CC BY
54
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, том 14, №1(2), 2012 УДК 681.586.78
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИНДУКТИВНЫХ ДАТЧИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МОДИФИЦИРОВАННЫМИ ФУНКЦИЯМИ ГАУССА С РАЗНОСТНЫМ АРГУМЕНТОМ
© 2012 В С. Тиньгаев1, С.А. Матюнин2, В.А. Медников2, В.Г. Мадриченко2
1 ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс» 2 Самарский государственный аэрокосмический университет им. акад. С.П. Королева (национальный исследовательский университет)
Поступила в редакцию 23.03.2012
В статье рассматривается аппроксимация позиционной характеристики первичных преобразователей с помощью модифицированной функции Гаусса. Приведены сравнительные результаты оптимизации коэффициентов четырёх разновидностей аппроксимирующей функции для трёх критериев оптимизации.
Ключевые слова: математическая модель, преобразователи линейных перемещений, индуктивный датчик, позиционная характеристика
Преобразователи линейных перемещений (ПЛП) являются одним из важных измерительных элементов высокоточных систем управления и контроля, особенно в авиационной и ракетно-космической технике. Разработкой и выпуском точных и компактных преобразователей перемещения занимаются достаточно многие фирмы, но только очень немногие из них могут выпускать преобразователи для жестких условий эксплуатации (Heiden-hain, Германия; Sony и Mitutoyo, Япония; Harley Precision Instrument, США и некоторые др.). В связи с работами по модернизации и созданию новых типов ракетных, авиационных и наземных боевых комплексов вызывает необходимость в расширении исследований по созданию первичных преобразователей с высокими стабильными метрологическими показателями, в том числе устойчивыми к особо жестким внешним дестабилизирующим факторам: виброударным воздействиям, глубоким перепадам температуры вплоть до криогенных температур.
Для отработки конструкции преобразователей перемещений их оптимизации необходима математическая модель, которая могла бы аппроксимировать экспериментальные данные по возможности более точно с использованием небольшого количества коэффициентов, характеризующих модель. Анализ характера
Тиньгаев Владимир Сергеевич, начальник сектора отдела 1507. E-mail: tingaev@inbox.ru
Матюнин Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электронные системы и устройства». E-mail: mitrea.sgau@rambler.ru Медников Валерий Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электронные системы и устройства». E-mail: wamednikov@gmail.com Мадриченко Вениамин Геннадьевич, аспирант. E-mail:veniamines@gmail.com
экспериментально полученных позиционных характеристик Ц показал, что следующие функции имеют вид, характерный для позиционных характеристик индуктивных преобразователей перемещения (ИПП):
Y1(x) = a + b ■ (x0 -x) ■ e c' (x° x)' Y2(x) = a + b■ (x0-x)■ e c ^
I iz
/ \ — c ■ x — x
Y3(x) = a + b ■ (x0 — x) ■ e 1 0 1
Y4(x) = a + b ■ sing(x0 — x) ■ |x0 — x|" ■ i
(1) (2) (3)
c ■ x|
о — ' °
(4)
В качестве критериев оптимизации при поиске неизвестных коэффициентов a, ь, c, x0, п, z функций (1)-(4) были выбраны минимальные значения среднеквадратического отклонения
Wско тлгсмо
, среднемодульного отклонения W и наибольшего отклонения Wммо во всем диапазоне перемещений Х подвижного (элемента) ИПП:
I у Nn—1 2
W\(a, b, c, x0, z, n) =-V (Uj —Y1(a, x., b, c, x0, z, n))
VNn — 1 j=o (5)
1 Nn—1
W2(a, b, c, x0, z,n) =-V (U ■ — Y1(a, x., b,c, x0, z,n) )
Nn — 1 j=o (6)
W3(a, b, c, x0, z, n) = MaxU — Y (x ■)) (7)
z
где Nn - количество экспериментальных точек.
Коэффициенты а, Ь, с, x0, z, п можно найти минимизируя функцию погрешности W, используя компьютерный математический пакет Mathcad компании MathSoft [2] с помощью функции:
Мтт а,Ъ,о,х(), z, п)
(8)
В таблице 1 даны результаты расчетов оптимальных коэффициентов а, Ь, с, х0, z, п обеспечивающих минимальные погрешности аппроксимации функций Y1(x), Y2(x), Y3(x), Y4(x) для
Wск0 ттгсмо ттгммо тт л
, W , W . На рис. 1 графически представлена аппроксимирующая функция Y1(x) оптимизации по среднеквадрати-ческому отклонению Wск0 и исходный набор данных и/х)
Перемещение X. мм
Рис. 1. Позиционные характеристики экспериментальной Ц и аппроксимирующей функции Y1(x)
Относительные погрешности среднеквад-ратическое отклонения у1ско, средне модульное отклонение у1смо и наибольшего отклонения у1ммо для всего диапазона аппроксимации для функции Y1(х) (формула 1), оптимизированных на минимум среднеквадратичного отклонения определяются как:
у1ско =
! сВЮ
Иско =.
/ смо
Г1ско = / ммо
100
и - и
шах тт 100
и - и.
шах шт
100
и - и
^ тот ^ т
■ШГк, (а, Ь, с, х0) = 2,01% (9) •ЖС (а, Ь, с, Х0) = 1,32% (10)
-ЖС (а, Ь, с, Х0) = 5,2% (11)
Относительные погрешности среднеквад-ратическое отклонения у1ско, средне модульное отклонение у1смо и наибольшего отклонения у1ммо для всего диапазона аппроксимации для функции Y1(х) (формула 1), оптимизированных на минимум среднемодульного отклонения определяются как:
/1смо = ! ско
100
и - и.
шах шт
•Ж 1смо (а, Ь, с, Х0) = 2,1%
(12)
/1смо = ! смо
/1смо =
ммо
100
и - и.
шах шт
•Ж1смо (а, Ь, с, Х0) = 1,24% (13)
100
и -и
шах шт
•ЖС (а, Ь, с, Х0) = 6,14% (14)
Относительные погрешности среднеквад-ратическое отклонения у1ско, средне модульное отклонение у1смо и наибольшего отклонения у1ммо для всего диапазона аппроксимации для функции Y1(х) (формула 1), оптимизированных на минимум максимального отклонения определяются как:
71ММ° = / ско
71ммо = смо
у1ммо = / ммо
100
и - и
шах шт 100
и -и
шах шт
100
и -и
•ГС (а, Ь, с, Х0) = 2,16% (15) •ГС (а, Ь, с, Х0) = 1,38% (16) •Ж1ммо (а, Ь, с, Х0) = 5,01% (17)
Аналогично была проведена оптимизация функций Y2(x), Y3(x), Y4(x), результаты помещены в сводную таблицу 1. Распределение погрешности Б| аппроксимации функцией Y1(х) в каждой _|-той экспериментальной точке вычислялось по формуле:
и ■ - У 1(х., а,Ь, с, х) = _1-, , °> • 100%
]
и_ - и
(18)
и представлена графически на рис. 2 е1| - при минимизации среднеквадратичного отклонения; е2| - при минимизации среднемодульного отклонения; е3| - при минимизации максимального отклонения.
/Д
Л V..
1 л \
\ ч
■ ''Л ■■■ /
■ ■■
V /
ч/
-73 -6с -59 -52 -45 - 32 - 31 -24 -17 - 10 -3
25 32 ЗР
Перемещение X, мм
Рис. 2. Относительная погрешность аппроксимирующей функции Y1(x)
Распределение погрешности е| аппроксимации функцией Y2(х) в каждой _|-тои экспериментальной точке вычислялось по формуле:
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, том 14, №1(2), 2012
U! -Y2(x,.,a,b,c,xn) -v я , , , of. 100%
U -U
^ mav ^ m
(19)
\
i. W %
1, 1 V
\ v ; ч —
41 x 1
\ ■ \ ■■■■ )
\ v/
J
—
25 22 39 j 53 cO
Перемещение У мм
U, -Y3(x,.,a,b,c,xn)
„ = -V я , , , _ 100%
U -U
^ mav ^ rvt
(20)
U-Y 4( x., a, b, c, x)
-v я , , , 0 _ ioo%
(21)
и представлена графически на рис. 3 е^ - при минимизации среднеквадратичного отклонения; е2 - при минимизации среднемодульного отклонения; е3j - при минимизации максимального отклонения.
На рис. 2, 3 показаны относительные погрешности аппроксимирующих функций У1(х), У2(х), из которых видно, что по краям экспериментальной характеристики погрешность аппроксимации максимальная, а в центральной области погрешность аппроксимации минимальная.
[\ Л
.
X ■ \
1 \
— — л \ 1 l! ■ —
V i i V /!
\ l f V :
\ i ■1: /
- S0 -73 - йб -59 -52 - 45 -33 - 31 -24 - 17 - 10 - 3 4 11 18 25 32 39 4о 53 й(
Перемещение Х.мм
Рис. 4. Обобщенная погрешность аппроксимирующей функции Y3(x)
Л
1 ) Л
1 \ [ \
1 i 1 II j \ 1: \
% 1 1 А /
■■■ J \ 1 I
1 1 1
! • i
Рис. 3. Обобщенная погрешность аппроксимирующей функции У2(х)
Распределение погрешности SJ аппроксимации функцией У3(х) в каждой _)"тои экспериментальной точке вычислялось по формуле:
и представлена графически на рис. 4 е^ - при минимизации среднеквадратичного отклонения; s2J - при минимизации среднемодульного отклонения; s3j - при минимизации максимального отклонения.
Распределение погрешности SJ аппроксимации функцией У4(х) в каждой _)"той экспериментальной точке вычислялось по формуле:
и представлена графически на рис. 5 е^ - при минимизации среднеквадратичного отклонения; s2J - при минимизации среднемодульного отклонения; s3j - при минимизации максимального отклонения.
-IV -71 — ÖD -59 -52 -45 -32 -31 -24 - 17 - 10 - 3 4 И 13 25 32 39 40 53 60
Перемещение Х.мм
Рис. 5. Обобщенная погрешность аппроксимирующей функции Y4(x)
На рис. 4, 5 показаны относительные погрешности аппроксимирующих функций Y3(x), Y4(x), на которых видно, что по краям экспериментальной характеристики погрешность аппроксимации и в центральной области погрешность аппроксимации минимальные.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Тиньгаев, В.С. Аппроксимация характеристик индуктивных датчиков линейных перемещений с помощью модифицированной функции Гаусса с разностным аргументом первого порядка / В.С. Тиньгаев, С.А. Матюнин, В.А. Медников // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. 2011. №7 (31). С. 77-81.
2. Кирьянов, Д.В. Самоучитель Mathcad 11. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 560 с.
3. Карпов, В.И. Проектирование датчиков для измерения механических величин. - М.: Машиностроение, 1979. 207 с.
4. Аш, Ж. Датчики измерительных систем. Кн. 1. -М.: Мир, 1992. 480 с.
5. Фрайден, Дж. Современные датчики. Справочник. - М.: Техносфера, 2005. 592 с.
6. Baumer (Швейцария). Индуктивные датчики с пропорциональном (аналоговым) выходом http: // www.promsystex.ru/catalog
7. Baumer (Швейцария). Магнитные датчики, датчики линейных перемещений http: // www. promsystex. ru/catalog
Таблица 1. Оптимизация и оценка погрешности W1, W2, W3 аппроксимирующими функциями Y1(x), Y2(x), Y3(x), Y4(x)
Параметр для Относительная погрешность функций Y1(x), Y2(x), Y3(x), Y4(x)
оптимизация погрешности средне квадратическая, %. средне модульная, %. максимальная, %.
средне квадра-тического отклонения (СКО) Y1(x) 2,01 Y2(x) 2,01 Y1(x) 1,32 Y2(x) 1,32 Y1(x) 5,2 Y2(x) 5,2
Y3(x) 1,19 Y4(x) 0,96 Y3(x) 0,87 Y4(x) 0,66 Y3(x) 2,94 Y4(x) 3,07
средне модульного отклонения (СМО) Y1(x) 2,09 Y2(x) 2,09 Y1(x) 1,24 Y2(x) 1,24 Y1(x) 6,14 Y2(x) 6,14
Y3(x) 1,19 Y4(x) 0,97 Y3(x) 0,75 Y4(x) 0,62 Y3(x) 3,12 Y4(x) 3,08
минимизация максимального отклонения, (ММО) Y1(x) 2,16 Y2(x) 2,16 Y1(x) 1,38 Y2(x) 1,39 Y1(x) 5,0 Y2(x) 5,02
Y3(x) 1,19 Y4(x) 0,99 Y3(x) 0,76 Y4(x) 0,63 Y3(x) 2,78 Y4(x) 2,38
Коэффициенты аппроксимирующих функций
оптимизация погрешности a b c xo z n
средне квадра-тического отклонения (СКО) 0,12 0,12 0,21 0,22 2,03x 10-3 2,04x 10-3 -12,59 -12,59 --- --- --- ---
0,13 0,12 0,17 0,24 1,04x 10-4 5,36x 10-5 -12,61 -12,61 2,8 2,9 --- 0,85
средне модульного отклонения (СМО) 0,12 0,12 0,21 0,21 1,96x 10-3 1,96x 10-3 -12,56 -12,56 --- --- -- ---
0,12 0,12 0,17 0,24 1,08x 10-4 5,66x 10-5 -12,62 -12,63 2,8 2,9 -- 0,86
минимизация максимального отклонения, (ММО) 0,12 0,12 0,21 0,21 2,03x 10-3 2,04x 10-3 -12,75 -12,74 --- --- -- ---
0,12 0,12 0,17 0,23 1,15x 10-4 5,91x 10-5 -12,5 -12,5 2,8 2,9 -- 0,87
MODELING THE POSITIONAL CHARACTERISTICS OF INDUCTIVE LINEAR DISPLACEMENT SENSORS BY MODIFIED GAUSSIAN FUNCTIONS WITH DIFFERENT
ARGUMENT
© 2012 V.S. Tingayev1, S.A. Matyunin2, V.A. Mednikov2, V.G. Madrichenko2
1 Federal State Unitary Enterprise State Scientific Production Rocker Space Centre
"TsSKB-Progress" 2 Samara State Aerospace university named after acad. S.P. Korolyov (National Research University)
In article approximation of positional characteristic of primary sensors by means of the modified Gaussian functions is considered. Comparative results of factors optimization of four versions of approximating function for three criteria of optimization are given.
Key words: mathematical model, linear displacement sensors, inductive sensor, positional characteristic
Vladimir Tingaev, Chief of the 1507 Sector. E-mail: tingaev@inbox.ru
Sergey Matyunin, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department
"Electronic Systems and Devices". E-mail: mitrea.sgau@rambler.ru
Valeriy Mednikov, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor at the
Department "Electronic Systems and Devices ". E-mail: wamednikov@gmail. com
Veniamin Madrichenko, Post-graduate Student. E-mail:veniamines@gmail.com
