Оптимизация дозвуковых осесимметричных переходных каналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Т о м XIV 1 9 8 3 М3

УДК 533.697

ОПТИМИЗАЦИЯ ДОЗВУКОВЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ КАНАЛОВ

А. Е. Коновалов

Рассмотрена задача оптимизации осесимметричного переходного канала кольцевого сечения, соединяющего участки газодинамического тракта разных диаметров. Разработан инженерный метод построения профиля канала, имеющего минимальную длину при условии безотрывнооти течения. В качестве условия безотрывности принят локальный критерий, накладывающий ограничение на пристеночный градиент давления. Оптимальный профиль переходного канала найден в результате численного решения полученной при данном ограничении краевой задачи.

Переходные каналы, соединяющие каскады компрессора или турбины в авиационных двигателях, должны иметь возможно меньшую длину. При этом на характеристики течения в таких каналах накладываются определенные ограничения в виде условия безотрывности и допустимого уровня неравномерности профиля скорости в выходном сечении.

В настоящее время известен ряд работ, посвященных оптимизации дозвукового сопла или диффузора без центрального тела. Эти каналы можно рассматривать как частные случаи переходного канала с нулевым радиусом втулки. Оптимизация сопла в опубликованных работах [см. обзор в [1]] проводилась прямыми методами путем перебора различных вариантов из взятого за основу семейства профилей, что требует большого объема вычислений. Основная сложность, затрудняющая формулировку задачи оптимизации, заключена в существовании вблизи стенки канала чередующихся зон торможения и ускорения потока. В случае диффузора, когда имеется только одна зона торможения, оптимальный профиль канала был построен в предположении существования краевого экстремума (так называемый предотрывный диффузор) [2 — 4]. Оптимизация диффузора кольцевого сечения рассматривалась в работе [5]. Длина канала определялась полуэмпирическим методом по данным испытаний плоских и конических диффузоров, а форма профиля центрального тела (втулки) была взята но Витошинскому.

В данной работе рассматривается задача оптимизации для общего случая осесимметричного переходного канала кольцевого сечения.

1. Будем решать задачу оптимизации приближенно, считая, что форму осесимметричного канала можно описать уравнением его средней поверхности /- (х) при известной зависимости площади поперечного сечения от координаты этой поверхности /(г). В качестве средней поверхности можно взять поверхность, одинаково удаленную от стенок канала или делящую площадь поперечного сечения (или расход через канал) на равные части. Для простоты записи в дальнейшем остановимся на первом варианте. На концах канала (х = 0 и х = Ь) должны быть заданы значения функции г и ее производных г\ г". Для нахождения искомой функции можно записать систему уравнений

(Щ с1х=---Г(Н, и), (1)

где /? = (г, Ь, с), Г = (Ь, с, и).

Здесь Ь—г', с = г", и — управляющий параметр, зависящий от осевой координаты х. Векторное пространство переменной Я является фазовым пространством рассматриваемого объекта. Фазовая траектория Я[х,а(х)} проходит через точки /?1 = /? (0) и /?2 =

— /?(£), задающие геометрические условия на входе и выходе из канала. На управление накладывается ограничение, представляющее собой условие безотрывности пограничного слоя на стенках канала. Как будет видно из дальнейшего изложения, для внешней стенки канала условие безотрывности дает ограничение на управление на тех участках, где г/< 0:

— (г, Ь, с, /, /'). (2)

Из условия безотрывности на внутренней стенке канала следует ограничение на управление для участков, где а > 0:

и < Мъ (г, Ь, с, /, /'). (3)

Здесь и Мь — известные функции указанных переменных.

Поясним смысл неравенств (2) и (3) с помощью простых рас-суждений. При условии радиального равновесия, когда центробежная сила уравновешена радиальным градиентом давления, продольный градиент давления будет положителен на внешней стенке в случае убывания (и < 0), а на внутренней стенке — в случае роста кривизны поверхности г (х) (и > 0).

Сформулируем задачу: при заданных ограничениях среди всех допустимых управлений и = и(х), переводящих точку фазового пространства /? из положения /?, в положение /?2, найти такое, для которого координата х — Ь принимает минимальное значение. Такого рода задачи в теории оптимальных процессов [61 называют задачами оптимального быстродействия. Следуя [6], воспользуемся принципом максимума для нахождения управления и (х). Введя вспомогательную вектор-функцию Ч* = (ф1, ’Ь). запишем функ-

цию Н (Я, и, Ф[) = /?Ч/. Система уравнений для нахождения вектор-функции имеет вид:

Фъх1с1х = — дН/дг = 0, 1

фЬ21йх = — дН1с1Ь = — <!>!, | (4)

с1'}ъЩх = — дН/дс = — ф,. ]

После подстановки общего решения системы (4) в Н получим (й?,, й2, — постоянные интегрирования):

И — с!1 Ь + (с12 — (1-1 х) с + (й-, а'2/2 — й% х + с/3) и, (5)

откуда следует, что Н достигает максимума при

и = Ма sign {dl x'li2 — d2 x + dg), (6)

где .44 — максимальное значение модуля и.

Очевидно, что функция di x2j2 — d2 х -j- dz меняет знак не более двух раз. Поэтому управление и будет кусочно-непрерывной функцией не более чем с тремя интервалами постоянного знака (рис. 1). Точки разрыва функции и — первого рода. Для определенности обычно предполагают, что в каждой точке разрыва х,

а)

а

> 1 1 Ю —1—>-

S)

Рис. 1

значение управления и (х^ равно пределу слева. Точки разрыва оптимального управления называют точками переключения. Таким образом, при ограничении на градиент давления оптимальное управление имеет не более двух точек переключения. В случае двух точек переключения величина Ма в силу (1) и в соответствии с (2), (3), (6) будет выражаться для канала с переходом с меньшего радиуса на больший следующим образом (см. рис. 1, at):

| М„, 0 <•*: <•*!, |

М,= \ Мк, х, < х2, (7)

I Мь> х2 <^х < L. J

При переходе с большего радиуса на меньший управление и имеет вид, показанный на рис. 1 ,б. Величина Ма соответственно будет иметь выражение

! Mk, )

М,== М„, < Л<Л'2) (8)

Мк, х, < д:< L. ]

Отметим частный случай, когда внутренняя стенка отсутствует. Это соответствует сужающемуся соплу. Отсутствие стенки снимает ограничение на М6. Поэтому величина Мь может быть как угодно большой с соответствующим сокращением длины участка постоянного знака вплоть до нуля (см. рис. 1, г), так

чтобы интеграл от Мь был конечен. Таким образом, оптимальное

дозвуковое сопло имеет стенку с конечным скачком кривизны.

В случае канала другого типа (см. рис. 1, а) при отсутствии внутренней стенки снимается ограничение на величину Мь на первом и третьем участках. Их длина может быть уменьшена до нуля. На концах канала будут скачки кривизны. Этот канал имеет вид дозвукового диффузора с непрерывно изменяющейся кривизной стенки всюду, кроме концов (см. рис. 1,0).

2. Получим конкретный вид ограничения функции и, которое следует из условия безотрывности. Будем рассматривать такой случай, когда в области течения в канале можно выделить невязкое ядро и тонкие вязкие пограничные слои около стенок. Условие безотрывности удобно взять в форме, предложенной в [2]:

[8*/(рФ8)](^/Л)<6кр. (9)

Здесь р, V, р — плотность, скорость и давление вблизи пограничного слоя, о* — толщина вытеснения, 5 — координата, отсчитываемая вдоль стенки, для турбулентного пограничного слоя £кр = 0,015. В дальнейшем для простоты записи все выкладки будут проводиться для случая несжимаемой жидкости. После введения ср — 2 (р — /?|)/(р! VI) (индексом 1 отмечены величины в начальном сечении) условие (9) преобразуется к виду

йср1йх < 2|кр V 1+^(1- ср)!8*. (10)

Координата 5, отсчитываемая вдоль стенки канала, связана с осевой координатой х соотношением сЬв \-\-b- (1х. Для того чтобы вычислить 3й, получим выражение для ср. Воспользуемся одномерной теорией, применяемой при расчете течения в криволинейных каналах (см., например, [7]). Для средних по сечению параметров невязкого ядра р, V имеет место интеграл Бернулли

р + рг>2/2 = рх + рг>?/2. (11)

Давления на верхней и нижней стенках рь и рь выражаются через средние параметры и кривизну средней линии (точнее продольную кривизну средней поверхности) канала /г:

Рк,ь= р + Н[М2 к. (12)

Здесь /г —половина высоты канала.

Используя соотношения (11) и (12), уравнение неразрывности 1 и соотношение между высотой канала 2/г и относительной площадью поперечного сечения /, запишем выражение для ср как функцию кривизны А:

Срк, ь — 1—1//2 + 2М1,/(г/). (13)

В дальнейшем в качестве характерного размера принят радиус средней линии канала в начальном сечении.

При известной геометрии канала в данной точке с помощью соотношения (13) толщина вытеснения 8* для вязкого пограничного слоя может быть вычислена к примеру интегральным методом Труккенбродта [8], который сводит решение к простым квадратурам. Таким образом, условие безотрывности (10) содержит связь между ср и геометрическими характеристиками канала.

3. Решим задачу оптимизации до конца, рассмотрев для определенности случай перехода с большого радиуса на меньший

см. рис. 1,(5). Для уменьшения порядка системы уравнений будем вы-

числять координаты точек переключения хи х2 не через неизвестные постоянные с12, (13, а непосредственно. Введем в соответствии с видом управления (8) и соотношением (13) функцию ср:

-Рк

+ 1—1/А о<х<а',

(14)

СрЬ- 1 + 1,/Д *1 О < ДГ2,

“ СрЪ Н- ^ ^ /.А < X .

В силу (6) и (14) вместо неравенства (10) следует рассматри вать уравнение

(А к0-№ + ср) — аЧР/ёх), 0 < а < х,,

Аь Ш-\-ср)с1№/с/х, хг<Сх^х2,

- (Ак (1 - № + ср) - с1\Р]с1х), х2<х< I.

Новые обозначения Ла = 2^кр]Л1-4-йг/8* и 1^=1 —1 //2 введены для компактности записи.

Используя уравнения (13), (14) и соотношение для кривизны средней линии канала йЬ/йх == /г (1 + 62)3/2, запишем два первых уравнения системы (1) в следующем виде:

Лер

йх

(15)

йг/йх = Ь, |

йЬ/ёх = с„ г/ (1 + й2)3/2/(2Аі). I

(16)

Уравнения (16) и (15) образуют систему третьего порядка, для интегрирования которой нужно иметь три условия на границах области. Кроме того, требуются еще два условия для нахождения координат точек переключения хи х2 и одно условие для определения длины канала. Всего надо задать 6 констант: ср, г, Ь на входе и выходе из канала. Систему уравнений (16) и (15) с указанными граничными условиями можно рассматривать как систему трех нелинейных уравнений относительно неизвестных хи Хп, Ь, для решения которой надо знать начальное приближение хъ х2, I.

4. Для нахождения начального приближения рассмотрим модельную систему

йг!йх — Ь, йЬ/йх — ср1( 2к1),

— а, 0<л:<л:1, с1ср/ёх — а, < х < я;2,

—а, х„ < л: <1.

Интегрируя эту систему при граничных условиях д; — 0, г= 1, Ь = 0, ср ■■=(),

Х — 1 Г == Г2, Ь — 0, с = О,

(17)

получим три уравнения

1 — 2 (Хп — л:,) = 0, Г (х2 — і 12) + (х2 — х^ — 2іх1 = 0,

— 2*2 + 2х? — З/.2 х2 4- 'И х1 + 4^2 X] = 12/г, (1 —г2)/а. Система (18) имеет решение

^ — ((1—г2)/?!/а)1/3, х2 = Ъх1, 1 = \хХу

(18)

(19)

63

которое может быть использовано в качестве начального приближения для решения системы нелинейных уравнений (16) и (15). Для а можно принять значение а — 2 (?кр/8*).

Заметим, что из решения (19) сразу следует формула для оценки длины „безотрывного" переходного канала:

(20)

5. Система уравнений (15) и (16) с граничными условиями (17) была решена численно с использованием начального приближения (19). При шаге интегрирования 0,01 время решения на ЭВМ БЭСМ-6 составляет около минуты.

Полученный профиль канала, который на рис. 2 изображен сплошной линией /, рассчитан при следующих значениях параметров: гЬ1= 150, гА1 = 212, гй2= 100, г*,= 180, г\ — г' = г\ == г"2 — 0,

Х1 = 0,5, §х* = 0,003, Н— 1,3, Ке = 5-103. Здесь л —скорость, отнесенная к критической скорости звука, 8** — толщина потери импульса, отнесенная к характерному размеру, Н — Ь*;Ъ** — формпа-раметр, Ие —число Рейнольдса; величины всех радиусов даны в миллиметрах.

Распределение скорости на внутренней и внешней стенках канала 1Ь, (см. рис. 2, кривая /) рассчитано для полученной геометрии в двумерной постановке конечно-разностным методом, описанным в работе [9]. В двумерном расчете профили скорости на входе и выходе из канала не задавались, а рассчитывались после пристыковки к каналу цилиндрических участков, достаточно длинных, чтобы можно было считать скорость на концах удлиненного канала постоянной. Для того чтобы сравнить оптимальный профиль с другим, не оптимизированным, был также проведен двумерный расчет течения в канале, у которого внутренняя стенка имела профиль Витошинского [5], а величина поперечного сечения и длина были такие же, как в оптимальном варианте.

На рис. 2 неоптимизированный канал показан штриховой линией, а распределение скорости на его стенках отмечено цифрой 2. Канал оптимального профиля, как следует из рис. 2, имеет меньшую неравномерность скорости на входе. Если добиваться одинаковой входной неравномерности за счет увеличения длины неоп-

Рис. 2

Рис. 3

тимизированного канала, то оптимальный вариант будет короче на 10%.

Другие примеры относятся к каналам постоянного сечения с различной начальной высотой. Результаты расчетов представлены на рис. 3. Цифрами 1, 2, 3 отмечены полученные профили каналов в порядке уменьшения их начальной высоты. Уменьшение длины канала с убыванием его начальной высоты h не только качественно, но и количественно достаточно хорошо описывается приближенным соотношением (20). Кружочками на рис. 3 отмечены данные расчетов, сплошная кривая соответствует зависимости (20).

ЛИТЕРАТУРА

1. Михаил М. Н. Оптимизация сужающегося участка аэродинамических труб. .Ракетная техника и космонавтика", т. 17, № 5,

1979.

2. Б а м - 3 е л и к о в и ч Г. М. Расчет отрыва пограничного слоя.

„Изв. АН СССР, OTH*, 1954, № 12.

3. Г и н е в с к и й А. С., Бычкова Л. А. Аэродинамические характеристики плоских и осесимметричных диффузоров с предотрыв-ным состоянием турбулентного пограничного слоя. Сб. „Тепло- и массоперенос", т. 1. М., „Энергия", 1968.

4. С a s а 1 Е. P., Saheli F. P. Numerical solution to the channel flow equation with application to nozzle and diffuser optimisation. „А1АА Paper", N 79— 1567, 1979.

5. Иванов E. С., Миронов Г. Г., H и к о л е н к о В. Ю. Проектирование кольцевых диффузорэв. Изв. вузов, сер. Машиностроение, 1979, № 12.

6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкре-лидзе Р. В., Мищенко Е. Р. Математическая теория оптимальных процессов. М., -Физматгиз, 1961.

7. Овсянников А. М. Одномерный расчет параметров течения газа в соплах и криволинейных каналах. „Изв. АН СССР, МЖГ",

1978, № 6.

8. Schlichting Н., Gersten К. Berechnung der Strommung in rotationssymmetrischen Diffusoren mil Hilfe der Qrenzschicht theoric.

„Z. Flugwiss", 9, H. 4/5, 1961.

9. Коновалов A. E. Расчеты дозвуковых невязких течений в осесимметричных каналах с разделением потоков. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1981, № 4.

Рукопись поступила 30\1Х 1981 г.

5—«Ученые записки» Л'е 3