интервале Тх < г < да система совершает свободные колебания. Постоянные интегрирования находятся из условий стыковки интервалов [0,7 ], [71,да].

2. Пример расчета и оптимизации. В качестве примера расчета и оптимизации рассмотрена балка с постоянной высотой и переменной шириной сечений при действии заданного импульса (рис. 1).

Рассмотрены несколько вариантов действия распределенного импульса:

- весьма короткий (мгновенный) импульс;

- импульсы конечной протяженности треугольной формы # (г) = да (1 - г/7 )(кН/м), при разных значениях 71 и одинаковой суммарной (по времени)

б)

Ввод исходного приближения Ь _ • • • _ b _ b0 _ const.

1 nel 0

к _ к + 1 —>■

Пересчет системы. Определение величин |мк (t), i _ 1,___, nd.

Корректировка искомых параметров ширины сечений, балки на участках 6 • max |м* ()| i 1

. Л , i ^,

b.. _-

a0 • k2

i _ 1,_,nel.

Определение объема половины дискретно-равнопрочной балки на итерации к

Vk _ k£. V Ьк, £. _

i i 5 i

2n

Проверка критерия окончания поиска ■ < в.

Vk - Vk-1

Vk

нет ?

Конец

да

Рис. 2. Алгоритм расчета

Алгоритм поиска дискретно-равнопрочной балки быстро сходится. В частности, на итерациях 6,7

)

а

в

i_1

(для 20 участков разбиения) и на итерациях 20-25 (для 50 участков разбиения), максимальная разница значений ширины сечений балки на участках составила 0.88%, а максимальное отклонение от условия равнопрочности - 0,1%.

3. Анализ результатов расчетов и оптимизации балки. Графики зависимости оптимального объема материала от длительности импульса, для вариантов разбиения балки на 5 и 20 элементов, приведены на рисунке 3.

V*(t10-5) м3

Протяженность импульса^, с 20 участков

5 участюв

Рис. 3. Зависимость оптимального проекта V* от длительности импульса

Как следует из графиков, при большей продолжительности импульса размеры сечений и оптимальный объем получаются меньше по сравнению

с результатами, относящимися к менее продолжительному импульсу. Это говорит о существенном влиянии продолжительности импульса на максимальные усилия в балке и, в конечном счете, на ее оптимальный проект.

Влияние числа участков разбиения балки на оптимальный объем при длительности импульса Т1 = 0,001 с

Число участков 5 20 30 50

Оптимальный объем V *(х105 м3) 6,28661 5,8124 5,774 5,6908

В таблице показаны сравнительные результаты при различном количестве участков разбиения балки на элементы постоянного сечения. Существенное отличие от других результатов наблюдается в случае малого количества элементов - 5. При увеличении числа участков разбиения балки (20/30/50 участков) больших отличий в результатах соседних случаев не наблюдается.

Значительное влияние длительности импульса, по всей видимости, связано с тем, что при сокращении длительности импульса возрастает вклад в свободные колебания верхних частот собственных колебаний. Формы колебаний, соответствующие им, характеризуются большей кривизной продольной оси балки и, соответственно, большими усилиями изгиба.

Библиографический список

1. Динамический расчет зданий и сооружений: справочник проектировщика / под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. - М., 1984.

2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М., 1956.

3. Гребенюк Г.И., Роев В.И. Методика построения дискретного решения для вынужденных колебаний диссипативных систем // Известия вузов. Строительство. -2006. - №2.