Разработка алгоритмов численного расчёта и оптимизации стержневых систем при действии импульсных нагрузок Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.045.04

ГРЕБЕНЮК ГРИГОРИЙ ИВАНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, greb@sibstrin.ru

ВЕШКИНМАКСИМ СЕРГЕЕВИЧ, ст. преподаватель, max.vs@list.ru

Новосибирский государственный архитектурно-строительный

университет (Сибстрин),

630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, 113

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА И ОПТИМИЗАЦИИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИМПУЛЬСНЫХ НАГРУЗОК

Изложен подход к расчету стержневых систем при действии динамической (импульсной) нагрузки, основанный на аппроксимации зависимости импульсной нагрузки от времени на заданном интервале действия. Предложена методика декомпозиции исходной задачи оптимизации путем направленного обобщения варьируемых параметров сечений элементов. Поставлена задача весовой оптимизации 5-этажной двухпролетной стальной рамы. Проведен анализ результатов решения задачи оптимизации при варьировании параметров сечений и числа групп оптимизируемых элементов.

Ключевые слова: стержневая система; импульсные нагрузки; расчет; оптимизация; декомпозиция; направленное обобщение.

GRIGORI I. GREBENYUK, DSc, Professor, greb@sibstrin.ru

MAKSIM S. VESHKIN, Senior Lecturer, max.vs@list.ru

Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering, 113, Leningradskaya Str., 630008, Novosibirsk, Russia

LOGICAL DESIGN OF NUMERICAL CALCULATION AND OPTIMIZATION OF BAR SYSTEMS UNDER DYNAMIC LOADS

The paper presents a design approach to bar system under dynamic (impulse) load which is based on time dependence approximation in a specified interval. The methodology of decomposing the original problem of optimization is suggested using the directional generalization of varied parameters of member cross-sections. The problem of weight optimization is set for the 5-storey double steel frame. The analysis of results obtained is presented herein at varying sectional parameters and the number of members to be optimized.

Keywords: bar system; impulse load; calculation; optimization; decomposition; directional generalization.

Введение

Динамические нагрузки, вызванные различными внешними факторами, играют существенную (а часто и определяющую) роль при выявлении напряженно-деформированного состояния сооружений. Это в полной мере относится и к импульсным нагрузкам, причем протяженность и форма импульса (при

© Г.И. Гребенюк, М.С. Вешкин, 2014

одинаковой его мощности) достаточно ощутимо сказываются на динамической реакции системы. В настоящее время детально разработан и описан в литературе математический аппарат, основанный на численном интегрировании уравнений динамического равновесия в рамках МКЭ [1-3]. Вместе с тем представляет интерес разработка эффективных по затратам времени численных алгоритмов расчета, основанных на приближенном описании импульсной нагрузки в виде суммы простых одночленных функций. Это особо важно в задачах оптимизации сложных многоэлементных конструкций, когда выбранный алгоритм оптимизации требует значительного числа перерасчетов оптимизируемых систем. В свою очередь, актуальной является и задача разработки эффективных численных алгоритмов оптимизации, ориентированных на использование разработанного численного алгоритма расчета оптимизируемых систем.

1. Алгоритм численного расчета стержневой системы при действии произвольного импульса

Уравнения состояния динамически нагруженной стержневой системы представим с позиций метода перемещений КЭ без учета демпфирования в виде

Кт2(1) + К,2(Г) + Пр (г) = 0, (1)

где Кт, Ке - матрицы инерционных и упругих коэффициентов; Яр (¿) = гр-вектор, обобщающий заданные силовые воздействия; гр - матрица порядка г х / , г - число степеней свободы узлов системы, / - число заданных силовых воздействий.

Решение 2 (^)е Ег матричного дифференциального уравнения (1) на каком-либо временном интервале ^п < ^ < ^к представим в виде суммы:

2 ^) = 2 (*) + 2 ^) , (2)

где 2 () - общее решение однородного уравнения; Кт2 ^) + Ке2 (^) = 0; 2 (^) - частное решение (1).

Вектор 2 (^) записывается в виде матричного произведения 2 (I) = В • С • А,

где В =

»11 1*11 . . 1г

- матрица сдвоенных собственных векторов;

С =

8Ш (ю^)

008

(«V )

8Ш )

008

(«V)

; А =

вектор постоянных

интегрирования.

При получении частного решения вектор заданных силовых воздействий удобно аппроксимировать в заданном интервале времени < t < tк соотношением Р () = В ■ Ь (t) ,

где В - числовая матрица / х тР; Ь (t) - тР -мерный вектор заданных одночленных функций.

Частное решение 2 ^) представляется в аналогичном виде

2 ^ )=е ■ ь ^),

где е - искомая числовая матрица порядка г х тР . Составляющие матрицы 2 для заданного интервала , tk ] находятся из решения системы линейных уравнений после подстановки Р ^), 2 ^) в (1).

Составляющие вектора А постоянных интегрирования на 1-м участке находятся из условий 2 ^)| =0 = 0; 2 ^)| г=0 = 0 .

На последующих временных интервалах постоянные интегрирования находятся из условий стыковки соседних интервалов.

Результаты тестовых расчетов по программе, разработанной на основе предложенного алгоритма, свидетельствуют об их малой трудоемкости и хорошей точности (разница числовых значений усилий, перемещений и собственных частот со значениями, полученными с использованием, например, программы А№У8, составляла 3-5 %).

2. Итерационный алгоритм оптимизации стержневой системы с использованием направленного обобщения переменных проектирования

В первых работах в области оптимизации конструкций рассматривались, как правило, достаточно простые системы при статическом нагружении [4-6]. При этом для решения задач оптимизации использовались, как правило, численные алгоритмы прочностного перерасчета. В дальнейшем для постановки и решения подобных задач стали активно применяться методы математического программирования с выбором целевой функции, построением системы ограничений и разработкой методов их аппроксимации [7, 8]. Отдельно здесь следует выделить классы задач оптимизации, в которых традиционная система ограничений по прочности и жесткости дополнялась ограничениями по устойчивости и частотам собственных колебаний [9-13], причем в работах [11-13] большое внимание уделено получению характеристик оптимальных систем. Значительно меньше работ было посвящено разработке алгоритмов

решения задач оптимизации конструкций при динамическом нагружении. В ряде ранних работ [14, 15] для решения использовались схемы итерационного перерасчета. В дальнейшем более активно стала применяться постановка в форме задачи математического программирования [16-18]. Общим недостатком этих алгоритмов была их большая трудоемкость при большой размерности пространства проектирования. В связи с этим в данной работе предлагается алгоритм, позволяющий существенно понизить трудоемкость расчетов при сохранении высокой точности решения.

Общая блок-схема предложенного алгоритма оптимизации параметров сечений динамически нагруженных стержневых систем представлена на рис. 1.

И

Рис. 1. Общая блок-схема алгоритма оптимизации

Как следует из рис. 1, процесс оптимизации в общем случае представлен как итерационный и двухэтапный. На первом этапе каждой итерации проводится разделение групп оптимизируемых элементов (групп ОЭ) на обобщенные группы по какому-либо критерию и решение задач поэлементной оптимизации при фиксированных усилиях в элементах. На втором этапе итерации формируется и решается задача оптимизации системы как задача математического программирования в обобщенном пространстве проектирования. Представленная на рис. 1 итерационная схема может быть упрощена путем исключения процедур поэлементной оптимизации и аппроксимации параметров состояния (форма сечений элементов групп задана, а параметры состояния определяются путем непосредственного обращения к процедуре перерасчета системы в рамках выбранного поискового метода).

Для обобщения пространства проектирования, например, по нагружен-ности ОЭ необходимо определять достаточный для анализа динамического отклика интервал времени [гп; гк ] на итерациях. Перед разделением групп Э

на обобщенные группы по нагруженности необходимо определить величины максимальных значений эквивалентных напряжений

.(X ,г ) =

/ V 0к . .¡к \

х(Х ;ГОП )'

(1)

г, < г < г,.

где / = 1,..., НОЕ; НОЕ - число групп ОЭ; г ОП - опасный момент времени для элементов ¡ -й группы на итерации к.

В дальнейшем процесс разделения групп ОЭ на две обобщенные группы выполняется следующим образом:

если

с

экв/тах

если ст э

экв/тах

(X0к, г ОкП) >с

(X0к, г ОкП) <аэ

'эквга , ^ е 11 ;

, / е/ 2,

(2)

где с эквт - среднее эквивалентное напряжение для групп ОЭ системы; /1, / 2-

множества номеров более и менее нагруженных групп ОЭ. Пересчет исходных переменных в процессе поиска оптимального решения на итерации осуществляется с использованием сформированной матрицы базисного преобразования

где Вк =

X = Вк • У,

ьк = IX0,если / е/1, ьк = Г0, если г е/l,

1 I ^ ■ т 2 1 „ 0к ■ т

[0, если г е 12; [Xi , если г е 12;

(3)

(4)

У =

У

- вектор обобщенных переменных проектирования.

тах с

3. Пример решения задачи оптимизации

В качестве примера для проведения расчетов и оптимизации принята рамная стержневая система (рис. 2), нагруженная вертикальной статической нагрузкой от веса перекрытий и полезной поэтажной нагрузки (рис. 3), а также распределенной горизонтальной импульсной нагрузкой д(,) (рис. 4).

"г?

©

©

©

©

©

©

О

о

о

о

?г

©

©

©

о

я я

©

©

©

©

о

©

о

©

о

Р,

Р,

, I

Р,

Р,

Р,

Р„

Ф Ф V Ф V Ф

ТУТ

л*

7тт7/

р,

V

р„

У'/А

Рис. 2. Схема рамы

Рис 3. Схема статических нагрузок на раму

5

5

Рис. 4. Схема динамических нагрузок Рис. 5. Форма сечений элементов рамы

на раму

Коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения динамической нагрузки по высоте а = 0,842105, и снижение нагрузки со стороны отрица-

тельного давления k = 0,625 приняты согласно СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия». Форма сечений всех элементов рамы принята одинаковой (рис. 5), что позволяет в данном случае исключить процедуру поэлементной оптимизации. Суммарная величина интенсивности импульсной нагрузки одинакова для всех форм и длительностей импульсов и равна

т

q1 = Jq (t)dt = 0,969 (кН • с/м) , (5)

0

где T - время передачи импульсной нагрузки. Функция q(t) задается в виде q(t) = qa • f (t), qa = 4,845 (кН/м) , (6)

где f (t) - безразмерная функция времени; qa (кН/м) - постоянная величина.

С целью исследования влияния формы импульсной нагрузки на величины максимальных эквивалентных напряжений в группах ОЭ были рассмотрены три варианта передачи распределенного импульса конечной протяженности (рис. 6, а, б, в):

- прямоугольный импульс f (t) = 1,0,

- синусоидальный импульс f (t) = 1,5708 • sin т;

- импульс в форме волны, с участками нарастающей и убывающей ин-тенсивностей.

4t ^ . 2%t rí s „ 4(t-0,5T) . 2%t

f (t)=т+0,5 • sin—; f2 (t) = 2- T -0,5 • sm—• (7)

Протяженность T импульсной нагрузки принята равной 0,2 с. При этом все варианты f(t) имеют одинаковую площадь, т. е. значения импульса для всех вариантов форм одинаковые.

Рис. 6. Формы импульса

Результаты расчетов показали, что наиболее опасной является форма импульса в, которая в дальнейшем используется при проведении перерасчетов рамы в процессе оптимизации.

Оптимизация рамы выполнялась без использования аппроксимации параметров состояния. В качестве варьируемых приняты величины параметра 5 в группах элементов: Xi = 5., i=1...NGE, NGE - число групп оптимизируемых элементов. Критерием оптимальности принят минимум объема материала элементов рамы.

Задача оптимизации рамы ставится как задача нелинейного математического программирования:

NGE

требуется найти min f (X) = ^ 174XfLi (8)

i=i

при ограничениях по прочности

^эке imax (X, t)/R - 1,0 < 0, i = 1, NGE (9)

и жесткости Vmax(X, t)/ [V ]-1,0 < 0., (10)

где стэкв1.max(X, t)- максимальное эквивалентное напряжение в элементах i-й группы; Vmax( X, t) [V ] - максимальное и допускаемое горизонтальные перемещения верхнего узла рамы.

Для решения формируемых на итерациях условно-экстремальных задач использован метод подвижного внешнего строфа. В свою очередь, решение безусловно-экстремальных задач, к которым сводятся исходные условно-экстремальные задачи, выполняется с использованием метода деформируемого многогранника.

Элементы рамы объединены в группы ОЭ. Параметры сечений элементов в группе ОЭ имеют одинаковые значения. Использованы следующие варианты объединения элементов в группы:

- 1 группа ОЭ (все элементы рамы одного сечения);

- 2 группы ОЭ (1-я группа - ригели ; 2-я группа - колонны);

- 15 групп ОЭ по 3 группы на каждом этаже (1-я группа на этаже -крайние колонны; 2-я группа на этаже - средняя колонна; 3-я группа на этаже - ригели).

В табл. 1, 2 приведены основные результаты проведенных вычислений.

Как видно из табл. 1, проект рамы с одинаковыми сечениями всех элементов требует расхода стали на 29,8 % больше, чем проект с двумя группами ОЭ. При 15 группах ОЭ экономия материала по сравнению с проектом с одной группой ОЭ составяет 42,8 %, но значительно увеличивается трудоемкость расчетов. Использование направленного обобщения переменных проектирования позволило, с одной стороны, получить проект, сопоставимый по расходу материала с проектом, полученным в исходном пространстве проектирования (разница составляет 4,4 %), а с другой стороны, существенно сократить трудоёмкость расчетов.

Результаты расчетов, приведенные в табл. 2, в целом, качественно соответствуют результатам, приведенным в табл. 1.

Таблица 1

Результаты оптимизации рамы с ограничениями по прочности

Число групп ОЭ Значение целевой функции м3 Значения параметров X^, мм Наибольшая невязка ограничения по прочности Количество перерасчётов

1 1,22 8,108 - 20

2 0,940 6,91, 8,19 0,000212 26

15 0,698 4,49-8,44 0,0114 198

15 (с направленным обобщением групп ОЭ) 0,730 5,51-7,84 - 84

Наличие активного ограничения по жесткости (допускаемое горизонтальное перемещение [V] верхнего узла рамы принято равным 0,015 м) привело к существенному увеличению расхода материала на раму и несколько снизило эффективность направленного обобщения переменных проектирования.

Таблица 2

Результаты оптимизации рамы с ограничениями по прочности и жесткости

Число групп ОЭ Значение целевой функции м3 Значения параметров X^, мм Наибольшая невязка ограничения по прочности Наибольшая невязка ограничения по жёсткости Количество перерасчётов

2 0,949 0,708; 0,809 0,018 0,050633 22

15 0,905 0,508-1,4 0,0106 0,00467 836

15 (с направленным обобщением групп ОЭ) 0,928 0,653-0,853 - 0,050633 57

Выводы

1. Разработанный и программно реализованный алгоритм численного расчета обладает сравнительно невысокой трудоёмкостью, хорошей точностью и может успешно использоваться при решении задач оптимизации стержневых систем, подверженных совместному действию статических и динамических нагрузок.

2. Предложенный и программно реализованный итерационный алгоритм многопараметрической оптимизации динамически нагруженных стержневых систем с направленным обобщением переменных проектирования быстро сходится и позволяет существенно снизить трудоемкость процесса оптимизации.

3. При активном ограничении по жесткости эффективность обобщения по нагруженности групп ОЭ снижается, и необходимо использовать другой критерий обобщения, например критерий удельного вклада в активное перемещение, связанного с деформацией группы ОЭ.

Бибилиографический список

1. Зенкевич, О.С. Метод конечных элементов в технике / О.С. Зенкевич. - М. : Мир, 1975. - 544 с.

2. Клаф, Р. Динамика сооружений / Р. Клаф, Д. Пензиен. - Стройиздат, 1979. - 320 с.

3. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. -М. : Стройиздат, 1982. - 448 с.

4. Шмит, Л.А. Возникновение и развитие методов синтеза конструкций / Л.А. Шмит // Ракетная техника и космонавтика. - 1981. - Т. 19. - №11. - С. 3-22.

5. Schmit, L.A. Structural Optimization - Some Key Ideas and Insights / L.A. Schmit // New Directions in Optimum Structural Design. - Ed. E. Atrek et Al. Chichester: Wiley, 1984. - P. 1-45.

6. Радциг, Ю.А. Статические неопределимые фермы наименьшего веса / Ю.А. Радциг. -Казань : Изд-во Казанского ун-та. - 1969. - 287 с.

7. Малков, В.П. Оптимизация упругих систем / В.П. Малков, А.Г. Угодчиков. - М. : Наука, 1981. - 288 с.

8. Лазарев, И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы / И.Б. Лазарев. - Новосибирск : СГУПС, 1995. - 295 с.

9. Гринев, В.Б. Оптимизация стержней по спектру собственных значений / В.Б. Гринев, А.П. Филиппов. - Киев : Наукова думка, 1979. - 212 с.

10. Фокс, Р. Скорость изменения собственных значений и собственных векторов / Р. Фокс, М. Канур. - РТиК, 1968. - № 12. - С. 227-230.

11. Ляхович, Л.С. Оптимизация несущей способности по устойчивости и частоте колебаний / Л.С. Ляхович, А.П. Малиновский // Пространственные конструкции в Красноярском крае, 1979. - № 12. - С. 103-113.

12. Ляхович, Л.С. Оптимальное проектирование стержневых систем с кусочно-линейными характеристиками связей, находящихся под действием параметрической нагрузки / Л.С. Ляхович, А. Л. Иванов // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1984. -№ 11. - С. 25-28.

13. Ляхович, Л.С. Критерий оптимальности связей в задачах устойчивости и собственных колебаний упругих систем / Л.С. Ляхович, А.Н. Плахотин // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1986. - № 7. - С. 26-29.

14. Рабинович, И.М. Расчет конструкций минимального веса под действием кратковременных динамических нагрузок / И.М. Рабинович. - М. : ВИА, 1965. - 101 с.

15. Feng, T.T. Optimal Structural Design under Dynamic Loads / T.T. Feng, J.S. Arora, E.J. Haug // Int. J. Numerical Methods in Eng. - 1977. - V. 11. - № 1. - P. 39-52.

16. Якимова, Х. Проектирование оптимальных динамически нагруженных конструкций / Х. Якимова // Новые направления в строительном проектировании. - М. : Стройиздат, 1989. - С. 245-262.

17. Гребенюк, Г.И. Расчет и оптимизация гармонически нагруженных систем с использованием различных приёмов декомпозиции / Г.И. Гребенюк, В.И. Роев, М.А. Димитров // Доклады 5-го Всероссийского семинара «Проблемы оптимального проектирования сооружений». - Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2005. - С. 119-131.

18. Гребенюк, Г.И. Дискретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций при импульсном нагружении / Г.И. Гребенюк, М.С. Вешкин // Известия Алтайского государственного университета. - 2012. - № 1.- С. 36-39.

References

1. Zenkevich O.S. Metod konechnykh elementov v tekhnike. [Method of finite elements in engineering] Moscow : Mir Publ., 1975. 544 p. (rus)

2. Clough R.W., Penzien J. Dinamika sooruzhenii.[Dynamics of structures.] Stroyizdat Publ., 1979. 320 p. (transl. from Engl.)

3. Bathe K.-J., Wilson E.L. Chislennye metody analiza i metod konechnykh elementov [Numerical methods in finite element analysis]. Moscow : Stroyizdat Publ., 1982. 448 p. (transl. from Engl.)

4. Shmit L.A. Vozniknovenie i razvitie metodov sinteza konstruktsii [Emergence and development of structural synthesis methods]. AIAA Journal: Devoted to aerospace research and development, 1981. V. 19. No. 11. Pp. 3-22. (rus)

5. Schmit L.A. Structural Optimization Some Key Ideas and Insights. In: New Directions in Optimum Structural Design. Ed. E. Atrek et al. Chichester : Wiley, 1984. 145 p.

6. Radtsig Yu.A. Staticheskie neopredelimye fermy naimen'shego vesa [Statically indeterminate frames of the lowest weight]. Kazan': Kazan University Publ., 1969. 287 p. (rus)

7. Malkov V.P. Ugodchikov A.G. Optimizatsiya uprugikh system [Optimization of elastic systems]. Moscow : Nauka Publ., 1981. 288 p. (rus)

8. Lazarev I.B. Osnovy optimal'nogo proektirovaniya konstruktsii. Zadachi i metody [Bases of optimum design of designs. Tasks and methods]. Novosibirsk : SGUPS Publ., 1995. 295 p. (rus)

9. Grinev V.B. Filippov A.P. Optimizatsiya sterzhnei po spektru sobstvennykh znachenii [Bar optimization by eigenvalue spectrum]. Kiev : Naukova Dumka Publ., 1979. (rus)

10. Foks R., Kanur M. Skorost' izmeneniya sobstvennykh znachenii i sobstvennykh vektorov [Rate of change of eigenvalues and eigenvectors]. RTiK Publ., 1968. No. 12. Pp. 227-230. (rus)

11. Lyakhovich L.S., Malinovskii A.P. Optimizatsiya nesushchei sposobnosti po ustoichivosti i chastote kolebanii [Optimization of carrying capacity by stability and oscillation frequency]. Prostranstvennye konstruktsii v Krasnoyarskom krae [Spatial structures in Krasnoyarsk Krai]. 1979. No. 12. Pp. 103-113. (rus)

12. Lyakhovich L.S., Ivanov A.L. Optimal'noe proektirovanie sterzhnevykh sistem s kusochno-lineinymi kharakteristikami svyazei nakhodyashchikhsya pod deistviem parametricheskoi nagruzki [Optimum design of bar systems piecewise linear characteristics]. News of Higher Educational Institutions. Construction and Architecture. 1984. No. 11. Pp. 25-28. (rus)

13. Lyakhovich L.S., Plakhotin A.N. Kriterii optimal'nosti svyazei v zadachakh ustoichivosti i sobstvennykh kolebanii uprugikh sistem. [Optimum bond criteria in problems of stability and eigen frequency in elastic systems]. News of Higher Educational Institutions. Construction and Architecture. 1986. No. 7. Pp. 26-29. (rus)

14. Rabinovich I.M. Raschet konstruktsii minimal'nogo vesa pod deistviem kratkovremennykh dinamicheskikh nagruzok [Minimum weight structural design under dynamic loads]. Moscow : VIA Publ., 1965. 101 p. (rus)

15. Feng T.T., Arora J.S., Haug E.J. Optimal Structural Design under Dynamic Loads. Int. J. Numerical Methods in Eng. 1977. V. 11 No. 1. Pp. 39-52. (rus)

16. Yakimova Kh. Proektirovanie optimal'nykh dinamicheski nagruzhennykh konstruktsii [Structural design of optimum dynamic loads]. Novye napravleniya v stroitel'nom proektirovanii. Moscow : Stroyizdat Publ., 1989. Pp. 245-262. (rus)

17. Grebenyuk G.I., Roev V.I., Dimitrov M.A. Raschet i optimizatsiya garmonicheski nagruzhen-nykh sistem s ispol'zovaniem razlichnykh priemov dekompozitsii [Design and optimization of harmonically loaded systems]. Proc. 5th All-Rus. Seminar 'Problems of Optimum Structural Design'. Novosibirsk : SIBSTRIN Publ., 2005. Pp. 119-131. (rus)

18. Grebenyuk G.I., Veshkin M.S. Diskretnye modeli rascheta i optimizatsii sterzhnevykh konstruktsii pri impul'snom nagruzhenii [Discrete models of design and optimization of bar structures under impulse loads]. The News of Altai State University. 2012. No. 1. Pp. 36-39. (rus)