CC BY
63
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД
УДК.621.396
ОПТИМИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ КОНТРОЛЯ И ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ПИЛОТАЖНО-НАВИГАЦИОННОГО КОМПЛЕКСА
Э.А. БОЛЕЛОВ, А.В. СБИТНЕВ Статья представлена доктором технических наук, профессором Емельяновым В.Е.
В работе рассматривается подход к решению задачи оптимизации алгоритмов контроля и диагностирования технического состояния пилотажно-навигационного комплекса основанный на применении методов марковской теории оценивания случайных процессов.
Введение
Пилотажно-навигационный комплекс (ПНК) современного воздушного судна (ВС) представляет собой сложную техническую систему, в его состав входят различные измерители навигационно-пилотажной информации, работающие на различных физических принципах, которые могут быть разделены на две группы: радиотехнические измерители (РТИ) и нерадиотехнические измерители (НРТИ). В составе ПНК РТИ и НРТИ, как правило, обеспечивают информационную, функциональную и структурную избыточности при определении значений навигационно-пилотажных параметров.
В процессе функционирования ПНК по назначению он подвергается воздействию отказов, помех, перепадов давления, температуры и т. д., что вызывает изменение его технического состояния (ТС). Как показывает опыт эксплуатации, РТИ наиболее подвержены отказам, причем отказом РТИ принято считать не только потерю его работоспособности (в классическом понимании этого термина), но и нарушение функционирования РТИ вследствие воздействия помех различного рода, изменения условий функционирования и т.д. Например, доплеровский измеритель скорости и угла сноса (ДИСС) помимо работоспособного состояния и неработоспособного состояния (полный отказ) может находиться в состоянии временного отказа (режим «Память»). НРТИ менее подвержены отказам, что обусловлено их автономностью и принципом функционирования.
В настоящее время для контроля технического состояния ПНК используются ряд методов, которые по принципу организации взаимодействия средств контроля и ПНК можно разделить на тестовые и функциональные методы [1, 2, 3].
Традиционное построение бортовых систем контроля (БСК) на основе тестовых методов не позволяет, как правило, достичь высокой методической достоверности контроля и производить контроль и диагностирование ТС ПНК в процессе его функционирования в полете.
Широкие перспективы при построении БСК современных ПНК открываются с использование методов функционального контроля и диагностирования. Оптимизация алгоритмов контроля и диагностирования ТС ПНК в процессе функционирования может быть выполнена в этом случае на основе современной теории условных марковских процессов. Необходимо также отметить, что развитие вычислительных средств в составе современного ПНК требует в настоящее время разработки дискретных алгоритмов, которые позволят разработать программные и аппаратурные средства функционального контроля и диагностирования ТС ПНК.
Цель работы - с применением методов марковской теории оценивания случайных процессов получить оптимальные алгоритмы контроля и диагностирования ТС ПНК.
Постановка задачи
Математическая модель выходного сигнала РТИ для типовых условий функционирования (когда измеритель находится в работоспособном состоянии) обычно представляется в виде [4]:
yd (к) = х(к) + ех (к), (1)
где х(к) - истинное значение измеряемого параметра; ех (к) - ошибка измерителя.
Причины, вызывающие появление ошибок измерений РТИ различны и могут быть вызваны: ошибками в установке антенн, воздействием помех (в том числе и организованных), нестабильностью частот передатчиков или гетеродинов приемников, условиями распространения радиоволн и т. д.
Ошибка РТИ в нормальных условиях его функционирования, как показывает практика [4], часто считается стационарным гауссовским случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией вида:
КЕ(Т) = sl exp(-a£|r|), (2)
где S2 - дисперсия ошибки РТИ; ae = f1, te - постоянная времени РТИ.
В соответствии с (2) математическая модель ошибки РТИ может быть представлена уравнением [4]:
eB(к) = (к - 1) + УхПх (к -1), £х (0) = ехо, (3)
где fx = exp (-aeDt); Гх = <7^(1 - /х2) ; пх (к) - случайная гауссовская величина с нулевым ма-
тематическим ожиданием и единичной дисперсией; Dt - величина шага дискретизации.
Вместе с тем, представление ошибки РТИ в виде (3) правомерно только при нормальном функционировании измерителя. Такая ситуация не является характерной для РТИ, в процессе функционирования которых происходят (и не однократно) нарушения штатного режима работы. Как показывает опыт эксплуатации, возникновение отказов в РТИ сопровождается или отклонением от нулевого значения математического ожидания ошибки РТИ, или увеличением значения дисперсии ошибки РТИ, причем эти отклонения носят, как правило, скачкообразный характер.
Математическую модель ошибки РТИ, с учетом отказов, можно представить в виде:
e (к, Ух) = 1(к)шх (к) + гх (к,Гх), (4)
где 1(к) - параметр, представляющий собой индикатор «скачка» математического ожидания ошибки тх (к); ех (к ,ух) - ошибка РТИ, определяемая выражением (3) и отражающая ее зависимость от изменения значения дисперсии 7e.
Процесс изменения технического состояния РТИ часто аппроксимируется дискретной цепью Маркова [4]. Такое предположение является определенным допущением, однако, позволяет с достаточной степенью адекватности описать переход РТИ их одного ТС в другое.
Таким образом, параметр 1(к) представляет собой дискретную цепь Маркова с двумя состояниями {0,1} и заданными: вектором начальных вероятностей состояний P10 = [p10,pX1]° и матрицей вероятностей перехода:
)| ik -1)]
Р l P l
Л00 Л01
Далее для определенности будем считать, что значение Л(к) =0 соответствует нормальному (штатному) функционированию РТИ, а 1(к )=1 - аномальному функционированию РТИ, т.е. его отказу.
Модель изменения во времени уг (к) в первом приближении можно также описать дискрет-
ной цепью Маркова на N состояний с заданными: вектором начальных вероятностей состояний Ру0 = [ру0,...,ру. .,р^]° и матрицей вероятностей перехода:
ру[У(к) = У\У(к -1) = у ] = [ру Ь 1N, 7 =1, N,
причем состояния с номерами г = 1, К соответствуют нормальному функционированию РТИ, а состояния с номерами г = К +1, N - случаям ухудшения функционирования РТИ, т.е. его отказу.
В выражении (4) изменение во времени тг(к) может быть описано в виде:
тг (к) = 0 , при 1(к) = 0; тг (к) = тв (к -1), при 1(к) = 1; (5)
тг(к) = тг(к -1) + Гшпш(к -1), при 1(к) =1,1(к -1) = 0, где ут - интенсивность «скачка» математического ожидания тг(к); пт (к) - случайная гауссовская величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Математическая модель выходного сигнала НРТИ может быть записана аналогично (1):
у, (к) = гцк)+Х(к), (6)
где Х(к) - ошибка измерения НРТИ.
Ошибка НРТИ содержит как медленно меняющуюся, так и флуктуационную составляющую. В соответствии с [4] модель ошибок НРТИ определяется выражениями:
Хг (к) = Хг(к -1)+т((к - 1)Д( + уп1 (к -1), Х(0) = Х0, (7)
т^(к) = т^(к -1) , т^(0) = т^, (8)
где т^(к) - медленно меняющаяся составляющая ошибки НРТИ; у = (2А^^^^)-0,5; - ширина спектра флуктуаций ошибки НРТИ; - стационарные значения дисперсий ошибки
НРТИ; п(к) - случайная гауссовская величина с нулевым математическим ожиданием и еди-
ничной дисперсией.
Особенностью рассмотренных моделей выходных сигналов РТИ (1) и НРТИ (6) является то, что они содержат коррелированные (окрашенные) ошибки.
В составе ПНК РТИ и НРТИ, как правило, обеспечивают информационную избыточность при вычислении значения измеряемого параметра х(к). Априорные уравнения, описывающие модели изменения во времени истинного значения информационного параметра х(к), в общем случае, неизвестны или не обладают достаточной степенью адекватности. Для преодоления этой априорной неопределенности, в соответствии с [4, 5], в моделях (1) и (6) необходимо выразить истинные значения параметра через измерения:
г(к) = У,(к) - е (к) = г (к), о(к) = у{ (к) - Хх (к) = г2(к) . (9)
Для (9) справедливо уравнение связи:
г (к) - г (к) = Ур (к) - £х (к) - у, (к) + £ (к) = 0. (10)
Перегруппировав элементы в уравнении (10) и обозначив ур (к) - у, (к) = А(к), получаем выражение:
А(к) = е, (к)-Хх (к), (11)
называемое контрольным соотношением.
Контрольное соотношение (11), по сути, является новым измерением, которое инвариантно к истинному значению измеряемого параметра х(к) и позволяет оценить ТС ПНК.
Таким образом, на основании выражений (3), (5), (7) и (8) при решении задачи контроля ТС ПНК можно сформировать вектор непрерывных параметров:
где Ог=
/е 0 0 0
0 1 0 Аг
0 0 1 0
0 0 0 1
Аг(к, к -1, Л) =
- известные мат-
б(к) = [ег(к), Хг(к), т „(к), т,(к)]° (12)
и вектор дискретных параметров:
Л(к) = [1(к), У£(к)]° , (13)
которые подлежат оцениванию в БСК для определения вида ТС.
Уравнение, описывающее эволюцию вектора (12) во времени, в векторно-матричном форме записывается в виде:
б(к) = О гХ(к -1) + Аг(к, к -1, Л)Nх (к -1), Х(0) = Х0, (14)
Уе(к) 0 0 0
0 Ух 0 0
0 0 Ут(1(к ),1(к -1)) 0
0 0 0 0
ричные функции своих аргументов, зависящие от компонент вектора Л(к); N х (к) - вектор гауссовских случайных процессов с независимыми значениями и известными статистическими характеристиками М{*,(к)]= 0, М{^(к)№(т)} = ; I - единичная матрица; 8кт - символ
Кронекера.
Математической моделью, описывающей эволюцию вектора (13) во времени является дискретная цепь Маркова с вектором начальных вероятностей состояний ВЛ0 = Р10 ® Р у0 и матрицей вероятностей переходов рл =жх®жу, где ® - символ операции прямого произведения матриц.
Контрольное соотношение (11) в векторно-матричном форме записи имеет вид:
А(к) = О А (Л)б(к -1) + Аа (к, к -1, Л)^(к -1),
где О А (Л) = [/ -1 1(к) -А1]; Аа (к, к -1, Л) = [у(к) у ут (Х(к),Х(к -1)) 0]
ные матричные функции своих аргументов.
Таким образом, постановка задачи оптимизации алгоритмов контроля и диагностирования ТС ПНК может быть сведена к следующему. По наблюдению (15) в каждый момент времени требуется определить оптимальные оценки процессов (12) и (13) по критерию минимума апостериорного среднего риска при квадратичной функции потерь. При получении соответствующих оптимальных алгоритмов воспользуемся методом разделения [5, 6].
Оптимальные алгоритмы контроля и диагностирования ТС ПНК
При наблюдении процесса (15) исчерпывающее решение задачи оптимизации алгоритма контроля и диагностирования ТС ПНК может быть получено на основании совместной апостериорной плотности вероятности векторов Х(к) и Л(к)
®к(Л,Х) = р (к; Л(к), Х(к)|Ак), (16)
где А0 ={А(0), А(1), А(2),..., А(к)] - реализация наблюдения (17).
Указанная плотность вероятности удовлетворяет рекуррентному уравнению Стратоновича [4, 5, 6]:
Шк (Л, Х) = р [Л, Х, А(к) \ Л1, Х1, А(к -1)]^-1 (Л1, Х1)^Л1^Х1, (17)
где С - нормировочная постоянная, определяемая выражением:
С = (|... [Л, Х, А(к) \ Л1, Х1, А(к -1)]^-1 (Л1, Х1 )^Л1^Х1^Л^Х) 1,
где р[Л, Х, А(к)\ Л1, Х1, А(к -1)] - плотность вероятности перехода совместного марковского процесса.
(15) - извест-
Аналогично [6] будем искать решение в виде:
v(L,X) = Vk(Л)Шк(X| Л). (18)
Проинтегрировав обе части равенства (17) по X с учетом (18), получим:
V (Л) = Д JX [Л, D(k) | Л!, X! ) V _1 (Л! )Шк _, (X! | Л! ^dX, , (19)
где N, - нормировочная постоянная, определяемая аналогично (17).
Плотность вероятности перехода КЛ [• | •], записанная с учетом независимости правой части от D(k), может быть представлена как:
Кл[Л,D(k) | Л,,X,] = Ял [Л | Л,]Кд [Д(к) | Л,Л,,X,], (20)
где Кд[Д(к)|Л,Л,,X,] = N{0д(L)X,;А,(Л)}; В,(Л) = А,(Л)АД(Л).
Здесь и далее N {M; D} - гауссовская плотность вероятности, определяемая выражением:
p(X) = [(2к)п det D]_2 exp j(_!) [X _ Mf D_! [X _ M]J,
где M - вектор математических ожиданий; D - матрица вторых центральных моментов; n -размерность вектора X .
Для апостериорных вероятностей состояний введем обозначение:
6,(k) = {1(k) = igk) = g |D0} , i = 0,1, j = р. (21)
Апостериорная плотность вероятности дискретного процесса L(k) связана с соответствующими апостериорными вероятностями состояний (21) соотношением:
1 N
V (Л) = 2! p, (k )d(i, j), (22)
i=0 j=1
где d() - дельта функция.
Подставив (22) в (19) получим
Г N
6о, (k) = Nl |Kioo!(К„ 6о,(k _ 1)jN{0д(1 = 0)0,; Ад (1 = 0,1, = 0, g,)}x
N
Vk_,(X,| 1 = 0, gj)}dX,) + К10!(Kg, 61 j(k_ 1){N{0д(1 = 0)0,;
j=1
Ад(1 = 0,1= 1, gj )}Vk_,(X, 11, = 1, gj )dX,)} ,
Г N
60N (k) = Nl j жш ! (KgJ„ j (k _ 1) j N{0 д (1 = 0)0,; Ад (1 = 0,1, = 0, g)} x
N
Vk_,(X, 11 = 0,gj)}dX,)+K1,„!(j,j(k_ 1)jN{0д(1 = 0)0,;
j=1
Ад (1 = 0,1 = 1, g;)} Vk_1 (X, 11, = 1, g; )dX,)} ; (23)
N
6,, (k) = Nl |к,0,!(*„, 60j(k_ 1)JN{0д(1 = 1)0,; Ад(1 = 1,1, = 0, gj)}
N
Vk_,(X, 11 = 0, gj)}dX,) + K111!(Kg, 61 j(k_ 1){N{0д(1 = 1)0,;
j=1
Ад (1 = 1,1 = 1, gj)} Vk_,(X, 11 = 1, g. )dX,)} ,
где
(я
Рм, Ё (Р„д<., (к -1)| N{0 а (1 = 0)6,, Аа (1 = 1,1= 0,у. )(х
N
Шк(Х. 11 = 0,у.)}о'Х1)+ р,пЁ(р,Л,(к- 1)|N{0А(1 = 1)б.;
1=1
Аа(1 = 1,1 = 1, у; )}Шк-1(Х1 \ 1 = 1, У )^ )] . (24)
В выражениях (23) и (24) ЙЛ - нормировочная постоянная, определяемая аналогично (19). Разделив обе части равенства (17) на Шк (Л), получим:
Шк (Х \ Л) = СгЦр [Х, А(к) \ Л, Л„ Х1 ]Шк-1 (Л1 )Шк-1 (Х1 \ Л1 , (25)
р [ Х, А(к) \ Л, Л1, Х1 ] = р [ Х \ Л, Л1, Х1 ] Ра [ А(к) \ Л, Л1, Х1 ];
р [ Х \ Л, Л1, Х ] = N {О о 61; Аб (Л)} ; В о (Л) = Аб (Л)АО (Л).
С учетом (23) и (24) выражение (25) можно записать в виде:
Г N
Шк (X \ 1 = 0, У1) = Йх0 | р100 Ё (руп д01(к -1)IN{0 о б1;АО (1 = 0,11 = 0, У;)} х х^О А (1 = 0) б Аа (1 = 0,Д= 0, У1 )}Шк-1(Х1 \ 1 = 0, г. )}^) +
N
+Р110 Ё р д11(к -1) IN{0 X б1 Ло (1 = 0,1 = 1 У1)}х
1=1
х^ОА(1 = 0)б1;Аа(1 = 0,1 = 1,У.)} Шк-1(Х1\ 1 = 1,У;№)}
Шк (Х \ 1 = 0, УN ) = ^ |Р100 Ё (РУ„ д01 (к - 1)|N{0 О б1; АО (1 = ^ 1 = 0,У; )} Х
х^О а (1 = 0)01; Аа (1 = 0,1 = 0, У. )}Шк-1(Х1\ 1 = 0, У. )№) +
N
+р110 Ё (Р> д11(к -1)| X б1 А (1 = ^ ■1 = 1, У )} х
=1
х^О А (1 = 0)б1; Аа (1 = 0,1 = 1, У. )}Шк-1(Х1 \ 1 = 1,У )^1)}; (26)
Г N
Шк (Х \ 1 = 1, У1) = #Х1 | р101 Ё (РУ. 1 д01 (к - 1)|N{0 О б1; АО (1 = 1,1 = 0,У )} х х^О А (1 = 1)б1; Аа (1 = 1,1 = 0,У )}Шк-1 (Х1 \ 1 = 0, У. )}^) +
N
+Р111 Ё (рУ. 1 дИ(к -1)|N{0Xб1 До (1 = 1,11 = 1 У 1)}х
=1 1
х^О А (1 = 1)б1; Аа (1 = 1,1 = 1, У.)} Шк-1 (Х1 \ 1 = 1, У. )^1)} ,
I N
Шк (Х \ 1 = 0, УN ) = ^1 1 р101 Ё р д01 (к - 1)|^0 О б1; АО (1 = 1,11 = 0,У ) } х
х#{0 А (1 = 1)б1; Аа (1 = 1,1 = 0, У. )}Шк-1 (Х1 \ 1 = 0,У )№) +
N
+р111Ё (КУ„ д1 .1(к -1)|N{0 X б<Ао (1 =1,1 =1У 1)} х
1=1
х^О а (1 = 1)б1; Аа (1 = 1,1 = 1, У 1)} Шк-1 (Х1 \ 1 = 1,У )^1)} . (27)
В выражениях (26) и (27) Йх0 и Йх1 - нормировочные постоянные, определяемые аналогично (19).
Соотношения (23), (24) и (26), (27) представляют собой оптимальные алгоритмы контроля и диагностирования ТС ПНК и позволяют последовательно, при к = 0,1,2,..., явным образом рассчитать совместное апостериорное распределение (16) при наблюдении (15) и при помощи процедуры определения глобального максимума в соответствии с заданным критерием определить оценки векторов Х* (к) и Л* (к).
Однако практическая реализация оптимальных алгоритмов в БСК затруднена даже при использовании современных бортовых вычислительных машин. Поэтому целесообразен переход к квазиоптимальным алгоритмам контроля и диагностирования ТС, синтез которых производится на основе метода гауссовской аппроксимации [4, 5, 6].
ЛИТЕРАТУРА
1. Миронов М.А., Ярлыков М.С. Оптимальные дискретные алгоритмы функционального диагностирования технического состояния динамических систем // Автоматика и телемеханика, 1985, №10.
2. Кузьмин А.Б. Функциональный контроль и коррекция состояния контура управления подвижного объекта //Автоматика и телемеханика, 1990, №5.
3. Давыдов П.С. Техническая диагностика радиоэлектронных устройств и систем. - М.: Радио и связь, 1988.
4. Ярлыков М.С., Богачев А.С. Авиационные радиоэлектронные комплексы. - М.: ВАТУ, 2000.
5. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. - М.: Радио и связь, 1993.
6. Миронов М.А. Обнаружение изменения свойств наблюдаемых и ненаблюдаемых случайных процессов //Радиотехника, 2007, №1.
OPTIMIZATION OF CHEK ALGORITHMS AND DIAGNOSING OF AVAILABILITY INDEX OF PRODUCT OF A FLIGHT-NAVIGATION COMPLEX
Bolelov E.A., Sbitnev A.V.
In work the approach to the solution of a task of optimization of check algorithms and diagnosing of availability index of product of a flight-navigation complex grounded on application of methods of the Markov theory of assessing the capability of random processes is considered.
Сведения об авторах
Болелов Эдуард Анатольевич, 1967 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1997), кандидат технических наук, доцент кафедры эксплуатации авиационного радиоэлектронного оборудования ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 16 научных работ, область научных интересов - эксплуатация сложных технических систем.
Сбитнев Александр Васильевич, 1978 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2005), адъюнкт ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 6 научных работ, область научных интересов - эксплуатация сложных технических систем.
