CC BY
29
Моделирование и оптимизация инновационно-инвестиционных стратегий в
стохастических условиях Дата: 30/06/2010 Номер: (22) УЭкС, 2/2010
Аннотация: Для исследования стратегических взаимодействий между фирмами в условиях конкуренции и неопределенности предложена модель товарного рынка как дуополии со стохастическим параметром спроса. Выведены стоимости опционов инвестирования, оптимальные инвестиционные пороги и оптимальные моменты инвестирования для фирмы-лидера и фирмы-последователя.
Abstract: In order to capture the effect of strategic interactions among the firms operating in an imperfectly competitive and uncertain environment we model the product market as a duopoly with a stochastic demand parameter. The values of investment options, optimal investment thresholds and optimal timing of investment for the leader and the follower are derived.
Ключевые слова: дуополистическая конкуренция, инвестиции, инновации,
оптимизация
Keywords: duopolistic competition, investments, innovations, optimization
Матвеев Роман Иванович кандидат экономических наук, доцент Кисловодский институт экономики и права
Выходные данные статьи: Матвеев Р.И. Моделирование и оптимизация
инновационно-инвестиционных стратегий в стохастических условиях // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2010. - № 2 (22). - № гос. рег. статьи 0421000034/. - Режим доступа к журн.: http://uecs.mcnip.ru.
Введение
Корпоративные инвестиционные возможности могут быть представлены как набор (реальных) опционов (возможностей) для приобретения производственных активов. Текущие величины денежных потоков, генерируемых этими активами, неопределенны, и их эволюция может быть описана стохастическими процессами. Поэтому определение оптимальных стратегий исполнения для реальных опционов играет принципиальную роль в бюджетировании капиталовложений и в максимизации прибыли фирмы. В условиях совершенной конкуренции или монополистической рыночной структуры современная теория инвестирования в условиях неопределенности [1,2] предсказывает, что интервал времени до момента осуществления инвестирования увеличивается с ростом неопределенности. Это объясняется тем, что инвестирование необратимо (инвестиционные затраты
невозвратны), и фирма имеет возможность (опцион) откладывания момента инвестирования до появления новой информации. Однако, если (/) один и тот же инвестиционный проект могут осуществить две фирмы (несколько фирм) и (//) инвестиционные решения фирмы непосредственно влияют на прибыли конкурента (конкурентов), могут возникнуть ситуации, когда увеличение неопределенности влияет на момент инвестирования противоположным образом. Во-первых, увеличение неопределенности увеличивает стоимость опциона инвестирования фирмы. Во-вторых, стоимость более раннего стратегического инвестирования (осуществляемого в условиях конкуренции с целью получения преимуществ первого хода) может также существенно увеличиться.
Целью настоящей работы является исследование эффектов несовершенной конкуренции на оптимальные стратегии исполнения реальных опционов в ситуации, когда затраты исполнения опционов различаются между фирмами. Такая постановка, которая ослабляет весьма ограничивающее предположение об идентичности фирм-соперников на дуополистическом рынке, мотивирована существованием многочисленных источников потенциальной асимметрии инвестиционных затрат. Во-первых, асимметрия инвестиционных затрат фирм имеет место, если фирмы имеют различный доступ к рынкам капитала. В этом случае стоимость капитала фирмы, ограниченной в ликвидных средствах, выше, чем у фирмы-соперника, имеющей доступ к кредитным линиям или обладающей значительным резервом денежных средств. Следовательно, инвестиционные затраты фирмы, сталкивающейся с несовершенствами рынка капитала, выше.
Кроме того, асимметрия инвестиционных затрат фирм имеет место, если фирмы демонстрируют различную степень организационной гибкости в применении новой производственной технологии. Эта гибкость, известная также как способность фирмы воспринимать новые производственные мощности, измеряет способность фирмы к внедрению новых технологий, к приспособлению к изменению экономической среды и к инновационной деятельности. Более высокая способность фирмы воспринимать новые производственные мощности поэтому эквивалентна более низким затратам, связанным с осуществлением инвестиционного проекта.
Различие реальных опционов, связанных с существующими активами фирм, приобретенных в процессе предшествующих решений, являются другим источником асимметрии инвестиционных затрат фирм. После появления инновационной технологии может оказаться, что некоторые из существующих технологий лучше могут быть адаптированы к внедрению новой технологии, чем другие. Например, в [1] отмечается, что в 70-х годах прошлого века некоторые фирмы инвестировали в электронно управляемые производственные мощности. Это инвестирование не привело к существенному увеличению прибылей фирм. Однако, после появления микропроцессорных технологий в 80-х годах прошлого века фирмы, инвестировавшие в электронно управляемые производственные мощности, оказались способными внедрить инновационную технологию более быстро и при меньших затратах.
Наконец, различие инвестиционных затрат фирм часто является следствием чисто внешних факторов, например, вмешательства органов власти. Например, инвестиционные затраты фирм снижаются после получения государственных кредитных гарантий, приводящих к снижению цены капитала.
Экономико-математическая модель
Исследование проводилось на основе следующей экономико-математической стохастической модели инвестирования в условиях дуополистической конкуренции. Две фирмы, характеризующиеся нейтральным отношением к риску, конкурируют на товарном рынке в условиях неопределенности спроса и несовершенной конкуренции. Неопределенность прибылей фирм описывается геометрическим броуновским движением [3]
£&(/) = аэс(/)Л + ссе(/)<Лі>(/)
МО.
где « - тенденция, о- - волатильность, V / - приращение винеровского случайного процесса. Пусть г - детерминированная мгновенно безрисковая процентная ставка. Неопределенность в функции, описывающей прибыль, входит мультипликативно.
Мгновенная прибыль фирмы ‘ выражается следующим образом
где, для
(0 -
если фирма к не инвестировала если фирма к инвестировала
п
■> описывает детерминированный вклад в функцию прибыли, причем
\ ^ /?пп; -^1 1 ^ 1)пп ^ Лп 1 илпопаттл'гпл -^т ^ -^П
Функция
-°ю > Ао > -°оо^ -°и > » у-^оо >■ *Л» Неравенство ■^'10 означает, что
прибыль фирмы, инвестирующей первой, превосходит при прочих равных условиях первоначальную прибыль. Кроме того, это инвестирование приводит к относительному снижению прибыли фирмы, которая к рассматриваемому моменту не осуществила инвестирование в проект, т.е. -°оо>-°о1. Наконец, инвестирование фирмой-последователем «вдогонку» за лидером увеличивает ее прибыль, так что
1 > 1>п
'11 "^01, однако в то же самое время приводит к снижению прибыли лидера, т.е. Х)ц < Г>10
Последнее неравенство означает, что между фирмами присутствуют отрицательные экстерналии. Предложенная общая постановка в частных случаях может соответствовать дуополии Курно или Штакельберга.
через Г1. Без потери общности
Обозначим инвестиционные затраты фирмы нормируем инвестиционные затраты так, что 1у=1 (инвестиционные затраты фирмы с низким уровнем издержек), а = .
Существуют три возможности относительного времени инвестирования двумя конкурирующими фирмами. Во-первых, фирма ‘ может инвестировать первой и стать лидером. Напротив, фирма может инвестировать раньше фирмы *, и тогда фирма ‘ станет последователем. Наконец, фирмы могут инвестировать одновременно. Вычислим прибыли фирм, соответствующие упомянутым выше трем ситуациям. Следуя стандартному подходу анализа динамических игр, проанализируем задачу методом обратной индукции во времени. Сначала выведем оптимальную стратегию фирмы-последователя, которая принимает стратегию лидера как данную. Далее
проанализируем оптимальное решение фирмы-лидера. В последнюю очередь исследуем случай совместного инвестирования.
Рассмотрим инвестиционное решение последователя (фирмы *) в момент *, где { -
момент инвестирования лидера (фирмы Фирма * предпримет инвестирование, если прибыли достаточно высоки, т.е. если случайный процесс х превзойдет
некоторое пороговое значение, обозначаемое 1 . Определение ' эквивалентно определению оптимальной стратегии исполнения опциона инвестирования. При
дс(0
капитал фирмы 1 как последователя определяется следующим образом
І
’И
л
Л
(2)
где
Т* =іпГ(//х>^)
. Реализация
соответствует оптимальному
А
х? =
инвестиционному порогу последователя больший из корней квадратного уравнения 2
Р\ 1 Аі Ац а Л -
і сг}/}{р і) + а/і г = О
Первый интеграл в выражении (2) соответствует современному значению прибылей, получаемых до осуществления инвестирования. Вторая составляющая (2) описывает текущее значение прибылей, полученных после осуществления инвестирования за вычетом соответствующих инвестиционных затрат.
Решая дифференциальное уравнение, описывающее динамику капитала фирмы ‘ с соответствующими условиями непрерывности, гладкого склеивания и отсутствия финансовых пузырей (т.е. отсутствия неограниченного роста капитала фирмы), приходим к следующему выражению для капитала фирмы ‘ как последователя в момент *
(1)
Выражение (1) интерпретируется следующим образом. Первая строка представляет собой текущее значение прибылей в том случае, когда последователь не инвестирует немедленно. Первое слагаемое есть выигрыш в случае, если последователь вообще отказывается от инвестирования, а второе слагаемое есть величина опциона инвестирования. Вторая строка соответствует текущему значению возросших денежных потоков, вызванных немедленным инвестированием за вычетом инвестиционных затрат.
Используя результаты решения задачи для фирмы-последователя, можно выразить капитал фирмы * в момент * как лидера следующим образом
(2)
Первая строка выражения (2) представляет собой чистое современное значение прибылей до того, как последователь осуществил инвестирование, за вычетом текущего значения будущих прибылей, потерянных благодаря инвестированию последователя. Вторая строка соответствует чистому современному (текущему) значению прибылей в ситуации, когда для последователя оптимальным решением является немедленное инвестирование.
Может оказаться, что фирмы, несмотря на асимметрию инвестиционных затрат, решат инвестировать одновременно. Капитал фирмы ' в момент * при условии, что инвестирование осуществляется одновременно, определяется выражением
(3)
Вторая строка в выражении (3) соответствует капиталу фирмы, если одновременное инвестирование осуществляется немедленно. В этом случае обозначаем капитал
фирмы ' через
у-? Л_Л жг/ Л-Л
* '. Следовательно, отличие * ' ' по сравнению с • '
состоит
в том,
что
представляет стоимость одновременного немедленного
инвестирования, в то время как инвестирования.
есть стоимость оптимального одновременного
Анализ типов равновесия, соответствующих различным инвестиционным стратегиям
Проанализирована оптимальная стратегия исполнения реальных опционов фирм, конкурирующих в рамках дуополии. Обе фирмы имеют возможность инвестирования, увеличивающую при прочих равных условиях поток прибыли. Если одна из фирм инвестирует, выигрыш фирмы-соперника снижается. Это соответствует, например, ситуации, когда инвестирование дает фирме возможность производить более экономически эффективно и поэтому дешевле. Фирмы различаются только затратами, необходимыми для осуществления инвестирования. Доказано, что в модели присутствуют три различных типа равновесных инвестиционных стратегий. Во-первых, если асимметрия инвестиционных затрат фирм достаточно невелика, и имеет место преимущество первого хода, фирмы инвестируют одновременно. Если преимущество первого хода достаточно велико, фирма, характеризующаяся более низкими инвестиционными затратами, опережает в инвестировании фирму, характеризующуюся более высокими инвестиционными затратами. В ситуации, когда и преимущество первого хода, и асимметрия инвестиционных затрат фирм значительны, фирмы осуществляют свои опционы инвестирования последовательно, и
их моменты исполнения инвестиционных опционов не влияют непосредственно друг на друга.
Анализ показывает, что существует единственное значение * = * равное
(4)
которое разделяет области равновесия в последовательных стратегиях и доминантных
стратегиях. При
фирма 1 должна принимать в расчет возможное опережение в
инвестировании фирмой 2, в то время как при последовательно на своих оптимальных порогах.
к >*
фирмы всегда инвестируют
На интуитивном уровне это утверждение устанавливает существование граничного уровня невыгодного положения фирмы 2, связанного с относительно более высокими инвестиционными затратами, выше которого фирма 1 может действовать как монополист при исполнении своего инвестиционного опциона.
Другой тип равновесия есть равновесие в одновременных стратегиях. В этом случае две фирмы инвестируют в один и тот же момент времени. В равновесии в одновременных стратегиях одна из фирм должна применить стратегию, которая не оптимизирует ее выигрыш безусловно (заметим, что оптимальные пороги совместного инвестирования различаются). Поскольку оптимальный порог инвестирования фирмы
1 ниже соответствующего оптимального инвестиционного порога фирмы 2, единственным вариантом одновременного инвестиционного порога является значение
А V
А-іАі-А]
определяемое выражением 11 — оо дЛя осуществления
одновременного инвестирования выигрыш фирмы 1, связанный с ее пребыванием в качестве лидера, должен быть ниже выигрыша, являющегося результатом
х! . В противном случае фирма 1
одновременного инвестирования при
будет
инвестировать либо при Х1 , либо при хз (в зависимости от уровня асимметрии инвестиционных затрат между фирмами). Кроме того, инвестиционный порог фирмы
2 как последователя должен быть ниже х! . Другими словами, фирма 2 должна найти
более выгодным ответить на инвестирование фирмой 1 при Х1 немедленным
инвестированием, чем откладыванием инвестирования. В противном случае фирма 2
г
будет инвестировать как последователь при 2 . Анализ показывает, что фирма 2 предпочитает одновременное инвестирование позиции последователя.
Возникновение конкретного типа равновесия определяется соотношением между относительными выигрышами, которые в свою очередь зависят от уровня асимметрии издержек, преимущества первого хода лидера и таких параметров рынка, как волатильность, скорость роста спроса и краткосрочная процентная ставка. Выше установлено граничное значение параметра *, характеризующего асимметричность инвестиционных затрат, которое разделяет области равновесия в доминантных и последовательных стратегиях. Определим область, в которой возникает равновесие в одновременных стратегиях. Для решения этой задачи определим функцию
пМ = V?(*)- функция ^(х)
может интерпретироваться как изменение
капитала фирмы ', связанное с отказом от немедленного инвестирования в качестве лидера в пользу одновременной инвестиционной стратегии. Если минимум функции
*71 положителен, указанное изменение положительно, и поэтому равновесие в одновременных стратегиях возникает. Другими словами, для реализации равновесия в одновременных стратегиях требуется, чтобы фирма 1 была всегда в выигрыше при
совместном инвестировании на своем оптимальном инвестиционном пороге Х1 по сравнению с положением лидера. В противном случае возникает равновесие в последовательных или в доминантных стратегиях. Доказано, что существует единственное значение * = * >1, равное
(5)
которое определяет области инвестиционного равновесия в одновременных стратегиях и инвестиционного равновесия в последовательных и доминантных стратегиях. При условии * < * результирующее равновесие есть равновесие в одновременных стратегиях, а при возникает равновесие в последовательных и
доминантных стратегиях. Это означает, что при относительно высокой степени
асимметрии инвестиционных затрат между фирмами (для заданного набора °»иА) инвестиционное равновесие в одновременных стратегиях не оптимально, и возникает либо равновесие в последовательных, либо в доминантных стратегиях.
Заключение
Итак, в работе построена стохастическая модель реального инвестирования в непрерывном времени в условиях случайных колебаний прибыли фирм, конкурирующих в рамках несимметричной дуополии, позволяющая определять оптимальные инвестиционные стратегии фирмы с учетом воздействия инвестиционного решения конкурента. Выведены стоимости опционов инвестирования, оптимальные инвестиционные пороги и оптимальные моменты инвестирования для фирмы-лидера, фирмы-последователя и для фирм, инвестирующих одновременно. Доказано существование трех типов равновесия, которые могут возникнуть при выборе инвестиционных стратегий, а именно равновесия в доминантных, последовательных и одновременных стратегиях. Исследованы характеристики каждого типа равновесия, что позволило выяснить условия возникновения каждого из типов равновесия в зависимости от степени асимметрии инвестиционных затрат фирм, преимущества первого хода лидера и таких параметров рынка, как волатильность, скорость роста спроса и краткосрочная процентная ставка. Установлено, что оптимальные инвестиционные пороги фирмы-лидера и фирмы-последователя, а также критическое значение опциона, соответствующее одновременному инвестированию, возрастают с ростом волатильности прибыли фирм.
Библиографический список
1. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. -Princeton University Press, 1994. - 468 р.
2. Аркин В.И., Сластников А.Д., Аркина С.В. Инвестирование в условиях неопределенности и задачи оптимальной остановки // Обозрение прикладной и
промышленной математики. - 2004. - Т. 11, выпуск 1. - С. 3-33.
3. Наталуха И.Г. Стратегии оптимального хеджирования инфляционного риска в стохастических инвестиционных условиях // Финансы и кредит. - 2006. - № 9 (213). - С. 26-29.
№ гос. рег. статьи 0421000034/
Это статья Управление экономическими системами: электронный научный журнал
http ://uecs.mcnip.ru
URL этой статьи: http://uecs.mcnip.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=170
