CC BY
107
Приложение 2
Первая российская конференция НОИМ
ПЯТАЯ (ЮБИЛЕЙНАЯ) ВСЕРОССИЙСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО ИМИТАЦИОННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЮ В НАУКЕ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ «ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА»
(ИММОД-2011)
Санкт-Петербург, Россия 19-21 октября 2011 г.
ИЗВЕЩЕНИЕ О НАМЕРЕНИИ
Если Вы желаете участвовать в работе конференции, пожалуйста, заполните разборчиво эту форму и направьте ее факсом или электронной почтой в секретариат конференции.
Секретариат конференции ИММОД-2011 Руководитель секретариата
ОАО «Центр технологии судостроения и судоремонта» Долматов Михаил Анатольевич Промышленная ул., д.7 Телефон: 8-(812)-610-64-69
Санкт-Петербург, 198095, Россия Факс: 8-(812)-610-64-44
E-mail: immod2011@sstc.spb.ru
СПИСОК Л
1. Model-based design for control systems with Simulink [Электронный ресурс] / 2005, Mathworks, Inc.
2. Яненко, Н.Н. Проблемы математической технологии [Текст] / Н.Н. Яненко, В.Н. Карначук, А.Н. Коновалов // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, ВЦ АН СССР, 1979. -208 с.
3. Breitenecker, F. Classification and evaluation of features in advanced simulators [Text] / F. Breitenecker, N. Proper// Proc. MATHM0D-09. -Vienna, 2009.
4. Ивановский, Р.И. Теория вероятностей и математической статистики. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad [Текст] / Р.И. Ивановский. -СПб.: БХВ, 2008. -528 с.
5. Карпов, Ю.Г. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5 [Текст] / Ю.Г. Карпов. -СПб.: БХВ-Питер, 2005.
6. Информатика. Базовый курс. 7-9 [Текст]/ Под ред. Н.В. Макаровой. -СПб.: Питер, 2002.
7. Сениченков, Ю.Б. Численное моделирование гибридных систем [Текст] / Ю.Б. Сениченков. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004.
8. Biryukov, S.V. Visual Simulation of Physical Processes in Model Vision Studium (free) [Электронный ресурс] / S.V. Biryukov, D.N. Guskov, V.V. Fedyanin // Proc. of the Int. Conf. Informational Technology in Education, Moscow, 2005.
УДК 681.2; 62-53
Р.И. Ивановский
ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ1
Чувствительность входит в состав характеристик любой технической системы или устройства, определяет их реакцию на изменение входной ин-
1 Статья написана по материалам доклада, сделанного автором на научном семинаре ФТК СПбГПУ в декабре 2010 г.
формации, структурные или параметрические вариации, на ошибки моделирования и пр.
Понятие «чувствительность» имеет двоякий смысл. Для ряда приложений, таких, как датчики и чувствительные элементы, высокое их качество ассоциируется с высокой чувствительностью как способностью чут-
ко реагировать на слабые входные сигналы. В других приложениях, к которым относятся системы управления и обработки информации, высокое качество означает низкую или минимальную чувствительность к возможным изменениям условий функционирования и/или вариациям элементов системы. Анализ чувствительности как составная часть современного системного анализа используется для решения широкого круга практических задач анализа и синтеза, таких, как, например:
анализ свойств систем при вариации априорных данных;
упрощение математических моделей; определение возможности и допустимости упрощения алгоритмов обработки информации и управления в системах;
синтез систем с малой или минимальной чувствительностью к погрешностям моделирования.
Этот список может быть продолжен, но уже и приведенный перечень характеризует актуальность анализа чувствительности при решении прикладных задач.
В рамках одной статьи не представляется возможным детально рассмотреть проблемы чувствительности даже в ограниченном спектре перечисленных выше задач. Поэтому затрагиваемые здесь темы обсуждаются весьма кратко, приводятся лишь отдельные иллюстрации.
Основные элементы теории чувствительности
Теория чувствительности во многом обязана исследованиям Р.М. Юсупова, Е.Н. Розенвассера [1-4], монографии которых [1, 2] содержат систематическое изложение теории и прикладных аспектов анализа чувствительности динамических систем.
Среди отечественных работ можно отметить также [5, 6], посвященные прикладным проблемам теории чувствительности технических систем. Отмечая вклад зарубежных ученых в развитие теории чувствительности, отметим монографию [7] Мансура Ислами, в которой излагаются вопросы анализа и синтеза динамических систем с использованием теории чувствительности. В последние годы интерес к проблемам чувствительности применительно к техническим, экономическим, химическим и другим системам продолжает нарастать. Более широкая библиография по современному состоянию и аспектам
применения теории чувствительности приведена на сайте учебно-научной лаборатории ФТК СПбГПУ [8].
Прикладные задачи анализа чувствительности как задачи изучения свойств систем при наличии их параметрических и/или структурных вариаций предполагают введение понятий расчетного и действительного режимов работы, расчетной (РМ) и действительной (ДМ) моделей.
В качестве расчетных моделей выступают модели, учитывающие некие номинальные режимы функционирования системы. Эти РМ служат основой для принятия решений, разработки алгоритмов и пр. В ДМ исследователь вводит те изменения, которые отражают вероятные вариации параметров (структуры) в реальных условиях функционирования. Таким образом, РМ и ДМ отражают свойства расчетных (РУ) и действительных (ДУ) условий функционирования системы соответственно, причем РМ используется для разработки расчетных алгоритмов (функционирования, обработки информации или управления), которые будем обозначать РАлг. Тогда расчетное качество системы можно анализировать, используя пару (РМ + РАлг). Анализ действительного качества системы в реальных условиях функционирования должен опираться на пару (ДМ + РАлг).
Особое значение имеет анализ потенциально достижимого качества системы в действительных условиях. Этот анализ предполагает разработку оптимальных алгоритмов (ОАлг), учитывающих свойства ДМ. Поэтому результаты анализа пары (ДМ + ОАлг) позволяют получить наилучший вариант системы (своеобразный «отсчетный ноль»), что важно при сопоставительном анализе действительного качества системы с потенциально достижимым. На основе такого сопоставления могут быть решены многие задачи прикладного анализа, такие, как выбор вариантов упрощения РМ, упрощения РАлг, выбора состава датчиков информации, ранжирования влияющих факторов и пр.
Анализ чувствительности предполагает получение функций чувствительности (ф. ч.). Эти функции позволяют оценить качество работы системы при рассогласовании расчетных и действительных условий функционирования. Для непрерывных систем ф. ч. представляют собой коэффициенты разложения в ряд Тэйлора по степеням вариаций вида:
у[р, + ~ + Е + ...;
к (1)
Л = ду&УдРь,
где у(р0) = у0 - исходное состояние переменной у; Арк - вариация к-го параметра; Ар(к) - вектор вариаций параметров относительно исходных (номинальных) значений р0, единственный ненулевой (к-й) элемент которого равен Арк.; Л - ф. ч. первого порядка, вычисляемая при номинальных условиях.
Для дискретных систем используются ф. ч. вида
Л = {У[Ро + АР(к)] - Уо} / АР, (2) Наряду с абсолютными ф. ч. Л (1) и (2) в практике прикладного анализа удобно использовать относительные их значения:
г к = Л Рк/ Уо,
(3)
позволяющие проводить не только межвариантный, но и межсистемный анализ чувствительности. В (3) рк и у0 выбраны в качестве одного из вариантов обеспечения безразмерности ф. ч. гк.
Сопоставительный анализ ф.ч. при последовательной вариации элементов вектора р0 позволяет проводить их ранжирование, т. е. сортировку по степени влияния на результирующее качество системы. Это дает возможность исключить ряд малозначимых параметров или факторов из модели и, в результате, упростить модель и/или расчетные алгоритмы.
Чувствительность в анализе систем обработки информации
Системы обработки информации (СОИ), составляющие основу сложных информационно-измерительных систем, входят в подавляющее число систем управления различными подвижными объектами. Они содержат некоторое количество датчиков, с помощью которых собирается информация о состоянии исследуемого объекта, и используют принцип комплексирования. В задачу СОИ в
таких комплексных системах входит обеспечение необходимой точности оценивания (выработки) состояний и требуемого времени готовности.
Хорошо известны традиционные СОИ, простейшая структура которых изображена на рис. 1. На вход блока обработки (БОИ) поступает смесь инструментальных погрешностей датчиков 1 и 2; на выходе БОИ формируется оценка погрешности ведущего датчика. Эффект повышения точности выработки параметров в таких схемах достигается компенсацией инструментальных погрешностей датчиков на выходе схемы; У - измеряемый параметр. Теория таких систем достаточно известна [9-11], но проблемы анализа их чувствительности и упрощения технической реализации остаются актуальными.
Линейная модель погрешностей подобной системы имеет вид:
х = Ах + Bw; г = Нх + V;
у = Н,х; х(0) = Хо, (4)
Мх(0)] = тДО, Р(0) = соу[х(0)], где х - и-мерный вектор состояний; г - т-мерный вектор измеряемых параметров; у - вектор выходных переменных, определяющих качество СОИ; w - вектор порождающих белых шумов; V - вектор белых шумов в канале измерений. Будем считать, что векторы w и V - независимые, а матрицы их интенсивностей обозначим Р и R соответственно.
Для схемы на рис. 1 с учетом обозначений (4) имеем:
А1 = Н^, у = (А1 - Д,); г = (Н - Н2)х + V,
Н = Н! - Н2; Но = Нг
В блоке обработки информации (см. рис. 1) используется фильтр калмановского типа (ФКТ) [5, 9], в множество которых входят оптимальные (ОФК), редуцированные (РФК), упрощенные (УФК), стационарные (СтФ) и другие фильтры этого класса, обощенное уравнение которых имеет вид:
Рис. 1. Структура простейшей комплексной СОИ
х = А • х + К (?)[х - Н • х]; х (0) = х0. (5)
Здесь х - (п х 1) - вектор оценок состояний; К(?) - (п х т) - матрица коэффициентов усиления фильтра, структура которой определяет тип используемого ФКТ. Для стационарных фильтров (СтФ) К(?) = К.
Качество оценок состояний отражает вектор ошибок оценки е = х - х уравнение которого при произвольной матрице К(?) имеет вид:
е = [А - К (?)Н] е + Bw - К (?) V; М[е(0)] = 0; ^[е(0)] = Р(0).
Тогда ковариационное уравнение для cov[e] = Р примет вид:
Р = I • Р + Р • 1Т + BQBГ + К(?(?);
I = А - К(?)Н; Р(0) = Р0.
Для ОФК матрица К(?) имеет вид: К(?)=РНТ R-1.
(6)
(7)
(8)
Подстановка (8) в выражение (7) приводит к известному уравнению Риккати для ковариационной матрицы ОФК:
Р (?) = А(?)Р(?) + Р(?)АТ(?) + В(?)0Вг(?) -
- Р(0№№Ч0Н(0Р(0, Р(0)=Р0.
(9)
Расчетная и действительные модели рассматриваемой СОИ имеют уравнения вида (4), однако параметры этих моделей различаются. Учитывая, что структурные особенности РМ и ДМ можно отразить параметрически, будем считать, что РМ и ДМ имеют следующие множества параметров:
Хп
Х=[Р0 ,А,В,Н^,К ]; = [Р 0, А , В , Н , О , R ],
д0' д' д' д' ^-д' П-"
(10)
причем в ДМ векторы состояний и шумов обозна-
чим как х , w , V .
д' д' д
0,05 0,04 г' 0.03 гЩ 0,02 0,01 о
V
ъ
Алгоритм обработки в СОИ, созданный на основе РМ и работающий в действительных условиях, описывает выражение
х = А • х + К(?)[хд - Н • х];х(0) = х0 . (11)
Учитывая, что хд = Нд^хд + уравнения для действительных ошибок оценки ед = (хд - х) и его ковариационной матрицы cov[ед] = Рд удобно формировать, используя составные векторы и матрицы [5]. Приведем их в окончательном виде
( ДА=Ад-А; ДН=Нд -Н) Р. = А . • Р. + Р. • А7 + В . Q . В .; Р. (0);
А.=
= ^^^
А - К • Н ДА - К ДН 0 А„
(12)
В.
В
ДА-К ДН 0
Р Р„
Р5 Р„
Рхд = cov[хд]; РЕ = ^[еЕ]; е. =А. •е. +В.
"ед " ^ д "
; w .=
_хд _ _ V, _
•wv
Типовой результат анализа дополнительных погрешностей при работе расчетного алгоритма (11) в действительных условиях представлен на рис. 2 слева. Сплошная кривая соответствует дисперсии результирующей ошибки оптимальной СОИ, полученной решением уравнения Риккати (9); пунктир - дисперсия действительной ошибки, полученная интегрированием ковариационного уравнения (12).
Аналогичные кривые на рис. 2 справа характеризуют качество стационарного ФКТ, матрица коэффициентов усиления которого выбрана из равенства К = К (да). Сопоставление кривых на каждом графике позволяет оценить потери точности при использовании расчетного фильтра
5 10 0
¿•Г
Рис. 2. Анализ дисперсии действительных ошибок
4
(РАлг) в действительных условиях функционирования, выбрать допустимый вариант упрощения модели и алгоритма обработки.
Чувствительность в задачах разработки алгоритмов СОИ
Кроме анализа чувствительности алгоритмов обработки в СОИ к вариациям внешних условий, параметрическим и структурным вариациям моделей, обширную область практического применения теории чувствительности занимает проблема создания алгоритмов обработки с малой чувствительностью. Остановимся на принципах применения элементов теории чувствительности при решении таких задач.
Как отмечалось выше, системы функционируют в некоторых неопределенных условиях, в лучшем случае известных с точностью до диапазонов изменения параметров. В этих условиях требуемое качество СОИ может быть достигнуто двумя путями: априорной настройкой алгоритмов на возможные вариации параметров и оперативной адаптацией алгоритмов. Практическая реализация второго подхода связана с известными трудностями, вызванными асимптотическим характером процессов оценки параметров; неопределенностью темпа изменения параметров длительностей их квазипостоянства. Эти проблемы заслуживают отдельного детального рассмотрения. Учитывая эти обстоятельства и ограничения объема материала, рассмотрим здесь подходы к снижению чувствительности алгоритмов обработки на основе априорной настройки их параметров.
Цель выбора параметров при этом - снижение чувствительности системы к вариациям факторов, наиболее сильно влияющих на качество СОИ. Это предполагает необходимость предва-
рительного ранжирования факторов и использования критериев, включающих помимо точностных составляющих еще и ф. ч. Так, один из этих подходов основан на введении вектора ф. ч. в модель погрешностей [5] и выполнении далее обычной процедуры синтеза алгоритма по двум известным критериям (несмещенность оценок и минимум суммы дисперсий ошибок оценки). Это позволяет снизить чувствительность к выбранным параметрам, но приводит к усложнению алгоритма.
Другой подход, не требующий расширения модели, основан на минимизации критерия вида [5]:
I = sp[P + в • Р1,
(13)
где матрица Р удовлетворяет уравнению (7), а Р^ - ковариационная матрица вектора , элементы которого - ф. ч. вектора ошибок оценки (6); в - весовой коэффициент; sp - обозначение следа матрицы.
Минимизация (13) по матрице К дает выражение вида:
К = (Р + в • Рц) • Н • ф + в • R11)-1.
Рис. 3 иллюстрирует качество такой системы обработки первого порядка при t ^ю. Номинальное значение параметра а = 10.
А А ном
Большое прикладное значение имеют минимаксные подходы к синтезу алгоритмов СОИ. Обозначим множество неопределенных параметров х = (AxQxRxP0) и след матрицы Рд (12) как sp Р = 1(К, х). В правой части рис. 4 приведены несколько критериев, которые удобно использовать, если параметры известны с точностью до диапазонов.
Критерий - классический минимаксный. Этот критерий минимизирует след матрицы Рд на правой границе диапазона неопределенных пара-
Рис. 3. Качество системы с локальной нечувствительностью
1 1 /
з /; -//у
- ¿г _
1 /у
V/ —
//f / f
//Р _/ opt 1 1
S =minmax I( K, х)
K (t) X
S =min I (K, Xmax ) ;
K (t)
S2 = minmax[I (K, X) - Iopt(X)]
K (t) X
S3 = min [ sp P( x) J X
K(t) X
I(K, x) = sp Рд
x = (QXRXP0)
Рис. 4. Критерии минимаксного типа
метров x, поэтому гарантированно будет обеспечено достигнутое качество системы на всем диапазоне. Критерий S2 позволяет искать минимакс для следа разности матриц Рд и матрицы P t, удовлетворяющей уравнению Риккати (9). Критерий S3 обеспечивает получение значений, усредненных на всем диапазоне изменения параметров.
График на рис. 4 иллюстрирует достигнутое качество при использовании критериев. Нижняя кривая соответствует оптимальным значениям дисперсии ошибки оценки для каждого из значений параметра в заданном диапазоне. Прямые линии имеют номера, соответствующие номеру критерия.
В практике создания алгоритмов СОИ распространены задачи, связанные с синтезом упрощенных фильтров (УФ) [5]. При этом рассматривается ДМ с (n х 1)-вектором состояний х и множеством параметров хд (10). УФ синтезируется по упрощенной модели с (n х 1)-вектором состояний х1 (n,< n), которая в данном случае выступает в качестве РМ с множеством параметров х (10). Минимизируя след расчетной (упрощенной) модели (spPp) по Кр, получаем фильтр структуры (11), матрица K^ = f(x) которого -(n1 х ш)-матрица. Дополнительные погрешности УФ могут быть проанализированы на основе уравнений (12). Уровень этих дополнительных погрешностей можно снизить использованием модифицированного критерия вида [min (spP^] по Км, где матрица Рд удовлетворяет уравнениям (12). Полученный таким образом фильтр
может быть назван модифицированным упрощенным (МУФ) Он имеет структуру и размерность УФ, но (п1 х ш)-матрица его коэффициентов усиления К = (Р Н7 + Р АН7) • R -1.
■> м V д с ' д
Модифицированные упрощенные фильтры в действительных условиях функционирования обладают более высоким (по сравнению с УФ) качеством, поскольку их коэффициенты усиления Км учитывают параметры действительной модели.
Чувствительность в анализе и синтезе систем управления
Как СОИ, так и СУ являются динамическими системами, описываются дифференциальными или разностными уравнениями, создаются на основе РМ и функционируют в действительных условиях. По этой причине большая часть того, что было описано применительно к СОИ может быть повторено и для СУ. Однако для СУ в понятии «качество управления», наряду с точностью на первый план выступает устойчивость. Это определяет известную особенность анализа СУ. Поэтому, не повторяя отмеченные выше аспекты приложения теории чувствительности к СУ, остановимся здесь лишь на некоторых аспектах анализа ф. ч. для обоснования упрощения регуляторов при их технической реализации. Идеи и выводы такого анализа могут быть наиболее полно раскрыты при анализе линейных СУ, поскольку при этом возможен аналитический подход.
Далее рассмотрим линейные одномерные и многомерные системы управления. В процес-
се анализа будет определена неразрывная связь анализа чувствительности с анализом СУ на грубость.
На рис. 5 приведена традиционная структура СУ с задающими сигналами X, возмущениями в и выходными переменными у; Н и R - передаточные функции (одномерные системы) или передаточные матрицы (многомерные СУ) объекта управления и регулятора.
Результатом любого подхода (аналитического или численного) к синтезу многомерных или одномерных систем служат переходные характеристики (п. х) или передаточные функции (п. ф.) звеньев управляющей части СУ. Требования технической реализации вызывают необходимость упрощения полученных п. ф. и/или аппроксимации п. х. Такие упрощения неизбежно связаны с исключением некоторых звеньев из структуры регулятора, с параметрическими вариациями этих звеньев.
В общем случае необходимо обосновывать возможность и допустимость конкретных упрощений эталонных (полученных в результате синтеза) вариантов и вариаций их параметров. Предварительный анализ этих проблем показал, что такое обоснование можно получить методами теории чувствительности.
Структурные и/или параметрические вариации динамической системы вызывают дополнительное движение (типа (1)), изменение свойств системы относительно исходного (или заданного, желаемого).
При анализе вариантов регуляторов для последующей реализации в первую очередь необходимо ответить на три вопроса:
1) возможно ли структурное упрощение регуляторов, вызванное исключением отдельных звеньев и/или аппроксимацией переходных характеристик звеньев;
2) возможны ли параметрические вариации эталонных или упрощенных регуляторов (необходимые признаки грубости СУ);
3) какие алгоритмы управления могут быть реализованы.
Термин «возможно» в этих вопросах и ниже предполагает выяснение возможности изменений без потери системой устойчивости.
Рассмотрим эти вопросы для одномерных и многомерных систем, естественно предполагая, что синтезированная (исходная) СУ устойчива.
Одномерные системы. П.ф. замкнутой СУ (рис. 5) имеет вид:
(16)
Щ( р) = у( Р)/Х( р) = = [1 + Н( р) Я( р)]-1 Н( р) Я( р).
Ее п. х. Ъ( р) = Щ( р)/р как реакция системы на единичное ступенчатое воздействие Х0( р) = 1/р, служит исчерпывающей основой для анализа качества и устойчивости реакций замкнутой системы. Обозначая Щ( р) (16) при эталонном регуляторе как Щ(Я), разложим эту функцию в ряд Тэйлора по степеням вариаций Я, ограничиваясь членами первого порядка:
Щ(Я + ДЯ) = Щ(Я) + [дЩ(Я)/д(Я)](ДЯ) =
= Щ(Я) + [¿(Я)](ДЯ). (17)
Выражение (17) определяет возможность структурного упрощения полученного регулятора. Действительно, если первое слагаемое Щ(Я) в этом выражении является п. ф. эталонной системы, устойчивой по условиям синтеза, то устойчивость второго слагаемого будет определяться видом ф. ч. ¿(Я) и принимаемым вариантом структурной вариации ДЯ. В общем случае на основании (17) могут быть сделаны положительные выводы о возможности вариаций и структурного упрощения Я, если:
• ф. ч. S(Я) и вариация ДЯ по отдельности -передаточные функции устойчивых звеньев (далее такие п. ф. будем называть устойчивыми п. ф.);
• произведение ф. ч. S(R) на ДЯ, т. е. ¿(Я)ДЯ -устойчивая п. ф.
Ф. ч. ¿(Я) для рассматриваемого случая имеет вид:
¿(Я) = Н (р) / [1 + Н (р) Я (р)]2. (18)
В силу исходной устойчивости СУ, полюса п. ф. Щ( р) = Щ(Я) (т. е. нули п. ф. [1 + Н( р)Я( р)]) расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости. Отсюда следует, что выражение (18) для ф. ч. соответствует устойчивой п. ф., поскольку эта функция имеет полюса исходной (неварьированной) системы. Это позволяет сделать несколько очевидных утверждений.
Рис. 5. Структура СУ
Утверждение 1. Устойчивость ф. ч. (18) свидетельствует, что для любых вариантов регуляторов Я, полученных в результате синтеза, возможны упрощения путем параметрических (структурных) вариаций ДЯ, касающихся устойчивых звеньев в составе эталонной п. ф. Я (р).
Так, например, если п. ф. регулятора Я( р) может быть представлена суммой нескольких апериодических (устойчивых) звеньев и интегратора (неустойчивого звена), то в силу утверждения 1 вариациям могут быть подвергнуты апериодические (устойчивые) звенья, т. е. вариация ДЯ( р) должна быть устойчивой п. ф. Но в общем случае подобные вариации могут вызвать статизм замкнутой системы.
Утверждение 2. При вариации устойчивых составляющих в структуре Я( р) астатизм замкнутой СУ сохраняется в том случае, если полином числителя ф. ч. ¿(Я1) (18) будет иметь хотя бы один нулевой корень.
Среди звеньев, входящих в структуру эталонной п. ф. Я( р), могут присутствовать и неустойчивые, например, интегрирующие звенья, часто встречающиеся при синтезе астатических систем. Для ответа на вопрос, можно ли варьировать и неустойчивые звенья (например, менять коэффициент усиления интеграторов), ответа для общего случая дать нельзя, поскольку такая возможность существенным образом зависит от конкретных параметров и структуры СУ. Единственным утверждением, которое можно сделать применительно к возможности вариаций неустойчивых звеньев в структуре эталонного Я( р), является следующее.
Утверждение 3. Возможность вариации неустойчивых звеньев в составе Я( р) определяется устойчивостью п. ф. [¿(Я)](ДЯ), образованной произведением функции чувствительности и вариации ДЯ.
Подобный случай может включать, например, структуру регулятора, состоящего из суммы апериодических звеньев и интегратора к/р. Вариация Дк коэффициента усиления к интегратора возможна в том случае, если ф. ч. ¿(Я) будет иметь хотя бы один нулевой ноль. Тогда произведение ¿(Я) на вариацию ДЯ(р) = Дк/р образует устойчивую передаточную функцию. Более того, если Я( р) имеет интегратор, то вариация его коэффициента не нарушает астатизм замкнутой системы.
В этом легко убедиться, рассматривая полиномиальные формы представления Н( р), Я( р): Н( р) = = а(р) / Ь(р); Я(р) = с(р)/й(р), для которых ф. ч. ¿(Я) (18) принимает вид ¿(Я) = а( р)Ь( рМ р)]2 / /[Ь( р)ё( р) + а( р)с( р)]2.
При наличии интегратора в Я( р) числитель ¿(Я) будет иметь множитель р2, что при ДЯ(р) = Дк/р обеспечит нулевой установившийся уровень переходной характеристике [¿(Я)](ДЯ)/р.
С примерами, подтверждающими сделанные выводы, можно ознакомиться в [12, раздел «Теория регулирования/Одномерные системы»], где размещены интерактивные ресурсы автора.
Многомерные системы. Передаточная матрица замкнутой многомерной СУ (МСУ), согласно схеме на рис. 5, имеет вид [13]:
(19)
W( р) = у( р)/ Х( р) = = [Е + Н( р) Щ р)]-1 Н( р) Щ р).
Так же как и для одномерного случая, реакции МС0 на единичные воздействия (р) = =Еп/р (- (п х п)-матрица, Еп - единичная матрица порядка п, где п - число основных каналов МСУ), т. е. матрица ее переходных характеристик Ь(р) = W(р)/р служит исчерпывающей основой для анализа качества и устойчивости реакций замкнутой системы. Устойчивость МСУ (19) определяется [13] числителем 5( р) определителя матрицы [Еп + Н( р^( р)], выступающим в роли характеристического полинома таких динамических систем. Полином 5( р) присутствует в выражениях для каждого элемента матрицы W( р). Поэтому анализ устойчивости может проводиться на основе как отдельных элементов W( р), так и их линейных форм, например, следа матрицы
W( р).
При анализе чувствительности МСУ целесообразно выбрать именно вариант sp[W(р)], поскольку аппарат дифференцирования следа матриц по вектору или матрице хорошо разработан. Известные формулы для таких преобразований следа можно найти в [14]. Эти формулы включают варианты дифференцирования следа отдельных матриц, произведений и суммы произведений матриц. Однако в данном случае для дифференцирования следа матрицы W(р) (19) по матрице R( р) требуются формулы дифференцирования следа обратных матриц. В настоящей статье вывод этих формул не приводится ввиду весьма объемных выкладок. Опуская вывод, приведем лишь одну из формул, необходимую для
анализа чувствительности МСУ (19) в данной постановке. Так, матрица ф. ч. МСУ [12] имеет вид:
(20)
(21)
8(К) = / ада =
= {[Е + Н(р) Щр)]2 -Н(р)}Т,
где W(R) - матрица W( р) (19) МСУ при эталонном регуляторе R( р).
Учитывая (20), разложение следа W(R) в ряд Тэйлора по степеням вариаций R, ограничиваясь членами первого порядка, примет вид:
sp[W(R + ДК)] = sp[W(R)] + + sp[S(R)•(ДR)] = sp[W(R) + W(ДR)].
Здесь W(ДR) = S(R)•ДR - матрица вариаций свойств МСУ (дополнительное движение, вызванное вариациями ДR( р)).
Анализ матриц S(R) и W(ДR) показал, что возможности структурного упрощения многомерных регуляторов R(p) в МСУ в целом аналогичны описанным выше для одномерных систем. Это сходство опирается на очевидную. устойчивость передаточной матрицы чувствительности (20) для исходно устойчивой МСУ (19). Так же как и для одномерных систем, при анализе МСУ могут быть сформулированы утверждения, приведенные выше. При этом очевидно, что возможность
вариации параметров и структуры СУ (и МСУ) тесно связано с устойчивостью соответствующих функций чувствительности.
С примерами упрощения многомерных регуляторов можно ознакомиться в [12, рубрика «Теория регулирования/Многомерные системы»]; там же приведены ресурсы, подтверждающие справедливость выводов применительно к МСУ.
1. Розенвассер, Е.Н. Чувствительность систем автоматического управления [Текст] / Е.Н. Розенвассер, Р.М. Юсупов. -М.: Наука, 1981. -464 с.
2. Yusupov, R. Sensitivity of Automatic Control Systems [Text] / R. Yusupov, E. Rozenwasser. -CRS Press, Roca Raton, London, NY, Washington, DC, 1999. -436 p.
3. Городецкий, В.И. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении [Текст] / В.И. Городецкий, Ф.М. Захарин, Е.Н. Розенвассер [и др.]. -Л.: Энергия, 1971. -345 с.
4. Розенвассер, Е.Н. Чувствительность систем автоматического управления [Текст] / Е.Н. Розенвассер, Р.М. Юсупов. -Л.: Энергия, 1969. -208 с.
5. Ивановский, Р.И. Теория чувствительности в задачах управления и оценки [Текст] / Р.И. Ивановский, А.А. Игнатов. -Л.: ЦНИИ «Румб», 1986. -111 с.
6. Фетисов, В.Н. Теория чувствительности в задачах стохастического управления [Текст] / В.Н. Фетисов // Тезисы докл. VI Всесоюз. совещ. по теории инвариантности, теории чувствительности и их применениям. -М.: ИПУ, 1982. -С. 114-115.
Eslami, M. Theory of sensitivity in dynamic systems. An introduction [Text] / M. Eslami. -Springer-Verlag, Berlin, 1994. -600 p.
Следует отметить, что рассмотренные вопросы, безусловно, не исчерпывают все области практического приложения теории чувствительности. В данной статье, составленной по темам доклада автора на научном семинаре ФТК СПбГПУ, представлены лишь отдельные вопросы практики создания и анализа СОИ и СУ с применением теории чувствительности, каждый из которых заслуживает детального рассмотрения.
Показано, что анализ чувствительности позволяет не только обогатить синтез соответствующих систем, но и обеспечить определение их свойств, возможности вариаций параметров, важных при технической реализации.
Материал подготовлен при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», грант № 2.1.2/5534
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
8. [Электронный ресурс] / Режим доступа: http:// mas.exponenta.ru/literature/LSens.pdf
9. Ривкин, С.С. Статистическая оптимизация [Текст] / С.С. Ривкин, Р.И. Ивановский, А.В. Костров. -Л.: Судостроение, 1976. -280 с.
10. Дмитриев, С.П. Высокоточная морская навигация [Текст] / С.П. Дмитриев. -Л.:Судостроение, 1991. -222 с.
11. Степанов, О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задаче обработки навигационной информации [Текст] / О.А. Степанов. -ГНЦ РФ «Электроприбор», 2009. -496 с.
12. [Электронный ресурс] / Режим доступа: http:// mas.exponenta.ru
13. Ивановский, Р.И. Синтез многомерных систем управления. Проблема устойчивости [Текст] / Р.И. Ивановский, А.В. Нестеров // Тр. Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям (SCM'2005). -СПб. -2005.
14. Ивановский, Р.И. Теория вероятностей и математической статистики. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad [Текст] / Р.И. Ивановский. -СПб.: БХВ, 2008. -528 с.
