CC BY
12
удк 621.391.037.372 С. Г. Рассомахин [S. G. Rassomahin] О. П. Малофей [O. P. Malofey] А. О. Малофей [A. O. malofey]
нахождение оптимальных
энергетических параметров передачи позиционных кодов
в автоматизированных
системах управления
Finding the optimal power transmission parameters positional codes in automated control systems
В статье рассмотрен метод улучшения качества позиционных чисел на основе OFDM сигналов, которые используют дополнительную амплитудную манипуляцию квадратурных составляющих. Решена оптимизационная задача перераспределения энергии между несущими частотами. Показана возможность уменьшения относительной мощности шума на 10-15 дБ без дополнительных энергетических затрат.
Ключевые слова: позиционные числа, амплитудная манипуляция, несущие частоты, энергия, сигнал, мощность шума, оптимизация.
Considered the method of improving the quality of positional numbers based on OFDM signals, which use additional amplitude shift keying quadrature components. Optimization problem is solved by the redistribution of energy between the carrier frequencies. The possibility of reducing the relative power of the noise 10-15 dB without additional energy expenditure.
Key words: positional number, carrier frequencies, the energy, signal, power noise, amplitude shift keying, optimization.
Одной из наиболее распространенных задач распределенных автоматизированных систем управления (АСУ) является оперативный обмен цифровой измерительной информацией между органами и объектами управления. При этом передача числовых данных осуществляется при помощи позиционных кодов (измерений), выполненных в дискретные моменты времени и представленных числами конечной разрядности (импульсно-кодовая модуляция). Основным показателем качества функционирования системы цифровой передачи позиционных кодов (СЦППК) является средняя относительная мощность ошибки восстановления чисел на выходе демодулятора. Факторами, снижающими точность функционирования СЦППК, являются ошибки измерений и
№ 1(5), 2014
физико-математические науки
75
Нахождение оптимальных энергетических параметров...
помехи каналов связи. В условиях ограниченного частотно-энергетического ресурса физических трактов передачи информации второй фактор приобретает доминирующее значение. Хотя сама по себе задача обеспечения требуемых значений показателей качества таких систем не нова [1, 2], до сих пор не существует ее универсального решения в условиях ограниченного ресурса. Кроме того, представляет интерес оптимизация параметров СЦППК на основе совместного рассмотрения кодирования источника и канала при использовании активно внедряемых в мобильных сетях третьего и четвертого поколений [3] сигналов с комбинированными видами модуляции.
Наибольшее распространение, благодаря сочетанию ряда положительных свойств, получили методы модуляции на основе частотного разделения с мультиплексированием OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) [4]. Групповой сигнал OFDM, является композицией нескольких колебаний несущих частот, которые присутствуют в спектре одновременно и используют собственную модуляцию по фазе. Такой сигнал может рассматриваться, как несколько параллельных каналов или как многоосновный сигнал для кодированной передачи одновременно нескольких двоичных символов потока данных. Для рассматриваемого случая удобно использовать структуру OFDM для передачи многоразрядных (в двоичном представлении) позиционных кодов чисел за один интервал модуляции.
Математическое описание произвольного OFDM сигнала имеет вид:
где N - число несущих частот;
^ - значение наименьшей несущей частоты;
Гу - ]-й модуляционный фазовый сдвиг на 1-й несущей частоте;
т - кратность фазовой манипуляции;
а, - амплитуда 1-й несущей;
Т - длительность интервала модуляции.
i=0
te ОД, (1)
При использовании четырехкратной ФМ: т = 4, г^ е 0,3. Как следует из (1), интервал между несущими частотами в спектре сигнала для обеспечения их ортогональности составляет Дf = 1/Т.
В традиционном применении амплитуды всех несущих колебаний одинаковы: a = a, i = 0,...N - 1. Тогда, с учетом того, что на каждой из несущих частот осуществляется передача двух бит, энергия сигнала, приведенная к одному биту, составляет
E = a2 • (T4). (2)
OFDM сигналы, если их рассматривать как реализации многоосновных сигналов одного ансамбля, являются взаимно зависимыми, т. к. элементы соответствующей ковариационной матрицы || piJ || принимают значения в диапазоне от минус до плюс единицы с шагом дискретности, обратно пропорциональным мощности ансамбля. Собственно ковариационная матрица обладает рангом rank || piJ || = 2 • N, что соответствует количеству корреляторов в схеме оптимального когерентного приемника, который реализует потенциальную помехоустойчивость обработки. Это означает, что поэлементный прием с использованием отдельной решающей схемы для каждой квадратурной составляющей на всех несущих частотах обеспечит в условиях аддитивного белого шума со спектральной плотностью мощности N0 наименьшую возможную величину вероятности приема с ошибкой в расчете на один бит, совпадающую с соответствующей вероятностью для противоположных сигналов [2]:
V /N,
p=1 i exp
Б/
( ,л \
x 2
dx. (3)
/
В условиях рассматриваемой задачи для передачи каждого значащего разряда позиционного кода числа, представленного в двоичной форме, отводится отдельная квадратурная составляющая на каждой из частот. При этом если п - разрядность позиционного кода, то для передачи числа за один интервал модуляции необходимо N = [п/2] несущих частот. Для модели двоичного симметричного канала без памяти [2], характеризуемого переходной вероятностью р, средняя нормированная мощность ошибки восстановления может быть вычислена из выражения
( n \
2( n-j)
D = Х CV (1 - p)n-i 12 i=i ^ j=i
№ 1(5), 2014
физико-математические науки
Нахождение оптимальных энергетических параметров.
77
где вероятность р вычисляется для одного разряда позиционного числа на основании (3) в предположении равной энергии (2), затрачиваемой на передачу каждого из п двоичных разрядов кода. В дальнейшем будем предполагать нормировку Е = 1, при этом амплитуда несущих колебаний сигнала (1) составит а = 2 • Т-0,5.
Естественным способом уменьшения величины D может являться учет неравенства весов разрядов чисел, вследствие которого искажения старших разрядов приводят к большей относительной ошибке восстановления, чем аналогичные искажения в младших позициях числа. Если осуществить перераспределение энергии между квадратурными компонентами на несущих частотах Е0, Еь..., Еп-1, соблюдая требование
п-1
X = п, (5)
1=0
то при неизменных энергетических затратах на передачу и соответствующей оптимальной пропорции этого перераспределения можно добиться наименьшего значения средней мощности ошибки. В этом случае нормированная дисперсия ошибки восстановления составит
п-1
1о =0
п-2 п-1
+Х X
1о=011=10 +1
П р,
к=0
П Рк
к=0
п-1
П[1 • (1 - *)]
]=0
Мо
X 221о
1=0
> +
п-1
П[1 • (1 - *)]
]=0
X 221'
1=0
+
+.
. +
п-1
П Рк
к=0
п-1
X 22'
1=0
(6)
где р?! , 1 = 0,п -1 определяются выражением (3) при Е = Е1 .
В предположении возможности только однократных ошибок на длине кодового слова п выражение (6) может быть упрощено
п-1
1=0
Р1 •
П[!•(! - *)]
]=0 .И
• 221
(7)
№ 1(5), 2014
физико-математические науки
Нахождение оптимальных энергетических параметров.
79
Задача оптимального распределения энергии между квадратурными компонентами несущих частот формулируется следующим образом: найти вектор E = {E0, Eb..., En-1}, обеспечивающий минимум целевой функции Ц = min D'[(E)] при ограничении (5). Результаты решения данной задачи численным методом при n = 8 в зависимости от нормированного отношения сигнал/шум h = (N0)-1 показаны на рис. 1.
На рис. 1 а показаны зависимости нормированной дисперсии ошибки восстановления при обычной передаче D (4), при оптимальном распределении энергии D' (6), а также при оптимизации по приближенной формуле D''(7). Выигрыш по уменьшению величины средней нормированной мощности ошибки восстановления составляет 10 ^ 15 дБ. Использовать приближенную формулу (7) для упрощения задачи оптимизации можно только при значениях h > 5 ^ 6, т.к. для плохих каналов она дает слишком оптимистичную оценку дисперсии ошибки.
Рис. 1 б иллюстрирует оптимальное распределение энергии между разрядами двоичного числа. С ухудшением канала дифференциация энергии возрастает. Кроме того, данный рисунок позволяет констатировать, что при h < 2 передача младших (в данном примере нулевого и первого) разрядов числа не имеет смысла: E0 ~ E1 ~ 0. За счет их устранения можно повысить частотную эффективность процесса передачи чисел, сократив на единицу количество несущих частот в составе сигнала.
Полученные при решении оптимизационной задачи результаты свидетельствуют о возможности существенного повышения качества передачи позиционных чисел без дополнительных энергетических и частотных затрат на основе применения OFDM сигналов с дополнительной амплитудной модуляцией квадратурных компонент.
ЛИТЕРАТУРА 1. Величкин А. И. Теория дискретной передачи непрерывных сообщений. М.: Сов. радио, 1970. 296 с.
2. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации / под ред. А. Г. Зюко. М.: Радио и связь, 1985. 272 с.
3. Григорьев В. А., Лагутенко О. И., Распаев Ю. А. Сети и системы радиодоступа. М.: Эко-Трендз, 2005. 384 с.
4. Волков Л. Н., Немировский М. С., Шинаков Ю. С. Системы цифровой радиосвязи: базовые методы и характеристики. М.: эко-Трендз, 2005. 392 с.
ОБ АВТОРАХ Рассомахин С. Г. Харьковский национальный университет им.
В. Н. Каразина, доктор технических наук, заведующий кафедрой безопасности информационных систем и технологий.
Малофей О. П. ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», Институт математики и естественных наук, кандидат технических наук, профессор кафедры высшей алгебры и геометрии.
Малофей А. О. ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», Институт математики и естественных наук, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей алгебры и геометрии.
Rassomahin S. G. Kharkiv National University. VN Karazina Ph.D., head of the department of security information systems and technologies
Malofey O. P. VPO «North Caucasian Federal University,» Institute of Mathematics and Natural Sciences, Ph. D., professor of the Department of Algebra and Geometry.
malofey A. O. VPO «North Caucasian Federal University,» Institute of Mathematics and Natural Sciences, Ph. D., associate professor of the Department of Algebra and Geometry.
