CC BY
22ВКВО-2019 Радиофотоника
ОПТИМИЗАЦИЯ ГЛАДКОГО ПРОФИЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ФОТОННОГО
КРИСТАЛЛА
*
Попов А.В., Прокопович Д.В. , Баскаков В.А.
Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн имени Н. В. Пушкова РАН, г. Троицк,
г. Москва E-mail: dvprokopovich@gmail.com
DOI 10.24411/2308-6920-2019-16037
Параметрический резонанс - резкое нарастание амплитуды колебаний, возникающее при кратности частоты изменения параметров осциллятора частоте свободных колебаний. Одним из применений теории параметрического резонанса является конструирование структур с периодически меняющимся профилем показателя преломления (фотонных кристаллов). Такого рода структуры используются как частотные фильтры, оболочки световодов или волноведущие структуры [1, 2].
Элементарная теория фотонных кристаллов хорошо известна [3, 4]. Показатель преломления чередующихся диэлектрических слоев рассчитывается так, чтобы френелевские отражения падающей волны на границах раздела складывались в фазе. Это приводит к экспоненциальному затуханию поля в периодической структуре и полному отражению падающей волны. Поскольку фазовый набег зависит от частоты, декремент затухания и коэффициент отражения также зависит от длины волны, а вне некоторой полосы экспоненциальное затухание сменяется осциллирующим режимом.
При конструировании оболочки брэгговского световода возникает задача обеспечить максимальное затухание поля в периодической структуре при минимальном числе слоев [5].
Для решения возникающей задачи оптимизации обратимся к теории распространения электромагнитных волн в периодических средах. Одномерное распространение электромагнитных волн в неоднородной среде с показателем преломления n(x) описывается волновым уравнением:
E(x, t) = u(x) exp(-ict), u" + q2 (x)u = 0, q(x) = kn(x), k = c/c (1)
Аналитическое решение одномерного волнового уравнения известно лишь для ряда модельных потенциалов [6]. В случае периодической зависимости n(x +Л) = п(x) легко строятся решения для ступенчатого профиля показателя преломления методом матрицы перехода [7]. Также наиболее изученным является пример уравнения Матье u" + ю02 (1 + hcosyx) u = 0 [8]. В большинстве остальных случаев приходится полагаться на численные методы.
Теорема Флоке-Блоха позволяет предсказать общий характер решения: u(x) = P(x) exp(^x),
где P(x +Л) = P(x). Произведение мультипликаторов pl2 = exp(ц1гЛ) двух фундаментальных решений равно единице. Возможны два случая: показатели jU12 вещественны, р2 = 1/р1 - одно из
решений экспоненциально растет, а другое убывает; показатели чисто мнимые, а мультипликаторы комплексно сопряжены и по модулю равны единице. Для создания интерференционного зеркала или оболочки брэгговского световода нужно реализовать экспоненциально убывающее решение. В общем случае периодического потенциала его декремент затухания находится численными методами.
В данной работе развивается альтернативный подход, впервые предложенный нами в работе [9]. Он состоит в параметрическом представлении показателя преломления и волновой функции в терминах фазы искомого решения. Для произвольной периодической среды оказывается возможным построить в явном виде решение Флоке-Блоха и найти декремент затухания в зависимости от фазового параметра. Фазовая переменная для уравнения (1) вводится как
у (x) = arcctg[u'(x)/q(x) u(x)] . Если ввести обозначение q(x) = Q(y) = q exp G(у), то оказывается, что уравнение (1) интегрируется в явном виде при произвольной зависимости G(у) :
у
i Í У Л i -G(y)cos2y-J G(^)sin2^d^
^ (у) = x, + -q eG (y)sin2y + 4 J e~GW sin2 cpdy , u (x) = U (y) = q sin ye 0 (2)
2qV 0 J q
№6 2019 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2019» www.fotonexpres.rufotonexpress@mail.ru 81
ВКВО-2019- Радиофотоника
Период модуляции Л = 1/2^^ e G(^ sin2 фёф и декремент затухания v = G(<^)sin2^d^ для
2Л -периодического решения u(x) = u(x)exp(-vx/Л), где u(x + 2Л) = u(x).
Метод фазового параметра указывает очень простую связь характеристического показателя Флоке с законом периодической модуляции параметров среды. Из разложения Gв ряд Фурье
да
G= a0 +^(а2m C0S2m^ + b2т sin 2m^) видим, что вклад в затухание дает единственная гармоника
m=1
Ь sin 2щ. При заданном контрасте n > n(x) > n для двух законов модуляции имеем:
[lnn1,0<у<п2 n ^ ní v 1, д . лЬг п П m
G= и v = ln — (3), G(^) = — ln—sm2^H v=—1 = — ln — (4)
4 n
1Пщ, П2 < \ <п
Максимальный декремент достигается при ступенчатом изменении параметров (четвертьволновом профиле) - случай (3). Оптимальный профиль, плавно нарастает, соответствует случаю (4).
На Рис. 1 представлен оптимальный профиль показателя преломления п (я) и соответствующая ему функция и (я), рассчитанные по формулам (2).
и(х)
Рис. 1. Профили показателя преломления (3)-(4)и распределение поля в структуре, красная линия для четвертьволновой структуры (3) и синяя линия для гладкого профиля (4).
Используя метод фазового параметра, можно получить описание частотной зависимости решений волнового уравнения (1). Трудность параметризации частотно-зависимого решения и (я) = ик),
я = X к) состоит в необходимости обеспечить постоянство профиля показателя преломления п(я) = Ы(\\,к) = пexp[С(\,к)]
при разных к [10]. Характерной особенностью оптимального гладкого профиля (4) является регулярность и узость зон непрозрачности см. Рис. 3.
Рис. 2. Зоны прозрачности (белые) и непрозрачности (черные) для ступенчатого четвертьволнового профиля (3) в зависимости от частоты к и контраста Ап = п - п2.
Литература
Рис. 3. Зоны прозрачности (белые) и непрозрачности (черные) для гладкого профиля (4) в зависимости от частоты к и контраста Ап = п - п .
Yeh P., Yariv A., andMarom E., J. Opt. Soc. Am. 68, 1196-1201 (1978) Knight J., Birks Т., et al, J. Opt. Soc. Am. A 15, 748-752 (1998) Yeh P., Yariv A., and Hong C., J. Opt. Soc. Am. 67, 423-438(1977) Skorobogatiy M., and Yang J., Cambridge University Press (2008) Fevrier R., Jamier R., et al, Opt. Express 14, 562-569 (2006) Morozov G, and Sprung D., J. Opt. 17, 035607 (2015) Ярив А., и Юх П., Мир (1987)
Бриллюэн Л., Пароди М., Издательство иностранной литературы (1959) Vinogradov A., Popov A., and Prokopovich D., Comput. Math. and Math. Phys. 49, 1069-1079 (2009) 10. Popov A., Proc. 11th ICTON '09 (2009)
82
№6 2019 СПЕЦВЫПУСК «ФОТОН-ЭКСПРЕСС-НАУКА 2019» www.fotonexpres.rufotonexpress@mail.ru
