Анализ влияния стохастической изменчивости параметров конструкций с динамическими гасителями колебаний на надежность при гармонических нагрузках Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.04:519.2

СЕБЕШЕВ ВЛАДИМИР ГРИГОРЬЕВИЧ, канд. техн. наук, профессор, [email protected]

ГЕРБЕР ЮРИЙ АНДРЕЕВИЧ, инженер, [email protected]

Новосибирский государственный архитектурно-строительный

университет (Сибстрин),

630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, 113

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ ПАРАМЕТРОВ КОНСТРУКЦИЙ С ДИНАМИЧЕСКИМИ ГАСИТЕЛЯМИ КОЛЕБАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

В задаче определения надежности по условию усталостной прочности конструкций, защищаемых от вибрации с помощью динамических гасителей колебаний, оценено влияние основных расчетных параметров линейно деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс. На основании анализа чувствительности вероятности отказа к изменчивости характеристик защищаемой конструкции, гасителя и динамической нагрузки выявлены наиболее значимые из них - амплитуда и частота нагрузки, масса и жесткость упругого элемента гасителя. Представлены количественные результаты расчетов надежности модельной балочной системы с двумя степенями свободы масс, подтверждающие сделанные качественные выводы.

Полученные данные позволяют формулировать требования к точности реализации проектных параметров гасителей для обеспечения необходимой надежности.

Ключевые слова: надежность; вероятность отказа; система с конечным числом степеней свободы; гармоническая нагрузка; гаситель колебаний; резонанс; коэффициенты динамичности.

VLADIMIR G. SEBESHEV, PhD, Professor, [email protected] YURIYA. GERBER, Engineer, [email protected]

Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering, 113, Leningradskaya Str., 630008, Novosibirsk, Russia

STRUCTURAL ANALYSIS OF RANDOM PARAMETERS UNDER HARMONIC LOADS

According to the reliability problem definition for damper-protected structures from vibrations, the influence of basic structural parameters on deformable systems and the finite number of degree of freedom was evaluated in this paper. The analysis of failure probability sensitivity to variable characteristics of protected structure, the damper and dynamic load were established, i.e. the load amplitude and frequency, mass and stiffness of the damper elastic element. Quantitative results of reliability design analysis of the beam system with two degrees of freedom are presented herein that confirm the conclusion drawn by the authors. The data analysis allows formulation of requirements for the accuracy of project parameters implementation to provide the appropriate reliability.

© В.Г. Себешев, Ю.А. Гербер, 2014

Keywords: reliability; failure rate; finite number of degree of freedom; harmonic

load; vibration damper; resonance; dynamic factor.

Инженерные системы, в том числе строительные конструкции и сооружения, могут испытывать различные динамические воздействия техногенного и природного характера, в частности вибрационные (гармонического типа) -от установленных машин, установок, технологического оборудования, а также циклические аэродинамические и гидравлические волновые нагрузки.

Улучшение динамического состояния объекта возможно за счет применения различных приемов и технических решений. Одним из путей является оптимизация характеристик рассматриваемой системы - в этом направлении академиком Л.С. Ляховичем разработаны методы синтеза линейно деформируемых систем с требуемыми динамическими свойствами за счет отыскания выгоднейшего расположения масс и упругих связей [1]. Получили развитие также теория и практика снижения вибрации за счет специальных устройств, встраиваемых в защищаемый объект, - гасителей колебаний [2-4], являющихся по сути регуляторами динамического напряженно-деформированного состояния системы. Одним из видов таких устройств являются динамические гасители, представляющие собой сочетание сравнительно небольшой дополнительной массы, прикрепляемой к защищаемому объекту деформируемой связью. Гасители колебаний, в том числе динамические, являются эффективными регуляторами - при точном обеспечении их расчетных характеристик при определенных условиях теоретически возможно практически полностью исключить вибрации конструкции, сооружения. Но реальные объекты и гасители колебаний, а также динамические воздействия обладают стохастическими свойствами, вследствие чего полностью предотвратить вибрации невозможно.

В результате случайных погрешностей реализации параметров гасителя и частоты вибрационной нагрузки возможно попадание системы в зону резонанса, чему может способствовать также изменение резонансной частоты вследствие вероятностных отклонений от проектных значений геометрических, жесткостных и инерционных характеристик защищаемого объекта. При неконтролируемых погрешностях расчетных параметров конструкции, нагрузки и гасителя влияние последнего может даже ухудшать динамическое состояние системы по сравнению с незащищенной конструкцией [5] и снижать ее надежность.

Регулирование и оптимизация, направленные, как правило, на выявление ресурсов несущей способности сооружений и конструкций и экономию материалов, приводят к ухудшению показателей надежности, учет которых в расчетах и проектировании становится актуальным, что нашло отражение как в теории сооружений [6], так и в нормативных требованиях [7]: необходимость обеспечения установленных уровней надежности при проектировании строительных конструкций предписывается в Eurocodes.

Поскольку принципиальным в рассматриваемой задаче расчета надежности гармонически нагруженной системы является наличие гасителя - регулятора динамического состояния объекта, то возникает потребность в оценке влияния отклонений характеристик регулятора, а также других параметров системы на ее надежность по заданному критерию безотказности. Вероятностные харак-

теристики конструкции, гасителя и нагрузки являются параметрами проектирования по терминологии [8], по-разному влияющими на параметры состояния системы и в конечном счете на вероятность ее отказа/надежности. Чувствительность показателей надежности к изменчивости различных входных параметров качественно может быть спрогнозирована на основании анализа их свойств. Так, в задаче динамики линейно деформируемой системы амплитуда нагрузки линейно влияет на перемещения, усилия, напряжения. А собственные характеристики геометрии, жесткости и инерционности конструкции и гасителя нелинейно входят в уравнения динамического состояния системы, причем влияние некоторых из них проявляется слабо - например, соотношений жесткостей элементов конструкции (трактуя их как регуляторы состояния, можно убедиться в их слабой эффективности [9]), а другие могут выступать в качестве сильных регуляторов - далее будет показано, что к таковым относятся в первую очередь характеристики гасителя.

Основные задачи работы - на основе сравнительного анализа чувствительности стохастических свойств параметров динамического напряженно-деформированного состояния (усилий, напряжений и др.) линейно деформируемых систем с динамическими гасителями колебаний к изменчивости основных расчетных характеристик конструкции, гасителя и гармонической нагрузки выявить наиболее значимые из них; получить количественные оценки чувствительности для модельной стержневой системы; сформулировать рекомендации по учету вероятностных свойств расчетных параметров при оценке надежности динамически нагруженных сооружений и конструкций, защищаемых от вибраций гасителями рассматриваемого типа.

Для получения расчетных зависимостей, описывающих динамическое состояние стохастической конструкции с гасителем колебаний, рассматривается модель в виде деформируемой системы с невесомыми элементами и сосредоточенными массами, имеющими п степеней свободы, загруженной одиночной сосредоточенной вибрационной нагрузкой, по направлению которой поставлен динамический гаситель колебаний. Фрагмент системы в окрестности места приложения нагрузки показан на рис. 1. Для удобства записи и анализа уравнений перемещению точки защищаемой конструкции по направлению силы ^(0 присвоен номер п, а перемещение массы гасителя обозначено как у^ (0. Система может быть любого типа (стержневая, пластинчато-оболочечная, комбинированная, плоская или пространственная); возможен учет инерции поворота неточечных масс; наличие массы тп необязательно (тп > 0).

Рис. 1. Расчетная модель деформируемой системы с динамическим гасителем колебаний

Уравнения движения масс системы получаются из общих уравнений динамики линейно деформируемых систем

Му(0+Су(0+Ку(0+ЯР (О = 0,

(1)

которые в случае установившихся вынужденных колебаний при сосредоточенной гармонической нагрузке = Рвт(ш + ф0) в пренебрежении слабым демпфированием дают уравнения в амплитудах перемещений масс

(К-шР • т)у = (2)

где К - матрица жесткости (единичных реакций) системы с гасителем по направлениям перемещений масс, включая массу т^:

"0 ! 0

г ! 0 "

К =

г4.0 _

0 \ 0

0

-с.

- сг,

(п + 1)-(и + 1) (п + 1) • (п + 1)

Г - матрица жесткости защищаемой конструкции размером (и • и); у = [у • у2 ■ ■■ уп • у] - вектор амплитуд перемещений масс; т = diag \т\ т2 ... тп тл] -матрица масс; Р0 = \ 0 0 ... 0 Р 0 ] - вектор амплитуд вибрационных нагрузок.

Если потребовать равенства нулю перемещений всех масс защищаемой системы (у = у2 = ... = уп = 0), то первые и - 1 уравнений (2) превращаются в тождества 0 = 0, а последние два принимают вид

у^ = р, (сЛ - тл шР)у^ =

(3)

Из второго уравнения (3) при ул Ф 0 получается условие идеального га-

сителя

сЛт- = шР ,

(4)

а из другого уравнения - формула для амплитуды перемещения его массы

у^ =-Р / са =-Р /К шр), (5)

свидетельствующая о движении массы гасителя в противофазе нагрузке Р(0, следствием чего является неподвижность защищаемой конструкции.

В реальных сооружениях и конструкциях строгое выполнение условия (4) невозможно из-за случайных отклонений от проектных значений частоты юР и параметров гасителя с^ и т^ При произвольной случайной реализации параметров динамический расчет системы выполняется с использованием полной системы уравнений (2) - решением ее находятся амплитуды перемещений масс у, используемые затем для вычисления динамических компонентов напряженно-деформированного состояния конструкции (усилий, напряжений, перемещений, скоростей и др.) и реакции упругого элемента гасителя:

р = Ё РкУк; ^=-

(6)

г11 - т1<л2р Г12 0 " " у" ' 0"

Г21 г22 - т2 -сл у2 = Е

0 -са _ Уd _ 0

где рк - значение величины р от ук = 1.

В случае двух степеней свободы масс конструкции (п = 2) уравнения (2) записываются в виде

(7)

Если массу т1 трактовать как приведенную, с соответствующим групповым перемещением (обобщенной координатой), то решение для п = 2 можно распространить на любое число сосредоточенных масс.

Для вычисления надежности по критерию динамической прочности стержневой системы определяются амплитуды напряжений, вычисляемые по найденным динамическим усилиям - изгибающим и крутящим моментам, продольным и поперечным силам. Учитываются также напряжения от статических воздействий. Изменчивость динамических и статических силовых факторов, а также геометрических характеристик сечений элементов конструкции и гасителя предопределяет вероятностный разброс значений напряжений, влияющий на оценку вероятности отказа / надежности системы. Методика расчета надежности системы с гасителем по условию усталостной прочности приведена в работе[10].

Для стержневой системы с элементами, работающими преимущественно на изгиб, основным расчетным силовым фактором является динамический изгибающий момент. В сечении 2 (в месте приложения вибрационной нагрузки), согласно (6), М2, суп = М21у1 + М22у2 (здесь М21 и М22 - моменты в сечении 2 от единичных перемещений масс У1 = 1 и У2 = 1 соответственно). Удобно представить М2, суп с использованием безразмерных коэффициентов динамичности:

М.

2, dyn

= М22 У2,,

Ц у 2 + Ц у1

М 21

М22 у2,;

(8)

где у1, & и у2, ы - перемещения масс т1 и т2 от условно статического действия амплитуды Е динамической нагрузки; цу1 и ¡лу2 - коэффициенты динамичности по перемещениям у1 и у2.

Множитель М21-у1, ^ /(М22 ■ у2, ¡Л ) при цу1 в (8) зависит только от глобальных геометрических характеристик расчетной схемы системы (координат узлов и точек расположения масс т1 и т2) и отношений жесткостей элементов. При реальных (достаточно малых) относительных отклонениях этих параметров системы от проектных значений указанный множитель может рассматриваться как практически постоянный.

Произведение М22 ■ у2, ^ (общий множитель в правой части (8)) прямо пропорционально амплитуде нагрузки Е, а по параметрам геометрии и жесткости системы может считаться слабо вариативным.

к=1

М-

2, йуп

Следовательно, стохастическая изменчивость динамического момента обусловливается преимущественно вероятностным разбросом значений

коэффициентов динамичности цу и цу2 , принципиально зависящих от всех статических и динамических параметров системы. Для рассматриваемого случая двух степеней свободы масс защищаемой конструкции имеем следующие выражения динамических коэффициентов:

1 —5*.

Ц у1

г2 '12

1 --

а (1 - ^ )

Г11 ктй

1 - - (1 - ^ )•

1 -

Ц у 2

1 -

са (1 - 8 а )

V ктй

г22

2

г12

г11 22

1 ^ +

8 а )

V ктй 8 а )

Г 2

12

Г11 - са (1 - 8 а )/к,

тй

(9)

(10)

где гк (/, к = 1, 2) - элементы матрицы жесткости г.; защищаемой системы; ктй = та¡Ш\ ; кт = т2/т\ (кт = 0 в случае отсутствия массы в точке приложения динамической нагрузки); ва = 1 - тйю^ /са (для идеального гасителя ва = 0,

при Этом Цу1 = Цу2 = 0).

Качественный анализ полученных зависимостей показывает, что числители в (9) и (10) могут считаться почти детерминированными, т. к. зависят от отношений жесткостей и длин элементов, имеющих, как отмечено выше, узкие (в сравнении с другими параметрами системы) доверительные интервалы значений. В целом влияние малых случайных отклонений жесткостных и глобальных геометрических характеристик защищаемой конструкции оценивается как второстепенное - оно сказывается на реакциях гк. Основное значение имеет изменчивость массы та и жесткости са гасителя, а также частоты нагрузки ю , от которых зависит величина 1/ва в знаменателях обеих формул. Поскольку в математическом ожидании (для идеального гасителя) га = 0, то малые отклонения га от 0 могут вызывать сильные (в разы) изменения коэффициентов динамичности.

Для получения количественных оценок влияния изменчивости различных расчетных параметров на надежность конструкции рассмотрена модельная задача - балочная система с двумя сосредоточенными массами и динамическим гасителем изгибных колебаний (рис. 2).

Компоненты матрицы жесткости балки при математических ожиданиях размеров а1 = а2 = I /4: гп = г22 = 216£///3; г12 = - (7/9)гц. Приближенные (без учета возможных малых вариаций величин а! /1 и а2 /1) выражения динамических коэффициентов при т1 = т2:

М Я

32/81

49 81

1 1 _ ксЛ С1 _ 8 л)

216 к

216

' 1 1 >

-+ —

V ктЛ 8 Л )

М у 2

32/81

1 _

216

кы (1 _ 8 Л )

( 1 1 >

-+ —

V ктЛ 8 Л )

49/81

1 _ кл (1 _ 8 л )/(216кил)

(11)

(12)

сл13 „ к т13®Е

Е1

Е1

Е (г) = Е 8т (юЕ г+ф0 )

да1

Е1

ш. < сл% \ Ш

ДГК ■ уГа

г 1 * '

<■- -7

Рис. 2. Схема балочной системы с динамическим гасителем

В выражениях (11) и (12) очевидно радикальное влияние слагаемого 1/ел в знаменателях при варьировании ел в окрестности 0.

Для расчета надежности N или вероятности отказа РД0) = 1 - N по актуальному при длительных вибрационных воздействиях условию усталостной прочности системы (решение характерной задачи приведено в [10]) требуется вычисление динамических и статических составляющих напряжений в потенциально опасных сечениях конструкции. Для рассматриваемой балки (рис. 2) это два расчетных сечения - в местах расположения масс. Возможен также учет требования прочности деформируемого элемента гасителя. Вычисление надежности или вероятности отказа по принятым условиям безотказности осуществляется методом, предложенным А.Р. Ржаницыным [11] для двух сечений (N1 и N2 или Р^ (0) и Рц2 (0)) и гасителя (N¿1 или РцЛ (0)), после чего надежность системы находится как

N = NlN2Nd или N = 1 - РД0),

(13)

где РД0) = Р^(0) + Рй(0) + Р^(0) - Р,1(0)-Рй(0) - (0)-Р^(0) - ^(0)^(0) +

+ РА0)-Р*2(0)-Р^0).

Случайные амплитуды динамических напряжений в сечениях 1 и 2

2

находятся как о,-, Луп = Мь <УпЩ = ^Му^ му / Wj , у - 1, 2- для каждой из

к-1

них вычисляются математическое ожидание (МО) о . ¿уп = М^ ауп / Ж (здесь _ 2 _

М} ауп = ^Мк у, ^ ця- ; верхняя черта - символ МО соответствующей случай-

к=1

ной величины) и стандарт о, Луп, определяемый методом статистической линеаризации (МСЛ):

к, Луп

до

к, Луп

дМ

к, Луп

■ М

к, Луп

до

к, Луп

дЖ,

■ Ж,

= о А

к,Луп ок,Луп '

(14)

где АС]-,Луп - коэффициент вариации амплитуды динамического напряжения:

Ао], Луп = ^ АМк Луп + Ажк ;

Ам], Луп и АЖ]- - коэффициенты вариации амплитуд динамического момента и момента сопротивления сечения. Аж, заранее известен, а для вычисления Ам,,

Луп

Щ

=Мк Луп / Мк Луп определяется стандартМк Луп - также методом СЛ:

Мк,Луп =а/ !((*Цук ) (

к=1

2

Мкк

ук

цук

(15)

Вычисление коэффициентов вариации единичных моментов Ащ, выполняется достаточно просто, т. к. они зависят только от жесткостных и геометрических параметров схемы балки (Е1, I, а\ и а2). Коэффициенты вариации Аук, ^ статических перемещений учитывают также стохастическую изменчивость амплитуды нагрузки Е, причем при реальных вероятностных свойствах расчетных параметров влияние вариативности нагрузки является преобладающим. С менее значимой поправкой за счет жесткости Е1 можно принимать А

ук ,st

'7 + Аш. Наиболее существенный вклад в описание статистических свойств изгибающего момента вносят коэффициенты А^ук, зависящие от стандартов коэффициентов динамичности по перемещениям (А^ук = Д/ цук,

к = 1,2). При отыскании Ду1 и Д 2 методом СЛ учитываются все характеристики расчетной схемы, кроме амплитуды нагрузки:

Д к =.

пх V Г^ у \

> ■ х{

дх-

\ 1 X=х )

к = 1,2; X = { т2 Шл СЛ Е1 ах а21 }. (16)

На результаты вычислений по (16) влияют как значения стандартов компонентов вектора входных параметров Х или их коэффициентов вариации, так и производные дц.у/дху , например:

дц

дюР

>2

кы {— + - ] 216 - - р, )2 2 + 392 ксЛ

5121- V к тЛ р2 У _ тЛ 3 к . та

юР

216 - кы (1 - £„)

(— + - ^

к Р

V тЛ ЬЛ У

[ 216 - кы (1 - )]- ^1

(17)

При затруднительности получения и громоздкости аналитических выражений возможно их численное определение:

дЦу дх.

Ц уп (х1 , х2 , •••, Х1-1 , Х1 (1 + р X Х1+1 , •••, Хпх ) Ц у

(18)

= 0,01•••0,02•

Эти производные по существу характеризуют чувствительность динамических коэффициентов к случайным вариациям различных входных параметров - элементов вектора Х•

Расчеты производных по (17) и (18) выполнены при следующих исходных данных:

а = а2 = I /4; Д = 0,001; Д = Д2 = 0,002; щ = т2, ^ = Ат2 = 0,01;

АЕ1 = 0,02; Д^ = 0,01; та = 0,02 щ; Лта = 0,015; Лы = 0,02^

Для коэффициента динамичности цу2, имеющего основное значение в расчете амплитуды динамического напряжения в наиболее опасном сечении 2 (в месте действия нагрузки), получены результаты, представленные в виде графиков на рис Поскольку изменчивость расчетных параметров системы и нагрузки проявляются по-разному в области резонансной частоты, которая при наличии гасителя колебаний оказывается близкой к расчетной рабочей частоте, то графики производных дцу2/дта, дцу2/деа, дуу2/даР и дцу2/дт даны в зависимости от МО частоты нагрузки юР в окрестности математического

ожидания заданной рабочей частоты, принятого равным 0,8 юШт( юШт- МО минимальной собственной частоты незащищенной конструкции)

Производные коэффициента динамичности цу2 по геометрическим, жесткостным и инерционным параметрам защищаемой конструкции (балки) на несколько порядков меньше, чем по та, са, юР (пример - на рис 3, г для д^/дт^

Аналогично вычислены также производные коэффициента Цу - их значения меньше соответствующих величин для

На рис 4 показаны графики изменения вероятности отказа по условному критерию непревышения динамическим коэффициентом цу2 значения его математического ожидания для незащищенной конструкции (цу2 < Ц0 )•

дЦ у 2/

/дт, 105г Л

_1 • 105

_2 -105

6 дц у2

2 • 10:

1 • 103

_1 •Ю3 _2 •Ю3

0,6

0,7

0,8

дц

у2

дсЛ

А

/

500

-,шп

-500

0,6 0,7 0,8 0,9

дю„

-1 -10:

1

) V А

<>

5 •Ю3

'дт

-0

шт

-5 •Ю3

-1 •Ю4

0,9

0,6

0,7

Т-ТЬ

0,8

Рис. 3. Производные коэффициента цу2 в зависимости от частоты ЮЕ : а - дцу2/дтЛ; б - дцу2/дсЛ; в - дцу2/дюЕ; г - дцу2/дт

-ш,п

0,6 0,7 0,8 0,9 г дЦу2/

V

-0

0,9

б

а

0

0

0

0

[Р, ]

Р (0)

0,4

общая

0 3

по <вЕ по тЛ

по сЛ 0,2

0,1

к 1 | 1П й1 1,11

'1 !:!(

16 к ||1 ( г: 1С 'М1

¡¡1 Ц 1 м

1 \ ' П!

п л 1 № Ч 1

0,6

0,9

Рис. 4. Вероятности отказа по условию цу2 < ц°2 в зависимости от частоты —Е

Е

Верхний график - вероятность отказа с учетом изменчивости всех расчетных параметров балки и нагрузки. Остальные описывают, в зависимости

от частоты юР, вероятности отказа с учетом вариативности каждой из случайных величин та, са и юР в отдельности при фиксированных (детерминированных) остальных компонентах вектора входных параметров Х Вероятности отказа вследствие изменчивости геометрических, жесткостных и инерционных характеристик балки пренебрежимо малы, и на рис 4 в сопоставимом масштабе не могут быть показаны •

Полученные количественные результаты модельного численного эксперимента подтверждают сделанные выше качественные оценки влияния на характеристики надежности случайных вариаций различных расчетных параметров системы и нагрузки •

Графики, аналогичные представленным на рис 4, но построенные по полному комплексу условий безотказности, дают возможность находить области допустимых при требуемом уровне надежности (или допустимой вероятности отказа) статистических характеристик параметров защищаемого объекта, гасителя и нагрузка На рис 4 как [ЛюР] обозначен интервал недопустимых значений МО частоты вибрационной нагрузки при допустимой вероятности отказа [Р^]

Выводы

1 Неконтролируемые случайные разбросы значений геометрических, жесткостных и инерционных характеристик гармонически нагруженной конструкции даже при наличии гасителя колебаний могут порождать в системе резонансные эффекты, приводящие в недопустимому снижению показателей надежности Более того, влияние гасителя может быть негативным^

Решением обратной задачи расчета надежности, практически осуществляемым посредством прямых перерасчетов при варьировании вероятностных характеристик основных параметров защищаемой системы и гасителя, следует вычислять допустимые комбинации их математических ожиданий и стандартов (либо коэффициентов изменчивости), обеспечивающих требуемую надежность •

3^ В расчетах надежности сооружений и конструкций, оснащенных динамическими гасителями колебаний, при вибрационных воздействиях наиболее значимыми являются частота юР и амплитуда Р нагрузки, а также масса гасителя та и жесткость са его упругого элемеша Изменчивостью характеристик глобальной геометрии системы можно пренебрегать, рассматривая их как квазидетерминированные^ Вариативность параметров жесткости и масс защищаемой конструкции должна учитываться при плохих показателях их стохастических свойств (при коэффициентах вариации, сопоставимых с соответствующими коэффициентами для амплитуды нагрузки и прочностных характеристик материала)

4^ Учет демпфирующих свойств защищаемой системы и гасителя колебаний улучшает количественные оценки надежности, но качественные заключения, изложенные выше, сохраняют силу^

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляхович, Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчета сооружений : моногр. / Л.С. Ляхович. - Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2009. - 372 с.

2. Коренев, Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: Теория и технические приложения / Б.Г. Коренев, Л.М. Резников. - М. : Наука, 1988. - 304 с.

3. Дукарт, А.В. Задачи теории ударных гасителей колебаний : моногр. / А.В. Дукарт. - М. : Изд-во АСВ, 2006. - 205 с.

4. Osamu, N. Closed-form solutions to the exact optimizations of dynamics vibration absorbers (minimizations of the maximum amplitude magnification factors) / N. Osamu, A. Toshihiko // Journal of Vibration and Acoustics. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. - 2002. - V.124. - No. 4. - P. 576-582.

5. Себешев, В.Г. Динамика деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс / В.Г. Себешев. - Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2011. - 227 с.

6. Почтман, Ю.М. Оптимальное проектирование конструкций с учетом надежности / Ю.М. Почтман, Л.Е. Харитон // Строительная механика и расчет сооружений. - 1976. -№ 6. - С. 8-15.

7. Vrouwenvelder, T. Treatment of risk and reliability in the Eurocodes / T. Vrouwenvelder // Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Structures and Buildings. - 2008. - V. 161. -issue SB4 (August). - P. 209-214.

8. Hang, E.J. Design Sensitivity Analysis of Structural Systems / E.J. Hang, K.K. Choi, V. Kom-kov // Mathematics in Science and Engineering. V. 17. - New York : Academic Press, 1986. -426 p.

9. Себешев, В.Г. Особенности работы статически неопределимых систем и регулирование усилий в конструкциях / В.Г. Себешев. - Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2009. - 164 с.

10. Себешев, В.Г. Оценка надежности и долговечности по условию усталостной прочности стержневых систем с динамическим гасителем колебаний при гармонических воздействиях / В.Г. Себешев, Ю.А. Гербер // Проблемы оптимального проектирования сооружений : доклады 3-й Всероссийской конференции, Новосибирск, 15-17 апреля, 2014 г. -Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2014. - С. 367-380.

11. Ржаницын, А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность / А.Р. Ржа-ницын. - М. : Стройиздат, 1978. - 239 с.

References

1. Lyakhovich L.S. Osobye svoistva optimal'nykh sistem i osnovnye napravleniya ikh realizatsii v metodakh raschyota sooruzhenii [Special properties of optimal systems and their structural design]. Tomsk : TSUAB Publ., 2009. 372 p. (rus)

2. Korenev B.G., Reznikov L.M. Dinamicheskiye gasiteli kolebanii: Teoriya i tekhnicheskiye prilozheniya [Dynamic vibration dampers: Theory and engineering applications]. Moscow : Nauka Publ., 1988. 304 p. (rus)

3. Dukart A.V. Zadachi teorii udarnykh gasiteley kolebanii [Problems of the impact dampers of vibrations theory]. Moscow : ASV Publ., 2006. 205 p. (rus)

4. Osamu N., Toshihiko A. Closed-form solutions to the exact optimizations of dynamics vibration absorbers (minimizations of the maximum amplitude magnification factors). Journal of Vibration and Acoustics. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 2002. V. 124. No. 4. Pp. 576-582.

5. Sebeshev V.G. Dinamika deformiruemykh sistem s konechnym chislom stepeney svobody mass [Dynamics of deformable systems with the finite number of degree of freedom]. Novosibirsk : SIBSTRIN Publ., 2011. 227 p. (rus)

6. Pochtman Yu.M., Khariton L.Ye. Optimal'noye proektorovaniye konstruktsii c uchyotom na-dyozhnosti [Optimum reliability design analysis]. Stroit. mekh. i raschet sooruzhenii. 1976. No. 6. Pp. 8-15. (rus)

7. Vrouwenvelder T. Treatment of risk and reliability in the Eurocodes. Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Structures and Buildings, 2008. V. 161. No. SB4. Pp. 209-214.

8. Hang E.J., Choi K.K., Komkov V. Design Sensitivity Analysis of Structural Systems. Mathematics in Science and Engineering. New York : Academic Press, 1986. V. 17. 426 p.

9. Sebeshev V.G. Osobennosti raboty staticheski neopredelimykh sistem i regulirovanie usilii v kostruktsiyakh [Behavior of statically indeterminate systems and internal force control]. Novosibirsk : SIBSTRIN Publ., 2009. 164 p. (rus)

10. Sebeshev V.G., Gerber Yu.A. Otsenka nadyozhnosti i dolgovechnosti po usloviyu ustalostnoi prochnosti sterzhnevykh sistem s dinamicheskim gasitelem kolebanii pri garmonicheskikh vozdeistviyakh [Reliability and fatigue life evaluation of bar systems with vibration damper at harmonic loads]. Proc. All-Rus. Conf. 'Problems of Optimal Design of Structures', Novosibirsk : SIBSTRIN Publ., 2014. Pp. 367-380. (rus)

11. Rzhanitsyn A.R. Teoriya rascheta stroitel'nykh konstruktsii na nadyozhnost' [Theory of reliability design analysis]. Moscow : Stroyizdat Publ., 1978. 239 p.(rus)