Оптимизация объема испытаний подсистем МФКС при известных функциях распределения входных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

системный анализ

ОПТИМИЗАЦИЯ ОБЪЕМА ИСПЫТАНИЙ ПОДСИСТЕМ МФКС ПРИ ИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЯХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВХОДНЫХ ДАННЫХ

С.В. ПУШКАРСКИЙ, НИИ космических систем, канд. техн. наук

ommo53@mail.ru

При создании многофункциональных космических систем (МФКС), состоящих из большого количества подсистем [1] ввиду высокой стоимости и функциональной сложности изделий особое значение имеет оценка точности реализации целевой функции в целом. При этом под оценкой точности понимается определение смещения и дисперсии оценок выходного показателя, обусловленных погрешностями в оценках исходных данных и конечностью числа реализаций.

Такой расчет, как правило, возможен на одной из заключительных стадий создания МФКС, когда основные характеристики средств системы оценены с определенной точностью по результатам различного рода испытаний, математическая модель системы создана и откалибрована [2]. Тогда расчет точности сводится к пересчету ошибок в исходных данных в ошибки выходного показателя. Если характеристики ошибок выходного показателя удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям, то вопрос исчерпан. Если нет, то нужно определить дополнительное количество экспериментов (время испытаний) для каждого средства, для того чтобы эти требования удовлетворялись [3]. При этом могут возникать ситуации, когда для некоторых средств при оптимальном распределении требований к точности исходных данных требуется меньше экспериментов (времени испытаний), чем было сделано, а для других - больше.

Дополнительные испытания могут быть проведены, но материальные затраты на лишние испытания уже возвратить нельзя. При этом надо учесть, основываясь на опыте создания космических систем, что испытания отдельных подсистем и системы в целом представляют собой весьма трудоемкий процесс и сопряженные с ними материальные затраты значительны. Поэтому планирование испытаний подсистем с целью получения таких точностей исходных данных, при которых

точность выходного показателя удовлетворяет предъявляемым требованиям, актуальная задача и должно осуществляться на одном из ранних этапов создания системы, практически при разработке технических заданий на подсистемы.

Задачу распределения требований к точности оценок входных параметров сформулируем следующим образом: задано требование D0 на величину дисперсии несмещенной оценки реализации целевой функции фн, т.е. Dvj)н < D0 (например, D0 = A02/4ty2, где А0 - ширина требуемого доверительного интервала, t - параметр нормального закона уровня (1 + у)/2), необходимо предъявить такие требования к величинам дисперсий Dc*, ..., Dc* и к величине т - числу реализаций, чтобы Dyн < D0 (здесь c^, ..., c* - оценки неизвестных входных параметров c1, ..., cn, определяемые по результатам испытаний системы и отдельных ее подсистем).

Распределение требований к Dc*, ..., Dc* зависит, в общем случае, от вида функции распределения c1 , ..., cn . Однако поскольку характеристики системы должны быть определены с высокой точностью ввиду большой ответственности решаемых ими задач и значительности материальных затрат на их создание, т. е. D0 должно быть мало. Малость Dn обеспечивается малыми Dc,* , ..., Dc * .

В предположении малости Dc1 *, ..., Dc * для Dy и Аф используем асимптотические разложения, которые зависят только

*

от моментов центрированных величин c1 - c i = 1, ..., n. При т конечном в Dy (и соответственно DyH) будет входить составляющая из-за конечности числа реализаций, имеющая вид

1

1

, 1) 2 ((Ф, —)■£¥,■)■

m(m -1) j=1 m j=1

Так как Dc* должны быть малы, то для определения c1*, i = 1, ..., n, нужно провести достаточно большое число испытаний (или взять достаточно большое время испы-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

75

системный анализ

таний). В этих условиях распределение с*, i = 1, ..., n, будет приближенно нормальным, т. е. определяться только параметрами Мс* = с и Dc,*, если с*, ..., с * независимы;

г г 1 ’ 1 5 5 n ’

* *

если с1 , ..., cn зависимы, то в это распределение будут входить еще ковариации cov(c.*, с*}, 1 < г Ф j < n. Ковариацию cov(ci*, с*} можно представить в виде

cov{сг^, с*} = rjjDc* yfDc* ,

где г.. - коэффициент корреляции с* и с*.

Так как в асимптотическом разложении используются моменты только центриро-

❖

ванных величин с. - с., то в условиях задачи Dф зависит только от частных производных

<ср а. •• • и у[Ъс*, г =1, ..., n.

Если в разложении Dy ограничиться членами j-го порядка малости 8 (в предположении, что Dc*, i = 1, ..., n, пропорциональны некоторому малому параметру 8), то Dy представляет собой полином 2]-й степени от переменных

фвф ...фйф.

Это же утверждение справедливо и для Dy ^, где ф (н]'> - несмещенная с точностью до членов j-го порядка малости 8 оценка выходного показателя. Приравнивая DW к D получаем для определения п неизвестных Dc*, ..., Dc* одно уравнение Dyн = D0. Чтобы найти недостающие для однозначного решения п - 1 уравнений, можно использовать различные ограничения для конкретных систем, но наиболее целесообразно здесь оптимальное решение, связанное со стоимостным подходом: проведение испытаний связано с материальными затратами и нужно так их организовать, т.е. задать такие Dc1*, ..., Dc *, чтобы суммарные затраты были минимальны при выполнении условия Dyн < Do.

Для решения этой задачи надо знать функциональные зависимости стоимос-

ти испытаний G . от дисперсии Dc* оценки входного параметра, определяемой по этим испытаниям, т.е. G = G.(Dc*). Точное определение зависимостей G (Do*) - сложная технико-экономическая задача, для решения которой необходимы обширные статистические данные. Однако в условиях, когда Dc*,

i = 1, ..., n, малы, G (De*') можно разложить в точке Dc * = 0 в асимптотический ряд по степеням Dc *, т.е. G ^с *) можно представить в виде

G (D^ ) = I Kj)(D^ )j

j=- d

Учитывая, что Dc *

мало, для задачи распределения требований выражением

ад

IK j)(D^)j

j=i

можно пренебречь, члены K0() не зависят от Dc * и из суммарного выражения стоимости можно вычесть их сумму

ад

I к0°.

г=1

Поэтому достаточно ограничиться выражением

K(i) К(г)

G D*) = —-dL-+...+. (1)

(D^ )d Щ

Приближенное выражение для G (Рс*) вытекает из следующих соображений: после m . испытаний (экспериментов) при их взаимной независимости для с имеем оценку с * с дисперсией Da* = Dc.Jm , где с.. - результат j-го испытания (эксперимента) для оценки параметра с ; все с j, 1 < j < m имеют одинаковое распределение. Стоимость m . испытаний (экспериментов) равна G (m ) = G1 m , где G1 -стоимость одного испытания (эксперимента). Отсюда G .фс *) = К^Юс *, где K(i) = G1 Рcj..

Таким образом, получаем член К 1(г)/Dc * в разложении (1). Если эти же этот подход применить для члена K-2(г)/(Dcг*)2, то можно получить следующее: формула Dc * = Dc /т остается без изменений; тогда, чтобы зависимость G. от Dc * была К^/^с*)2, нужно, чтобы G было пропорционально квадрату числа испытаний (экспериментов), т.е. G.(m.) = G т2. Действительно, определяя т . по формуле т . = Dc./Dc* и подставляя его в вышеприведенное выражение, получаем G. = KJJ',/(Dc*)2, где Кф0 = G1 j(Dcjj)2. Из этих же соображений следует, что Gi(Dc*) будет иметь разложение (1) при условии независимости испытаний, если суммарная стоимость G в зависимости от числа испытаний (экспериментов) m имеет вид G.(m.) = G1/d)m/d) + G1/d-1)m/d-1) +...+ G1(l)mf (2)

Тогда

К ® = G. .lj)(Dc. У.

-I 1. V гj'

76

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

системный анализ

В то же время, для большинства реальных сложных систем и их входных параметров зависимость суммарной стоимости испытаний для определения оценки параметров от их числа может быть представлена в качестве линейной функции. Тогда можно положить, что зависимость стоимости от дисперсии будет

G Dc*) = K®/Dc/.

Стоимость т реализаций G0(m) можно представить в виде

G0(m) = G10(m)

где G^-стоимость одной реализации.

Итак, задача формулируется в следующем виде: надо найти

n *

mm[Go(m) + I Gt (Dct )]

i=1

при ограничении Dун < Do.

т Dc t , ..., Dc t .

1 5 5 n

Решение сформулированной оптимальной задачи в общем виде имеет весьма сложную структуру. Однако существует частный случай, в котором удается получить весьма простое аналитическое решение.

В рассмотренном выше случае Dc t меняется скачками с изменением m . Однако в некоторых случаях Dc t может меняться непрерывно, например, в случае наиболее распространенного в технике определения оценки интенсивности отказов X при фиксированном времени испытаний и экспоненциальном распределении времени безотказной работы. Оценка интенсивности отказов X* имеет вид

X* = п/Ти,

где п - число отказов за интервал времени Т.

и

Дисперсия X* равна Х/Ти так как D(X*) = ОДТ2,

D(n) = ХТи.

Предполагается следующая организация испытаний. Ставится на испытания первый элемент, после его отказа мгновенно ставится второй элемент и т. д., пока не истечет время испытаний Ти Число отказов п в таком случае будет иметь пуассоновское распределение с параметром ХТИ Подставляя выражение для D(n) в формулу для D(X*)9 получаем D(X*) = X/Ти Следовательно, D(X*) - непрерывная величина.

Сделаем первое предположение: Dc * меняется непрерывно (если для некоторых параметров это не так, то можно полученное решение округлить до соответствующего значения, при больших m ошибка будет незначительна).

В качестве оценки показателя возьмем несмещенную с точностью до членов первого порядка малости включительно оценку у(н1:1. Дисперсия такой оценки будет

Dy * = Dy

1

m(m -1)

I (Wi

i=1

1

m

m

I Wi )2 +

i=1

+I a2Dc* + 2 I I aa}. cov{c*, c*}, (3)

i=1 1<H j <n

при условии, что Dci* пропорциональные, t = 1, ..., n, с точностью до членов 8 первого порядка включительно. Здесь уг. - t-я реализация моделируемой функции, а - частная производная от показателя по входному пара-

метру ci.

cov{cA cj*} = M(c* - c,Xc/ - cj).

В (3) первое слагаемое есть составляющая дисперсии за счет конечности числа реализаций, а последующие слагаемые обусловлены случайностью оценок входных параметров.

Сделаем второе предположение: пусть

* *

оценки параметров c, ..., cn независимы. Тогда Dy можно записать в виде

DW = I dt Dc*,

Dc* =

i=0

где d. = a* 1 < i < n, ,

1 m 1 m

.—;rI (Wi------I Wi )2.

m(m -1) i=1 m i=1

Dc* аналогично первому предположению также можно считать непрерывной величиной. Зависимость стоимости от требуемой точности (дисперсии) в силу вышеизложенного, можно взять в виде G = K(i)/Dc * где K(i) - константа, равная стоимости одного эксперимента, умноженной на дисперсию результата эксперимента для оценки параметра c., K(i) = G1Dc.j (константа может уточняться в процессе проведения экспериментов).

Итак, задача сводится к следующему: надо найти n

min 'I K(i У Dc*

Dc*,...,Dal i=0

при условии

n *

I d Dc = D0 .

i=0

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

77

системный анализ

Здесь в силу непрерывности Dc*, i = 0,..., n, , условие Dyн < D0 можно заменить на Dy = D0 и K(0) = G10Dc0], где G10 - стоимость одной реализации, Dc0j - дисперсия одного значения моделируемой функции в одной реализации, для Dc0j оценкой может служить выражение

1 m 1 m

----Z (yi — Zy) .

m —1 i=i m i=i i

Решая эту задачу, получим следующую систему уравнений:

n * к(i)

Z di Dci= ^ kdi —

= 0, 0 < i < n. (4)

i=0 (Dc*)2

Отсюда __________

Dc* = (Jk)-\lK(iУd, i = 0,..., n. Подставляя эти выражения в первое уравнение, находим

k—12=dJ iJdK.

i=0

Следовательно, искомые выражения для дисперсий оценок выходных параметров имеют вид

Dc* = D0

Z4dtK(i} , i = 0,..., n. (5)

K(i)

di / !=0

При этом суммарные затраты будут

min

n 1 n I----- _

in Z Gt = — ( z4dK(i ))2. (6)

D0 i=0

В дисперсию оценки показателя Dc.* входят с сомножителем di следовательно,

dt Dc* = А^ДК«

, i = 0, 1,.

i=0

n. (7)

Выражение dDc* можно рассматривать как вклад параметра ct (неточности его определения) в суммарную дисперсию, d0Dc* - вклад из-за конечности реализаций т в суммарную дисперсию. Тогда оптимальное распределение требований к дисперсиям оценок входных параметров характеризуется тем, что вклад i-го параметра (0 < i < n) пропорционален отношению

VK^75d^/ z^Д—7

/ i=0

или распределение вкладов должно быть в пропорции

^/кч ' ^/K'd : - л/K(n)dn .

Таким образом, распределение требований состоит в том, что требование на суммарную дисперсию D0 должно быть разбито на слагаемые вклады в пропорции

ч}- W4 hi °(ci j :

: hi °(c2 j )лДГ'...' h„| ч ) ,

(здесь a(cy.) = Jdc~ , 0 < i < n) в силу того, что d = a2, K(i) = G Dc .

Сделаем анализ подобным образом распределению требований к числу испытаний (экспериментов) для определения оценок каждого параметра. С точностью до соответствующих округлений имеем

Dctj/mt = DoyJ Gi ] Dctj/ dt j ZjK»dt

или

m =

D

i

G1 ] Dci]

G

£4^4 ai ia(c

i=0 14 v i

D

VG1"

(8)

0 < i < n, m0 = m.

Требования предъявлены как к числу испытаний (экспериментов) для определения оценок параметров, так и к числу экспериментов (реализаций).

Можно решать и двойственную задачу: задана суммарная стоимость экспериментов G (стоимость подготовительных работ в нее не входит), какую при этом максимальную точность показателя можно получить и как при этом надо организовать испытания, т.е. надо минимизировать

n *

Z di Dc*

i=0

при условии

Z К(i У Dc* = G .

i=0

Эту задача решается указанным выше методом.

Имеем систему уравнений n K(i) ,

n—* = G, d,—XKM(Dcy = 0,0 < i < n.

i=0 Dct . ---

Отсюда Dc* =yjkyJК(i)/di, .i = 0,..., n Подставляя это выражение в первое уравнение, находим

4k=G iJKy,.

G i=0

78

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

системный анализ

Далее определяем выражения для Dc K~

Dc* = i G\j

Выражение

d

i=0

(9)

*

Z di Dc*

i=0

при этом будет равно

-1 (2,/К'Ч )2.

G i=0

Если в результате одних и тех же испытаний получаются оценки не для одного, а сразу для нескольких параметров, то этот случай также укладывается в рассматриваемую схему. Действительно, пусть при испытаниях объемом т получаются независимые оценки c * и с* с Dc * = Dc /т. и Dc* = Dc,/m . Тогда отношение дисперсий Dc*/Dc* есть константа DcJDck. в формулу

n

Z d, Щ

i=0

вместо Dck* можно подставить Dci*(Dckj/Dcij). В результате Dck* исключается из дальнейшего рассмотрения (в суммарную стоимость также не входит). После получения Dc * легко определяется Dc*.

Рассмотрим особенности распределения требований при непрерывном изменении дисперсий исходных данных (в зависимости от времени испытаний). Этот случай имеет место, например, при оценке характеристик надежности средства (подсистемы) по одной достаточно длительной реализации процесса его функционирования.

К примеру, в качестве входных параметров возьмем интенсивности отказов X ..., Xn n подсистем. Времена безотказной работы средств имеют экспоненциальные распределения с этими параметрами. Стоимость испытаний в силу вышесказанного возьмем пропорциональной времени испытаний, т.е. Gi = G}iT. где Gu - стоимость в единицу времени испытаний для оценки i-го параметра, T - время испытаний для оценки i-го параметра. Дисперсия оценки X* параметра X. равна X/T. Отсюда Gt(DX*') = K(i)/DX/, где K(i) = GbX.. В результате (5) приобретает вид

DX* =

dJGkУ

ijGuX,d, ’

(10)

минимальные суммарные затраты

min Z Gi =

i=0

i=0

-i2

Формула дисперсии оценки при этом имеет вид

А)У G1iXidi

dm: =

tJGxdi

i=0

где вклады каждого параметра должны находиться в пропорции

o(c0j G10 • ЫлДЖ •

• .............,

т.е. вместо стоимости одного испытания (эксперимента) сюда входит стоимость испытаний в единицу времени, а вместо дисперсии одного результата испытания для определения оценки параметра - само значение параметра.

Учитывая равенство DX * = XJT получаем требование к длительности испытаний по определению оценки i-го параметра:

|a^/X7

T =■

D0 G'

(ii)

Таким образом, можно построить аналитическое решение задачи оптимального распределения требований к точности исходных данных подсистем для обеспечения требуемой точности целевой функции всей многофункциональной космической системы в целом.

Библиографический список

1. Мельников, В.А. Многофункциональная космическая система Союзного государства / В. А. Мельников, М.И. Макаров, С.В. Пушкарский. - М., 2007.

2. Бусленко, Н.П. Математическая модель сопряжения элементов в сложной системе / Н.П. Бусленко // Электронная техника. - 1972. - Вып. 1(1).

3. Шаракшане, А. С. Испытания сложных систем / А.С. Шаракшане, И.Г. Железнов. - М.: Высшая школа, 1974.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

79