CC BY
13
УДК 519.872
ОПТИМИЗАЦИЯ ОДНОЙ ИГРОВОЙ СИТУАЦИИ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
у
I
Г.Б. Шинтемирова
Павлодарский Государственный Университет им. С. Торайгырова
Бул жумыста KemuiniKxe цызмет корсететш жуйеде, ягни абоненттердщ /уызыгушылыгтарыныц жопе к,ызмет кврсету пункттерЫщ сэйкес келмеуп&н болып туратын даулы ахуалдар зерттелеЫ. Автормен алынган ойынды к;арапайым жобага келпируге болатын muiMdi стратегиялары инъиупалган.
В данной работе исследуется одна конфликтная ситуация, возникающая в системе массового обслуживания из-за несовпадения интересов абонентов и пунктов обслуживания. Автором определены оптимальные стратегии, позволяющие привести полученную игру к более простой модели.
In the given work one conflict situation arising in system of mass service because of discrepancy of interests of subscribers and service stations is investigated. The author determines the optimal strategy, allowing reduces the received game in simpler model.
1. Введение
При проведении технико-эко-номических расчетов, связанных с проектированием систем массового обслуживания сети ВЦ, возникает необходимость учета величины и характера потоков требований, которые могут реально возникнуть на входе того или иного пункта обслуживания ВЦ. Поскольку последнее
связано с поведением различных групп носителей интересов, то обоснованный расчет требует учета интересов этих групп. Другими словами, появляется необходимость в исследовании конфликтов, возникающих в системе массового обслуживания из-за несовпадения, а иногда и противоположности интересов
сторон, участвующих в процессе обслуживания. Решить конфликт означает найти наилучшие действия игроков, удовлетворяющие интересы сторон. Совокупность действий всех игроков называется ситуацией.
Так как действующих лиц
много, то в качестве решения необходимо предлагать такую ситуацию, в которой ни одной из сторон не выгодно отклоняться в одностороннем порядке. Такая ситуация называется ситуацией равновесия. Исследованиям таких ситуаций посвящены, например, работы [I] - [4].
2. Описание модели
Пользуясь терминологией и обозначениями из [3] опишем «конфликтную ситуацию», которая может возникнуть из-за несовпадения интересов абонентов и пунктов обслуживания («каналы»). Абоненты стараются быть быстрее обслуженными. Пункты обслуживания стремятся максимизировать чистую прибыль. Действия абонента заключаются в выборе пункта обслуживания. Действия пункта обслуживания заключаются в установлении приоритетов среди заказчиков. Система будет функционировать планомерно, если все обязательства будут выполнены. Таким образом, возникает задача нахождения устойчивой системы обязательств.
Обозначим через N = {1,2,..., п} и М - {0,1,2,т) множества абонентов и пунктов обслуживания соответственно. Пункт обслуживания к (к е М) характеризуется мощностью <1к и стоимостью ск-единицы времени работы.
Абонент /(/ е ЛО генерирует
по пуассоновскому закону поток заявок с параметром Я,.. Продолжительность их обработки задана для пунктов единичной мощности и распределена по экспоненциальному закону с параметром /а,. Будем считать, что длительность обработки заявки для произвольного пункта обратно пропорциональна его мощности. Кроме того, заданы числа Ь;, которые являются штрафом за единицу времени простоя в очереди задачи /-го абонента, накладываемым им на тот пункт обслуживания, по вине которого произошел простой.
Специализацию, оснащенность, степень удаленности и другие факторы можно учесть, задавая множество Р(/) е М «ближайших» к /'-му абоненту пунктов обслуживания. Тогда для каждого пункта обслуживания к определяется круг возможных заказчиков Q(k) с: N , где £) есть отображение множества N в множество 2Ы ■ Всевозможные отношения линейного порядка на ()(к) обозначим через Я(к).
Согласно [1] - [4], игроками в данной игровой ситуации являются элементы множества I = М и N • Чистыми стратегиями игрока / е N являются элементы множества Р(7). Обозначим произвольный элемент множества />(/) через /г,. Стратеги-
ями игрока к е М являются элементы множества Я(к) . Обозначим произвольный его элемент через Ук. Тогда ситуация 5 имеет вид: {тг ..........V.) ,
где
тг, е Р{0,1 Я(к),кеМ
3. Реализация игры
Обозначим через 1/Д5) - среднее время ожидания заявки /-го абонента в ситуации 51, через у/(5') -среднюю продолжительность обработки заявки /-го абонента в ситуации б', а через <2(Л, 5) - множество игроков из N , выбравших в ситуации 5 стратегию к ■ Тогда игрок /,/е N максимизирует функцию /■(5) = -Я,м,(5), определяющую среднее время ожидания всех заявок, генерируемых им в течение единичного промежутка времени, а игрок к,ке М максимизирует функцию
Я,
т.е. разность между оплатой за услути и штрафом.
Получили бескоалиционную игру Г(п + т) игроков:
Эта игра решена при двух предположениях, что все игроки однотипны и число игроков из множества М равно двум (т = 2) [3]. В силу однотипности абонентов ситуация теряет конфликтность для иг-
роков из множества М. Они могут действовать по принципу "первым пришел-первым обслужен". Поэтому элементы множества М выбывают из числа игроков. Кроме того, изменяя единицу измерения времени, можно добиться, что потоки заявок будут иметь параметр Я, = 1.
При сделанных предположениях игра Г сводится к игре, в которой найдены все ситуации равновесия, как в чистых стратегиях, так и в смешанных. Одной из смешанных стратегий является стратегия /ГСР5 [5] - стратегия обслуживания в порядке поступления заявки. Покажем, что в игре Г её можно отбросить.
Рассмотрим сначала стратегии одного произвольного канала. У него есть две активные стратегии (чистые стратегии 0 и 1) и одна пассивная. Пусть заявки с приоритетом номера г (чем меньше номер, тем выше приоритет) поступают в одно-канальную систему в соответствии с пуассоновскими процессами с параметрами Я у (У = 1,2,.... г). тогда
общий поток заявок является п\ас-соновским с параметром ^ = . Заявки с высшим приоритетом обслуживаются раньше заявок с низшим приоритетом, независимо от времени их поступления. Следовательно, любое упорядочение по приоритету входящих потоков есть активное действие игрока к, реализуемое чистыми стратегиями. А стратегия .ГС^ обслуживания - пассивная. Кажется очевидным, что любой индивидуум активно вмешиваясь в собственную судьбу, может сделать ее по желанию и хуже, и лучше, чем если он будет сидеть, сложа руки. Тем самым установлено, что у каждого игрока к найдутся чистые стратегии, доминирующие и доминируемые стратегией • Следовательно, стратегию FCFS можно не рассматривать.
Второе соображение, позволяющее надеяться на дальнейшее упрощение игры следующее. Выигрыш любого канала есть разница между полученной им абонентной оплатой и штрафом. На первый взгляд кажется, что канал должен ориентироваться на наиболее выгодного заказчика, т.е. отдавать предпочтение заказчику с более крупным заказом. Но это оказывается не так. Канал не может переманить более выгодного заказчика высоким приоритетом, так как такой же приоритет ему мо-
гут дать другие каналы. Поэтому каждый из каналов должен ориентироваться лишь на часть функции выигрыша, связанную со штрафом. Более точно сказанное формулируются в следующем виде.
Игра Г стратегически эквивалентна игре Г = (/;{/>(/),*(£)};{/.,Нк}), полу-ченной из Г заменой в ней функции выигрыша /^(5) каждого игрока к е М, на функцию
/б £>(*.$)
Таким образом, количество заказов не влияет на распределение приоритетов, если только станции обслуживания не могут влиять на размещение заказов.
В системе массового обслуживания с одним каналом обслуживания канал может минимизировать штраф, определенным образом упорядочивая заказчиков. А именно, игрок / имеет более высокий приоритет, чем игрок у , если Ь1/л1 > Ь 1/и/. Если две стратегии одновременно минимизируют штраф, то они могут отличаться лишь приоритетами заказчиков с равными Ь1/и1.
Применение этих рассуждений к многоканальной системе обслуживания дает следующий результат, который приводится без доказательства.
Теорема.В игре р все ситуации равновесия равноценны для игрока /с € М > т.е. если и 52 - ситуации равновесия игры р, то Я4(5,) = Я,(52).
Следствие. Для обслуживающего канала выбор любого абонента, приводящего к ситуации равновесия в игре р, является оптимальным.
4. Выводы
Ценным свойством найденных стратегий является то, что они определяются только функциями //¿(5). Следовательно, их можно определить заранее и тем
самым исключить каналы (т.е. игроков из Л/ ) из игры. Это значительно уменьшает размерность игры и дает возможность упростить ее анализ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б.М.Конурбаева. О теорети-ко-игровой модели оптимизационной задачи массового обслуживания. // Сб. Численные методы решения задач математической физики и оптимизации. Наука, КазССР, 1983, с.51-59.
2. Радюк Л.Е. Теркучев Л. Об игровых ситуациях в многолинейных системах массового обслуживания с несколькими входящими потоками. ТГУ, 1978, № 582-78, Деп.
3. Б.М. Конурбаева. Об одной модели конфликтной ситуации в СМО. // Известия АН КазССР, сер. физ.-мат, Алма-Ата, 1978, № 5, с.79-81.
4. Б.М.Конурбаева, С.Т.Ора-зов Теоретико-игровые модели систем массового обслуживания, Алма-Ата: Наука, 1985г.
5. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. Изд: "Связь", 1966г.
