Оптимизация инвестиционных решений на рынке ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3

ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ НА РЫНКЕ ЦЕННЫХ БУМАГ

КАРАНАШЕВ А.Х.,

кандидат экономических наук, доцент, Кабардино-Балкарский государственный университет,

e-mail: [email protected]

Построена оптимальная стратегия динамического размещения капитала в рисковые активы инвестором, характеризующимся функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска. Инвестиционный набор включает три вида активов различной рисковости: акции, облигации и банковский счет.

Ключевые слова: моделирование; оптимизация; фондовый рынок; рисковые активы.

Optimal strategy of dynamic allocation of capital into risky assets by an investor, characterized by utility function with constant degree of relative risk aversion are derived. Investment opportunities include three types of assets of different degree of risk: stocks, bonds and bank account.

Keywords: modeling; optimization; market of securities; risky assets.

Коды классификатора JEL: G24, O16, R51.

Введение

Принятие решений в финансовом и банковском менеджменте должно опираться на точный расчет и количественную оценку последствий принимаемых решений. Современное финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием финансового портфеля. Главной целью формирования финансового портфеля является обеспечение реализации основных направлений финансового инвестирования капитала фирмы путем подбора наиболее доходных и безопасных финансовых инструментов. Несмотря на большое количество теоретических и прикладных исследований в области анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие проблемы далеки от разрешения [1,2]. Надежные количественные результаты, касающиеся построения оптимальных стратегий финансового инвестирования с использованием высокодоходных рисковых финансовых инструментов, позволяющих агенту финансового рынка осуществлять оперативное управление портфелем ценных бумаг, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора, что и определяет актуальность настоящей работы.

Экономико-математическая модель

Поставим задачу выбора инвестором на финансовом рынке оптимальной стратегии инвестирования в n рисковых и один безрисковый актив при наличии промежуточного потребления. Применение метода динамического программирования к задачам портфельного выбора требует существования марковского случайного процесса конечной размерности x = (xt), такого, что неявная функция полезности инвестора может быть записана в виде Jt = j(Wt, xt, t). Напротив, мартингальный подход не требует дополнительных предположений о стохастических процессах, которые инвестор не может контролировать. В частности, не требуется делать предположения о том, что процентные ставки, дисперсии цен и т.д. полностью описываются марковскими процессами конечной размерности. Метод динамического программирования не позволяет сделать содержательные выводы в том случае, когда полученные уравнения в частных производных не могут быть решены явно. Например, трудно бывает сделать вывод о действительном существовании оптимальной стратегии. Этот вопрос легче изучать с применением мартингального подхода.

Предполагаем, что вектор цен рисковых активов р следует стохастическому процессу следующего вида

dPt = diag(Pt \li,dl + utdzt ], (1)

где z = (zj.zd) - d-мерное стандартное броуновское движение, diag(Pt) - диагональная матрица размерности

dх d с элементами Pt по главной диагонали, ц = (ци,..., цл) - d-мерный вектор ожидаемых доходностей, ot- несингулярная d х d -матрица волатильностей.

Рассматриваем полный финансовый рынок, так что изменения свободной от риска ставки процента rt, ожидаемой нормы доходности ц , а также дисперсии и ковариации между ставками дохода, определяемые ot , вызваны одним

© А.Х. Каранашев, 2011

и тем же С-мерным броуновским движением 2, влияющим на цены рисковых активов. Поэтому вектор рыночных цен риска 1, определенный следующим образом

(2)

описывает компромисс риск-доходность всех рисков. На полном финансовом рынке существует единственный процесс плотности цены состояния, называемый также ядром ценообразования, £ = (£), который имеет вид

{! I ^ ?

- | Г;(к - | ^— | Л^ск

о о ^ о

Заметим, что плотность цены состояния эволюционирует таким образом

(3)

(4)

Имеется также единственная эквивалентная мартингальная мера (известная также как мера вероятности нейтральности актива к риску) 2, определяемая производной Радона-Никодима

ехр | Г СІ', с-

¿д.

СІР

Цена в момент / = 0 стохастического выигрыша Хт в некоторой точке Т равна

ехр^ - |

-Е(ітХт)

Аналогично, цена в момент / составляет

Еехр]- |>„<Ых.

= Б, | ^-Х,

Оптимальные стратегии инвестирования и потребления

Для определенности предположим, что инвестор не получает дохода из источников, несвязанных с его деятельностью на финансовом рынке. Тогда естественным ограничением выбора инвестором стратегии потребления и инвестирования (с, п) в момент / = 0 является следующее

Б

\ь,с,ії + 4тПгт

где Жт - конечный капитал, индуцированный стратегией (с, п), а Ж0 - начальный капитал инвестора. Это условие просто устанавливает, что "цена" стратегии в момент / = 0 не может превосходить имеющийся начальный капитал. Это строго доказано в Утверждении 1. Однако сначала запишем процесс эволюции капитала инвестора в следующем виде

(Л?,т; =ТУ,(г, + а-,Л,^¡сЬ,

Отсюда и из (4), применяя лемму Ито, получаем или, эквивалентно,

Утверждение 1. Если (с, п) - допустимая стратегия, то

(5)

(6)

(7)

где - конечный капитал, индуцированный (с, п).

Доказательство. Определим времена остановки (тп)п€ ы следующим образом

г„ = ГЛ ІПҐ Г є [о,г] 11 ||я - Я, ]|“ сЬ > и I.

Тогда стохастический интеграл в правой части равенства (7)является мартингалом на [0, тп]. Вычисляя ожидания в (7), получаем

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3

54

А.Х. КАРАНАШЕВ

Полагая п Т да, имеем тпТ Т, и с помощью теоремы монотонной сходимости Лебега получаем

Далее, применяя лемму Фату, приходим к требуемому неравенству.

Идея мартингального подхода состоит в решении задачи статической оптимизации

йир Е

ic.IV)

|‘<Г'*н(е,>й + <Гя'н(г)

\4,с,Л I 4Т1Г

(8)

<ГП

вместо исходной динамической задачи

В статической задаче агент выбирает конечный капитал непосредственно, в то время как в динамической задаче конечный капитал определяется портфельной стратегией (и стратегией потребления). Переменную конечного капитала Ш агент может выбирать из неотрицательных, интегрируемых и ^-измеримых случайных переменных. Этот подход был предложен в [3]. Лагранжиан для оптимизационной задачи с ограничением имеет следующий вид

где у - множитель Лагранжа. Мы максимизируем последнее ожидаемое выражение, максимизируя относительно Ш для каждого возможного значения £ и максимизируя

относительно с( для каждого t и каждого возможного значения ^. Это приводит к условиям первого порядка

где у выбирается так, что ограничение неравенства превышается в равенство. Пусть 1и(.) обозначает функцию, обратную функции предельной полезности и'(.), и 1а(.) обозначает функцию, обратную к й'(.). Тогда оптимальное потребление и оптимальное конечное благосостояние могут быть записаны в виде

Текущее значение этого выбора зависит от множителя Лагранжа у:

Н{ц/)=Е

\4,1и[чяа£1)л + 4т1ц{цеа

(9)

(10)

Мы ищем множитель у такой, чтоН(у) = Ш, так что весь бюджет расходуется. Поскольку предельная полезность убывает, обратная предельная полезность также убывает и, следовательно, функцияН убывает. Будем предполагать, что Н(у) конечна для всех у > 0. При этом предположении Н имеет обратную функцию, обозначаемую У, и соответствующий множитель Лагранжа у = У(^^.

Следующее Утверждение устанавливает, что оптимальная стратегия статической задачи является допустимой и оптимальной для динамической задачи.

Утверждение 2. Оптимальная стратегия потребления дается выражением

При оптимальной портфельной стратегии конечный капитал составляет

Динамика капитала при оптимальной инвестиционной стратегии определяется выражением

Доказательство. Заметим сначала, что для вогнутой дифференцируемой функции и имеет место неравенство

для любых с > с, поскольку левая часть неравенства представляет собой наклон прямой, проходящей через точки (с, и(с)) и (с, и(с)), а в правой части неравенства имеем наклон касательной в точке с . Отсюда следует, что

н(с)— н[( ) ■ н'(с)(с-с).

Очевидно, что это неравенство имеет место даже при с< с. Возьмем с = Ти(¿) при некотором 2. Тогда и'(с)= г , так что можно заключить, что

Аналогично, имеем

й(1в (г)) - П(Г) > г(4- (г)- Г> V Г, г > О Поэтому для любой допустимой стратегии (с, ж) с соответствующим конечным капиталом IV получаем

| е “1я (ы (р *)- и))# + е~ 87 (н (рГ*)- «(?Г)) >

.о

| У(Г0 )й(с', - + 7)(Г„ % (г* -

о

причем последнее неравенство следует из того, что, согласно Утверждения 1,

и, по построению

| ( /// + %TW

¡4/tdt + 4Tw’ =w0

Поэтому, если имеется портфельная стратегия п*, такая, что стратегия (с*, п*) допустима и дает конечный капитал Ш*, тогда стратегия (с*, п*) будет оптимальной. Определим процесс Ш* формулой (11). Очевидно, что

определяет мартингал, так что по теореме о представлении мартингала существует адаптированный ¿2 [0, Т] процесс п, такой, что

iX +]z,c'ds=w0 + J rfsdzs

Q 0

Определим портфельный процесс п следующим образом

(12)

(с оставшимся капиталом Ш*(1 - п(т1), инвестированным в банковский счет). Сравнение (12) и (7) показывает, что эта стратегия вместе со стратегией потребления с* действительно дает конечный капитал Ш*, и процесс (Ш *) есть процесс изменения капитала, соответствующий этой стратегии.

Заметим, что неявная полезность в момент 0 как функция начального капитала Ш0 имеет вид

В заключение отметим, что мартингальный подход к решению задач оптимизации инвестирование-потребление во многих аспектах более элегантен, чем метод динамического программирования, и лучше подходит для выяснения условий существования стратегий при общих условиях. Однако существование оптимальной портфельной стратегии основывается на теореме представления мартингалов, которая сама по себе не дает ни явного представления оптимального портфеля, ни пути его получения. В некоторых постановках мартингальный подход может давать абстрактную характеристику как оптимального потребления, так и портфельной стратегии даже при немарковской динамике, но чтобы получить явные выражения оптимальных стратегий, постановка обычно сводится к марковской. Получаемые уравнения в частных производных при этом, как правило, имеют более простую структуру, чем уравнение Гамильтона - Якоби - Беллмана при решении задачи оптимальности методом динамического программирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 2003.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1-2. М., 1998.

3. Cox J.C., Huang C.F. A variational problem arising in financial economics // J. Mathematical Economics. 1991. V. 20. P. 465-487.

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3