Оптимизация модели позиционных характерстик электромагнитного датчика линейных перемещний Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5.07

ОПТИМИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ПОЗИЦИОННЫХ ХАРАКТЕРСТИК ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ДАТЧИКА ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩНИЙ

© 2012 В. С. Тиньгаев1, С. А. Матюнин2, В. А. Медников2

1ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс»

2

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)

В статье рассматривается аппроксимация позиционной характеристики первичных преобразователей с помощью модифицированной функции Гаусса. Приведены сравнительные результаты оптимизации коэффициентов четырёх разновидностей аппроксимирующей функции для трёх критериев оптимизации.

Математическая модель, аппроксимация, преобразователи линейных перемещений, погрешность, аппроксимирующая функция, коэффициенты аппроксимирующей функции, позиционная характеристика датчика линейных перемещений.

Преобразователи линейных перемещений (ПЛП) являются одним из важных измерительных элементов высокоточных систем управления и контроля, особенно в авиационной и ракетно-космической технике. Разработкой и выпуском точных и компактных преобразователей перемещения занимаются достаточно многие фирмы, но только очень немногие из них могут выпускать преобразователи для жестких условий эксплуатации (Heidenhain, Германия; Sony и Mitutoyo, Япония; Harley Precision Instrument, США и некоторые др.). В связи с работами по модернизации и созданию новых типов ракетных и авиационных комплексов возникает необходимость в расширении исследований по созданию первичных преобразователей с высокими стабильными метрологическими показателями, в том числе устойчивыми к особо жестким внешним дестабилизирующим факторам: виброударным воздействиям, глубоким перепадам температур (вплоть до криогенных температур).

Для отработки конструкции преобразователей перемещений и их оптимизации необходима математическая модель, которая могла бы аппроксимировать экспериментальные данные по возможности более точно с использованием небольшого количества коэффициентов, характеризующих

модель. Анализ характера экспериментально полученных позиционных характеристик Ц показал, что функции:

Yl(x) = a + b • (x0 - x) • e c' (x° x)

Y2(x) = a + b • (x0 - x) • e C Xo X;

I I z

Y3(x) = a + b • (x0 - x) • e Y4(x) = a + b • sin g(x0 - x):

c • xp, x\

(l) (2)

(3)

(4)

x x„ - x • e

имеют вид, характерный для позиционных характеристик индуктивных преобразователей перемещения (ИПП).

В качестве критериев оптимизации при поиске неизвестных коэффициентов а, Ь, с, х0, п, 2 функций (1...4) были выбраны минимальные значения среднеквадратиче-ского отклонения ^ко, среднемодульного отклонения №мо и наибольшего отклонения №ммо во всем диапазоне перемещений Х подвижного (элемента) ИПП:

Wl(a, b, c, x0, z, n) =J—1 -V Nn-1

i

Nn-l

(5)

Ypj -Y1(a, xj, b, c, x0, z, n))

j=0

z

n

X

2

W2( ел,F).I =

Nn— 1

Лл-Е

J-»

W3(a, b, с, x0, z, n) = Max(Uj - YX)),

Щ

(7)

где Nn - количество экспериментальных точек.

Коэффициенты a, b, с, x0 z, n можно найти минимизируя функцию погрешности W, используя компьютерный математический пакет Mathcad компании MathSoft [2] с помощью функции:

Minimize (W,a,b,c,x 0, z, n) . (8)

В таблице 1 даны результаты расчетов оптимальных коэффициентов a, b, с, x0, z, n, обеспечивающих минимальные погрешности аппроксимации функций Y1(x), Y2(x), Y3(x), Y4(x) для каждого критерия Wско, Wсмо, W^.

На рис. 1 графически представлена аппроксимирующая функция Y1(x) оптимизации по среднеквадратическому отклонению W™ и исходный набор данных Uj(xj).

Относительные погрешности средне-квадратического отклонения у1ско, среднемо-дульного отклонения у1смо и наибольшего отклонения у1ммо для всего диапазона аппроксимации для функции Y1(%) (формула 1), оптимизированных на минимум среднеквадратичного отклонения, определяются как:

Относительные погрешности средне-квадратического отклонения у1ско, среднемо-дульного отклонения у1смо и наибольшего отклонения у1ммо для всего диапазона аппроксимации для функции Yl(х) (формула 1), оптимизированных на минимум среднемо-дульного отклонения определяются как:

У1смо =-/ ско

100

Umax Umin ;

xWC(a, b, с, x„)=2,1

tf- = 100 x

смо

max min

xWOa, b, с, X0) = 1,24

(12)

(13)

и

Y(x) Uj(xj)

-u

"И

41D

«0 —73 66 -59 -53 -45 -3« -31 -34 -17 -10 -3 4 11 1* 35 33 39 4« 53 60

Перемещение X. мм

Рис. 1. Позиционные характеристики экспериментальной Ц и аппроксимирующей функции Y1 (х)

x

у1-= 100 X

/ ммо у Т у Т

тах тт

х^О, Ь, с, хо) = 6,14

Относительные погрешности средне-квадратического отклонения у1ско, среднемо-дульное отклонения у1смо и наибольшего отклонения у1ммо для всего диапазона аппроксимации для функции У1(х) (формула 1), оптимизированных на минимум максимального отклонения, определяются как:

ммо = I00 х

/ ско

^тах ^тт ?

х№1,Т(а, Ь, с, Х0)=2,16 П- = 100 X

смо

тах тт ?

хИГДа, Ь, с, Х0)=1,38

М" = 100 X

* ммо -Г 7- Т- 7-

тах тт .

х»Тм^(а, Ь, с, Х0) = 5,01

(15)

(16)

(17)

Аналогично была проведена оптимизация функций У2(х), У3(х), У4(х), результаты которой помещены в таблицу 1.

Распределение погрешности е аппроксимации функцией У1(х) в каждой _]-й экспериментальной точке вычислялось по формуле:

и] - У1(х;, а, Ь, с, х0)

£ j =

•100%

(18)

итах итт

и представлено графически на рис. 2: ец - при минимизации среднеквадратичного отклонения; е2] - при минимизации среднемодульно-го отклонения; е3j - при минимизации максимального отклонения.

Распределение погрешности е аппроксимации функцией У2(х) в каждой j-й экспериментальной точке вычислялось по формуле:

и] - У2(х;, а, Ь, с, х0)

£ j =

•100%

(19)

итах иш1п

и представлено графически на рис. 3: ец - при минимизации среднеквадратичного отклоне-

6.5

5.2

3.9

2.6

,1; 1.3

е2 ^ 0

1.3

- 2.6

- 3.9

- 5.2

- 6.5

м \ У V А;

Л

V \ 1 I

■ \ \ 1

1 \\ 4 1 V

V V /V 1

V ч7

\ V

----

- 80 - 73 - 66 - 59 - 52 - 45 - 38 - 31 - 24 - 17 - 10 - 3 4 11 18 25 32 39 46 53 60

Перемещение Х,мм

Рис. 2. Относительная погрешность аппроксимирующей функции У1(х): е^- при минимизации среднеквадратичного отклонения; е2^ - при минимизации среднемодульного отклонения; е1 - при минимизации максимального отклонения

ния; 83 - при минимизации среднемодульно-го отклонения; 83 - при минимизации макси-ального отклонения.

На рис. 2, 3 показаны относительные погрешности аппроксимирующих функций Y1(x), Y2(x), из которых видно, что по краям экспериментальной характеристики погрешность аппроксимации максимальная, а в центральной области погрешность аппроксимации минимальна.

Распределение погрешности в) аппроксимации функцией Y3(х) в каждой ]-й экспериментальной точке вычислялось по формуле:

Ц1 ~ Y3(xj, а, Ь, с, х0)

е; =

UmQV г

•100%

(20)

и представлено графически на рис.4: 8ц - при минимизации среднеквадратичного отклонения; 82] - при минимизации среднемодульно-го отклонения; 83 - при минимизации максимального отклонения.

Распределение погрешности 8] аппроксимации функцией Y4(х) в каждой ]-й экспериментальной точке вычислялось по формуле:

- Y4(x], а, Ь, с, х0)

£; =

•100%

(21)

шах шт

Цтах Цтт

и представлено графически на рис.5: 8ц - при минимизации среднеквадратичного отклонения; 82) - при минимизации среднемодульно-го отклонения; 83 - при минимизации максимального отклонения.

ПеремещениеХ,мм

Рис. 3. Обобщенная погрешность аппроксимирующей функции У.2

-73 -66 - - 52 - 45 - 38 - 31 -24 -17 - 10 - 3 4 11 18 25 32 39 46 53 60

Перемещение X, мм

Рис. 5. Обобщенная погрешность аппроксимирующей функции 14(х)

На рис. 4, 5 показаны относительные ность аппроксимации и в центральной об-

погрешности аппроксимирующих функций ласти погрешность аппроксимации мини-

У3(х), У4(х), из которых видно, что по краям мальные. экспериментальной характеристики погреш-

Таблица 1. Оптимизация и оценка погрешности Ж1, Ж2, Ж3 аппроксимирующими функциями У1(х), У2(х), У3(х), У4(х)

Относительная погрешность для функций У1(х), У2(х), У3(х), У4(х)

Оптимизация погрешности Среднеквадратическая, %. Среднемодульная, %. Максимальная, %.

Средне квадратиче-ского отклонения (СКО) У1(х) 2,01 У2(х) 2,01 У1(х) 1,32 У2(х) 1,32 У1(х) 5,2 У2(х) 5,2

У3(х) 1,19 У4(х) 0,96 У3(х) 0,87 У4(х) 0,66 У3(х) 2,94 У4(х) 3,07

Средне модульного отклонения (СМО) У1(х) 2,09 У2(х) 2,09 У1(х) 1,24 У2(х) 1,24 У1(х) 6,14 У2(х) 6,14

У3(х) 1,19 У4(х) 0,97 У3(х) 0,75 У4(х) 0,62 У3(х) 3,12 У4(х) 3,08

Минимизация максимального отклонения, (ММО) У1(х) 2,16 У2(х) 2,16 У1(х) 1,38 У2(х) 1,39 У1(х) 5,0 У2(х) 5,02

У3(х) 1,19 У4(х) 0,99 У3(х) 0,76 У4(х) 0,63 У3(х) 2,78 У4(х) 2,38

Коэффициенты аппроксимирующих функций

Оптимизация погрешности а Ь с хо ъ п

Средне квадрати-ческого отклонения (СКО) 0,12 0,12 0,21 0,22 2,03х 10-3 2,04х 10-3 -12,59 -12,59 --- --- - ---

0,13 0,12 0,17 0,24 1,04х 10-4 5,36х 10-5 -12,61 -12,61 2,8 2,9 - 0,85

Среднемодульного отклонения (СМО) 0,12 0,12 0,21 0,21 1,96х 10-3 1,96х 10-3 -12,56 -12,56 --- --- - ---

0,12 0,12 0,17 0,24 1,08х 10-4 5,66х 10-5 -12,62 -12,63 2,8 2,9 - 0,86

Минимизация максимального отклонения, (ММО) 0,12 0,12 0,21 0,21 2,03х 10-3 2,04х 10-3 -12,75 -12,74 --- --- - ---

0,12 0,12 0,17 0,23 1,15х 10-4 5,91х 10-5 -12,5 -12,5 2,8 2,9 - 0,87

По данным таблицы 1 построены графики среднеквадратического отклонения, среднемодульного отклонения, и максимального отклонения для функций У1(х), У2(х), У3(х), У4(х), оптимизированных по минимуму

среднеквадратического отклонения (рис. 6,а), по минимуму среднемодульного отклонения (рис. 6,6), по минимуму максимального отклонения (рис. 6,в).

2.5 2

№'гг4 я

к-хх ■■ ■

¿АД 1

1

\

\ к..

?

1.4

тт

ее о

<

Х-ХХ1 ■

хи ■

;— -I 1- Л

V 1

'""Ч.О

■ххх-^

та 1

1— Л 1

( Л

\\

1

Рис. 6. Оптимизация по минимуму: а) среднеквадратического отклонения б) среднемодульного отклонения в) максимального отклонения

Оптимизация по максимальному и среднемодульному отклонению требует меньше затрат машинного времени, а результат оптимизации практически не зависит от способа оптимизации по формулам (3), (4). Формулы (1), (2) дают практически одинаковые результаты.

Формула (3) позволяет существенно уменьшить погрешность (в 2 раза), а формула (4) позволяет уменьшить погрешность на 19,5% по сравнению с формулой (3).

Вывод по рис.6, а: для достижения минимальной погрешности рекомендуется использовать формулу (4). При ограниченном быстродействии рекомендуется использовать формулу (3). Для моделей, не требующих высокой точности, можно ограничиться формулами (1), (2).

Оптимизация по максимальному и среднеквадратическому отклонению требует меньше затрат машинного времени, а результат оптимизации практически не зависит от способа оптимизации по формулам (3), (4). Формулы (1), (2) дают практически одинаковые результаты.

Формула (3) позволяет существенно уменьшить погрешность (в 2 раза), а формула (4) позволяет уменьшить погрешность на 17% по сравнению с формулой (3).

Вывод по рис.6, б: для достижения минимальной погрешности рекомендуется использовать формулу (4). При ограниченном быстродействии рекомендуется использовать формулу (3). Для моделей, не требующих высокой точности, можно ограничиться форму-

лами (1), (2).

Оптимизация по среднеквадратиче-скому и среднемодульному отклонению требуют меньше затрат машинного времени, а результат оптимизации практически не зависит от способа оптимизации по формулам (3), (4). Формулы (1), (2) дают практически одинаковые результаты.

Формула (3) позволяет существенно уменьшить погрешность (в 2 раза), а формула (4) позволяет уменьшить погрешность на 14,5% по сравнению с формулой (3).

Вывод по рис. 6, в: для достижения минимальной погрешности рекомендуется использовать формулу (4). При ограниченном быстродействии рекомендуется использовать формулу (3). Для моделей, не требующих высокой точности можно ограничиться формулами (1), (2).

Библиографический список

1. Тиньгаев, В.С. Аппроксимация характеристик индуктивных датчиков линейных перемещений с помощью модифицированной функции Гаусса с разностным аргументом первого порядка [Текст] / В. С. Тиньгаев, С.А. Матюнин, В.А. Медников // Вестник Самарского государственного Аэрокосмического университета, - 2011. - Вып. №7 (31). - С. 77 - 81.

2. Кирьянов, Д.В. Самоучитель МаЛсаё 11. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с.

3. Карпов, В. И. Проектирование датчиков для измерения механических величин. - М.: Машиностроение, 1979. - 207 с.

4. Аш, Ж. Датчики измерительных систем. Кн. 1. - М.: Мир, 1992. - 480 с.

5. Дж. Фрайден. Современные датчики. Справочник. - М.: Техносфера, 2005. - 592 с.

6. Баишег (Швейцария) Индуктивные

датчики с пропорциональном (аналоговым) выходом http: // www.promsystex.ru/catalog

7. Baumer (Швейцария) Магнитные датчики, датчики линейных перемещений http: // www.promsystex.ru/catalog

OPTIMIZATION OF MODEL POSITIONAL HARAKTERSTIK OF THE ELECTROMAGNETIC SENSOR OF THE LINEAR PEREMESHCHNY

© 2012 V. S. Tingaev1, S. A. Matyunin2, V. A. Mednikov2

1FSUE SRPSRC "TsSKB-Progress" Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University)

The paper deals with approximation of positional characteristic of sensor using modified Gaussian function. In order to decrease the error, approximation function coefficients are calculated separately at eveiy interval of interest.

Computational model, approximation, linear displacement sensors, error, approximation function, approximation function coefficients, positional characteristic of linear displacement sensor.

Информация об авторах

Тиньгаев Владимир Сергеевич, начальник сектора, ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс». E-mail: tingaev@inbox.ru. Область научных интересов: информационно измерительные системы и приборы, электромагнитные элементы и устройства вычислительной техники систем управления.

Матюнин Сергей Александрович, доктор технический наук, профессор, заведующий кафедрой электронных систем и устройств, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: mitrea.sgau@rambler.ru. Область научных интересов: информационно измерительные системы и приборы, элементы и устройства вычислительной техники систем управления.

Медников Валерий Александрович, кандидат технический наук, доцент кафедры электронных систем и устройств, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: wamednikov@gmail.com. Область научных интересов: информационно измерительные системы и приборы, элементы и устройства вычислительной техники систем управления.

Tingaev Vladimir Sergeevich, leader of sector, FSUE SRPSRC "TsSKB-Progress". E-mail: tingaev@inbox.ru. Area of scientific: information and measurement systems and devices, electromagnetic elements of control systems computers.

Matyunin Sergey Alexandrovitch, doctor of technical sciences, professor, head of a chair of electronic systems and devices. Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University). E-mail: mitrea.sgau@rambler.ru. Area of scientific: information and measurement systems and devices, electromagnetic elements of control systems computers.

Mednikov Valeriy Alexandrovitch, candidate of technical sciences, associate professor at a chair of electronic systems and devices. Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University). E-mail: wamednikov@gmail.com. Area of scientific: information and measurement systems and devices, electromagnetic elements of control systems computers.