CC BY
14
УДК 62-503.5
ОПТИМИЗАЦИЯ КОНЕЧНО-ШАГОВОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
С.С. Сафонова
Работе рассмотрена методика синтеза конечно-шагового управления для высокодинамичного электрического следящего привода с малоинерционным объектом и его оптимизация с помощью генетического алгоритма. Приведены параметры и листинги функции оптимизации и файла, запускающего работу генетического алгоритма. Проведен сравнительный анализ полученных результатов и на его основе сделаны выводы.
Ключевые слова: генетический алгоритм, конечно-шаговое управление, оптимизация, алгоритм управления.
В ряде технических систем требуется отсутствие перерегулирования переходного процесса. Одним из методов, с помощью которого удается это обеспечить, является конечно-шаговое управление. При этом расчетное конечно-шаговое управление не всегда позволяет добиться апериодического процесса и требует оптимизации. Задачу оптимизации параметров корректирующего устройства для обеспечения отсутствия перерегулирования при сохранении высокого быстродействия можно решить с помощью генетического алгоритма.
В методе пространства состояний состояние объекта описывается в векторно-матричной форме в следующем виде:
х[к +1] = Фх[к ] + Ии[к ], (1)
где Ф - собственная матрица объекта управления; х[к]- п-мерный вектор состояния системы; И - матрица управляющего воздействия; и[к]- управляющее воздействие на систему.
Причем состояние объекта х[к ] включает в себя всю информацию о поведении объекта, так что знание этого состояния позволяет определить его настоящее и будущее поведение.
Поэтому в линейном случае вектор управления и[к ] выражается через линейную комбинацию компонент вектора состояния:
и[к ] = / [к ] - Кх[к ], (2)
где /[к] - входной задающий сигнал; К - вектор-строка коэффициентов обратных связей.
Характер переходного процесса определяется коэффициентами характеристического полинома замкнутой системы, точнее его корнями или собственными значениями матрицы динамики системы управления. Вследствие этого задача синтеза методом пространства состояний ставится как задача выбора таких коэффициентов управления К , которые обеспечивали бы выполнение требований, налагаемых на корни характеристического полинома замкнутой системы или на собственные значения матрицы динамики системы Ф.
Матрица К определяется так, чтобы замкнутая система:
х[к +1] = (Ф - ИК) х[к] + И/[к] = Фх[к] + И/[к] (3)
имела желаемый характеристический полином
Я(г) = ёе1(гЕ -Ф*) = гп + ап-1гп-1 +... + а1г + а0. (4)
Частным случаем синтеза методом пространства состояний является синтез системы с конечным числом шагов управления. Конечным числом шагов управления называется конечное число N элементов последовательности u[k], u[k +1],..., u[k+N-1], переводящих этот объект управления из произвольного
начального состояния x[k ] Ф 0 в конечное состояние x[k+N ] = 0.
Конечное число шагов управления обеспечивает следующий закон управления
(5):
u[k ]=- Kx[k ], (5)
где u[k] - вектор управления; K - вектор обратных связей; x[k] - вектор состояния объекта управления.
В случае следящей системы уравнения, описывающие систему будут иметь следующий вид:
x[k +1] = Фx[k ] + Hu[k ], (6)
y[k ] = Cx[k ], (7)
u[k ] = f [k ] - Kx[k ], (8)
где y[k] - выходной сигнал; C - матрица связи между выходными переменными и переменными состояния.
Выходной сигнал y[k ] такой системы после выполнения конечного числа шагов управления должен соответствовать задающей входной переменной f [k ]. Для этого требуется перейти к уравнениям системы в пространстве ошибок, где в качестве переменных состояния выступают ошибка слежения за входным сигналом и ее производные:
e(i) [k] = f(i) [ k]-y(i) [ k], i = 0,1,..., n -1, (9)
где e(i) [k ] - ошибка слежения за входным сигналом и ее производные.
Далее задача синтеза следящей системы сводится к переводу системы за конечное число шагов управления в состояние, когда ошибка слежения и ее производные равны 0 [1,2].
При расчете коэффициентов вектора обратных связей К необходимо выбрать период дискретизации (расчетный такт квантования). Этот выбор осуществляется экспериментально: производится расчет при различных тактах квантования и проверка полученных коэффициентов, пока получившийся переходный процесс не станет отвечать необходимым требованиям. При этом может получиться достаточно большой такт квантования, который не подходит к применению в реальной системе. Но рассчитанное конечно-шаговое управление слабо зависит от такта квантования, используемого при моделировании системы или используемого в реальной системе (фактического такта квантования). Поэтому при моделировании или реализации системы управления можно выбрать меньший такт квантования, отвечающий характеристикам привода, а коэффициенты вектора обратных связей оставить рассчитанными при большем такте квантования.
С учетом нелинейностей, присутствующих в реальных системах, и выбором разных тактов квантования для расчета и реализации конечно-шагового управления приводами полезно иметь возможность рассчитать коэффициенты вектора обратных связей сразу с учетом присутствующих нелинейностей и с фактическим тактом квантования. Такую возможность предоставляет применение генетического алгоритма (ГА), который можно использовать как универсальный метод оптимизации для поиска коэффициентов вектора обратных связей по имеющейся нелинейной модели привода и с нужным тактом квантования.
Общая схема настройки регулятора с помощью ГА в режиме реального времени (on line) показана на рис. 1. Она предполагает, что существует эталонная модель (ЭМ), приближенно описывающая желаемую реакцию объекта Y * (t) на любое входное воздействие G(t). ЭМ может быть намного проще реального объекта, например, это может быть динамическое звено невысокого порядка [3].
Рис. 1. Настройка параметров регулятора в режиме on line
Входным параметром ГА является ошибка функционирования:
e(t) = Y *(t) - Y(t), (10)
где e(t) - ошибка функционирования; Y * (t) - желаемая реакция объекта; Y (t) - реальный выход объекта при текущих параметрах регулятора.
На основании значения e(t) строятся оценки качества управления, т. е. пригодности каждой хромосомы.
Таким образом, закон управления синтезируется с помощью ГА в результате многократных экспериментов с объектом. Однако для большинства реальных объектов управления недопустимо выполнение такого огромного количества экспериментов, которое требуется при работе ГА. К тому же время проведения экспериментов должно быть ограничено. Поэтому в реальности вместо объекта в структуре должна присутствовать его имитационная модель (ИМ), к которой предъявляются требования адекватности и быстродействия.
Таким образом, при использовании ГА для настройки регулятора динамического объекта требуется решить следующие вопросы: выбор настраиваемых параметров регулятора, выбор ИМ объекта, выбор функции относительной пригодности.
Рассмотрим синтез конечно-шагового управления и его оптимизацию генетическим алгоритмом на примере высокодинамичного электрического следящего привода с малоинерционным объектом с двигателем ЕС-20 flat.
Расчет матрицы обратных связей, необходимой для формирования конечно-шагового управления, осуществляется на основе методов пространства состояний [1, 2]. Листинг m-файла, созданного в пакете Matlab и осуществляющего вычисление вектора обратных связей, представлен ниже:
A=[0 1 0;0 0 (Cm/Jnsum);0 (-Ce/(R*Te)) (-1/Te)];
B=[0;0;(1/(R*Te))]; C=[1 0 0];
D=[0];
sn=ss(A,B,C,D);
sd=c2d(sn,0.0016);
[Ad,Bd,Cd,Dd]=ssdata(sd)
Ky=[Bd Ad*Bd (AdA2)*Bd]
K=-[0 0 1]*(inv(Ky))*(AdA3)
Результат вычисления представлен ниже:
K = -632.8841 -1.5565 -2.6672.
Вычисление коэффициентов вектора обратных связей происходит при большом такте квантования (0,0016 с), но по описанной выше методике при моделировании используется фактический такт квантования, который меньше расчетного и равен 0.00001 с.
Разработанная в среде 81шиНпк пакета МайаЬ схема моделирования работы привода на основе эквивалентной модели двигателя постоянного тока представлена на рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема модели в среде 81тиИпк пакета МаАаЪ
Переходный процесс по углу, полученный в результате моделирования, и определение динамической ошибки в результате реакции на синусоидальный сигнал, показаны на рис.3.
Ф> рад <ш
б
Рис. 3. Полученные в результате моделирования характеристики: а - переходный
процесс по углу; б - динамическая ошибка
В результате моделирования получены следующие характеристики: перерегулирование 2,63%; время регулирования 0,0054 с, динамическая ошибка 0,0056 мрад.
296
Для синтеза конечно-шагового управления с учетом нелинейности, с выбранным тактом квантования и улучшения полученных результатов применена оптимизация с помощью генетического алгоритма.
В соответствии с общим порядком действий [3] для настройки регулятора с помощью генетического алгоритма в качестве ИМ выбрана эквивалентная модель двигателя постоянного тока. ЭМ будет представлять собой апериодическое звено, так как при схожем с полученным ранее быстродействием в апериодическом процессе отсутствует перерегулирование.
В качестве функции относительной пригодности возьмем ошибку с выходов ИМ и ЭМ по модулю, которая должна стремиться к нулю.
На выход каждой модели поставлены блоки To Workspace. Для получения массивов выходных координат нужно использовать в Simulink MatLab метод интегрирования с постоянным шагом.
Настраиваемые параметры представляют собой коэффициенты вектора обратных связей. Для настраиваемой ИМ зададим начальные значения этих параметров равными единице.
Для выбора диапазонов изменения настраиваемых параметров воспользуемся полученными выше результатами и выберем их близкими к коэффициентам, рассчитанным ранее, то есть: для первого коэффициента от 500 до 1000, для второго - от 1 до 5, для третьего - от 1 до 5.
Листинг m-файла, созданного в пакете Matlab и соответствующего функции, осуществляющей расчет минимального значения функции относительной пригодности, приведен ниже:
function z = gen _shag(X)
global K1
global K2
global K3
global i z_old
i=i+1;
K1 = X(1);
K2 = X(2);
K3 = х(з);
sim('gen_shag_2.slx');
z = sum(abs(Fs_etalon - Fs));
disp( ['Итерация: ',num2str(i),' z = ', num2str(z)])
if (z < z_old)
disp( ['Итерация: ',num2str(i),' z = ', num2str(z) ,' К1 =',num2str(K1), 'К2 = ', num2str(K2), ' К3 = ', num2str(K3) ]) z_old = z;
end end
Листинг m-файла, созданного в пакете Matlab, задающего параметры для функции генетического алгоритма и запускающего работу генетического алгоритма, представлен ниже:
global K1 K2 K3;
global i z_old
i=0;
z_old = 100; K1 = 1; K2 = 1; K3 = 1;
LB = [500; 1 ;1]; UB = [1000;5;5];
options=gaoptimset('PopulationSize',50,'Generations',10);
[x, fval] = ga(@(x) gen _shag(x),3,[],[],[],[],LB,UB,[],options);
K1=x(1);
K2=x(2);
K3=x(3);
disp( ['Лучшее значение функции пригодности = ',num2str(fval)]) disp( [' К1 = ',num2str(K1),' К2 = ', num2str(K2), ' К3 = ', num2str(K3)]) gen_shag_2
Разработанная в среде Simulink пакета Matlab структурная схема настройки регулятора показана на рис. 4.
Рис. 4. Структурная схема в среде Simulink пакета Matlab
В результате оптимизации с помощью генетического алгоритма получены следующие коэффициенты вектора обратных связей:
Лучшее значение функции пригодности = 5.3532.
К1 = 991.3592 К2 = 3.0362 КЗ = 1.0272. Переходный процесс по углу, полученный в результате моделирования системы с оптимизированными коэффициентами, и определение динамической ошибки в результате реакции на синусоидальный сигнал, представлены на рис. 5.
а
б
Рис. 5. Полученные в результате моделирования характеристики: а - переходный процесс по углу; б - динамическая ошибка
В результате моделирования получены следующие характеристики: перерегулирование 0%; время регулирования 0,0085 с, динамическая ошибка 0,0035 мрад.
Сравнивая полученные результаты, можно сделать выводы, что оптимизация конечно-шагового управления с помощью генетического алгоритма: позволила устранить перерегулирование; уменьшила динамическую ошибку системы; незначительно уменьшала быстродействие.
Так как в качестве ЭМ выбрано апериодическое звено, апериодический переходный процесс в системе - основной критерий, которого необходимо было добиться с помощью оптимизации. Сравнение результатов показывает, что оптимизация прошла успешно.
Полученные результаты показывают, что применение генетического алгоритма для синтеза конечно-шагового управления позволяет: настроить систему с учетом не-линейностей и выбранного такта квантования; получить определенный переходный процесс в соответствии с требуемым критерием. Поэтому предложенная методика оптимизации конечно-шагового управления может быть полезна при решении задач проектирования высокоточных электрических следящих приводов и мехатронных модулей на их основе.
Список литературы
1. Горячев О.В. Компьютерное управление мехатронными системами: сборник методических указаний к лабораторным работам. 2018. 125 с.
2. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем автоматического управления / пер. с англ. Э.Д. Аведьяна; под ред. ЯЗ. Цыпки-на. М.: Наука, 1985. 296 с.
3. Бураков М.В. Генетический алгоритм: теория и практика: учеб. пособие. СПб.: ГУАП, 2008. 164 с.
Сафонова София Сергеевна, студентка, 19sofinka9 7@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
FINITE-STEP CONTROL OPTIMIZATION USING GENETIC ALGORITHM
S.S. Safonova
In this paper, a technique for the synthesis of a finite-step control for a highly dynamic electric servo drive with a low-inertia object and its optimization using a genetic algorithm is considered. The parameters and listings of the optimization function and the file that start the genetic algorithm are given. A comparative analysis of the results obtained was carried out and conclusions were drawn on its basis.
Key words: genetic algorithm, finite step control, optimization, control algorithm.
Safonova Sofia Sergeevna, student, 19sofinka9 7@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
