CC BY
48
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД
УДК.621.396
ДИСКРЕТНЫЙ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ОТКАЗОВ ПИЛОТАЖНО-НАВИГАЦИОННОГО КОМПЛЕКСА
А.В. СБИТНЕВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Емельяновым В.Е.
В работе рассмотрен квазиоптимальный алгоритм обнаружения отказов в пилотажно-навигационном комплексе. Синтез квазиоптимального алгоритма основан на применении методов марковской теории оценивания случайных процессов.
Введение
Разработка и внедрение в эксплуатацию современных пилотажно-навигационных комплексов (ПНК), являющихся сложными техническими системами, требует разработки новых подходов к созданию систем контроля, и, в первую очередь, бортовых систем контроля (БСК), позволяющих с высокой достоверностью оценивать техническое состояние ПНК в процессе его использования по назначению в воздухе.
Традиционные тестовые методы не позволяют получить высокой методической достоверности контроля и к тому же обладают существенным недостатком - необходимостью организации специального режима работы ПНК [1, 2, 3]. В настоящее время широкие перспективы при создании БСК открываются при использовании группы методов функционального контроля, которые основаны на марковской теории оценивания случайных процессов [1, 2].
Целью работы является получение удобного для практической реализации в бортовой системе контроля (БСК) квазиоптимального алгоритма обнаружения отказов ПНК с применением методов марковской теории оценивания случайных процессов. Синтез квазиоптимального алгоритма обнаружения отказа будем осуществлять применительно к типовым устройствам ПНК: доплеровскому измерителю скорости и угла сноса (ДИСС) и инерциальной навигационной систем (ИНС).
Постановка задачи
Исходная информация для синтеза дискретного квазиоптимального алгоритма обнаружения отказов ПНК содержится в выходных сигналах ДИСС и ИНС. Математические модели выходных сигналов ДИСС и ИНС, приведенных после преобразования к единой системе координат, можно представить в виде [4]:
Ж,. (к) = V (к)+е, (к), (к) = V (к)+£. (к),
Ж,, (к) = Ж, (к)+ £, (к), (к) = V (к)+£ (к), ( )
где Ж, (к) и V (к) - истинные значения составляющих путевой скорости по соответствующим координатным осям; ех (к), £г (к), £ (к), £ (к) - погрешности измерений.
Так как погрешности ДИСС и ИНС можно считать взаимно независимыми, то целесообразно в дальнейшем при синтезе квазиоптимального алгоритма обнаружения отказов ограничиться рассмотрением одного информационного канала, например, канала составляющей вектора путевой скорости Ж, (к). Для другого канала алгоритм будет аналогичным. В дальнейшем для
облегчения записи индекс «х» опускается.
Математическая модель погрешности измерения ДИСС можно представить в виде:
є(к) = 1(к )шє(к) + є(к). (2)
Процесс 1(к) в (2) представляет собой дискретную цепь Маркова с двумя состояниями {0,
1}, заданной матрицей вероятностей перехода Рх\Я(к)| l(k-1)] =
Р і Р i
l0 l1
и вектором на-
чальных вероятностей состояний P10 = [p10, pxx ]° . Далее для определенности будем считать, что значение 1(k )=0 соответствует нормальному (штатному) функционированию РТИ, а Я(к )=1 -аномальному функционированию РТИ, т.е. его отказу.
Флуктуационная составляющая погрешности ДИСС e(k) определяется выражением [4]:
£(k) = f£(k -1) + Г- (k - 1)ne(k -1), ^(0) = ^ (3)
где f e = exp (-a-О); g-(k) = s2e(k)(1 -fe2) ; ne(k) - случайная гауссовская величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; T - величина шага дискретизации; а г -величина, характеризующая ширину спектра флуктуаций погрешности ДИСС; s2e(k) - дисперсия погрешности ДИСС, зависящая от его технического состояния.
Модель изменения во времени s2e(k) в первом приближении может быть представлена дискретной цепью Маркова на N состояний с известной матрицей вероятностей перехода яа[&1 (k) = <J2ei \s2e(k-1) = с?2 ] = [p ], i = 1,N, j = 1,N и вектором начальных вероятностей со-
j
стояний Ps0 = [ps0,...,psi psN]°, причем состояния с номерами i = 1,K соответствуют нормаль-
ному функционированию ДИСС, а состояния с номерами / = К +1, N - случаям ухудшения функционирования ДИСС, т.е. его отказу.
В выражении (2) изменение во времени те (к) может быть описано в виде [5]:
те (к) = те (к - 1) + Ут (1(кX 1(к - 1))Пт (к - 1) , (4)
где ут (1(к),Л(к -1)) - интенсивность «скачка» математического ожидания те (к), определяе-
мая как:
ппмп т 1°, 1(к) = 1(к -1),
Ут (1(к),1(к - 1)) = \у и
Ут , 1(к) *1(к - 1),
пт (к) - случайная гауссовская величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Погрешность ИНС содержит как медленно меняющуюся, так и флуктуационную составляющую и определяется выражением [4, 5]:
£(к) = £(к -1)+т1(к - 1)Т +Уп(к -1), £(°) = £0, (5)
т£(к) = т^(к-1) , т£(0) = т^°, (6)
где т^(к) - медленно меняющаяся составляющая погрешности ИНС; у^= (2Та£с£)-°’5; а^-ширина спектра флуктуаций погрешности ИНС; <г£ - стационарные значения дисперсий погрешности ИНС; п^(к) - случайная гауссовская величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Так как статистическая динамика Ж, (к) и V (к) неизвестна, то для преодоления априорной неопределенности в соответствии с принципом инвариантности сформируем новое наблюдение в виде разностного сигнала [4, 5]:
Д(к) = Ж„(к)-Ж1(к) = е(к)-£(к). (7)
С учетом (1)-(6) модель наблюдения в БСК в векторно-матричном виде принимает вид:
А(к) = О д (Л)0(к -1) + Аа (к, к -1, Л^3(к -1), (8)
где 0 А (Л) = [Л -1 1(к) -Т] , АА (k, к - 1, Л) = [Гг (к) У Гм (1(к),1(к - 1)) о] - известные
матричные функции своих аргументов; Nх (к) - вектор гауссовских случайных процессов с независимыми значениями и известными статистическими характеристиками м ^, (к )}= , М{^(к)^ (м)} = Ц,,, I - единичная матрица; 5км - символ Кронекера;
0(к) = [ ё(к ),Х(к), мг (к), м^(к)]° - вектор непрерывных параметров; Л(к) = [1(к), уг (к)]° - вектор дискретных параметров.
Выражение, описывающее эволюцию вектора 0(к) во времени, в векторно-матричной форме записывается в виде:
0(к) = О дХ(к -1) + А3(к, к -1, Л)Nх (к -1), Х(0) = Х0,
где О 3
і 0 0 0“ Ї (к ) 0 0 0“
0 1 0 Т , Ад (к, к -1, Л) = 0 ЇХ 0 0
0 0 1 0 0 0 Гм (1(к),1(к - 1)) 0
0 0 0 1] 0 0 0 0]
(9)
известные матрич-
ные функции своих аргументов.
Математической моделью, описывающей эволюцию вектора Л(к) во времени, является дискретная цепь Маркова с вектором начальных вероятностей состояний ВЛ0 = Р10 ® Ру0 и матрицей вероятностей переходов жЛ [Л(к)| Л(к -1)] = жх®жа, где ® - символ операции прямого произведения матриц.
Структурная схема БСК, формирующей оценку технического состояния ПНК, представлена на рис. 1, где В - вычислитель, например, типа В-144, ПК1 и ПК2 - преобразователи координат.
Рис. 1
Таким образом, постановка задачи синтеза квазиоптимального алгоритма обнаружения отказа ПНК сводится к следующему: по наблюдению (8) требуется определить оценку О* (к) и Л* (к) по критерию минимума апостериорного среднего риска при квадратичной функции потерь.
Квазиоптимальный алгоритм обнаружения отказа ПНК
Квазиоптимальный алгоритм обнаружения отказов разрабатывается на основе оптимального алгоритма, который может быть получен на основании совместной апостериорной плотности
вероятности Шк(Л,X) = р(к;Л(к),Х(к) | АО), АО ={А(0),А(1), А(2),...,А(к)} - реализация наблю-
дения. Указанная плотность вероятности удовлетворяет рекуррентному уравнению Стратоно-вича [5, 6]:
v(Л,X) = NЦP[Л,X,Д (k) | Li,Xi v-1 (Li,Xi^Л^, (10)
где C = (i-i р[Л,X,D(k) | Л1,X1 ]vk-1(L1,X1)dL1dX1dLdX) - нормировочная постоянная;
р[Л, X, D(k) | Л1, X1 ] - плотность вероятности перехода совместного марковского процесса.
В соответствии с методом разделения будем искать решение в виде:
Vk(Л,X) =Vk(ЛVk(X| Л). (11)
Проинтегрировав обе части равенства (10) по X, с учетом (11), получим:
Vk(Л) = Ni^Рл [Л,D(k) | Л1,Xl)tyk-l(Лl)Шk-1(X11 Лl)dЛldXl, (12)
где N1 - нормировочная постоянная, определяемая аналогично (10);
Рл [Л,D(k) | Л„ X, ] = Рл [Л | Л, ]Рд [D(k) | Л, Л„ X, ], где Рд[Д(*)|Л, Л„ X. ] = N{0 д (L)X„ Ад (Л)}; N {M; D} - гауссовская плотность вероятности с известным вектором математических ожиданий M и матрицей вторых центральных моментов D; Вд (Л) = Ад (Л) АД (Л).
Апостериорные вероятности состояний дискретного процесса L(k), получаемые на основе (12) имеют вид:
1 N
P (k) = Nl'Zpu,ZPsP(k - 1)iN{0д (l = /)б1; Ад (l = ,,A, = k, g)}x
k=0 1=1 (13)
Vk-1 (X111 = k, g)}dX1), i = 0,1, j = 1N,
где Nl - нормировочная постоянная, определяемая аналогично (10).
Разделив обе части равенства (10) на Vk (Л), получим:
V (X | Л) = СдЦрх [X, D(k) | Л, Л„ X1 ]Vk-1(LVk-1(X1 | L^dX^, (14)
где рх [X, D(k) | Л, Л1, X1 ] = Px [X | Л, Л1, X1 ] Рд [D(k) | Л, Л1, X1 ];
Px [ X | Л, Л1, X1 ] = N {О б 61; Аб (Л)} ; B б (Л) = Лб (Л)А0б (Л) .
С учетом (13) выражение (14) можно записать в виде:
1 N
V (X11 = i,gj) = Nxi ZpkZ (Ps/k, (k - 1)i N{0 ^ б{Ао (l = i, l = k, g)} x
k=0 j=1 (15)
xN{0 д (l = i)61; ад (l=i,l1 = k,g )}Vk-1(X111 = k,g )}dX1X i = 0,1, j =1, N.
В выражении (15) Nxi - нормировочные постоянные, определяемые аналогично (10). Соотношения (13) и (15) представляют собой оптимальные алгоритмы контроля и диагностирования ТС ПНК и позволяют последовательно, при k = 0,1,2,..., явным образом рассчитать совместное апостериорное распределение (11) при наблюдении (8).
Практическая реализация оптимальных алгоритмов в БСК затруднена даже при использовании современных бортовых вычислительных машин, поэтому целесообразен переход к ква-зиоптимальным алгоритмам контроля и диагностирования ТС, синтез которых производится на основе метода гауссовской аппроксимации [5, 6].
Из (13) следует, что основными статистиками, определяющими оценки дискретного процесса (обнаружение отказов), являются распределения:
Z (D(k )|Л, Л|) = Jp[D(k )| Л, Л„ Q ]V-1(X11 Ll)dXl, (16)
которые представляют собой условные плотности вероятности экстраполированной на один
шаг оценки наблюдения при различных условиях, отражающих зависимости наблюдаемого и ненаблюдаемого процессов от условий функционирования (значений вектора Л ).
При гауссовской апостериорной плотности вероятности:
V(X, |Л,) = N{X(к-11Л,);К(к-1|Л,)}, (17)
из (16) с учетом (12) получаем:
г (Д(к)|Л, Л1) = N {О 4 (Л) О (к - 1|Л1); Л (Л, Л1)+0А (Л)Я(к - 1|Л1)0; (Л)}. (18)
Учитывая (18) и введя обозначение 2(Д(к) |I,ту,) = 2(Д(к) 11 = /,Д = ту,), I = 0,1, п = 0,1,
I = 1, N, выражения (13) могут быть записаны в виде:
1 N
Р ( к )= #Л ЁЖ1т ЁПаЦРШ (к - 1)2(Д(к)| и Ж-1(Х1 1 Л =
п=о 1=1 (19)
I = од, 7 = 1^.
Предположим, что условные апостериорные плотности вероятности (15) на предыдущем шаге являются гауссовскими. Введем обозначение:
^» ч ¡Р [Д(к)■ XI Л, Л„ X1рк-1 (X | Л1 )<Я;
ик (X | Л, Л1) = . (20)
ДОР, [Д(к), X | Л, Л|, X, ]®к-1 (X, | Л1 )<Я.^
На основании [5, 6] и с учетом (8), (9) и (17) можно сделать вывод, что апостериорные плотности вероятности (20) являются гауссовскими. При этом соответствующие условные апостериорные математические ожидания и матрицы вторых центральных моментов определяются выражениями
. Л 'У» г Л |
О* (к | Л, Л1) = О О 0(к -1| Л1) + К(к | Л, Л1) [Д(к) - О Д (Л) 0(к -1| Л1)], (21)
[Л Л \ я* я* \ ””| Г” я? я? \ Л Л \ ””| -1
О х К(к -11 Л^О Д (Л)+АЛ- АД ] [ Ад АД + О д (Л)И(* -11 Л^О Д (Л)] ,
Я(к | Л, Л1) = О х Я(к -11 Л1 )О X + Ах АХ - К (к | Л, Л1) х X [Ах Ад + О X И(к - 1|Л1)О Д (Л) ]*,
а для следующего шага имеем:
1 N
ЁЖ?Ы ЁЖо,Рг1 (к - 1)2 (Д(к )| К П,Г{ ^* (к | К ^У1) _ __
0(к 11 = 1,у) = ^^----------N----------------------------------------, I = 0,1, 7 = 1,N, (22)
Ё Ё Ри(к -1)2 (Д(к) | ^ т У)
п=0 1=1
1 N
ЁР^ Ё (к -1)2 (Д(к) | ^ т У)К(к | ^ т У I)
К(к 11 = 1,у) = ^^----------N---------------------------------------, I = 0,1, 7 = 1,N . (23)
Ё Ё РаРи(к -1)2 (Д(к) | ^ т У)
п=0 1=1
Квазиоптимальные оценки вектора Л* (к) определяются соотношением:
Л*(к):тахРц(к), I = 0,1; 7 = 1,N. (24)
При использовании квадратичной функции потерь для оптимизации оценки процесса (9) получим:
N N
X-(к | Л) = Ё Р,„ (*Ж*|1 = 0, у7) + Ё Р„ (кЩк | Л = 1,у), 7 = 1, N. (25)
Выражения (19), (21)-(23) представляют собой квазиоптимальный алгоритм обнаружения отказов ПНК, достоинством которого является возможность практической реализации и полу-
чение оценки технического состояния комплекса по характеристикам практически совпадающим с характеристиками оптимальных алгоритмов. На рис. 2 представлены результаты моделирования полученного алгоритма для случая проявления отказов в виде «скачка» математического ожидания погрешности ДИСС, а на рис. 3 - для случая увеличения в три раза значения среднеквадратической ошибки погрешности ДИСС.
Рис. 2
Рис. 3
ЛИТЕРАТУРА
1. Миронов М.А., Ярлыков М.С. Оптимальные дискретные алгоритмы функционального диагностирования технического состояния динамических систем // Автоматика и телемеханика, 1985, №10.
2. Кузьмин А.Б. Функциональный контроль и коррекция состояния контура управления подвижного объекта //Автоматика и телемеханика, 1990, №5.
3. Давыдов П.С. Техническая диагностика радиоэлектронных устройств и систем. - М.: Радио и связь, 1988.
4. Ярлыков М.С., Богачев А.С. Авиационные радиоэлектронные комплексы. - М.: ВАТУ, 2000.
5. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. - М.: Радио и связь, 1993.
6. Миронов М.А. Обнаружение изменения свойств наблюдаемых и ненаблюдаемых случайных процессов // Радиотехника, 2007, №1.
DISCRETE QUASI-OPTIMAL ALGORITHM OF DETECTION OF ABANDONINGS OF A FLIGHT-
NAVIGATION COMPLEX
Sbitnev A.V.
In work is considered quasi-optimal algorithm of detection of abandonings in a flight-navigation complex. The synthesis quasi-optimal of algorithm is grounded on application of methods of the Markov theory of assessing the capability of random processes.
Сведения об авторе
Сбитнев Александр Васильевич, 1978 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2005), адъюнкт ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 6 научных работ, область научных интересов - эксплуатация сложных технических систем.
