CC BY
21
ИНВЕСТИЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ НА РЫНКЕ ВЕРТИКАЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЙ ДУОПОЛИИ
Малютина Татьяна Дмитриевна, аспирантка Кисловодского института экономики и права;
e-mail: in63@mail.ru
Аннотация: В работе предложена экономико-математическая стохастическая модель инвестирования в непрерывном времени с учетом неопределенности.
Ключевые слова: модель, инвестиции, неопределенность, качество, оптимизация
Abstract. In this paper we develop mathematical stochastic model of an investment process in continuous time taking account of an uncertainty of product market.
Keywords: model, investments, uncertainty, quality, optimization
Введение
Активизация инвестиций в производственный капитал является одной из приоритетных стратегий роста национальной экономики России на современном этапе. Реальное инвестирование составляет основу инвестиционной деятельности предприятия. На большинстве предприятий это инвестирование является в современных условиях единственным направлением инвестиционной деятельности. Это определяет высокую роль управления реальными инвестициями в системе инвестиционной деятельности предприятия. Необходимым условием экономического роста и структурной перестройки народнохозяйственного комплекса страны является увеличение размеров и повышение эффективности инвестиций. Определение условий оптимального инвестирования и характер влияния на них неопределенностей, присущих экономическим процессам, является значимой задачей для экономикоматематического моделирования [1-3].
В работе проведен анализ оптимальных инвестиционных решений при производстве вертикально дифференцированной продукции с учетом выбора уровня качества продукции и моментов инвестирования в условиях неопределенности рыночного спроса. Представляя стоимость инвестиционного проекта V в виде пЫ, можно рассматривать л как прибыль в расчете на одного потребителя, а N - число потребителей. Предполагаем, что размер товарного рынка является для фирмы фактором неопределенности. Более конкретно, предполагаем, что число потребителей N следует геометрическому броуновскому движению с тенденцией (трендовой составляющей или сносом стохастического процесса) и мгновенным стандартным отклонением (волатильностью) о . Таким образом, N описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением
где dBt - приращение стохастического процесса. Рассматриваем ли I (инвестиционные затраты) как функции качества продукции. Задача состоит в таком выборе компанией качества продукции и размера товарного рынка, при которых ожидаемая прибыль фирмы максимальна. Условие максимизации прибыли относительно качества продукции 5 имеет вид л5Ы = 15, тогда как условие для критического размера товарного рынка, при котором фирме оптимально осуществлять инвестирование, лЫ, определяется уравнением лЫ = %1, где
Здесь г - ставка дисконтирования, причем г > ]и . Поскольку Р > 1, то % > 1. Кроме того, параметр Р убывает с ростом неопределенности (характеризуемой волатильностью товарного рынка), и % растет с ростом неопределенности. При о ^ 0 получаем Р ^ да и % ^ 1, что означает, что для
dN = JdNdt + о^В{,
(1)
очень низких уровней неопределенности фирма инвестирует, если стоимость инвестиционного проекта превосходит инвестиционные затраты. Объединяя условия первого порядка максимизации прибыли, получаем £1 = %£л, где £1 и £л обозначают соответственно эластичности инвестиционных затрат и стоимости инвестиционного проекта в расчете на одного потребителя по качеству продукции. Полностью дифференцируя это уравнение по % , получаем
К - £ + (1 “ %)£л] = %%. (2)
где £т и £л обозначают эластичности от I и л , соответственно по каче-
15 л 5 5 5
ству продукции. При сделанных предположениях относительно л и I имеем £т > 0, £л < 0 и £л > 0. Из уравнения (2) непосредственно следует, что
ds
— > 0 и % = 1. Следовательно, увеличение неопределенности приводит к d%
росту качества производимой продукции. Соотношение между неопределенностью и выбором качества продукции в общем случае справедливо для любой функции прибыли, которая достаточно вогнута и любой функции, характеризующей инвестиционные затраты, которая достаточно выпукла, т.е. для
любой функции инвестиционных затрат вида I(5) = а5у при а > 1 и у > 1,
и функции прибыли, удовлетворяющей условию £л <-1, например
л(5) = 1 - -1.
На интуитивном уровне этот результат означает, что более высокая степень неопределенности означает более высокую требуемую доходность инвестиций. Более высокая неопределенность размера товарного рынка означает, что для фирмы оптимально ждать, пока число потребителей увеличится. Поскольку прибыль линейна по размеру товарного рынка (числу потребителей), инвестирование при более высоком числе потребителей не только приносит более высокую прибыль, то также более высокую предельную прибыль. Поскольку функция инвестиционных затрат является выпуклой и
возрастающей, уровень качества продукции, при котором предельная прибыль равна предельным затратам, возрастает. Следовательно, более высокая неопределенность размера товарного рынка оказывает положительное воздействие на выбор фирмой качества продукции. Возможность откладывания инвестирования, наличие неопределенности относительно размера товарного рынка и гибкости в выборе качества продукции позволяют компании-монополисту инвестировать после значительного положительного изменения размера товарного рынка, производя продукции более высокого качества и получая большую прибыль, чем на рынке меньшего размера.
Потребители различаются предпочтениями относительно качества продукции. Описываем потребительские предпочтения следующей функцией полезности и(р, 5) = 05 — р, если потребитель покупает единицу продукции, имеющей качество 5 при цене р, и и = 0, если потребитель не покупает продукцию. Параметр 0 представляет собой параметр потребительских предпочтений, который различается между потребителями; предполагаем, что параметр потребительских предпочтений непрерывно и однородно распределен в интервале [0,1]. Спрос на продукцию равен количеству потребителей с параметром потребительских предпочтений 0, причем 05 > р. Следовательно, функция спроса определяется следующим образом Р
q(р, 5) = N[1-----]. Предполагаем, что предельные инвестиционные затраты,
с, постоянны, и что обеспечение качества продукции 5 требует постоянных инвестиционных затрат I(5), которые возрастают по качеству продукции, так же как и предельные инвестиционные затраты.
Максимизация национального благосостояния
Общественный планирующий орган выбирает цену продукции, качество продукции и момент инвестирования с целью максимизации общественных выгод, которые представляют собой разность между ожидаемой чистой настоящей стоимостью потребительского излишка и производственных за-
трат. Такое представление может быть использовано также при развитии модели для выявления возможностей государственного институционального регулирования рынков с целью стимулирования инвестиционных решений. Обозначим через ря, и N цену и качество продукции, а также размер
товарного рынка, соответствующие задаче максимизации национального благосостояния. Ожидаемые общественные выгоды можно записать в виде
V N. У
N. { 10 — р. М0 + (р. — с)(1 — ^)}
р./
I(5. )
(5)
Максимизация целевой функции (5) относительно ря, 5 я и N. дает сле-
дующие условия
р.
с.
с
У + % У — %
N
а(г — 1л)(у2 — %2)су—1 Г у+% Л
2% V У — %.
Сравнивая решение, соответствующее максимизации общественных выгод с решением, соответствующим оптимальному выбору компании-монополиста, приходим к выводу, что оптимальный выбор качества продукции с точки зрения максимизации общественных выгод совпадает с оптимальным выбором качества компании-монополиста. Однако, тогда как компания-монополист назначает надбавку к цене продукции сверх предельных затрат, оптимальная цена продукции с точки зрения максимизации общественных выгод равна предельным затратам. Кроме того, в рассматриваемом случае линейного спроса на продукцию размер рынка, соответствующий оптимальному началу инвестирования с точки зрения максимизации общественных выгод, составляет половину размера товарного рынка, соответствующего оптимальному началу инвестирования с точки зрения максимизации прибыли компании-монополиста. Причина того, что это критическое значение опциона инвестирования ниже для общественного планирующего органа, чем для компании-монополиста, состоит в том, что потребительский излишек (если
V
У
&
цена продукции равна предельным затратам) выше, чем прибыль компании-монополиста, так что выигрыш, теряемый при откладывании инвестировании, выше для общественного планирующего органа (заметим, что различие между критическими значениями цены, качества продукции и размера рынка, соответствующих оптимальному инвестированию, зависит от различия между общественными выгодами и монопольной прибылью). Следовательно, способность компании-монополиста к откладыванию невозвратных инвестиций в качество продукции не приводит к избыточному или недостаточному фактическому качеству продукции, а лишь к более поздней реализации инвестирования, чем это оптимально с точки зрения максимизации общественных выгод.
В модели без учета неопределенности спроса общественный планирующий орган оптимально устанавливает цену продукции, равную предельным затратам, тогда как оптимальное качество продукции неявно определяется уравнением N5. — 2а(г — (л)у5у+х = Nc2 . Сравнивая этот результат с
выбором оптимального качества продукции компанией-монополистом при отсутствии неопределенности, находим, что, в противоположность результату, полученному в рамках стохастической модели инвестиционного процесса, при отсутствии неопределенности спроса оптимальное качество продукции, соответствующее максимизации общественных выгод, ниже, чем выбор оптимального качества продукции компанией-монополистом. Поскольку в стохастической модели оптимальный выбор качества продукции с точки зрения максимизации общественных выгод совпадает с оптимальным выбором качества компании-монополиста, неопределенность повышает уровень качества продукции, выбираемый монополистом, на большую величину, чем уровень качества продукции с точки зрения максимизации общественных выгод.
Вывод о том, что в стохастической модели возможность откладывания невозвратных инвестиций в качество продукции не приводит к недостаточному качеству продукции, справедлив только при условии, что первоначаль-
ный размер товарного рынка меньше N.. При N > N. с точки зрения максимизации общественных выгод оптимально немедленное инвестирование, и для общественного планирующего органа применима модель при отсутствии неопределенности спроса. В модели при отсутствии неопределенности спроса получаем, что уровень качества продукции растет с ростом размера рынка. Следовательно, общественный планирующий орган выбирает уровень качества, выше чем 5., при N > N..
Оптимальные инвестиционные решения на рынке вертикально дифференцированной дуополии
Рассматриваем непрерывную по времени модель вертикально дифференцированной дуополии, в которой решения фирм о том, когда и сколько инвестировать в качество продукции, определяются эндогенно. В равновесии Штакельберга компания-лидер может предлагать продукцию, качество которой как ниже, так и выше качества продукции компании-последователя. Расписание игры следующее. На первой стадии компания-лидер принимает решение относительно цены, назначаемой ею до вхождения в рынок компании-
последователя (р^), инвестиций в качество продукции (5Ь) и, наконец, критического размера рынка, соответствующего оптимальному инвестированию
(NL). Компания-последователь устанавливает инвестиций в качество про/ F^
дукции (5 ) и критический размер рынка, соответствующий вхождению компании в рынок NF > NL. На второй стадии обе фирмы одновременно ус-
~ L F
танавливают цены в период дуополистической конкуренции ра и ра .
Что касается функций спроса, будем предполагать, что минимальная полезность, получаемая потребителями от покупки продукции, достаточно высока, так что каждый потребитель покупает либо продукцию высокого качества, либо низкого качества. Модифицируем функцию полезности следующим образом и(р, 5) = и0 + 05 — р, где полезность и0 достаточно вы-
сока для того, чтобы обеспечить полное покрытие дуополистического рынка. Обозначим через ^ индивидуальный спрос на продукцию компании-лидера, работающей как монополия до вхождения компании-последователя в рынок. Далее, обозначим через DLd и DFd спрос на продукцию компании-лидера и компании-последователя, соответственно, в период дуополистиче-ской конкуренции. Получаем
_ь
ь
D
1 _ Pd _ Pd ^ _ Pd _ Pd
ь Рра _ РЬ,
DЬ _
_ 5Ь
_ 1 рРа _ рЬ
Dd - 1 Г Ь
5 _ 5
при условии 5ь < . Монопольный спрос на продукцию компании-лидера
определяется выражением Бт _ 1 _
. Ожидаемая прибыль компании-
лидера, л , определяется следующим выражением
ль _
'_м_ у ^ (рЬ _ с) р
V у г _ л
+
ґ N Лр
г _ л
«(5 )
ь\ 7
в котором первое слагаемое представляет дисконтированную прибыль, соответствующую дуополистической конкуренции, второе слагаемое определяет дисконтированную монопольную прибыль, и последняя составляющая описывает дисконтированные инвестиционные затраты. Ожидаемая прибыль компании-последователя имеет вид
лР _
г
V N У
р
г
Ниже сначала анализируются равновесные исходы игры в условиях отсутствия неопределенности спроса, и фирмы инвестируют немедленно, если ожидаемая прибыль положительна. Затем определяются оптимальные инвестиционные решения фирмы-лидера и фирмы-последователя в условиях неопре-
0
ь
деленности спроса, когда фирмы могут откладывать инвестирование. Перед выводом равновесных прибылей анализируются оптимальные решения в предположении, что фирма-лидер производит продукцию более высокого качества, а затем в предположении, что фирма-последователь производит продукцию более высокого качества.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда компания-лидер предлагает продукцию относительно более высокого качества. Компания-последователь выбирает уровень качества продукции и момент инвестирования. Если компания-последователь производит продукцию более низкого качества, ее ожидаемая прибыль определяется выражением
пр -
N
9(Г - м)
Вычисляя частную производную от функции ожидаемой прибыли компании-последователя по критическому уровню прибыли, соответствующему началу инвестирования, получаем
Тг АП „М \У
(6)
( N Л М 1 L - - 1 аР(У"
N _ 9(г - м)
Анализ показывает, что частная производная от функции ожидаемой прибыли компании-последователя по ее уровню качества продукции отрицательна для каждого критического уровня прибыли, так что компания-последователь
максимизирует свою ожидаемую прибыль, полагая - 0. Следовательно, компания-последователь в оптимуме инвестирует насколько возможно рано, что означает, что она инвестирует сразу после компании-лидера. В этом случае на рынке практически мгновенно будет иметь место дуополистическая конкуренция, так что монопольной прибылью компании-лидера можно пренебречь. Поскольку частная производная от ожидаемой прибыли компании-лидера по NL также отрицательна, компания-лидер будет инвестировать немедленно. Это означает, что опцион ожидания инвестирования отсутствует
и для компании-лидера, и для компании-последователя. Оптимальные уровни
1
качества продукции составляют б1 -
4 N
7 1 ~р п
и б - 0.
ч 9ссу(г- м) у
Рассмотрим теперь ситуацию, когда компания-лидер предлагает продукцию относительно более низкого качества. Компания-последователь максимизирует свою ожидаемую прибыль относительно б и N . Из условий первого порядка можно записать выбор компании-последователя следующим образом
Ы = 9а(г- м)77 (^)7-1 =
4(7-£)7-1 , 7-£ '
Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом сценарии степень диффе-
зр
ренциации продукции, определяемая как -г-, возрастает с ростом неопределенности. Используя (7), можно записать ожидаемую прибыль компании-последователя следующим образом
( 4N(7-е)7-1 ЛГ
9а(т - м)77 (б1 )7 1 у
7б
7-£
а(£ -1). (8)
V/ V
Хотя ожидаемая прибыль компании-последователя, очевидно, зависит от качества продукции компании-лидера, можно вывести зависимость ожидаемой прибыли компании-последователя для максимального уровня неопределенности. Неопределенность ограничена условием £ < 7. Выведем выражение для ожидаемой прибыли компании-последователя при £ ^ 7. Положим х - 7 - £ , что означает, что (7 - 1)П = 7 + Х(Р -1). Из уравнения (8) следует, что ожидаемой прибыли компании-последователя для неопределенности, приближающейся к максимальному уровню, можно записать следующим образом
7
4 N
\
9а7(т- м)
7 - 1
а(7-Г). (9)
Компания-лидер максимизирует свою ожидаемую прибыль относительно цены продукции, качества продукции и критического значения N. Ожидаемая прибыль записывается в виде
( 4 N (у _ £)г-1 ^ Р Ь уз у ^(рЬ _ с)(зЬ _ рЬ + щ)
[ 9а(г _ М)уу (зЬ )у-1 ) 4 у 1 1 Ь _ г( _
+
+
N
\р
N (Рт _ с)(3 _ Рт + Ыо) _ фЬ у
(г _ ц)/
Если компания-лидер производит продукцию относительно более низкого качества, у компании-последователя существует опцион ожидания инвестирования для производства продукции более высокого качества. Из уравнения (7) следует, что степень дифференциации продукции и, следовательно, инвестиционные затраты и интервал времени между инвестированием обеих компаний возрастают с ростом неопределенности. Если неопределенность приближается к своему максимальному значению, прибыль компании-последователя определяется выражением (9). В то же время компания-лидер может получать монопольную прибыль в течение этого интервала времени. Поскольку прибыль компании-лидера выше прибыли компании-последователя, компания-лидер получает более высокую прибыль, когда она производит продукцию относительно более низкого качества, чем продукцию более высокого качества (в последнем случае компания-лидер получает только прибыль, определяемую (9)). Поскольку стоимость опциона инвестирования (и функции прибыли) являются непрерывными функциями неопределенности, компания-лидер оптимально выбирает производство продукции более низкого качества при достаточно высоком уровне неопределенности. Если неопределенность спроса ниже этого порогового значения, период получения монопольной прибыли недостаточно продолжителен для компенсации невыгодности предложения продукцию более низкого качества. В этом случае компания-лидер оптимально предлагает продукцию более высокого качества.
Литература
1. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. - СПб: «ПИТЕР», 2000.
2. Бирман Г, Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. Пер. с англ. - М.: «Банки и биржи», «ЮНИТИ», 1997.
3. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. - Princeton University Press, 1994.
