Моделирование корпоративных инвестиционных стратегий в условиях конкуренции Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОРПОРАТИВНЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ В УСЛОВИЯХ КОНКУРЕНЦИИ

Малютина Татьяна Дмитриевна,

аспирантка Кисловодского института экономики и права;

e-mail: in63@mail.ru

Аннотация: В работе построена экономико-математическая модель инвестиционного процесса в непрерывном времени с учетом неопределенности и преимущества, получаемого инвестором в результате более раннего инвестирования по сравнению с остальными потенциальными инвесторами.

Ключевые слова: модель, инвестиции, неопределенность, оптимизация

Abstract. In this paper we develop mathematical model of an investment process in continuous time taking account of an uncertainty and an advantage, obtained by more early investor as compared with other potential investors.

Keywords: model, investments, uncertainty, optimization

Введение

Одно из наиболее распространенных и важных решений, которые принимают предприятия, связано с инвестициями в новый капитал. Будущий поток денежных средств, который приносят реальные инвестиции, часто отличается неопределенностью. Поэтому модели инвестиционных проектов должны учитывать факторы неопределенности, связанные со случайными колебаниями спроса и рыночных цен на планируемый выпуск продукции и затрачиваемые ресурсы, в том числе на инвестиционные ресурсы, необходи-

мые для создания предприятия. Учет этих факторов ведет к необходимости моделировать финансовые потоки, связанные с функционированием будущей фирмы, как случайные процессы [1-3].

Экономико-математическая модель, предлагаемая в настоящей работе, учитывает три важнейшие черты инвестиционного процесса в условиях неопределенности и конкуренции:

1. неопределенность, необратимость и возможность откладывания осуществления инвестиций;

2. инвестиционные экстерналии с учетом того, что доход по инвестициям зависит от числа инвесторов и последовательности, в которой они осуществляют инвестиции;

3. преимущество, которое получает инвестор в результате более раннего инвестирования по сравнению с остальными потенциальными инвесторами, которое может быть устойчивым.

Экономико-математическая модель инвестиционного процесса

Две фирмы, обозначаемые i е {1,2}, характеризуются нейтральным отношением к риску, конкурируют на товарном рынке и получают стохастические потоки прибыли. Предположение о том, что фирмы характеризуются нейтральным отношением к риску, означает, что для них действительно следующее: полезность значения ожидаемых результатов лотереи равна значению ожидаемой полезности результатов лотереи, т.е. разброс результатов лотереи в окрестности ожидаемого значения (признак существования рисков) не имеет никакого влияния на ожидаемую полезность. Предполагается, что возможность инвестирования фирм имеется в любой момент времени t е [0, да), и структура соответствующей прибыли может измениться в результате действий фирмы-соперника. Поэтому возможность инвестирования может моделироваться как непрерывный американский опцион с выплатой, определяемой эндогенно. Инвестиционные затраты фирм составляют К > 0 . Наконец, предположим, что начальная реализация случайного процесса, ле-

жащего в основе прибылей обеих фирм, 9(0), достаточно низка, так что немедленное инвестирование не является оптимальным (немедленное инвестирование оптимально в случае достаточно высокой начальной реализации стохастического процесса 9{). Момент инвестирования является важнейшим

аспектом анализа. Существуют две возможности относительного времени инвестирования двумя конкурирующими фирмами. Инвестирование двух фирм может произойти последовательно (т.е. фирмы инвестируют в различные моменты времени) или одновременно.

Рассмотрим сначала ситуацию, в которой фирмы инвестируют последовательно. Будем называть инвестора, первого осуществившего инвестиции, лидером, а второго инвестора последователем. Стохастический поток прибыли фирмы-лидера в момент t после инвестирования, но до момента инвестирования фирмы-последователя, обозначаем л[ = 9{, где 9Г - ав-

тономная прибыль от инвестирования (т.е. прибыль от инвестирования, полученная фирмой при условии, что она является единственным инвестором). После инвестирования фирмы-последователя поток прибыли фирмы-лидера

становится л^ = (1 + 8Ь )9Г. Поток прибыли фирмы-последователя в момент

t после инвестирования записываем в виде л2 = (1 + 8Р )9Г. Теперь рассмотрим ситуацию, когда фирмы инвестируют одновременно. Поток прибыли в момент t после инвестирования одинаков для обеих фирм лш = (1 + 88 9.

Особый интерес для анализа представляют ситуации, в которых возникает преимущество, полученное инвестором в результате более раннего инвестирования по сравнению с остальными потенциальными инвесторами, т.е. ситуации, в которых относительная прибыль фирмы, инвестирующей первой, достаточно велика. Сделаем поэтому следующие предположения относительно параметров 8Ь, 8Р и 88.

Предположение 1. Параметры 8Ь, 8Р и 88 удовлетворяют неравенствам -1 < 8Р < 8Ь < 0 и -1 < 88 < 0, которые соответствуют следующему:

1. инвестирование выгодно для фирмы-последователя;

2. имеется преимущество, полученное инвестором в результате более раннего инвестирования по сравнению с остальными потенциальными инвесторами, которое может быть устойчивым;

3. потоки прибыли в случае, когда обе фирмы инвестируют, меньше, чем монопольная прибыль.

Неопределенность прибыли фирм описывается геометрическим броуновским движением

d9t = 1л9^ + <J9tdWt (1)

где ц е [0, г) - мгновенная тенденция (тренд стохастического винеровского

процесса (1),) измеряющая ожидаемую скорость роста 9, г - ставка дисконтирования, J > 0 - мгновенное среднее квадратическое отклонение (волатильность стохастического процесса), dWt - приращение винеровского случайного процесса.

Целью дальнейшего анализа является определение пороговых значений стохастической переменной 9 (триггер-точек 9Р), таких, что такой, что продолжение откладывания инвестирования оптимально при 9 < 9Р, и немедленное инвестирование оптимально при 9 > 9Р. Оптимальное время остановки ТР тогда определяется как первый момент, когда стохастический процесс 9 входит в интервал [9Р, да) снизу. Условие неоптимальности мгновенного инвестирования (низкий ожидаемый доход от мгновенного инвести-

да

рования) имеет вид Е[ | ехр(-^)9^] - К < 0.

0

Равновесие в доминантных стратегиях.

В этом разделе изучены два типа равновесия, соответствующие последовательному (равновесие в доминантных стратегиях) и одновременному инвестированию фирм, и выведено необходимое и достаточное условие реализации одновременного инвестирования в равновесии.

Стандартным подходом, используемым для решения динамических игр, является метод обратной индукции по времени. Поэтому начнем с определения оптимальной стратегии фирмы-последователя, которая инвестирует строго после фирмы-лидера. Далее будет проанализировано оптимальное инвестиционное решение фирмы-лидера. Фирма-последователь получает прибыль по проекту (1 + 8Р 9 за вычетом инвестиционных затрат (— К). Стоимость опциона инвестирования фирмы-последователя Р(9) включает две составляющие, соответствующие различным интервалам изменения 9 : одна из них определяет стоимость опциона инвестирования фирмы-последователя до, а другая после инвестирования. Обозначим функции стоимости проекта фирмы-последователя до и после инвестирования, соответственно, через Р0 и Р1. До момента инвестирования фирма-последователь имеет опцион инвестирования, однако не получает дохода. В этой области (областью наблюдения за ожидаемой прибылью) в любой малый временной интервал dt с момента времени t фирма-последователь получает прирост или убыток капитала dР0. Уравнение Беллмана для стоимости опциона инвестирования поэтому имеет вид

Р0 = ехр(—^) Е [ Р0 + dРo]. (2)

Используя лемму Ито и уравнении для геометрического броуновского движения (1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

2 J2в2 РТ(9) + 90(9) — гР0(9) = 0. (3)

Из уравнения (1) видно, что если 9 когда-либо принимает значение 9 = 0, оно остается нулевым всегда. Следовательно, опцион инвестирования не имеет стоимости при 9 = 0 , и должно удовлетворять граничному условию Р0 = 0. Решение дифференциального уравнения (3) при таком граничном

условии имеет вид Р0 = ЬР9р, где ЬР - положительная постоянная, и @ > 1 -положительный корень квадратного уравнения

Рассмотрим теперь стоимость опциона инвестирования фирмы-последователя в «области остановки», в которой величина 9 такова, что оптимально немедленное инвестирование. Поскольку инвестиции предполагаются невозвратными, стоимость опциона инвестирования фирмы-последователя в «области остановки» определяется только ожидаемой стоимостью без опционных составляющих. Существуют две возможности. В первом случае фирма-последователь инвестирует сразу после фирмы-лидера. Если значение переменной состояния в момент t составляет 9{, функция стоимости фирмы-последователя в этом случае имеет вид

Во второй ситуации фирма-последователь инвестирует в тот же самый момент, что и фирма-лидер. В этом случае функция стоимости фирмы-последователя определяется следующим образом

Граница между областью наблюдения за ожидаемой прибылью и областью остановки определяется триггер-точкой 9Р , такой, что продолжение откладывания инвестирования оптимально при 9 < 9Р, и немедленное инвестирование оптимально при 9 > 9Р . Оптимальное время остановки ТР тогда оп-

да

Р1(9) = Е |ехР[—г(т — t)](1 + 8р )9^т — К ,

так что

(4)

ределяется как первый момент, когда стохастический процесс 9 входит в интервал [9Р, да) снизу.

Объединяя решение для области наблюдения за ожидаемой прибылью и области остановки, получаем, что функция стоимости фирмы-последователя определяется следующим образом

Р (9) =

Ър9р.,

9 < 9

р

(1 + 8р )9

(6)

9 > 9

г — м

р

при условии, что фирма-лидер инвестирует в некоторый момент 9' < 9Р. где Р определяется следующим образом

1 м )2 2г ,

+ —г > 1. а2

2 а2;

Значение 9Р представляет собой оптимальную точку инвестирования фирмы-последователя. Критическое значение 9, 9Р должно удовлетворять условиям непрерывности и «гладкого склеивания» (непрерывной дифференцируемости). Указанные условия имеют вид

9Р =---------Р—------------------------------(г — м), (7)

Р (Р —1)(1 + 8р )К "

Ър =

(1 + 8р )9р—(Р—1)

р(г — м)

Уравнение (7) для порога инвестирования фирмы-последователя можно интерпретировать как эффективные инвестиционные затраты, скорректированные с учетом неопределенности.

Для фирмы, инвестирующей первой, существуют две возможности. Первая состоит в том, что эта фирма инвестирует при 9 < 9Р , т.е. в некоторый момент t < ТР. В этом случае имеются две компоненты функции стои-

мости фирмы, соответствующие различным интервалам в. Первая компонента, L1, возникает после того, как фирма-лидер инвестировала, однако до инвестирования фирмы-последователя. Вторая компонента L2 возни-

кает после инвестирования фирмы-последователя. Вторая компонента эквивалентна функции стоимости фирмы-последователя, определенной выше. Первая компонента выводится ниже.

После того, как фирма-лидер инвестировала, ее прибыль определяется ожидаемой стоимостью инвестиционного проекта. Эта прибыль, однако, испытывает воздействие инвестирования фирмы-последователя в более поздний момент времени вР. С учетом последующего инвестирования фирмы-последователя пост-инновационная прибыль фирмы-лидера определяется следующим образом

А(в ) = Е,

| ехр[-г(т -,)]в^т + | ехр[-г(т -,)](1 + 81 )в^т - К

Те

(8)

х

После преобразования получаем

в ТуГ в ^гвЕ вг 1 пд

—х---------К + ^—= —х---------------К + Ьв .

г - {Л вр г - {Л г - {Л

Первая составляющая функции стоимости L1 определяет ожидаемую стоимость инвестирования до того, как инвестирует фирма-последователь, тогда как вторая составляющая имеет характер опциона и отражает стоимость для фирмы-лидера будущего инвестирования фирмы-последователя.

Вторая возможность для фирмы, инвестирующей первой, состоит в том, что она инвестирует при некотором значении в > вР, т.е. при , > Тр . В этом случае пост-инновационная прибыль фирмы-лидера определяется следующим образом

(1 + §s )в

L2(вt) = Е(

|ехр[-г(т - ,)](1 + SS )втdт - К

г - л

(9)

Объединяя решение для области наблюдения за ожидаемой прибылью и области остановки, получаем, что функция стоимости L(в) фирмы-лидера определяется следующим образом

в

--------К + Ььвр, ве [0, вР)

г - л

(10)

при условии, что фирма-последователь инвестирует при вР. Составляющая

данием возможного инвестирования фирмы-последователя. Анализ показывает, что

т.е. инвестирование фирмы-последователя (как и следовало ожидать) снижает стоимость опциона инвестирования фирмы-лидера.

Следующее Утверждение описывает равновесие в доминантных стратегиях.

Утверждение. При равновесии в доминантных стратегиях фирма-лидер инвестирует на инвестиционном пороге вр, а фирма-последователь на пороге вР > вр . Значение вр является единственным решением уравнения

Ь1вр представляет собой эффект опциона инвестирования, связанный с ожи-

Ьь _-±-р------< 0,

г - л

/ \Р

вр - вм _ 1 1 + $р - Р$ь Г^1

вм д -1 1 + др 1вр У

(11)

в интервале (0, вь ), где вм _ К (г - л) - статический инвестиционный порог, а вь _ —— (г - л) - порог инвестирования единственной фирмы в ус-( -1

ловиях неопределенности.

Доказательство. Равновесная точка инвестирования фирмы-

последователя вР определяется уравнением (7). Выведем выражение для точки инвестирования фирмы-лидера. Определим функцию

в

А (в) _^^-К -г - л

Р

1 - (дь + др К (12)

1 + др (- Г ( )

представляющую разность

L(в) - Р (в),

где L(в) соответствует тому, что фирма-лидер инвестировала, а Р (в) - тому, что фирма-лидер инвестировала, а фирма-последователь не инвестировала. Имеются три возможности, состоящие в том, что имеется (1) ни одного, (2) один и (3) несколько корней выражения (12). Используем следующие свойства функции А(в): эта функция непрерывно дифференцируема по в,

А(0) _-К < 0,

А (в) < 0

при всех значениях в < в0, а также А(вь ) > 0 и вь < вР. Свойство А(вь ) > 0 требует доказательства. Используя определение

р (К г л

вг _------------(г - л).

получаем

А (в,) _

К

(( -1)(1 + др )

(д,

чл (

\вР J

+ (1 + д р )

1

чл

\вР J

/Л

Поскольку д, > дР > -1, то

А(в,)>

К

(( -1)(1 + др )

(д

р

+ (1 + д р )

1 -

К

( -1

[(др (1 + др )(-1 +1 - (1 + др )(].

Положим

ф(8р) _ (др (1 + др )(-1 +1 - (1 + др)(.

Заметим, что ф(0) _ 0. Производная

Ф'(др) _ (((- 1)др (1+др (2 равна нулю, если -1 < дР < (_)0 . Следовательно, ф(дР) > 0 для всех значений дР е (-1,0). Следовательно, А (в, ) > 0 для всех дР е (-1,0).

Следовательно, существует значение вр < в,, такое, что А(вр) _ 0, и А(в) меньше (больше) нуля для значений в, меньших (больших) вр. Убедимся, что такое значение вр только одно в интервале (0, в,). Чтобы убедиться в этом, заметим, что

1 - (д, + дР > 0,

поскольку д, < 0 и дР >-1. Следовательно, функция А(в) вогнутая, и А (в,) > 0 . Следовательно, уравнение

А (в) _ 0

имеет единственное решение вр в интервале (0, в,). Следовательно, в последовательном равновесии ни одна из фирм не инвестирует при в е [в0, вр ).

При 6 = 9P < 6L инвестирует фирма-лидер, при 6F > 6P инвестирует фирма-последователь .

При равновесии в доминантных стратегиях фирма-лидер не может выбрать инвестиционный порог оптимально, как фирма-последователь. Инвестиционный порог фирмы, инвестирующей первой, определяется безразличием между выбором фирмой ролей лидера и последователя, т.е. 6Р при равновесии в доминантных стратегиях определяется равенством

L(6p ) = F (вр ).

В этом состоит отличие от инвестиционного порога фирмы-последователя, который определяется условиями непрерывности и «гладкого склеивания» (непрерывной дифференцируемости), т.е. выбирается оптимально.

Литература

1. Холт Р., Барнес С. Планирование инвестиций. Пер. с англ. - М.: «Дело ЛТД», 1994.

2. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1998.

3. McDonald, R.L., Siegel, D.R., 1986. The value of waiting to invest. Quarterly Journal of Economics 101 (4), 707-727.