CC BY
8
удк 621.37:621.391 С. Г. Рассомахин [S. G. Rassomahin], О. П. Малофей [O. P. Malofey], А. О. Малофей [A. O. Malofey]
оптимизация алгоритма передачи числовых позиционных кодов для дискретных каналов c флуктуационным шумом
Optimization of algorithms transferring numeric positional codes for discrete channels with the fluctuation noise
Предложен алгоритм формирования и обработки сигналов для передачи позиционных кодов, основанный на критерии минимума среднего квадрата ошибки восстановления чисел на выходе канала с аддитивным белым гауссовым шумом (АБГШ). Алгоритм обеспечивает использование неравномерной энергетической «защиты» разрядов чисел при комбинировании «мягких» и «жестких» решений оптимального приема в условиях ограничения средней мощности передатчика. Для различного качества канала рассчитаны параметры сигналов и показатели эффективности алгоритма. Показана возможность достижения существенного выигрыша по точности передачи позиционных чисел, достигаемого без дополнительных частотных и энергетических затрат.
Ключевые слова: Алгоритм, аналого-цифровое преобразование, позиционный код, энергия сигнала, мощность шума, отношение сигнал/ шум, фазовая модуляция, оптимизация.
The article suggests algorithm for generating and processing signals for transmission of positional codes, based on the criterion of minimum mean squared error recovery numbers on the output channel with additive white Gaussian noise (AWGN). The algorithm enables the use of non-uniform energy «protection» of numbers by combining bits of «soft» and «hard» decisions in the best reception conditions limit the average power of the transmitter. For a different channel quality parameters calculated signals and indicators of efficiency of the algorithm. The possibility of achieving a significant gain in accuracy transmit positional numbers are achieved without additional frequency and energy costs.
Key words: The algorithm, analog-to-digital conversion, the position code, the energy of the signal, the noise power, the signal-to-noise ratio, phase modulation, optimization.
Во многих практических случаях системы передачи дискретной информации (СПДИ) предназначаются для передачи цифровых значений, соответствующих измерениям конкретных физических величин. При этом первичными сообщениями дискретного источника являются числа, представленные позиционно-значимыми кодами с произвольным (как правило, двоичным) основанием системы счисления. В неко-
торых случаях переход к позиционным кодам при передаче дискретных сообщений вызван использованием перспективных способов помехоустойчивого представления данных, при этом становится возможной реализация алгоритмов «накопления» для усреднения мешающих воздействий помех. Использование обычных корректирующих кодов не всегда является оправданным, особенно при функционировании СПДИ в реальном масштабе времени. При этом отсутствуют возможности введения задержки передачи, а зачастую и возможности расширения спектра. Естественным отличием процесса разработки алгоритмов передачи количественной информации является стремление минимизировать ошибку восстановления чисел (которая является следствием, как первичного аналого-цифрового преобразования, так и искажений в канале), причем традиционная минимизация вероятности ошибки на символ при передаче по зашумлен-ному каналу далеко не всегда приводит к уменьшению дисперсии ошибки восстановления. Точность функционирования СПДИ зависит от совокупности параметров представления, передачи и обработки позиционных кодов и достигается комплексным компромиссом при выборе алгоритмов и параметров преобразования сообщений.
Наиболее типичными направлениями исследований являются вопросы оптимизации точности цифрового представления в зависимости от качества каналов, а также методы использования неравномерной защиты значащих разрядов чисел [1, 4]. Вместе с тем, вопросы синтеза и оптимизации алгоритмов приема (различения) сигналов, используемых для представления количественной информации, являются недостаточно проработанными. Особенно актуальным является рассмотрение процедур обработки сигналов на основе «мягких» решений приемника, приводящих к реализации так называемого дискретно-непрерывного канала. При этом компромисс при использовании «жестких» и «мягких» решений при обработке различных разрядов одного и того же кодового слова может обеспечить приближение СПДИ к потенциальным характеристикам помехоустойчивости [3-5].
Рассмотрим достаточно традиционную задачу, заключающуюся в необходимости передачи чисел, которые получены аналого-цифровым преобразованием измерений непрерывной случайной величины, по каналу с АБГШ. При надлежащем согласовании источника и преобразователя входные сообщения канала могут быть описаны распределением вероятностей Q(x), заданном на множестве действительных чисел х0,...,хт_1 .
При этом п = т - разрядность чисел х1, / = 0, т -1, представленных в двоичной системе счисления. Ограничимся рассмотрением самого неблагоприятного (с точки зрения помехоустойчивости передачи) случая равномерного распределения вероятностей чисел ()(х/) = т, / = 0, т -1, что соответствует безизбыточному источнику с энтропией на одно число, равной Нх = т бит. В этом случае отсутствуют корреляционные связи между разрядами чисел, принимающих с равной вероятностью # = 0.5 значения «0» или «1». При этом наилучшая помехоустойчивость (по критерию максимального правдоподобия) достигается при когерентном поэлементном приеме разрядов чисел [3, 4]. Для произвольногоу-го разряда при использовании противоположных сигналов с фазовой модуляцией (ФМ) вероятность приема с ошибкой определяется
2V
an
где Еу = а; —, у = 0, п -1 - энергия сигнала с амплитудой ау на интервале модуляции Т, N - спектральная плотность мощности АБГШ. Формула (1) соответствует стандартному «жесткому» правилу принятия решения при приеме одиночного у-го символа произвольного /-го числа. В упрощенном виде это правило представляется выражением
(2)
*
где xf j - оценка значения разряда двоичного числа,
2 т
sj = г > cj(t)=±aj smKO'
^ о
t е 0,Г (начальная фаза для простоты опущена), £(t> - реализация АБГШ на интервале модуляции T (в дальнейшем для простоты T = 1), ^о - несущая частота. В случае равномерного распределения энергии между значащими разрядами передаваемых чисел Ej = const = E, aj = a, j = 0,n -1, дисперсия ошибки восстановления чисел с учетом позиционного веса разрядов и формулы (1) при поэлементном приеме с незави-
симыми ошибками (двоичный симметричный канал) определяется выра-
жением
1 -— w—1
(3)
¥0 а
7=0
Одним из известных способов уменьшения средней мощности ошибки (3) является перераспределение энергии, затрачиваемой на передачу символов чисел, которое осуществляется в соответствии с позиционным весом значащих разрядов [2]. При этом средняя энергия сигналов, используемых для передачи чисел, остается фиксированной, а дисперсия ошибки восстановления определяется
Д =
1
1 Щ
п-1 00 -—
je N«dz,
(4)
0 7=0
где коэффициенты q , min <А> находятся решением услов-
ной минимизационной задачи
ти^Д) при ^а2 =
aJ j=о
п • а1.
(5)
Реализация «мягкого» алгоритма приема одиночного разряда числа предполагает наличие интервала [- а] , а7], внутри которого оценка принятого разряда приемником трактуется, как непрерывная величина, изменяющаяся в пределах соответствующего позиционного веса j-го разряда [0,27']. Соответствующее правило принятия решения имеет вид
(6)
Это приводит к следующему определению дисперсии ошибки восстановления чисел
]=0
21''
л/^о
ч2 аи
2а,
(7)
Коэффициенты ау , минимизирующие дисперсию В2 , находятся из решения задачи, аналогичной выражению (5):
П — 1
.
(8)
7=0
Гибридный «полумягкий» алгоритм приема чисел получается из предыдущего путем введения изменяющихся границ интервала, внутри которого оценка значения разряда воспринимается приемником, как непрерывная величина. Правило оценки представляется выражением
(8)
Коэффициенты Ъу , у = 0, п -1 могут принимать значения из диапазона от 0 до 1. При Ъу = 0 или Ъу = 1 имеем, соответственно, рассмотренные ранее «мягкий» или «жесткий» алгоритмы принятия решений для j-го разряда числа. Формула для расчета дисперсии ошибки приема чисел получается на основе выражения (7) и имеет вид
(9)
где наборы коэффициентов ау и Ъу являются решением задачи условной минимизации следующего вида
.
а],Ь] 7 = 0 у=0л-1
(10)
Очевидно, что гибридный алгоритм (8), (9) является наиболее универсальным, так как предполагает отдельную оптимизацию параметров решающего правила приема разрядов чисел. При условиях, определяющих минимум целевой функции (10), критерий принятия ре-
шения для каждой позиции числа может изменяться при различных значениях качества канала не зависимо от совокупности критериев приема остальных разрядов.
Для получения практических рекомендаций по синтезу оптимального алгоритма передачи и приема чисел позиционных кодов получены численные решения задач (5), (8) и (10) для различных значений отношения сигнал/шум в каналах с АГБШ.
Краткая иллюстрация результатов решений, полученных для алгоритмов передачи и обработки восьмиразрядного двоичного числа (байта) представлена на рисунках 1-3.
На рисунке 1 показаны нормированные на величину 00 (см. выражение [3]), зависимости средней мощности ошибки для рассмотренных трех разновидностей алгоритмов принятия решений. При любом отношении сигнал/шум комбинированный алгоритм (кривая 3) обеспечивает наименьшую дисперсию шума восстановления. Для плохих каналов при Е/М) < 0.5 точность комбинированного алгоритма совпадает с точностью, обеспечиваемой «мягкими» решениями (6). В хороших каналах при /0 > 8 показатели точности комбинированного (8) и «жесткого» (2) алгоритмов асимптотически совпадают.
На рисунке 2 иллюстрируется изменение амплитудных коэффициентов ау, характеризующих распределение энергии между разрядами байта. В плохих каналах (Е/М) < 1) наименьшая мощность ошибки обеспечивается при передаче от 1 до 4 старших бит позиционного числа. С улучшением качества канала повышается степень важности младших бит, и, соответственно, увеличивается доля энергии, расходуемой на их передачу. Укороченная разрядность передаваемых чисел в области отношений Е/М) < 3 (поскольку младшие разряды можно просто не передавать), которая, фактически, не приводит к потере точности, означает наличие возможности уменьшения необходимой полосы частот и максимальной мощности передатчика, по сравнению с полной передачей. Это следует из возможности перераспределения энергии путем увеличения длительности интервала модуляции Т, отводимого на передачу каждого из разрядов числа.
Интересным является «поведение» граничных коэффициентов Ъ, определяющих алгоритм принятия решений при приеме отдельных разрядов чисел (рис. 3). Как следует из данных, показанных на рисунках 1 и 3, работа в плохих каналах является более эффективной при использо-
Рисунок 1. Зависимости нормированных значений средней мощности
ошибки от отношения сигнал/шум.
Рисунок 2. Зависимости амплитудных коэффициентов при передаче бай-
та от отношения сигнал/шум.
Рисунок 3. Зависимости граничных коэффициентов «полумягкого» алго-
ритма от отношения сигнал/шум.
вании «мягких» решений при обработке всех разрядов числа (Ьу- ^ 0, у = 0,7 ). При улучшении канала наблюдается последовательное скачкообразное увеличение значений коэффициентов Ьу, которое происходит, начиная со старших разрядов. Следует отметить, что в интервале актуальных для реальных каналов отношений сигнал/шум (1 10 dB) характер решающего правила сохраняется комбинированным. Обработка старших разрядов производится по правилу, близкому к «жесткому» алгоритму (2), в то время как решения о значениях младших значащих разрядов выносятся по «мягкому» алгоритму (8).
Решение задачи совместной оптимизации процесса передачи (за счет перераспределения энергии на бит) и обработки (путем дифференциации степени «жесткости» решающего правила) позволяет при сохранении частотных и энергетических затрат существенно снизить среднюю мощность шума восстановления чисел при передаче количественной информации в условиях действия АБГШ. Наиболее эффективным с точки зрения минимизации дисперсии ошибки восстановления чисел при любом качестве канала передачи является комбинированный алгоритм принятия решений. При этом сочетание «жесткого» (для старших разрядов чисел) и «мягкого» (для младших разрядов) решающих правил обеспечивает приращение точности СПДИ при сохранении показателей энергетической и полосной эффективности. Использование разработанного комбинированного алгоритма передачи и обработки позиционных кодов обеспечивает снижение средней мощности шума восстановления чисел, по сравнению с обычными методами передачи на основе фазовой модуляции, не менее, чем в 10-25 раз при отношении сигнал/шум 1-10 dB. Указанный выигрыш достигается за счет несущественного усложнения правил формирования и приема позиционных кодов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васин В. А., Калмыков В. В. и др. Радиосистемы передачи информации. - М.: Горячая линия - Телеком, 2005. - 472 с.
2. Терентьев С. Н. Минимизация среднеквадратической ошибки при передаче количественной информации // Труды Института Кибернетики АН УССР - Вып. 3. - 1969. - С. 37-41.
3. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. - М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Оптимизация алгоритма передачи числовых позиционных кодов.
4. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации / А. Г Зюко, А. И. Фалько, И. П. Панфилов, В. Л. Банкет, П. В. Ива-щенко; под ред. А. Г. Зюко. - М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.
5. Ключко В. И., Рассомахин С. Г. Оптимизация выбора временных параметров ФНЧ с учетом процесса старения информации // Известия вузов СССР, Радиоэлектроника, 1984. - Т. 27. - № 11. - С. 72-74.
сведения об авторах
Рассомахин С. Г. Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, доктор технических наук, заведующий кафедрой безопасности информационных систем и технологий. Телефон 707-50-19.
Малофей О. П. ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», Институт математики и естественных наук, кандидат технических наук, профессор кафедры высшей алгебры и геометрии. Телефон 8 (8652) 93-62-88, e-mail: skandin@mail.ru. Малофей А. О. ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», Институт математики и естественных наук, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей алгебры и геометрии.
Rassomahin S. G. Kharkiv National University. VN Karazina Ph.D., head of the department of security information systems and technologies Malofey O. P. VPO «North Caucasian Federal University,» Institute of Mathematics and Natural Sciences, Ph. D., professor of the Department of Algebra and Geometry. Phone 8 (8652) 93-62-88, e-mail: skandin@ mail.ru.
Malofey A. O. VPO «North Caucasian Federal University,» Institute of Mathematics and Natural Sciences, Ph. D., associate professor of the Department of Algebra and Geometry.
