ОПТИМИЗАЦИЯ ДИСКОНТИРОВАННОГО ДОХОДА ДЛЯ СТРУКТУРИРОВАННОЙ ПОПУЛЯЦИИ, ПОДВЕРЖЕННОЙ ПРОМЫСЛУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 26, № 133

ISSN 2686-9667. Вестник российских университетов. Математика

2021

© Егорова А.В., 2021

DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-133-15-25

УДК 517.929

Оптимизация дисконтированного дохода для структурированной популяции, подверженной промыслу

Анастасия Владимировна ЕГОРОВА

ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет им. А. Г. и Н.Г. Столетовых» 600000, Российская Федерация, г. Владимир, ул. Горького, 87

Optimization of discounted income for a structured population exposed to harvesting

Anastasia V. EGOROVA

Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs 87 Gorky St., Vladimir 600000, Russian Federation

Аннотация. Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на n возрастных или типических групп xi,...,xn. Предполагаем, что в любой момент времени k, k = 0,1, 2... численность популяции x(k) определяется как; решение нормальной автономной системы разностных уравнений x(k + 1) = F(x(k)} , где F(x) = col( fl( x),..., fn(x)^ — заданные векторные функции с вещественными неотрицательными компонентами fi(x), i = 1,...,n. Исследуется случай, когда имеется возможность влиять на размер популяции путем промыслового изъятия. В работе рассмотрена модель эксплуатируемой популяции в виде

x(k + 1) = F ((1 — u(k))x(k)),

где вектор u(k) = (ui(k),... ,un(k)^ G [0,1]n — управление, выбором которого можно достигать увеличения показателей сбора ресурса. Предполагается, что стоимости условной единицы каждого из рассматриваемых n классов постоянны и равны Ci ^ 0, i = 1,... ,n. Для определения стоимости ресурса, получаемого в результате промысла, в рассмотрение вводится функция дисконтированного дохода, которая имеет вид

ТО П

Ha(u,x(0)) = Ci Xi(j )ui(j)e-aj,

j=0 i=1

где a > 0 — коэффициент дисконтирования. Решается задача построения управлений на конечном и бесконечном промежутках времени, при которых дисконтированный доход от извлечения возобновляемого ресурса достигает наибольшего значения. В качестве следствий получены результаты о построении оптимального способа добычи однородной популяции (т. е. при n = 1 ).

Ключевые слова: структурированная популяция; задача оптимизации для средней временной выгоды; дисконтированный доход; оптимальная эксплуатация; режим эксплуатации популяции

Для цитирования: Егорова А.В. Оптимизация дисконтированного дохода для структурированной популяции, подверженной промыслу // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26. № 133. С. 15-25. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-133-15-25.

16

А. В. Егорова

Abstract. A structured population the individuals of which are divided into n age or typical groups xi,... ,xn is considered. We assume that at any time moment k, k = 0,1, 2... the size of the population x(k) is determined by the normal autonomous system of difference equations x(k + 1) = F(x(k)) , where F(x) = col(/1(x),..., /n(x)) are given vector functions with real non-negative components /i(x), i = 1,... ,n. We investigate the case when it is possible to influence the population size by means of harvesting. The model of the exploited population under discussion has the form

x(k + 1) = F ((1 — u(k))x(k)),

where u(k) = (u1(k),..., un(k)) G [0,1]n is a control vector, which can be varied to achieve the best result of harvesting the resource. We assume that the cost of a conventional unit of each of n classes is constant and equals to Ci ^ 0, i = 1,..., n. To determine the cost of the resource obtained as the result of harvesting, the discounted income function is introduced into consideration. It has the form

Ha(u,x(0)) = Cixi(j)ui(j)e aj,

j=0 i= 1

where a > 0 is the discount coefficient. The problem of constructing controls on finite and infinite time intervals at which the discounted income from the extraction of a renewable resource reaches the maximal value is solved. As a corollary, the results on the construction of the optimal harvesting mode for a homogeneous population are obtained (that is, for n = 1 ).

Keywords: structured population; optimization problem for the average temporary gain; discounted income; optimal exploitation; mode of exploitation of the population

For citation: Egorova A.V. Optimizatsiya diskontirovannogo dokhoda dlya strukturirovan-noy populyatsii, podverzhennoy promyslu [Optimization of discounted income for a structured population exposed to harvesting]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2021, vol. 26, no. 133, pp. 15-25. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-133-15-25. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Проблема рационального использования возобновляемых природных ресурсов остается актуальной на протяжении многих лет. Подтверждением этому является большое количество работ, посвященных исследованию динамики популяций: предложено большое количество математических моделей, предназначенных как для чисто теоретических, так и для численных исследований, опирающихся на данные реальных популяций [1]. Многие работы посвящены исследованиям развития структурированных популяций, разделенных на возрастные группы или типические группы; в частности, в [2, 3] рассмотрены задачи оптимальной эксплуатации с постоянной долей изъятия.

В настоящее время большой интерес вызывают задачи оптимального сбора возобновляемого ресурса в вероятностных моделях. Эти исследования, мотивированные современными задачами экологии и экономики, являются также источником новых задач в математической теории управления и оптимизации. В работах [4,5] рассматриваются модели сбора возобновляемого ресурса, описанные дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями; определен способ добычи такого ресурса в долгосрочной перспективе, при котором сохраняется часть популяции, и приведена оценка функции средней временной выгоды. Обзор литературы, посвященной данной тематике, приведен в [6].

Модели периодического сбора ресурса предложены и исследованы в [7-9] и ряде других работ. В [7] предполагается, что периодический сбор осуществляется достаточно быстро

ОПТИМИЗАЦИЯ ДИСКОНТИРОВАННОГО ДОХОДА

17

и описывается импульсным воздействием, а возобновляемый ресурс имеет логистический закон роста. В [8] исследуется задача оптимизации для циклического сбора ресурса, распределенного на окружности с заданной плотностью. В [9] рассмотрена актуальная для математической экономики задача максимизации чистого дисконтированного дохода от эксплуатации популяции. Показано, что периодический сбор ресурса является оптимальным для моделей динамики популяций, структурированных по возрасту.

В данной статье рассматривается модель динамики структурированной популяции, разделенной на возрастные или типические группы и подверженной промыслу. Исследуется задача определения оптимального сбора ресурса на конечном и бесконечном промежутках времени при заданных ограничениях на условия промысла, для которого функция дисконтированного дохода максимальна.

1. Дисконтированный доход для моделей структурированных популяций, заданных нормальной автономной системой разностных уравнений

Рассмотрим популяцию, состоящую из n ^ 2 видов или возрастных групп Х\,... , xn. Модель данной популяции исследовалась в работе [10]; приведем описание этой модели для полноты изложения.

Стандартно обозначим R+ = {x £ Rn : xi ^ 0,... ,xn ^ 0} — конус неотрицательных векторов в Rn, C2(R+) — класс функций, определенных на R+ и имеющих непрерывные производные до второго порядка включительно. Обозначим через xj(k), i = 1,... ,n количество ресурса каждого класса в момент времени к = 0,1, 2,.... Динамику популяции при отсутствии эксплуатации будем описывать следующей системой нелинейных разностных уравнений

x(k + 1) = F(x(k)), к = 0,1, 2,..., (1.1)

где x(k) = co^x1(k),... , xn(k)) £ R+, F(x) = col/1(x),... ,/n(x)) . Будем предполагать, что функции /j £ C2(R+) удовлетворяют условию /i (0) =0 и матрица Якоби

является невырожденной для всех x £ R+. Будем также предполагать, что

dxj i,j=1,...,n

для некоторой области I С R+ такой, что 0 £ I, выполнено включение F(I) С I. Это условие обеспечивает продолжаемость решения системы (1.1) в области I.

Здесь и везде далее в работе в скобках обозначены временные параметры, а нижними индексами — пространственные параметры.

Обозначим через ui(k) долю ресурса i -го вида, добытого в момент k £ {0,1, 2,...}. Очевидно, что ui(k) £ [0,1]. Определим вектор

U = {й : й = (u(0), u(1),..., u(k),...) },

где u(k) = (u1 (k),...,un (k)) £ [0,1]n и рассмотрим последовательность u £ U как управление, которым можно варьировать для достижения лучшего результата сбора ресурса. Полагая, что xi(k) — количество ресурса i -го вида перед сбором в момент k , а (1-ui(k))xi(k) — количество ресурса, оставшееся после сбора, запишем модель популяции, подверженной промыслу, в виде системы

x(k + 1) = F((1 — u(k))x(k)), k = 0,1, 2,..., (1.2)

где (1 — u(k))x(k) = col((1 — u1(k))x1(k),..., (1 — un(k))xn(k)).

18

А. В. Егорова

Положим x(k) = (1 — u(k))x(k) и запишем систему (1.2) в эквивалентной форме

х(к + 1) = (1 — u(k + 1))F(ir(k)), k = 0,1, 2,....

Будем предполагать что стоимости единицы каждого из классов добываемой продукции постоянны и равны C ^ 0 , i = 1 ,...,n (естественно считаем, что одновременно все Ci не могут обращаться в 0). Стоимость всей продукции в момент времени j будем определять формулой

П

ha(j) = ^ CiXi(j)ui(j)e-“j ,

i= 1

где a > 0 — коэффициент дисконтирования. Определим функцию

ГО ГО П

Ha(u,x(0)) = ^ ha(j) = Cixi(j)ui(j)e-aj , (1.3)

j=о j=0 i=1

аргументов u G U и x(0) G R+, которую назовем дисконтированным доходом от извлечения ресурса.

Стоит отметить, что в работе [10] рассматриваются задачи оптимизации для средней временной выгоды, заданной в виде

1 k— 1 n

H(u,x(0)) = lim - Cixi(j)ui(j).

k^ro k j=o i=i

2. Оптимальный режим промысла структурированной популяции на

конечном промежутке времени

Обозначим u(k) = (u(0),... , u(k — 1)) для всех к = 1,2,..., где, как и выше, полагаем u(j) = (ui(j),... ,un(j)) G [0,1]n, j = 0,..., k — 1. Определим функцию

k—1 n

Ha (u(k) , x(0)) = Cixi(j )ui(j )e—“j , (2.1)

j=0 i=1

равную стоимости ресурса, полученного в результате k сборов.

Следующая теорема определяет оптимальный режим сборов для достижения максимума функции Ha (u(k),x(0)). Отметим, что близкий результат получен в [10, теорема 1], где рассматривалась задача максимизации функции

k—1 n

H (u(k),x(0)) = Cixi(j )ui(j).

j=0 i=1

Теорема 2.1. Пусть функция D(x) = Cj(/i(x) — xie^ достигает максимального

i= 1

значения в единственной точке x* G R+, координаты которой удовлетворяют неравенству x* ^ /i(x*) = 0, i == 1,..., n. Тогда для любого x(0) G R+ такого, что xi(0) ^ x*,

i = 1,..., n, функция Ha (u(k),x(0)) достигает наибольшего значения

a(k—1) _ 1 ™

H«(u*(k),x(0)) = D(x*) —1 _ ea----+ Cixi(0) (2.2)

ОПТИМИЗАЦИЯ ДИСКОНТИРОВАННОГО ДОХОДА

19

на множестве [0,1]kn при следующем значении и* (к) (определяющем режим эксплуатации):

если к =1, то и*(1) = (и*(0)), где и*(0) = (1,..., 1); если к = 2, то и*(2) = (и*(0), и*(1)), где и*(0) = ^1 —

и*(1) = (1,..., 1);

/ х* х* \

если к ^ 3, то и*(к) = (и*(0),... ,и*(к — 1)), где и*(0) = 1 — 1 ,..., 1 — П ,

х1(0) хп(0)

** х 1 1 ,ь,а

xi(0),..., х„,(0)

и*(з)= 1 — тХХй,..., 1 — x

Mx*) ^.^ 1 fn(x*)l при j = 1,...,к — 2, и*(к — 1) = (1,..., 1).

Доказательство. В случае к =1 функция Ha принимает вид

#а(и(1),х(0)) = У CiXi (0)иг(0).

i=1

Очевидно, что ее максимальное значение достигается при и*(0) = (1,..., 1) и равно

П

Ha (и*(1),х(0)) = У CiXi(0).

i=1

При к ^ 2 рассмотрим режим эксплуатации и*(к)= (и*(0),...,и*(к — 1)), определенный в условии теоремы. Найдем

х(1) = F ((1 — и*(0))х(0)) = ^(хх(0) X1(0),..., х!0Т х"(00 = F (х*). (2.3

х„(0)

Если к ^ 3, то для любого j = 2,... , к — 1

х

x(j) = F((1 — и*и— l))x(j —1)) = К^хх*)..., ухх*)^™(х*0 = F(х*). (2.4

Подставляя значения х(1),... ,х(к — 1) и и*(к) в (2.1), получаем равенство (2.2). Зафиксируем х(0) G R+ такое, что xi(0) ^ х*, i = 1,... ,n и докажем, что

a(k-1) _ 1 ™

На(и(к),х(0)) ^ На(и*(к),х(0)) = Д(х*)----- а-------+ У CiXi(0)

1-e

i=1

(2.5)

для любых и(к) G [0,1]kn. Стоит отметить, что Д(х) достигает максимального значения в точке х* G R+, поэтому для всех Ах = (Ах1,... , Ахп) G Rn таких, что х* + Ах G R+ ,

выполнено неравенство Д(х* + Ах) ^ Д(х*), которое равносильно

У Ci(/i(х* + Ах) — (х* + Ахфе“) ^ У Ci{/i(x*) — х*е“).

i=1 i=1

Из последнего неравенства получаем

n П

У Ci/фх* + Ах) ^ У Сг(/г(х*) + Дxie

i=1

i=1

(2.6)

20

А. В. Егорова

Представим u(j) £ [0,1]n в виде u(j) = u*(j) + Au(j), Au(j) = (Au^j),..., Аип(j)), j = 0,... ,k — 1. Найдем

к—1 n к—1 n

H„(u(k),x(0)) = CiXi(j)ui(j)e aj = Cixi(j)(u*(j)+Aui(j))e aj =

j=0 i=1 j=0 i=1

к—2 n n

= EE CiXi(j)(u*(j) + Aui(j))e aj + ECiXi(k — 1)(1 + Aui(k — 1))e a(k 1}. (2.7)

j=0 i=1 i=1

Оценим последнее слагаемое в (2.7). Поскольку u*(k — 1) = (1,... , 1), то Aui(k — 1) ^ 0

для всех i = 1,... ,n и

Е CiXi(k — 1)(1 + Aui(k — 1))e—а(к—1) ^ Е CiXi(k — 1)e—а(к—1). (2.8)

i=1 i=1

Пусть k = 2, тогда из (2.8) получаем

1n

Ha(«(2).X(0)) = EE CiXi(j )ui(j )e aj =

j=0 i=1

E CiXi(0)(u*(0) + Aui(0)) + E CiXi(1)(1 + Aui(1))e a ^

i=1 i=1

^ E CiXi (0)^1

i=1

Xi(0)

+ Aui

+ E CiXi(1)e a =

i=1

n n n n

= E CiXi(0) — E CiX* + E CiAui(0)Xi(0) + E CiXi(1)e—a. (2.9)

i=1 i=1 i=1 i=1

Найдем

x(1) = F((1 — u(0))x(0)) = F((1 — u1(0))X1(0),..., (1 — un(0))Xn(0)) =

=F (( xX0)—^Ь*0)- ■ ■ ■ ■ ( xX0) - a“"<°>)x"<«>)=

= F(x1 — Au1(0)x1(0),... ,хП — Aun(0)xn(0)) = F(x* — Au(0)x(0)). (2.10) Тогда из (2.6) следует

n n n

E CiXi(1)e—a = e—a E Cifi(x* — Au(0)x(0)) ^ e—a E Ci(fi(x*) — Aui(0)xi(0)ea). (2.11)

i=1 i=1 i=1

Таким образом, из (2.9) и (2.11) имеем Я«(й(2),х(0)) ^

n n n n

^ E CiXi(0) — E CiX* + E CiAui(0)xi(0) + E Ci (fi(x*)e—a — Aui(0)xi(0)) =

i=1 i=1 i=1 i=1

n n n

= E Ci(fi(x*)e—a — x*) + E CiXi(0) = e—aD(x*) + E CiXi(0) = Ha(u*(2),x(0)), (2.12)

i=1 i=1 i=1

т. е. (2.2) выполнено.

ОПТИМИЗАЦИЯ ДИСКОНТИРОВАННОГО ДОХОДА

21

Затем, если k ^ 3, то

u(k— 2) = u*(k — 2)+Д u(k-2)

1

*

1

fi(x*)

f Дих(к — 2),..., 1

тта+Д^(к — 2) , (2.13) fn(x*)

следовательно,

x(k — 1) = F ((1 — u(k — 2 ))x(k — 2)) =

= F^fXx*) — ^(k — 20 Xi(k — 2),...^f~Jx*) — ДUn(k — 2^ Xn(k — 2)). (2.14)

Пусть Дх^ — 2) = (Дx1(k — 2),..., Дхп^ — 2)), где

Дх^ — 2) = -Х— — Д^^ — 2) Xi(k — 2) — х*. (2.15)

fi(X )

Тогда X(k — 1) = F(x* + Дx(k — 2)) и Xi(k — 1) = fi(X* + Дx(k — 2)), i = 1,..., n. Таким образом, учитывая (2.6), получаем

J2°iXi (k — 1)e-a(k-1) =

i= 1

= 52 Cifi (X* + Дx(k — 2))e-a(k-1) <52 Ci (fi(X*) + Дxi(k — 2)e“)e.-“(k-1) =

= £ Ci( fi(X*) +

i= 1

fi (X*)

Дui(k —

Xi(k — 2)ea — X*ea) e-a(k-1) =

= D(X*)e-a(k-1)

+ Ci

i= 1

X*

fi(X*)

Дui(k —

Xi(k — 2)e-a(k-2).

Следовательно,

k—2 n

EE CiXi(j)ui(j)e ' + ^ ^ CiXi(k 1)e ^ ^ <

j=0 i=1 i=1

k—3 n n

<EE CiXi(j )ui(j )e ' + ^ ^ CiXi(k

2) 1

*

•Ay n

j=0 i=1

i=1

fi(X* )

+ Дui(k — 2) e-a(k-2) +

+ D(X*)e-a(k-1) + £ Ci -X-- — Дui(k — 2) Xi(k — 2)e-a(k-2) i=1 fi(X ) '

k—3 n

= D(X*)e-a(k-1) + EE CiXi (j)ui(j) + E Ci Xi(k — 2)e-a(k-2). (2.16)

j=0 i=1

i=1

22

А. В. Егорова

Далее, из (2.8), (2.12) и (2.16) (при k ^ 3) следуют неравенства

k—1 n

Ha(n(k),x(0)) = CiXi(j )Ui (j ) ^

j=0 i=1

к—2 n n

^ CiXi(j)Ui(j)e—aj + ^ CiXi(k - 1)e—a(k—1) ^

j=0 i=1 i=1

k—3 n n

^ D(x*)e—a(k—1'1 + CiXi(j)Ui(j)e—aj + ^ CiXi(k - 2)e—a(k—2) ^

j=0 i=1 i=1

k—4 n n

^ D(x*) (e—a(k—1) + e—a(k—2)) + CiXi(j)Ui(j)e—aj + CiXi(k - 3)e—a(k—3) ^ ... ^

j=0 i=1 i=1

k— 1 n n

^ D(x*) ^ e—aj + ^ CiXi(0)Ui(0) + ^ CiXi(1)e—a ^

j=2 i=1 i=1

k1

n e—a(k— 1) I n

^ D(x*) J] e—aj + Y, CiXi(0) = D(x*) ea + J] CiXi(0) = Ha(u*(k),x(0)).

i=1 i=1

j=1

Следовательно, Ha(n(k), x(0)) ^ На(й*(k),x(0)) для всех U(k) G [0,1]kn. □

Отметим, что равенства (2.10), (2.13), (2.14), (2.15) получены аналогично работе [10]. Здесь они приводятся для полноты доказательства.

3. Оптимальный режим промысла структурированной популяции для достижения наибольшего дисконтированного дохода

Как и выше, полагаем, что стоимость ресурса, извлеченного за k изъятий, задается равенством

k—1 n

Ha(U(k),x(0)) = Cixi(j)Ui(j)e—aj ,

j=0 i=1

где U(k) = (u(0),. .. ,U(k - 1)), U(j ) = (U1 (j),...,U,n(j)) G [0,1]n для всех j = 0,1,...,k - 1 и k = 1,2,.... Тогда из (1.3) следует, что Ha(n, x(0)) = lim Ha (n(k), x(0)).

. n ( )

Теорема 3.1. Предположим, что D(x) = 52Cj(/i(x) - xie^ достигает максималь-

i=1

ного значения в единственной точке x* G R+, координаты которой удовлетворяют неравенству x* ^ /i(x*) = 0, i =(,..., n. Тогда для любого x(0) G R+ такого, что xi(0) ^ x*, i = 1,... ,n, функция Ha(U,x(0)) достигает наибольшего значения

Ha (u* , x(0))

D(x*)

e« 1

+ Cixi(0)

i=1

на множестве U при следующем режиме эксплуатации:

u*(0)= (1 - XTra)■■■■■1 - хж)■ U*(k)= (1 -

X1 л x.

. . . , 1

/1(x*)

/n(x*)

для всех k ^ 1.

ОПТИМИЗАЦИЯ ДИСКОНТИРОВАННОГО ДОХОДА

23

Доказательство. Положим x(0) Е R+ такое, что Xj(0) ^ x* для всех i = 1,..., n. В (2.5) перейдем к пределу при к ^ ж :

Ha(u,x(0)) = lim Ha(u(k),x(0)) ^ lim Ha(u*(k), x(0)) = lim Ha(u*(k),x(0))

k

к^ж

к^ж e-a(k-1) _ 1

lim D(x*) k^ ж 1 — ea

n D(x*) n

+ lim 6^(0) = ) + Cixi(0).

к^-ж a

i=1

i=1

D(x*) n

Покажем, что равенство Ha(u*,x(0)) = - + C^(0) выполняется при режиме

e<a 1 i=1

эксплуатации п*, описанном в условии теоремы. Действительно, аналогично (2.3) и (2.4) при таких управлениях получаем, что x(j) = F(x*) (т. е. xi(j) = f (x*), i = 1,... , n) для каждого j ^ 1. Следовательно,

Ha(u*,x(0)) = lim H«(u*(k),x(0))

к^ж

lim ^ Cixi (0) 1

к^ж

. i=1

*

<A; A

xi(0)

к—1 n

+ Cixi (j ^1

j = 1 i=1

к—1 n

*

•A; A

fi(x*)

lim Cixi(0) + lim Cix* + lim Ci fi(x*) - x* e aj =

к к к

i=1

i=1

j=1 i=1

D(x*)

ea — 1

+ Cixi(0).

(3.1)

i=1

D(x*) n

Таким образом, Ha(u, x(0)) ^ a + JO Cixi(0) = H(u*, x(0)) для всех u Е U. □

i=1

4. Оптимальный режим эксплуатации однородной популяции

Рассмотрим модель развития однородной популяции (при n =1) при отсутствии эксплуатации. Такая модель задается разностным уравнением

x(k + 1) = f (x(k)), k = 0,1, 2,...,

где x(k) Е R+, f Е C2(R+) — вещественная неотрицательная функция, удовлетворяющая условию f (0) = 0 . Также будем рассматривать класс функций, определенных в I = [0, а] , т. е. f Е C2(I) , и удовлетворяющих условию f (0) = 0 и f (I) С I. Считая, что x(k) — количество ресурса до изъятия в момент k, рассмотрим модель однородной популяции, подверженной промыслу, в виде

x(k + 1) = f ((1 — u(k))x(k)), k = 0,1, 2,....

Без ограничения общности при n =1 можно полагать С1 = 1 .В таком случае дисконтированный доход от извлечения ресурса за k изъятий равен

ж

Ha(u,x(0)) = ^ x(j )u(j)e—aj.

j=0

24

А. В. Егорова

Следствие 4.1. Предположим, что d(x) = f (x) — xea достигает максимального значения в единственной точке x* > 0. Тогда для любого ж(0) ^ х* функция Ha (u(k), x(0)) достигает наибольшего значения

e-«(fc-i) _ I

Hju*(k),x( 0)) = d(x*) - а-----+ х(0)

1 — еа

на множестве [0,1]k при следующем режиме эксплуатации: если k =1, то и* (0) = 1;

х*

и*(1) = 1;

если k = 2, то и*(0) = 1 —

x*

1 — ^; u*(j)

если k ^ 3, то и*(0)

1

x*

при j = 1,... ,k — 2; u*(k — 1) = 1.

x(0) f(x*)

Доказательство. Наибольшее значение функции d(x) , которое достигается в точке x* , положительное, так как выполнено условие f (0) = 0. Значит d(x*) = f (x*) — x*ea > 0. Отсюда получаем, что f (x*) > x*ea > x*. Таким образом, все условия теоремы 2.1 выполнены, а данное утверждение является ее следствием для случая n =1. □

Следствие 4.2. Пусть d(x) = f (x) — xea достигает максимального значения в единственной точке x* > 0. Тогда для любого x(0) ^ x* функция Ha(u,x(0)^ достигает наибольшего значения

Ha(u*,x(0)) = -о—1 + x(0)

на множестве U при следующем режиме эксплуатации:

и*(0) = 1 —

x

x(0)

u*(k) = 1 —

x*

f (x*)

для всех k > 1 .

Доказательство. Аналогично (3.1) при n =1 получаем, что при управлениях, указанных в условии следствия 4.2, x(j) = f (x*) для всех j ^ 1. Значит,

Ha(и*, x(0)) = lim H^k)^))

k—УОС

d(x*) ea — 1

+ x(0).

Отсюда получаем, что Ha(u,x(0))

d(x*)

+ Cixi(0) = H(u*,x(0)) для всех и G U.

ea — 1 i=i

Таким образом, данное утверждение является следствием теоремы 3.1 для случая n =1. □

Работа выполнена под руководством д.ф.-м.н., профессора кафедры функционального анализа и его приложений Владимирского государственного университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых Людмилы Ивановны Родиной.

References

[1] Е. Я. Фрисман, М.П. Кулаков, О. Л. Ревуцкая, О. Л. Жданова, Г. П. Неверова, “Основные направления и обзор современного состояния исследований динамики структурированных и взаимодействующих популяций”, Компьютерные исследования и моделирование, 11:1 (2019), 119-151. [E. Ya. Frisman, M.P. Kulakov, O.L. Revutskaya, O.L. Zhdanova, G.P. Neverova, “The key approaches and review of current researches on dynamics of structured and interacting populations”, Computer Research and Modeling, 11:1 (2019), 119-151 (In Russian)].

ОПТИМИЗАЦИЯ ДИСКОНТИРОВАННОГО ДОХОДА

25

[2] Г. П. Неверова, А. И. Абакумов, Е. Я. Фрисман, “Влияние промыслового изъятия на режимы динамики лимитированной популяции: результаты моделирования и численного исследования”, Математическая биология и биоинформатика, 11:1 (2016), 1-13. [G.P. Neverova, A. I. Abakumov, E. Ya. Frisman, “Dynamic modes of exploited limited population: results of modeling and numerical study”, Mathematical Biology and Bioinformatics, 11:1 (2016), 1-13 (In Russian)].

[3] О.Л. Ревуцкая, Е. Я. Фрисман, “Влияние равновесного промысла на сценарии развития двухвозрастной популяции”, Информатика и системы управления, 53:3 (2017), 36-48. [O.L. Revutskaya, E. Ya. Frisman, “Influence of stationary harvesting on development of a two-age population scenario”, Informatika i Sistemy Upravleniya, 53:3 (2017), 36-48 (In Russian)].

[4] Л.И. Родина, “Об одной стохастической модели сбора возобновляемого ресурса”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:124 (2018), 685695. [L.I. Rodina, “About one stochastic harvesting model of a renewed resourse”, Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 23:124 (2018), 685-695 (In Russian)].

[5] Л. И. Родина, “Свойства средней временной выгоды в стохастических моделях сбора возобновляемого ресурса”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 28:2 (2018), 213-221. [L.I. Rodina, “Properties of average time prot in stochastic models of harvesting a renewable resource”, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki, 28:2 (2018), 213-221 (In Russian)].

[6] L.G. Hansen, F. Jensen, “Regulating fisheries under uncertainty”, Resource and Energy Economics, 50 (2017), 164-177.

[7] А. О. Беляков, А. А. Давыдов, “Оптимизация эффективности циклического использования возобновляемого ресурса”, Труды Института математики и механики УрО РАН, 22:2

(2016) , 38-46; англ. пер.:А. O. Belyakov, A. A. Davydov, “Efficiency Optimization for the Cyclic Use of a Renewable Resource”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 299:suppl. 1

(2017) , 14-21.

[8] М.И. Зеликин, Л.В. Локуциевский, С. В. Скопинцев, “Об оптимальном сборе ресурса на окружности”, Математические заметки, 102:4 (2017), 521-532. [M.I. Zelikin, L.V. Lokutsievskiy, S.V. Skopincev, “On optimal harvesting of a resource on a circle”, Mathematical Notes, 102:4 (2017), 521-532 (In Russian)].

[9] A. O. Belyakov, V. M. Veliov, “On optimal harvesting in age-structured populations”, Dynamic Perspectives on Managerial Decision Making, 2016, 149-166.

[10] А. В. Егорова, Л. И. Родина, “Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса из структурированной популяции”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 29:4 (2019), 501-517. [A. V. Egorova,L.I. Rodina, “On optimal harvesting of renewable resource from the structured population”, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki, 29:4 (2019), 501-517 (In Russian)].

Информация об авторе

Information about the author

Егорова Анастасия Владимировна, аспирант, кафедра функционального анализа и его приложений. Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, г. Владимир, Российская Федерация. E-mail: [email protected]

Anastasia V. Egorova, Post-Graduate

Student, Functional Analysis and its Applications Department. Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs, Vladimir, Russian Federation. E-mail: [email protected]

ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3930-0743

ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3930-0743

Поступила в редакцию 26.01.2021 г. Поступила после рецензирования 25.02.2021 г. Принята к публикации 05.03.2021 г.

Received 26.01.2021 Reviewed 25.02.2021 Accepted for press 05.03.2021