CC BY
50
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIII 1992 № 3
УДК 629.7.015.4.023
ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ЗАМКНУТОЙ БАЛОЧНОЙ СТРУКТУРЫ ПОД РАСПРЕДЕЛЕННУЮ НАГРУЗКУ
В. В.'Саурин, В. Н. Семенов
-Представлена методика и критерии двухуровневой оптимизации замкнутых силовых конструкций рамного типа, включающей процедуры определения рациональной формы осей элементов конструкции и распределения силового материала между ними.
Важным направлением в разработке крыльев летательных аппаратов представляется выявление и> реализация новых способов уменьшения и компенсации в них изгибающих моментов. Наиболее распространен способ, в котором разгрузка достигается путем разнесения по крылу двигателей и других сосредоточенных и распределенных грузов. На этой концепции основана классическая схема, двухфюзеляжные самолеты, «летающее крыло».
На ином принципе основана разгрузка крыла в замкнутой системе крыльев [1] и [2]. Здесь значительная часть (~ 50%) суммарного момента От внешних сил трансформируется в усилия сжатия верхнего и растяжения нижнего крыльев, разнесенных .на значительное расстояние по высоте.
В работе [3] на основе параметрических исследований выявлены основные закономерности влияния взаимного пространственного расположения прямых крыльев в замкнутой системе на их вес и деформации.
В работах [4] и [5] показано, что имеется возможность, изменяя форму рамы, использовать возникающие при этом моменты от усилий растяжения-сжатия для полной или частичной компенсации исходного изгибающего момента внутренних сил и получать безмоментные или относительно маломомент-ные участки конструкции, имеющие сравнительно малый вес. В сборнике [6] опубликован ряд современных работ по двухуровневой оптимизации. Двухуровневая оптимизация включает в себя классическую оптимизацию распределения силового материала между элементами конструкции (первый уровень) и оптимизацию формы основных силовых элементов, обеспечивающей наиболее благоприятный по критериям прочности способ восприятия внешней нагрузки (второй уровень). .
Наиболее полная информация об особенностях конструкции, аэродинамических, прочностных и иных характеристиках самолетов с замкнутыми системами крыльев содержится в работе [7].
1. Принцип построения маломоментной балочной Замкнутой структуры. Восприятие силовых потоков в форме усилий растяжения-сжатия, как правило, более экономично по весовым затратам силового материала, чем восприятие их моментными силовыми элементами. Это связано с возможностью разнесения элементов ферменно-стержневой конструкции на большую строитель-
ную высоту и с учетом недогрузки части силового материала балочных элементов в зоне, близкой к ее нейтральной оси, которую не всегда удается компенсировать структурным перестроением конструкции.
На рис. 1 представлено распределение изгибающих моментов Мизг и сил растяжения-сжатия, возникающих в конструкции рамы У, нагруженной распределенной неконсервативной следящей нагрузкой <7 (х). В силу кососимметричности рамы в точке Т7 возникает только горизонтальная сила взаимодействия Рх, сжимающая верхнюю балку и растягивающая нижнюю.
Характерной особенностью эпюры Мизг в рамах указанного типа является пересечение ею нулевой оси в единственной, как правило, точке С (см. рис. 1), в которой изгибающие моменты от внешней нагрузки и от сил взаимодействия крыльев в точке Т7 равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Безмоментная точка С остается, как правило, единственной для линейного участка и после проведения оптимизации распределения силового материала между элементами конструкции, например по критерию равнонапряженности элементов, (первый уровень оптимизации).
Очевидно, что, варьируя конкретные точки оси балки по вертикальному направлению, можно изменять момент от силы Рх и, следовательно, обеспечить условие суммарной безмоментности или, по крайней мере, существенно снизить суммарный момент для многих точек, составляющих протяженные участки.
Поставим задачу: подобрать форму балки, в которой моменты от распределенных нагрузок и от сил взаимодействия балок взаимно компенсируются. При действии распределенной нагрузки ц (х) и силе взаимодействия балок Рх приращения ординат точек балки в условиях стационарности других параметров будут определяться в конкретных точках очевидными условиями (см. рис. 1, 2):
&Ув — ИЗГ/Р,; А у о — изг /Рх- (1)
Полученная форма показана на рис. 2 линией 2. Сопоставляя рис. 1 и 2 и учитывая зависимость (1), можно сформулировать правила, позволяющие отыскать первое приближение формы маломоментной рамы.
Правило 1. Для сжатых участков рамы рациональная форма совпадает (с учетом масштаба) с видом эпюры изгибающего момента, полученной для исходной конструкции.
Правило 2. Для растянутых участков рамы рациональная форма имеет вид эпюры изгибающего момента, полученной для исходной конструкции, и противоположна ему по знаку.
В практических задачах ограничения, накладываемые на геометрию конкретной конструкции, вынуждают отойти от безмоментной траектории оси элементов рамы (форма 3 на рис. 2). Например, если рассматривается проекция замкнутой системы крыльев на плоскость ХУ, то возможны следующие виды ограничений: нулевой уровень Но, определяемый, например, допустимой высотой центра масс, максимальная высота системы крыльев в плоскости симметрии Нпс и минимальный по условиям аэродинамики размер щели Яаэр.
При отклонении реальной формы конструкции от расчетной безмоментной линии на соответствующих участках появятся моменты, показанные на рис. 2.
Ввод ограничений на форму конструкции приводит к нарушению ее кососимметричности. При этом изменяются внешние нагрузки, появляются дополнительные силовые факторы взаимодействия частей рамы и маломомент-ность должна достигаться с учетом всех действующих силовых факторов.
2. Поиск рациональной формы замкнутой балочной структуры. Рассмотрим задачу определения оптимальной формы замкнутой системы, нагруженной распределенной нагрузкой.
Сечение балки представляет собой двутавр переменной высоты с переменными площадями силовых поясов по длине. Закон распределения нагрузки по длине балок задан в виде
где параметр йу/йх характеризует геометрию балки, • моделирующую, например, замкнутую крыльевую систему в виде спереди, 5 — переменная длина дуги.
В рассматриваемом плоском случае удается довольно просто выписать условия равнонапряженности для балки, работающей на изгиб, что, в свою очередь, позволяет получить функционал веса.
Разрешая уравнения равнонапряженности относительно площадей поперечного сечения силовых поясов балки и интегрируя площади по длине балки, задачу определения оптимальной формы замкнутой системы крыльев можно записать в виде (см. [5])
_____________
при граничных условиях:
х(0) = *0; *(50) =
у(0) = «/о; у(5
<з>
где М, N — моменты и продольные усилия, А — высота балки, 5о — длина криволинейной балки.
Граничное условие при заданном размахе конструкции можно сформулировать в таком виде: существует, по крайней мере, одйа точка 51, такая, что
х (50 = хи (4)
где хь — размах крыльевой системы.
Ограничение, диктуемое аэродинамикой на предельный размер щели между крыльями, представлено в следующем виде:
1«/| (*)— У2(х)\>Назр, (5)
где у\, у2 — ординаты сечения х, соответствующие верхнему и нижнему крыльям.
Можно ввести и другие ограничения, например крыло не может располагаться ниже определенного уровня:
У^^Но. (6)
Таким образом, получена задача минимизации функционала (2) с граничными условиями (3), (4) и конструктивными ограничениями (5), (6). Для решения задачи (2) — (6) предлагается следующий метод: параметры М (Б) и А/(Б) (см. [5]) определяем из уравнений равновесия, не обращая в первом приближении внимания на условия совместности. Другими словами, разбиваем конструкцию на две — верхнее и нижнее крыло аналогично тому, как это делается в методе сил. Удобнее всего это сделать в любой точке, удовлетворяющей условию X (5) = Хс. Тогда отг параметрической зависимости (2) можно перейти к функциональной зависимости. При этом верхнее и нижнее крыло описываются функциями /| (х) и /г (ж) соответственно. Если в задаче есть условие (5), то Присутствует соединительный участок, который можно учесть отдельно. Таким образом, имеем задачу определения оптимальной формы двух консольных балок, нагруженных распределенной нагрузкой ц и сосредоточенными усилиями взаимодействия Мо, Рх, Ру на конце: Метод решения задачи при заданных Мо, Рх и Ру представлен в работе [5].
Задачу (2) — (6) можно записать в следующем виде:
5 Л\^\ + ]7Г+Г(5^+ ИРШ(М0, Рх, Ру)-+тт, (7)
*0«“1
где
М,(х) = Мк+Рх1 • /(*) +1| Ш)\чЬхШх)йх + *х;
Фщ(Мо, Рх, Ру) — вес шайбы, зависящий от внутренних сил взаимодействия верхнего и нижнего крыла, если есть условие (5), при условиях:
/1 (дсо) = уо; и (дсо) = у\; (8)
х1 — х0 = /; (9)
У\ (*) — У2 (X) > Яа,р; (10)
у2{х)^Н0, (11)
где I — размах крыльевой системы.
Таким образом имеем задачу (7) — (11) при следующих неизвестных: /и Ь. /г. Рх, Ру
Можно доказать утверждение, что оптимальная форма крыльевой системы состоит из двух связанных крыльев, которые сами по себе имеют оптимальную
форму. Действительно, для любой системы СИЛ Мо, Рх, Ру можно построить
оптимальную балку. Таким образом, зная оптимальную форму двух балок в зависимости от М0, Рх, Ру, т. е.
/. = /. (Мо, Рх, Ру), и = Н (Мо, Рх, Ру), (12)
и минимизируя (7) по Мо, Рх, Ру, определяем оптимальную форму системы. Способ включает следующие действия:
1. Выбираем начальную форму, например, представленную на рис. 1, которая удовлетворяет ограничениям (3) — (6), и проводим расчет данной конструкции.
2. Размыкаем конструкцию на две, соответственно прикладывая рассчитанные в п. 1 сосредоточенные силы взаимодействия к концам консольных балок, и оптимизируем формы балок для заданной нагрузки.
3. Смыкаем концы балок полученных форм и проводим оптимизационный расчет конструкции по программе метода конечного элемента, получая при этом уточненные силы взаимодействия балок.
Процесс 1—3 повторяем итерационно при соблюдении ограничений на уровень допустимых напряжений до получения минимума веса.
Для случая нагружения рамы сосредоточенными усилиями, приложенными в точке смыкания балок, моделирующего, например, усилия от консоли в замкнутом силовом шпангоуте, удается аналитически задать условия (12) для задачи (7) — (12). Например, пусть требуется найти оптимальную форму равнонапряженной рамы, воспринимающей сосредоточенную нагрузку в виде изгибающего момента и силы, направленной вверх, и передающей эту нагрузку на стенку, отстоящую от точки приложения нагрузки на расстоянии /о. Сечения балки — двутавровые с постоянной по длине строительной высотой. Поскольку известно точное решение для оптимальной балки, нагруженной сосредоточенной нагрузкой на конце, то, подставляя данное решение в функционал (7), получим
(М-М„)" , , (Р.-Р/+зп + р,, ,
(ч-«)(л-л)+«у ^ (|3)
Рх .*»
Дифференцируя (13) по М, Рх, Ру и приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему:
ду {М-М0)\Р0-Ру) М*Ру 2/0(2Р> —Р0) М0 — 2М
дР• 2((Я0-Я,)Ч/>’)3/2 2 (/* + /*Г Р«
ду -(м-лду,________________М*рх (Р0-РУ)Ч^ _
2((Я0_П)Ч^)- 2 (Р1-РГ * °
Первые два уравнения удовлетворяются при М = М0/2 и Ру = Ро/2. При решении третьего уравнения получается полином пятого порядка относительно Р2Х, из которого численно находится оптимальное значение Рх. Оптимальная форма рамы без учета ограничений является симметричной относительно оси ОХ.
Приведенное решение в общем случае может не удовлетворять условиям совместности. Коррекция решения, в частности, по вертикальному смещению может быть достигнута смещением оси балки по вертикали на малую величину е.
3. Влияние формы замкнутой балки на распределение внутренних силовых факторов, жесткостные и весовые характеристики. Проведено расчетное сопоставление двух плоских балочных расчетных схем (см. рис. 1 и 2). Рамы имеют равные высоты корневых (Яп с — Н0) = 300 см и концевых Наэр — 100 см сечений, равную горизонтальную протяженность I— 1000 см и равную суммарную вертикальную нагрузку Р = 2000 кН, равномерно распределенную по узлам верхней и нижней ветвей рамы.
Горизонтальные нагрузки в каждый из узлов расчетной схемы вычисляются и вводятся автоматически, исходя из условия ортогональности равнодействующей силы к оси балки.
Рама моделирует вид спереди на замкнутую систему крыльев традиционной линейной формы. Форма рамы по рис. 2 найдена из условия минимума ее веса по методике, описанной выше, и моделирует крыльевую систему самолета с нелинейным видом спереди.
На рис. 1 приведены эпюры изгибающих моментов Мизг, полученные при оптимальном (равнонапряженном) распределении силового материала между элементами конструкции.
На рис. 3 сопоставлено распределение площадей поперечных сечений в балочных элементах исходной , и маломоментной р0р, 2 конструкций. Рациональная рама имеет протяженность, возросшую на 5,2%, на 25,7% меньший вес и на 39,5% уменьшенные максимальные прогибы.
4. Учет нескольких случаев нагружения. Построение формы конструкции, рационально воспринимающей заданную распределенную нагрузку, оставляет открытым вопрос о ее рациональности при учете многих случаев нагружения. Сомнение вызывается тем, что оптимум на один случай нагружения достигается за счет близкого к безмоментному восприятию усилия на значительном протяжении конструкции. Иная форма нагружения может дать на собтветствующих участках характерные всплески изгибающих моментов.
Для численной оценки влияния разнообразия нагружений на выигрыш в весе конструкции и ее деформации проведен цикл расчетов. Сопоставлены две конструкции: исходная и имеющая форму, рациональную для восприятия распределенной нагрузки одного основного случая нагружения.
Конструкции заданных форм оптимизированы на три и четыре случая нагружения, результаты сопоставлены в таблице.
Учтенные случаи нагружения линейная (100%) маломоментная
Вес, кН Максимальный прогиб, см Вес, кН Выигрыш в весе, % Максимальный прогиб, см Выигрыш в прогибе, %
1-й 24,650 59,0 18,310 25,7 35,7 39,5
1, 2, 3-й 28,580 53,9 22,280 22,0 34,9 35,3
1, 2, 3, 4-й 29,120 53,7 25,390 12,8 34,5 35,8
Набор случаев нагружения, введенный в расчет, следующий:
1. Распределение нагрузок по нижнему и верхнему крылу, соответствующее полету в неспокойном воздухе с перегрузкой я*тах(а) = 2,5 и коэффициентом безопасности 1,5 (в относительных единицах: <7„= 1, </„= 1).
2. Заведомо завышенная маневренная нагрузка: = 2, </„ = 0.
3. Полет в перевернутом состоянии: <?„ = — 0,5, </„ = — 0,5.
4. Посадка. Нагрузка на крыло равна четверти полетной: = 0,25,
<7„=0,25, на основные стойки шасси приходится 80% О0.
Анализ таблицы позволяет сделать следующие выводы.
Сопоставление расчетных схем с учетом одного, определяющего случая нагружения достаточно хорошо характеризует результат, который может быть получен при учете всех случаев нагружения с распределенной нагрузкой (25,7% и 22% выиграша в весе соответственно).
Полученная при учете только одного случая нагружения оценка возможного выигрыша веса является несколько завышенной (в рассмотренном случае на 3,7% к исходному весу).
При различных распределенных видах нагружения эпюры изгибающих моментов с точностью до знака имеют одинаковые закономерности «поведения».
Картина существенно меняется, если вводится большая сосредоточенная нагрузка, например реакция от шасси при посадке (4-й случай нагружения), с иной характерной формой эпюры изгибающего момента. Выигрыш в весе при этом снижается до 12,8%.
Этот факт приводит к выводу, важному при формировании компоновки ЛА: следует избегать установки шасси на замкнутых маломоментных системах крыльев.
Однако и эта реализация допускает возможность снижения веса, если форма оси крыла будет найдена с учетом всех случаев нагружения.
Качественно можно указать, что оптимум будет достигнут, когда ось пучка эпюр, соответствующих различным случаям нагружения, будет по сечениям, где это возможно, равноотстоять от оси конструкции.
На рис. 4 представлена схема, позволяющая вывести соотношение для определения вертикального смещения, переводящего рассматриваемое сечение балки в зону минимальных моментов.
Пусть максимальный разброс изгибающих моментов в сечении, соответствующих различным случаям нагружения, определяется значениями М, и М,, которым соответствуют продольные усилия Р, и Р, соответственно.
Будем считать, что рациональной является траектория оси балки, которая в данном сечении обеспечивает равные по величине и различные по знаку значения эпюр Мизг, т. е.
Л1/ = — М). (14)
Считая в первом приближении, что изменение траектории оси мало сказывается на значениях Р, и Р,, можно определить эти моменты следующим образом:
М1 = М, - Р, АЯ; (15)
М, = М,- — Р/ АЯ. (16)
Подставляя (15) и (16) в (14) и решая уравнение относительно АЯ, получим
= (17)
Очевидно, что изменение траектории оси приведет к изменению значений Р, и Р/. Возможен также вариант, когда после изменения формы балки иной случай будет формировать диапазон разброса изгибающих моментов в сечении, поэтому использование формулы (17) имеет итерационный характер.
Возможное различие знаков продольных усилий приводит к тому, что при визуальной оценке эпюр М„зг весьма сложно определить требуемое направление рационального перемещения сечения по вертикали. В таких случаях рекомендуется пользоваться следующими правилами.
Правило 3. Если элемент сжат, то перемещение должно производиться в направлении средней оси огибающих эпюр.
Правило 4. Если элемент растянут, то перемещение должно производиться в направлении к ближайшей из огибающих эпюр МИЗГ.
Рис. 5
Методика используется для поиска рациональных по критериям прочности и веса форм замкнутых крыльевых систем. Приведенные здесь оценки потенциального выиграша в весе и жесткости крыльев справедливы в случае расположения несущих поверхностей друг над другом. При этом рациональная форма вида спереди совпадает с соответствующей проекцией модели, изображенной на рис. 5.
При разнесении корневых сечений крыла по длине аппарата дополнительно должно быть учтено взаимодействие моментов изгиба и кручения в зоне стыковки крыльев. Поиск рациональных для этого случая форм пространственного положения крыльев ведется.
1. Семенов В. Н. Сравнение весовой отдачи конструктивно-силовых схем летательных аппаратов со свободноиесущим крылом и с замкнутой системой крыльев // Ученые записки ЦАГИ.— 1983. Т. 14, № 5.
2. С е м е н о в В. Н. Исследование прочностных характеристик двухфю-зеляжного самолета с замкнутой системой крыльев // Ученые записки ЦАГИ.— 1989. Т. 20, № 1.
3. Михайлова А. И., Семенов В. Н. Анализ влияния различных конструктивных параметров на массу и жесткость замкнутой бипланной системы крыльев // Вопросы прочности и оптимизации конструкций летательных аппаратов.— Труды ЦАГИ.— 1990. Вып. 2476.
4. С а у р и и В. В. Рациональное распределение конструкционного материала в силовом шпангоуте летательного аппарата // Ученые записки ЦАГИ,— 1988. Т. 14, № 1.
5. С а у р и и В. В. Определение оптимальных форм равнонапряженной балки минимального веса //Вопросы прочности и оптимизации конструкций летательных аппаратов. — Труды ЦАГИ, — 1990. Вып. 2476.
6. Новые направления оптимизации в строительном проектировании,— М.: Стройиздат, 1989.
7. Волкович Дж. Комбинация крыльев прямой и обратной стреловидности // Аэрокосмическая техника,— 1986, № И.
Рукопись поступила 26/Л 1991
