Оптимизация инвестиционной деятельности пенсионного фонда России на основе математического моделирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

28 (166) - 2013

Государственные финансы

УДК 336.145.1 (175)

ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПЕНСИОННОГО ФОНДА РОССИИ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Н. Н. ДАНИЛОВ,

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой математической кибернетики E-mail: danilovnn@mail. ru

Л. П. ИНОЗЕМЦЕВА,

кандидат экономических наук, доцент кафедры финансов и кредита E-mail: lipetin@yandex. ru Кемеровский государственный университет

Статья посвящена разработке методологии применения совокупности правил, приемов и методов системного анализа и исследования операций, позволяющих оптимизировать инвестиционную деятельность пенсионной системы России и тем самым способствующих максимальному преумножению пенсионных резервов.

Ключевые слова: пенсионная система России, трудовая пенсия по старости, накопительная часть пенсии, негосударственный пенсионный фонд, частная управляющая компания, инвестиционный портфель, математическая модель, оптимизационная задача.

Введение

Оптимальность - это одно из ключевых понятий в таких разделах прикладной математики, как методы оптимизации, исследование операций, теория принятия решения, теория оптимального управления, теории игр. Оно используется для определения, выявления и применения наилучшего

решения какой-либо практической задачи - планирования, управления, разрешения проблемы, выхода из конфликтной ситуации и т. д. В соответствии с этим в каждой конкретной задаче такого рода перед исследователем встают вопросы: в чем конкретный смысл оптимальности в данной задаче, каковы признаки и условия существования оптимального решения, как выработать и применить на практике оптимальное решение? Для ответа на все эти вопросы в новом классе задач требуется разработка методологии исследования оптимального решения.

Объектом исследования в данной работе является пенсионная система России (ПСР), а предметом исследования - инвестиционная деятельность ПСР.

Цель статьи - разработка методологии как применение совокупности правил, приемов и методов системного анализа и исследования операций, позволяющих оптимизировать инвестиционную деятельность ПСР и тем самым способствующих максимальному преумножению пенсионных резервов.

Применяемым для достижения поставленной цели способом научного познания является формализация исследуемого объекта в виде иерархической совокупности оптимизационных моделей со многими параметрами управления. Такой подход к исследованию инвестиционной деятельности ПСР позволяет получить ответ на вопрос: как должно быть? Ибо таково предназначение оптимизационных моделей в отличие от описательных. По масштабу решаемых задач, по сложности структуры, а также вследствие частых изменений нормативных и законодательных положений пенсионную систему России в настоящее время можно отнести к категории трудно поддающихся исследованию систем. По канонам теории систем, это многопараметрическая, многокритериальная система с многочисленными и изменчивыми ограничениями, со сложной, разветвленной иерархической структурой, функционирующая в неопределенной и конфликтной среде. Для изучения такого рода сложной системы целесообразно использовать методологию теории исследования операций, которая основана на математическом моделировании исследуемого объекта. Для этого предпримем сначала попытку формализованного (с помощью унифицированных таблиц и блочных схем) описания содержания и функционирования ПСР.

Краткое описание ПСР

Основой пенсионной системы является пенсионное страхование, которое имеет целью формирование источников финансирования пенсий. Как и пенсионное страхование, пенсионная система имеет две формы - обязательную и добровольную.

Обязательное пенсионное страхование (ОПС) имеет силу закона, охватывает все категории населения и регулируется государством.

Добровольную форму принято называть добровольным пенсионным обеспечением (ДПО), которое имеет два отличия от ОПС. Во-первых, добровольное пенсионное страхование является дополнительным по отношению к обязательному; во-вторых, размер взносов определяет не государство, а сам застрахованный (гражданин). Рис. 1. Структура пенсионной системы РФ

Страховщиками по системе ДПО выступают негосударственные пенсионные фонды и страховые компании. Добровольное пенсионное обеспечение осуществляется на негосударственной основе, но регулируется государством. Предназначение негосударственного пенсионного обеспечения заключается в выплате пенсий гражданам в дополнение к государственным пособиям. Средства для выплаты негосударственных пенсий формируются за счет регулярных взносов работодателей и дохода от инвестирования пенсионных резервов.

С точки зрения обеспечения пенсионного законодательства ПСР можно представить в виде схемы (рис. 1).

Для государственного управления пенсионными средствами и сохранения прав граждан на пенсионное обеспечение в 1990 г. был образован Пенсионный фонд Российской Федерации (ПФР), имеющий в настоящее время свыше 2,5 тыс. территориальных органов (в каждом регионе и каждом районном центре России). Бюджет государственного Пенсионного фонда РФ утверждается федеральным законом и не входит в состав федерального бюджета, бюджетов субъектов РФ и местных бюджетов. Основные функции ПФР - аккумулирование и управление средствами по обязательному пенсионному страхованию граждан, назначение и выплата им пенсий. Источниками формирования Пенсионного фонда РФ являются страховые (или пенсионные) взносы, вносимые ежемесячно работодателями (предприятиями) при начислении зарплаты. Каждому гражданину в начале трудовой деятельности ПФР открывает индивидуальный лицевой счет, на который ежемесячно зачисляются страховые взносы.

Ставка (размер) страхового взноса за граждан с годовым доходом до 573 тыс. руб. в настоящее время равна 22 % от размера заработной платы ра-

ПСР

Государственное пенсионное страхование

Нестраховые и социальные пенсии

Негосударственное пенсионное обеспечение

ботающего (до 01.01.2012 она была равна 26 %), а за граждан, годовой доход которых выше указанной суммы, - 10 %. Страховые взносы не удерживаются из заработной платы работника, а уплачиваются работодателями за счет дохода.

Известно, что слагаемые трудовой пенсии по старости (здесь речь идет только о таких пенсиях) определяются для двух возрастных категорий граждан по-разному (табл. 1).

С 01.01.2010 в состав страховой части в виде фиксированного базового размера (одинакового для всех граждан) вошла существовавшая до того базовая часть пенсии, финансируемая за счет средств федерального бюджета. В 2012 г. фиксированный базовый размер составил 3 278 руб.

Второе слагаемое страховой части пенсии исчисляется для каждого пенсионера индивидуально, исходя из его трудового стажа, среднемесячного заработка (до 01.01.2002) и суммы страховых взносов (после 01.01.2002). Эта (страховая) часть пенсии финансируется за счет страховых взносов, уплачиваемых работодателями.

Накопительная часть пенсии была введена с началом пенсионной реформы (с 01.01.2002) для мужчин 1953 г. р. и моложе, для женщин 1957 г. р. и моложе (т. е. за 10 лет до наступления пенсионного возраста). Но уже в 2005 г. накопительные платежи были отменены для лиц 1966 г. р. и старше. С этого времени к накопительной части пенсии имеют отношение только граждане 1967 г. р. и моложе (см. табл. 1). По достижению пенсионного возраста этой категории граждан выплачиваются сверх страховой части и накопительные средства с учетом инвестиционного дохода.

Накопительная часть пенсии, финансируемая также за счет страховых взносов, выплачивается по достижению пенсионного возраста ежемесячно с учетом ожидаемого периода выплат (18 лет). Федеральным законом от 30.04.2008 № 56-ФЗ «О дополнительных страховых взносах на накопительную часть трудовой пенсии и государственной

Таблица 1

Состав трудовой пенсии по старости для разных возрастных категорий

Возрастная Составная часть пенсии

категория Страховая Накопительная

Граждане 1966 г. + -

рождения и старше

Граждане 1967 г. + +

рождения и моложе

поддержке формирования пенсионных накоплений» установлена возможность уплаты с 01.10.2008 добровольных страховых взносов на накопительную часть трудовой пенсии. Лицам, уплатившим дополнительные страховые взносы в сумме не менее 2 000 руб./г, государство осуществляет софинан-сирование в течение десяти лет из расчета один к одному, но не более 12 000 руб./г.

Пенсионный страховой взнос делится на солидарную и индивидуальную части. Солидарная часть идет на общий солидарный счет ПФР, из которого выплачиваются фиксированный базовый размер трудовой пенсии и другие солидарные расходы. Такое деление пенсионного взноса осуществляется в зависимости от величины годового фонда оплаты труда работника при выходе на пенсию. Относительно этого показателя в 2013 г. установлена так называемая предельная величина - 573 тыс. руб. (в 2012 г. - 512 тыс. руб.).

Для граждан, чей годовой доход ниже предельной величины, распределение страхового взноса показано в табл. 2.

Для всех граждан (независимо от возраста), годовой доход которых превышает предельную величину, страховая часть состоит только из солидарной части, равной 10 % (от средней зарплаты).

Инвестиционная деятельность ПСР

Федеральным законом от 24.07.2002 №111-ФЗ «Об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии по старости

Таблица 2

Распределение страхового взноса граждан с годовым доходом ниже предельной величины, %

Пенсионный взнос (с 2012г. - 22 %)

Возрастная категория Страховая часть Накопительная часть

Солидарная Индивидуальная Солидарная Индивидуальная

часть часть часть часть

Граждане 1966 г. рождения и старше 6 16 - -

Граждане 1967 г. рождения и моложе 6 10 0 6

в Российской Федерации» Пенсионному фонду России позволено осуществлять инвестирование средств пенсионных накоплений посредством передачи этих средств Внешэкономбанку (государственная управляющая компания), негосударственным пенсионным фондам (НПФ) и частным управляющим компаниям (ЧУК). Схема взаимодействия пенсионных фондов и управляющих компаний показана на рис. 2.

Инвестиционный портфель Внешэкономбанка формируется только из государственных облигаций (доходность которых весьма низкая). За счет средств пенсионных накоплений застрахованных лиц формируется расширенный инвестиционный портфель Внешэкономбанка, из которого разрешено инвестировать в ряд рисковых финансовых активов.

Негосударственные пенсионные фонды являются некоммерческими организациями, обеспечивающими добровольное (в дополнение к государственному) пенсионное страхование. Они осуществляют сбор пенсионных взносов, инвестирование средств и выплату пенсий. С НПФ могут заключать договор о негосударственном пенсионном обеспечении как физические, так и юридические лица. Негосударственные пенсионные фонды работают по двум направлениям (см. рис. 2).

Первое направление имеет отношение к обязательному пенсионному страхованию и состоит в том, что НПФ формируют пенсионные накопления за счет средств, получаемых от ПФР. Эти средства НПФ обязан передать (инвестировать) в доверительное управление одной или нескольким управляющим компаниям для последующего инвестирования ими. Законодательство РФ определяет активы, в которые пенсионные накопления могут инвестироваться, а также структуру инвестиционного портфеля.

Второе направление - в рамках деятельности по негосударственному пенсионному обеспечению

НПФ формируют средства пенсионных резервов (пенсионные взносы граждан). В соответствии с действующим законодательством НПФ могут размещать свои пенсионные резервы как самостоятельно (инвестировать в ограниченное число финансовых активов), так и через частные управляющие компании. Для инвестирования в иные активы фонд должен привлекать ЧУК. Отношения НПФ и ЧУК строятся на основании договоров доверительного управления и иных договоров, в зависимости от схемы работы НПФ на финансовом рынке.

Гражданин Российской Федерации имеет право передать накопительную часть своей пенсии в доверительное управление НПФ или ЧУК (путем подачи заявления в любое управление ПФР). По умолчанию накопительную часть пенсии гражданина ПФР передает под управление ГУК - Внешэкономбанку (рис. 3).

Частные управляющие компании осуществляют работу только с накопительной частью пенсии. Средства, полученные в доверительное управление от граждан (через ПФР) и от НПФ, ЧУК обязаны разместить лишь в разрешенные финансовые активы.

Пенсионная система РФ

Государственное пенсионное страхование

Негосударственное пенсионное страхование

1 г

ПФР

1

ГУК (ВЭБ)

л

НПФ

1

ЧУК

Рис. 2. Взаимодействие пенсионных фондов и управляющих компаний

ПФР

Рис. 3. Организационная структура инвестирования накопительной части пенсии

Разница между управляющими компаниями и НПФ заключается в следующем: если пенсионные накопления находятся в частной управляющей компании или Внешэкономбанке, то учет, назначение и выплату накопительной части трудовой пенсии осуществляет ПФР; если в НПФ, то это делает выбранный гражданами НПФ. При этом НПФ самостоятельно определяет количество управляющих компаний для заключения договоров доверительного управления пенсионными накоплениями.

По данным на 2012 г., инвестиционную деятельность в России осуществляют 129 НПФ и 66 ЧУК. Средняя доходность Внешэкономбанка и десятков крупнейших НПФ и ЧУК от инвестирования средств пенсионных накоплений в 2008-2012 гг. приведена в табл. 3.

Подобную динамику инвестиционной деятельности ПФР нельзя называть эффективной и устойчивой, поэтому влияние инвестиционной деятельности на формирование доходной части бюджета ПФР и пенсионные выплаты ничтожно мало. Доля средств инвестируемых пенсионных накоплений составляет лишь около 10 % доходной части бюджета ПФР. Такая реальность является следствием правовых, финансовых и организационных проблем, возникающих на различных уровнях деятельности всех субъектов инвестиционного процесса. По мнению авторов, наиболее трудно решаемой является финансовая проблема, которая вызвана в основном причиной экзогенного характера - увеличением соотношения числа пенсионеров и числа работающих. Неуклонное увеличение числа пенсионеров и уменьшение числа работающих делают все острее вопрос о надежных механизмах и источниках долгосрочного финансирования пенсионной системы. Прямым следствием этой, по сути, демографической причины, является финансовая нестабильность пенсионных фондов, которая в свою очередь приводит к неустойчивости всей пенсионной системы России.

Пенсионные исчисления

Как видно из приведенного компактного описания функционирования ПСР, трудовая пенсия гражданина является отображением (в виде некоторой совокупности денежных потоков) его пенсионного взноса, вкладываемого работодателем в ПФР ежемесячно (рис. 4).

Очевидно, что отображение «взнос ^ пенсия» неоднозначно даже при всех фиксированных внут-

Таблица 3

Средняя доходность от инвестирования средств пенсионных накоплений в 2008-2012 гг., %

Субъекты

инвестиционной 2008 2009 2010 2011 2012

деятельности

Внешэкономбанк -0,33 5,63 6,69 5,69 8,18

НПФ -28,99 18,34 6,37 1,52 6,64

ЧУК -23,85 25,15 10,98 0,41 8,09

рисистемных нормах и правилах и зависит от поведения самого пенсионера - от выбора конкретного объекта (ГУК, НПФ или ЧУК) для инвестирования накопительной части его пенсии.

Для построения алгоритма расчета месячного размера трудовой пенсии гражданина с учетом всех указанных в пенсионном законодательстве положений введем следующие обозначения:

- Р - размер месячной пенсии гражданина;

- 5 - страховая часть пенсии;

- п - накопительная часть пенсии (приходящаяся на 1 месяц);

- / - фиксированный базовый размер до пенсионной реформы (т. е. до 01.01.2002);

- Т - расчетный период времени выплаты пенсии данному гражданину (время дожития);

- N - суммарная (за период Т лет) накопительная часть пенсии;

- и - коэффициент валорации (увеличение пенсии с учетом советского трудового стажа, проведенное государством 01.01.2010, минимум которого равен 10 %);

- в - отчисляемая страховая часть страховых взносов (см. рис. 4.);

- с - стажевой коэффициент (рассчитывается в годах как стаж работы гражданина, умноженный на так называемую оценку одного года стажа);

- - среднемесячный доход гражданина за интервал 2000-2001 гг. или за любые пять лет непрерывной работы;

- гт - среднемесячный заработок в РФ за 20002001 гг. (1 494,5 руб.);

- 2гт - среднемесячный заработок в III квартале 2002 г. (1 671 руб.).

Расчетную формулу можно представить в виде блочной схемы (рис. 5), где выкладки производятся последовательно с блока 1 по блок 6.

Расчет пенсии по приведенному алгоритму должен проводиться с учетом индексации, коэффициент которой определяется ежегодно государством.

Другие солидарные расходы

Страховая часть взноса Сол] гдарна 6% я часть

Индив идуаль 10% ная часть

Фиксированный базовый размер (3 278 руб.) Страховая часть пенсии

Инди б вг дуаг б гьная часть

Взнос

Пенсия

Накопительная часть взноса Сол1 ((%) гдарна 0% я часть

Индив ® идуаль 6% ная часть

0 д Накопительная часть пенсии

4

О □

О

Добровольные страховые взносы

Граждане 1966 г.р. и старше

Граждане 1967 г.р. и моложе, годовой доход которых ниже предельной величины

Все граждане (независимо от возраста), годовой доход которых превышает предельную величину

Величины, при расчете которых необходимо учитывать нормы и правила, действовавшие в определенные периоды времени, а ныне уже отмененные или измененные

Рис. 4. Схема формирования трудовой пенсии по старости в настоящее время

.=/+ т 4

А к

кр = (1+ъ)к1р + а, где кр— полное значение пенсионного капитала 3

кр = (рг - Г)т,

где кр — расчетное

значение пенсионного капитала

Рис. 5. Схема расчета месячного размера трудовой пенсии по старости

Определение портфелей субъектов инвестирования пенсионных резервов

Непосредственными субъектами инвестирования средств пенсионных накоплений в финансо-

вые активы являются ГУК (Внешэкономбанк), более сотни НПФ и несколько десятков ЧУК. Федеральным законодательством предписано, что ГУК имеет два вида портфелей: индивидуальный (ИП) и расширенный (РП). Для каждого НПФ также следует определить два вида портфелей. Во-первых, индивидуальный - формируемый за счет средств пенсионных резервов (пенсионные взносы граждан). Эти средства НПФ может размещать самостоятельно в финансовые активы или через частные управляющие компании. Во-вторых, расширенный - формируемый за счет средств пенсионных накоплений, полученных от ПФР и передаваемых в доверительное управление частным управляющим компаниям для последующего инвестирования в финансовые активы.

Аналогичным образом, каждая ЧУК имеет два портфеля. Во-первых, индивидуальный ЧУКд - формируемый за счет средств граждан (переданных через ПФР); во-вторых, расширенный ЧУК.2 - формируемый за счет средств, полученных от НПФ в доверительное управление.

Поскольку пенсионные средства аккумулируются в Пенсионном фонде Российской Федерации, а фонд заинтересован в эффективном вложении пенсионных резервов, то ПФР следует считать также субъектом инвестиционной деятельности (вкладывающим средства в финансовые активы опосредованно - через ГУК, НПФ и ЧУК). В таком случае

N 5

п = —

т

d 2 п =с—тх Иг ° 1 т' 1

где рх - расчетный

размер пенсии

2

инвестиционный портфель ПФР складывается из портфелей трех непосредственных субъектов инвестирования. Его будем называть агрегированным портфелем АП (рис. 6).

Обозначим буквой к индекс финансовых активов, а 1 - количество всех разрешенных для инвестирования видов финансовых активов для ГУК, НПФ и ЧУК, т. е. к = 1, 2,... 1. Размерность (количество содержащихся в порт-

ип РП ип РП ип РП ип РП

ГУК ГУК НПФ1 НПФ1 НПФ2 НПФ2 ... НПФт НПФт

1 1 1

ОП ЧУК1 ОП ЧУК2 ... ОП ЧУКп

ЧУКи ЧУКп ЧУК21 ЧУК22 ЧУКп1 ЧУК„2

Рис. 6. Схема агрегирования портфелей разных уровней: ОП - объединенный портфель

феле видов активов) всех портфелей всех уровней примем равной 1. Поскольку долю отсутствующего в портфеле актива всегда можно считать равной нулю, то такое допущение не приводит к недоразумениям и путанице, но зато упрощает построение моделей задач инвесторов.

По сути, приведенная схема (см. рис. 6) является двойственной по отношению к схеме (см. рис. 3). Для того чтобы показать способ образования объединенного портфеля, сначала формализуем понятие портфеля в виде /-мерного вектора.

Обозначим: 7 - индекс НПФ (НПФ), т - количество всех НПФ, т. е. 7 = 1, 2,. т, ] - индекс ЧУК (ЧУК), п - количество всех ЧУК, т. е. у = 1, 2,., п.

Перейдем к последовательному формированию портфелей, начиная с пятого уровня (см. рис. 6), обозначая их буквами х - для ЧУК, у - для НПФ и г - для ГУК с соответствующими индексами.

1. Представление инвестиционных портфелей пятого уровня (ЧУК):

хп = (Х]1,...,х'д) - портфель ЧУК., сформированный на средства граждан, полученные через ПФР, ) = 1,...,т;

х. = (х1,...,х)), ) = 1,...,п,

к 1 -к -к где х] = — (Х)1 + Х)2), к = 1,...,1.

3. Представление инвестиционных портфелей

третьего уровня (ИП, РП):

—ип —1 —1

- для НПФ: у. = (у1(ш у1(ш)) - п°ртфель

НПФ7, сформированный на средства, полученные от граждан (через ПФР), 7 = 1,..., т;

—рп —1 —i

У, =(У,(РП)У,(РП)) - портфель НПФР сформированный на средства от ПФР, 7 = 1,..., т.

—ип —1 —i —рп -1 —i

-дляГУК: г = (г ип ,..., г ип ), г = (г рп ,..., г рп )

-ип -рп

(все компоненты векторов г и г , не соответствующие государственным облигациям, имеют нулевое значение).

4. Представление инвестиционных т + 1 портфелей второго уровня (ОП НПФ, ОП ГУК) :

- для НПФ: уг = (у1,...,у\), 7 = 1,...,т, где

к 1 гк У, =-(У,-(ИП) + У,-(РП)Х к = и.

2

1 , к к ^

ми-

Х)2 = (Х)2,...,Х)2) - портфель ЧУК., сфор рованный на средства, полученные от всех НПФ, ) = 1,..., т.

2. Представление инвестиционных п портфелей четвертого уровня (ОП ЧУК):

- для ГУК: г = (г1,..., г1), где гк = - (гкш + 2кт), к = 1,...,1. 2

5. Представление агрегированного инвестиционного портфеля первого уровня (АП ПФР) :

ю = (ю1,..., ю1), (1)

к1

где ю = — 3

\

1 т 1 п

т +1 Тук + гк

т)=1 п1=1

Л

к = 1,., 1. (2)

Нетрудно показать, что построенные здесь т + п + 2 вектора Х1,...,Хп; у1,...,уп; г; ю, действи-

тельно, являются портфелями. Так как принцип их построения один и тот же, то достаточно доказать это утверждение только для вектора ю в предположении, что остальные т + п векторов являются портфелями.

Вычислим сумму компонент вектора ю:

1 1 1

3 2т

XX (+ х12)

]=1 к=1

2п

XX (У ¿( ип) ¿=1 к=1

1 1 1

--2т н--2п

3 2т 2п

yi(рп)) 1

1 ^ —к —к

—^ (г ип + zpп ) =

2 к=1

2 = -(1 +1 +1) = 1.

23

Так как по построению юк > 0 для всех к = 1,..., 1, то вектор ю, действительно, является портфелем. Причем:

- х1,..., хп - объединенные портфели п ЧУК;

- у1,...,ут - объединенные портфели т НПФ;

- г - объединенный портфель ГУК;

- ю - агрегированный портфель ПФР.

Математические модели задач субъектов инвестирования пенсионных средств

Формулировка задач всех субъектов инвестирования пенсионных средств стандартная: разместить имеющиеся в их распоряжении свободные пенсионные средства в разрешенные законодательством финансовые активы так, чтобы получить как можно больший доход.

Для построения математической модели этой задачи требуется более строгая конкретизация понятия оптимальности портфеля: либо как максимальная доходность при приемлемом для данного инвестора уровне риска, либо как приемлемая для данного инвестора доходность, достигаемая при минимальном уровне риска.

Поскольку доходность (как отношение чистого дохода от ценных бумаг к инвестированной сумме) есть величина аддитивная, то максимизация доходности объединенного портфеля эквивалентна максимизации доходностей составляющих его портфелей. На этом основании будем строить модели только для объединенных портфелей ГУК, НПФ, ЧУК и агрегированного портфеля ПФР.

Введем необходимые для построения моделей обозначения:

- К - аккумулированные в ПФР пенсионные средства, предназначенные для инвестирования;

- К - средства из ПФР, направленные в ЧУК. для инвестирования (. = 1,..., т);

- К2 - средства из НПФ, переданные ЧУК. на доверительное управление (. = 1,..., т);

- I. - средства пенсионных резервов (пенсионных взносов граждан), находящиеся в НПФ

(, = 1,..., п);

- I2 - средства пенсионных накоплений, полученных от ПФР и направляемых в НПФ. в доверительное управление в ЧУК, . = 1,...,т (г = 1,..., п);

- М - средства, направляемые из ПФР в ГУК для инвестирования;

- К = К1 + К2 - суммарные инвестиционные

} 3 3

средства ЧУК, ] = 1..., т;

1 2

- Ц = Ц +12 - суммарные инвестиционные средства НПФ,, г = 1,..., п.

До л ж но в ы п о л н я т ь с я р ав е н с т в о

п т

К=м + Х Ц +Х К..

,=1 .=1

По нашему определению (см. п. 5), 1 - это число всех видов финансовых активов, разрешенных тем или иным субъектам для инвестирования. Как видно из перечня активов, перечисленных в п. 3, часть из них относится к безрисковым, а часть - к рисковым.

В дальнейшем будем придерживаться следующих установок: во-первых, ценные бумаги субъектов РФ обладают точно такими же свойствами, что и государственные (федеральные) ценные бумаги. Во-вторых, государственные ценные бумаги являются безрисковыми активами. Очевидно, что объединенные портфели всех субъектов инвестирования являются смешанными. Это касается и объединенного портфеля ГУК, хотя его инвестиционный портфель является безрисковым.

Пусть К - средства ЧУК., выделяемые для приобретения финансового актива вида к. Тогда долю актива к-го вида в портфеле х. = (х1,..., х1.) можно представить так: хк = Кк /К., к = 1,.., 1.

Равенство хк = 0 означает, что инвестором ЧУК. активы вида к не приобретаются (либо по меркантильным соображениям, либо ввиду запре-щенности законом).

Допустим, что среди 1 видов финансовых активов имеется q видов рисковых активов. Упорядочим перечень всех 1 активов, разместив в начале списка

рисковые активы 1,..,д, q +1,.., 1. Обозначим через йк доходность к-го рискового актива, к = 1,..,д; ё°к - фиксированную доходность к-го безрискового актива, к = д +1,.., 1. Заметим, что математическое ожидание доходности й"к равно 0°, ее дисперсия и ковариация любой пары (й°к, ак) равны нулю.

Риск портфеля как диапазон расхождения ожидаемой и реальной доходностей, зависит от риска отдельных активов, включенных в него, от корреляции между активами (синхронности изменения доходностей) и от долей инвестирования в каждую ценную бумагу - Х),.., Х1 С учетом этого величину риска (обозначаем я3 (х) )) портфеля х будем вычислять по формуле ковариаций

я(х)=т т^х,

к=1 г=1

где скг - коэффициент корреляции между курсами

активов вида к и г.

Особенность любого пенсионного портфеля заключается в том, что доля каждого актива в портфеле ограничена сверху (см. Федеральный закон от 24.07.2002 № 111-ФЗ).

Пусть рк - цена к-го актива, а- функция, которая для каждой пары (хк, рк) вычисляет соответствующее количество /к (хк, рк) актива вида к в портфеле.

Для удобства необходимо ввести два множества: I = {1,..., 1}и 11 сI - множество всех запрещенных для ЧУК видов финансовых активов.

С учетом всего сказанного математическую модель задачи инвестора ЧУК строим в следующем виде:

03(Х)) = ^ёкхк + Т 4хк ^ тах, (3)

к =1 к=д+1

при ограничениях:

т т^х (4)

к=1 г =1

X pkfk (xk, pk) < К..,

keI \ I1

0 < xk <ak, У ak = 1; ak > 0,

./ j ' J - J '

(5)

k e I / Ij (ak = 0,k e Ij).

(6)

В моделях (3) - (6) я( - фиксированное приемлемое значение риска портфеля для ЧУК :

- модель (3) - доходность портфеля х;

- модель (4) - ограничение по риску;

- модель (5) - ограничение по инвестиционным средствам;

- модель (6) - ограничения, диктуемые пенсионным законодательством.

Символически задачу (3) - (6) обозначим как W (К.., а3).

Таким образом, получаем семейство

W= W (К j, а ), 3 = 1,...,т} из m моделей для всех частных управляющих компаний.

С помощью аналогичных рассуждений и обоснований получим семейство W2 = {W2, (Li,а 2), i = 1,..., n} из n моделей для всех негосударственных пенсионных фондов и одну модель W3 (M, аз) для государственной управляющей компании (Внешэкономбанк). Приведем аналитические виды моделей из этих семейств.

Для НПФ[ [W (Ц, a2i)]:

G2 (У,) = ¿^ + L <Ук ^ max, (7)

к=1 к = q+1

при ограничениях:

УТ^УГ - а2,

к=1 r=1

У pkfk (yk, pk) - L,

ke///2

0< jf <ek, У ek = 1; ek >0,

kel \ I,

k e I /12 (Pk = 0, k e I2).

(8) (9)

(10)

Для ГУК [Ж, (M, сэ)]:

G3 (z) = У dkzk + У dizk ^ max, (11)

k =j

k = q+j

при ограничениях:

q q _

УУ^zV <C3

k=j r=j

(12)

У pkfk (zk, pk) < M, (13)

keI /13

0 < zk < yk, У yk = 1; yk > 0,

k e I /13 (yk = 0, k e I3).

(14)

Перейдем теперь к построению математической модели задачи ПФР как субъекта инвестирования пенсионных средств. По авторскому определению она получается путем агрегирования всех построенных выше моделей:

q i

G(o) = У dkШ + У dk0<Bk ^ max, (15)

k=j k=q+j

при ограничениях:

УУ£скгш1 Ш <с, (16)

k=j r=j

X pkfk , pk ) < к, (17)

kt=j

0 <rak <ôk,= 1; Ôk > 0, к e I. (18)

Окончательный аналитический вид агрегированных величин в зависимостях (15) - (17) можно получить, подставляя в них значение юк из формулы

(2). Легко подсчитать, что

1 1 т 1 п gk = 11 Iak +11(Pk +Yk), к = 1,...,l.

3 m 7=1 ni=1

Исходя из содержательного смысла риска, авторы полагают, что в ограничении (16)

с = max{c!, С2, сз, j = 1,..., m; i = 1,.., п}. Модель (15) - (18) обозначим символом W = W(K, с).

Анализ математических моделей субъектов инвестиционной деятельности ПСР

Проанализируем модели W,W2 ,W3 из предыдущего пункта с точки зрения существования, вычисления и использования их оптимальных решений в рассматриваемых задачах формирования портфелей. Благодаря однотипности этих моделей (что объясняется стандартностью задач инвесторов ГУК, НПФ и ЧУК) ограничимся анализом модели W1.

Модель Wj - это совокупность из m математических моделей, каждая из которых имеет форму задачи нелинейного программирования с линейной (непрерывной относительно xj ) целевой функцией

(3) и компактным в пространстве Rl многогранником U допустимых решений, описываемых неравенствами (4) - (6). Известно, что в такой задаче существует оптимальное решение, т. е. существует портфель x* е Uj, удовлетворяющий условию GJ ( x* ) = max GJ ( ).

j Xt eUj j

Существуют также методы (метод множителей Лагранжа или численные), с помощью которых вычисляется оптимальный портфель xj. На практике вычисления проводятся также с помощью популярной программы для экономико-статистических расчетов Microsoft Excel.

Компоненты (x1*,..., xj ) портфеля xj интерпретируются как те доли финансовых активов, которые в условиях инвестиционного фонда Kj обеспечивают ЧУК максимальную доходность

GJ (xJ) его портфеля с уровнем риска не выше

приемлемого (с1).

При этом покупка (оптимального) количества

к к*' к

активов вида k обойдется ЧУК. в f (Xj. , p ) рублей (k е I /I*). Условие (5) показывает, что формирование оптимального портфеля x'. вполне доступно (по средствам) для ЧУК..

Что же дает пенсионному фонду портфель W, описываемый соотношениями (15) - (18)?

Оптимальные портфели x*,..., xm, y',..., y',

* / z определяют наилучшие (в смысле максимизации доходностей) доли активов для фиксированного распределения (K*,..., Km, L*,..., Ln, M) суммарных инвестиционных средств K. Множество всех таких распределений имеет вид

m+ n+1

U = {u е Rm+n+1 | X = K}.

T=1

Справедливы представления ю = ю (u), W = W (u), т. е. задача W зависит от распределения инвестиционных средств как от параметра.

Сформулируем общую инвестиционную задачу ПСР. Требуется найти такое распределение u* е U, для которого инвестиционный доход ПСР был бы максимальным. Эту задачу обозначим через V.

Формально это есть задача параметрической максимизации функционала Q(u) = G[ra(u)] (см. модель (15) на множестве U:

Q(u*) = max Q(u). (19)

ueU

Так как U - компактное множество, то максимум в формуле (19) достигается. Алгоритм решения задачи (19) представим в блочной форме (рис. 7).

Оптимальность распределения u в задаче V(см. предпоследний блок рис. 7) означает достижение в этой точке u максимального значения функционала Q. Решение задач предыдущих блоков дает оптимальные портфели x* = x* (u), y. = y. (u), z* = z* (u), ю* = ю* (u). Подстановка компонент

K

L

Mk

хк (и) = , Ук (и) = —, ^ (и) =-, (где

Uj ит+, ит+п+1

для ук и Мк для zк играют такую же роль, что и Кк для хк) этих портфелей в правую часть выражения (2), а затем полученное выражение для шк (и) в модели (15) показывают, что О(ш*(и)), а значит, 0.(и) являются линейной функцией от и. Таким образом, задача (19) есть задача нелинейного программирования. В этом случае проверку оптимальности распределения и е и в задаче V (т. е. в

задаче (19) можно проводить с помощью известных необходимых условий Куна — Таккера и достаточных признаков второго порядка.

Оптимальное решение задачи V в виде вектора и* = (и*,...,и*т+„+1)еи представляет собой то распределение пенсионных средств К, которое и приносит наибольший доход пенсионной системе России, равный 0.(и ) = G[ю (и )], где ю*(и ) - решение задачи (15) - (18), соответствующее распределению и* , т. е. задачи т (и* ) (или ранее обозначенной как И (К, я).

Приведенный алгоритм дает однозначное оптимальное решение общей инвестиционной задачи ПСР, а также оптимальные решения задач т 1, т 2, т 3, т всех субъектов инвестирования.

Заключение

Представленная в работе методология позволяет найти Пенсионному фонду РФ оптимальное распределение инвестиционных пенсионных средств между субъектами инвестирования и формировать соответствующие ему оптимальные портфели государственной управляющей компании, негосударственных пенсионных фондов и частных управляющих компаний. Конечным результатом оптимального распределения инвестиционных пенсионных средств является оптимальный агрегированный портфель Пенсионного фонда Российской Федерации.

Список литературы

1. Данилов Н. Н. Курс математической экономики. М.: Высшая школа, 2006. 407 с.

2. Иноземцева Л. П. Влияние инвестиционной деятельности Пенсионного фонда РФ на пенсионное обеспечение населения // Социально-экономические преобразования в России: сб. науч. тр. Кемерово, 2012. Вып. 6. С. 218-221.

3. Иноземцева, Л. П. Финансы в структурно-логических схемах: учеб. пособие. Новосибирск: СО РАН, 2004. 228 с.

4. Иноземцева, Л. П. Целевые фонды в бюджетной системе Российской Федерации: учеб. пособие. Томск: ТГПУ, 2009. 202 с.

5. О негосударственных пенсионных фондах: Федеральный закон от 07.05.1998 № 75-ФЗ (в ред. от 07.05.2013).

6. О трудовых пенсиях в РФ: Федеральный закон от 17.12.2001 № 173-Ф3 (ред. от 01.01.2013).

7. Об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии в РФ: Федеральный закон от 24.07.2002 № 111-ФЗ (в ред. от 03.12.2012).

8. Об обязательном пенсионном страховании: Федеральный закон от 15.12.2001 № 167-ФЗ (в ред. от 03.12.2012).

9. URL: // http://www. rg. ru/2012/10/01/pensii-site-dok. html.

10. URL: // http://www.gks.ru/2012&clid=184/ 1838.