Оптимизация инвестиционных стратегий в условиях неопределенности товарного рынка Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ТОВАРНОГО РЫНКА

Малютина Татьяна Дмитриевна,

аспирантка Кисловодского института экономики и права;

e-mail: in63@mail.ru

Аннотация: В работе построена экономико-математическая стохастическая модель инвестиционного процесса в непрерывном времени с учетом неопределенности товарного рынка.

Ключевые слова: модель, инвестиции, неопределенность, качество, оптимизация

Abstract. In this paper we develop mathematical stochastic model of an investment process in continuous time taking account of an uncertainty of product market.

Keywords: model, investments, uncertainty, quality, optimization

Введение

Эффективная деятельность предприятий в долгосрочной перспективе, обеспечение высоких темпов их развития и повышение конкурентоспособности в значительной степени определяются выбором эффективных форм роста его активов и капитала. Одно из наиболее распространенных и важных решений, которые принимают предприятия, связано с инвестициями в новый капитал. Будущий поток денежных средств, который принесут инвестиции, часто отличается неопределенностью. Поэтому модели инвестиционных проектов должны учитывать факторы неопределенности, связанные со случай-

ными колебаниями спроса и рыночных цен на планируемый выпуск продукции и затрачиваемые ресурсы, в том числе на инвестиционные ресурсы, необходимые для создания предприятия [1-3]. Текущие величины денежных потоков, генерируемых этими активами, неопределенны, и их эволюция ведет к необходимости моделировать финансовые потоки, связанные с функционированием будущей фирмы, как случайные процессы. Кроме того, в отличие от инвестиций в ценные бумаги большинство инвестиционных проектов открыты конкурирующим фирмам отрасли. В таких случаях выбор момента инвестирования становится для фирмы ключевым стратегическим вопросом, который должен быть оптимизирован с учетом оптимальных ответных действий конкурирующих фирм.

Согласно классической теории реальных опционов, неопределенность инвестиционной среды в сочетании с необратимостью инвестиций создает стоимость опциона ожидания перед осуществлением инвестирования. Инвестор, имея возможность отложить принятие решения об инвестировании и используя всю доступную ему информацию, выбирает момент инвестирования из условия максимизации ожидаемого чистого приведенного дохода (КРУ). Инвестиции предполагаются необратимыми, а фирма характеризуется нейтральным отношением к риску. Это означает, что для неё действительно следующее: полезность значения ожидаемых результатов лотереи равна значению ожидаемой полезности результатов лотереи, т.е. разброс результатов лотереи в окрестности ожидаемого значения (признак существования рисков) не имеет никакого влияния на ожидаемую полезность.

Экономико-математическая модель

Формальной моделью анализа эволюции неопределенности, с которой сталкивается инвестор при принятии решения об инвестировании, является вероятностное пространство (О, А, Р) - совокупность трех объектов - пространства элементарных событий О, с -алгебры А подмножеств простран-

ства О, представляющей измеримые события, и вероятностной меры Р(а), определенной для а е А, для которой Р(О) = 1. Так как время и динамика являются неотъемлемыми компонентами финансовой теории, то целесообразно считать пространство (О, А, Р) наделенным специальной структурой: потоком с -алгебр (А1 )г>0. Получающееся таким образом пространство называется фильтрованным вероятностным пространством (или вероятностным пространством с фильтрацией, генерируемой броуновским движением). Фильтрация удовлетворяет стандартным условиям: (А{)>0 является правосторонней фильтрацией и А{ содержит все Р - нулевые множества в А.

Принципиальная идея теории инвестиций в условиях неопределенности заключается в том, что фирма инвестирует, когда стоимость инвестиционного проекта, V, превосходит инвестиционные затраты, I, на стоимость опциона ожидания перед осуществлением инвестирования. Представляя стоимость инвестиционного проекта V в виде тгЫ, можно рассматривать п как прибыль в расчете на одного потребителя, а N - число потребителей. Предполагаем, что размер товарного является для фирмы фактором неопределенности. Более конкретно, предполагаем, что число потребителей N следует геометрическому броуновскому движению с тенденцией л (трендовой составляющей или сносом стохастического процесса) и мгновенным стандартным отклонением (волатильностью) с . Таким образом, N описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением

dN = l^Ndt + сМВ{, (1)

где dBt есть приращение геометрического броуновского движения.

Будем рассматривать п и I как функции качества продукции, и обозначим через п8, 18 и п88, 188 обозначают первую и вторую производные от функций п и I, соответственно. В дальнейшем предполагаем, что для производных выполняются неравенства

Задача состоит в таком выборе качества продукции и критического размера товарного, при которых ожидаемая прибыль фирмы максимальна. Условие первого порядка максимизации прибыли относительно качества продукции 5 имеет вид

тогда как условие первого порядка для критического размера товарного, при

котором фирме оптимально осуществлять инвестирование, лЫ, определяется уравнением

Здесь г - ставка дисконтирования причем г > л. Поскольку 3 > 1, то % > 1. Кроме того, параметр 3 убывает с ростом неопределенности (характеризуемой волатильностью товарного), и % растет с ростом неопределенности. При с ^ 0 получаем 3 ^ да и % ^ 1, что означает, что для очень низких уровней неопределенности фирма инвестирует, если стоимость инвестиционного проекта превосходит инвестиционные затраты. Объединяя условия первого порядка максимизации прибыли, получаем

где £1 и Еп обозначают соответственно удельные эластичности (т.е. в расчете на одного потребителя) инвестиционных затрат и стоимости инвестиционного проекта по качеству продукции. Полностью дифференцируя уравнение (2) по %, получаем

кЫ = %,

где

еі = ,

(2)

ds

(%

\Т,,л + Т,л, — %л,,Т — %Т,л,] =Тл

(3)

*

Умножая обе части уравнения (3) на ------------ и преобразуя полученное уравне-

I, л

ние, получаем

ds

(%

,Т„ . ж, &П,

" ,, ^ ,________________________

Т, л Т,л

л

лА_

л!

л,*

Умножая третье слагаемое в скобках на , а правую часть уравнения на

л

приходим к уравнению

ds

(%

^ + (1 - %) л — л I

Т„ л лл л /

л,* 1

л ,I

,

Подставляя в это уравнение (2) и переходя к эластичностям, получаем

(4)

где £т и £л обозначают эластичности от I и л , соответственно по каче-

15 л5 5 5

ству продукции. При сделанных предположениях относительно л и I имеем

£т > 0, £„ < 0 и £ > 0.

Из уравнения (4) непосредственно следует, что

(%

> 0 и % = 1.

5

Л

Следовательно, увеличение неопределенности приводит к росту качества производимой продукции. Соотношение между неопределенностью и выбором качества продукции в общем случае справедливо для любой функции прибыли, которая достаточно вогнута и любой функции, характеризующей инвестиционные затраты, которая достаточно вогнута, т.е. для любой функции инвестиционных затрат вида I(5) = аБ7 при а > 1 и у > 1, и функции прибыли, удовлетворяющей условию £л < — 1, например

ЛБ

Л(5) = 1 — - .

5

На интуитивном уровне этот результат означает, что более высокая степень неопределенности означает более высокую требуемую доходность инвестиций. Более высокая неопределенность размера товарного означает, что для фирмы оптимально ждать, пока число потребителей увеличится. Поскольку прибыль линейна по размеру товарного (числу потребителей), инвестирование при более высоком числе потребителей не только приносит более высокую прибыль, то также более высокую предельную прибыль. Поскольку функция инвестиционных затрат является вогнутой и возрастающей, уровень качества продукции, при котором предельная прибыль равна предельным затратам. возрастает. Следовательно, более высокая неопределенность размера товарного оказывает положительное воздействие на выбор фирмой качества продукции. Возможность откладывания инвестирования, наличие неопределенности относительно размера товарного и гибкости в выборе качества продукции позволяют монополисту инвестировать после значительного положительного изменения размера товарного, производя продукции более высокого качества и получая большую прибыль, чем на рынке меньшего размера.

Оптимальное поведение монополиста

В дальнейшем анализе мы распространим полученные результаты на случай одновременного выбора качества и цены продукции.

Функция спроса. Потребители различаются предпочтениями относительно качества продукции. Будем описывать потребительские предпочтения следующей функцией полезности

и(р, 5) = 05 — р, (5)

если потребитель покупает единицу продукции, имеющей качество 5 при цене р, и и = 0, если потребитель не покупает продукцию. Параметр 0 представляет собой параметр потребительских предпочтений (вкуса), который различается между потребителями; предполагаем, что параметр потребительских предпочтений непрерывно и однородно распределен в интервале [0,1]. Спрос на продукцию равен количеству потребителей с па-

раметр потребительских предпочтений 0, таким, что 05 > р. Следовательно, функция спроса определяется следующим образом

q (р, 5 ) = N [1 — Р ]. (6)

5

Функция инвестиционных затрат. Будем предполагать, что предельные инвестиционные затраты, с, постоянны, и что обеспечение качества продукции 5 требует постоянных инвестиционных затрат I(5), которые возрастают по качеству продукции 5, так же как и предельные инвестиционные затраты.

Функция прибыли. Компания-монополист может войти в рынок в любой момент, предпринимая инвестирование и с этого момента получая монопольную прибыль. Обозначим через Т момент вхождения фирмы в рынок. Далее нижним индексом т обозначаем переменные, относящиеся к фирме-монополисту. Тогда ожидаемая прибыль компании может быть записана следующим образом

го р

Е{(Рт - с)| ехР(-^)Я0)[1 - ДО - еХр(-гТ)1 (^ )} . (7)

т

Это уравнение можно переписать в виде

Е[ехр(-гт){(рт - с)[1 - рт]^ -1(^)}].

(8)

Обозначим размер товарного, при котором компания-монополист принимает решение о вхождении в рынок, N(Т), через Nm. Тогда можно преобразовать выражение для ожидаемой прибыли следующим образом

Оптимальное поведение компании-монополиста. Компания-монополист максимизирует ожидаемую прибыль относительно цены и качества продукции, а также относительно размера товарного, при котором компания-монополист принимает решение о вхождении в рынок. Условия первого порядка максимизации прибыли относительно рт, зт и Ят имеют вид

(9)

(10)

(її)

(Рт - С)[1 - Рт]Ят = (Г - М '№(?„ )•

(12)

Если инвестиционные затраты определяются функцией I (^) = asY, то, решая уравнения (10)-(12) относительно цены продукции рт, качества продукции

причем условия у > % и а > 0 являются необходимыми условиями для обеспечения положительности цены, качества продукции и критического размера товарного. Из уравнений (13) и (14) очевидно, что оптимальная цена продукции, ее качество и качество продукции в расчете на единицу цены растут с увеличением параметра %, т.е. растут с ростом неопределенности

товарного рынка. Поскольку спрос в расчете на потребителя зависит от отношения качества и цены продукции, спрос в расчете на потребителя также растет с ростом неопределенности рынка.

В случае фиксированного числа потребителей N неопределенность отсутствует. Решая уравнения первого порядка максимизации прибыли, получаем цену продукции

$т и размера товарного Nm, соответствующих максимальной прибыли ком-

пании, получаем

(13)

(14)

N

а(г - М)(72 - £2)с7-1 Г7 +

(15)

т

£ І7 - £ ’

однако качество продукции лишь неявно определяется уравнением

жт - 4а(г - р)у$7+1 = Ыс2.

Это решение применимо также для цены и качества pm и sm при N > Nm , поскольку опцион ожидания перед осуществлением инвестирования отсутствует, если размер рынка превосходит критическое значение, при котором оптимален вход в рынок. При N = Nm решения для pm и sm в точности совпадают для моделей с учетом неопределенности и при ее отсутствии.

Литература

1. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. Пер. с англ. -М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 1997.

2. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1998.

3. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. - Princeton University Press, 1994.