CC BY
57
Оптимизационный метод статического расчета строительных конструкций с применением вероятностных законов с ограничениями
Д.Б. Демченко, В.Е. Касьянов
В 40-х годах XX века советский ученый, чл.-корр. АН СССР Н.С. Стрелецкий [1] внес предложение перейти от метода расчета строительных конструкций по допускаемым напряжениям к вероятностно-статистическому методу.
Величина вероятности отказа в случае нормального закона (по методу
Н.С. Стрелецкого) определяется по формуле (1):
ад ад
б =1 — \ /в ^)[1 - ^ ^ )М = | ^ ^ )Л ^ №. (1)
— ад —ад
Усовершенствовать метод Н.С. Стрелецкого и более точно определять вероятность безотказной работы строительных конструкций возможно, если вместо нормального закона применять законы со сдвигом, например, закон Вейбулла с тремя параметрами, имеющий одним из параметров - сдвиг кривой плотности распределения.
Рис. 1. - Плотности распределений Вейбулла с тремя параметрами для действующих напряжений и прочности пЗП - запас прочности по экстремальным значениям напряжения и прочности Применение закона Вейбулла с тремя параметрами для действующих напряжений и несущей способности, полученные по выборочным данным, представлены на рис.1. В случае определения параметра сдвига (максимального значения) для действующих напряжений можно использовать закон Вейбулла [2]:
^ (х) = 1 — (
при этом значения вариационного ряда следует умножать на (-1).
Также возможно применение распределения Фишера-Типпета [3,4]:
^ (х) = 1 — (
(3)
Для применения законов Вейбулла (2) или Фишера-Типпета (3) имеется физическое обоснование, состоящее в том, что не может быть нулевой или близкой к ней прочности конструкции (иначе разрушение происходило бы от собственного веса). В случае, когда рассматриваем действующие напряжения, а именно ограничение по максимальной величине напряжений или сдвиг распределения справа - для них обусловлены ограничения размеров конструкции природными нагрузками (ветер, снег, гололед и т.п.). Действующие факторы должны задаваться их вероятностью распределения.
Если представить на одном графике вероятность распределения для действующих напряжений и несущей способности для генеральных совокупностей конечного объема (далее совокупностей) [5], то этот график примет вид (рис.2).
Рис. 2. - Распределение напряжения и прочности:
1 - выборки; 2 - совокупности Для обеспечения безаварийной работы конструкции предлагается неравенство:
пс < пв,
где пВ - вероятностный запас прочности по выборочным данным напряжения
а
и прочности пВ
прВ
а
напрВ
а
пс =
прС
а
вероятностный запас прочности по совокупностям конечного
напрС
объема.
Вероятностный запас прочности для совокупности пС можно принять по аналогии с расчетом по предельным состояниям пС > 1,15 [6,7].
Для случая пС < 1 пересечение кривых распределения для совокупностей приведет к появлению величины вероятности отказа Q или вероятности безотказной работы Р=1^.
Тогда возникает необходимость оптимизации вероятности безотказной работы Р (рис.3). Из рис.3 видно, что кривая ЦК растет с увеличением Р, а затраты в эксплуатации, связанные с отказами строительных конструкций снижаются. Суммарные затраты ЗСУММ получаются сложением ординат для ЦК и Зэ ; в итоге кривая ЗСУММ будет иметь вогнутость, а минимум ЗСУММ будет соответствовать РОПТ.
Для строительных конструкций рассмотрим случай пС > 1.
Рис. 3. - Оптимизация вероятности безотказной работы Р: ЗСУММ - критерий оптимизации Р; ЦК - цена конструкции; Зэ - затраты на эксплуатацию конструкции.
При пересечении левой и правой ветвей плотностей распределения напряжения и прочности рассматривается левая часть графика на рис. 4.
3
Рис. 4. - Оптимизация вероятности безотказной работы Р и вероятностного запаса прочности для строительных конструкций Кривая эксплуатационных затрат в этой части располагается существенно выше, для чего используется логарифмическая шкала. В правой части графика, начиная с пС = 1 суммарные затраты ЗСУМШ имеют точку минимума, лишь на 5% превышая пС = 1 (эти 5% учитывают точность приборов и инженерных расчетов), т.е. п = 1,05.
В данном случае эксплуатационные затраты не учитывают отказы строительных конструкций, а включают в себя лишь затраты на обслуживание (осмотр, окраска и т.д.).
Изложенный метод статического расчета несущей способности строительных конструкций в вероятностном аспекте с применением закона Вей-булла с тремя параметрами с ограничениями (сдвиг распределения слева для несущей способности, справа для действующих напряжений) и с переходом от выборки к совокупности [8-10] позволяет повысить точность расчета вероятности безотказной работы и вероятностного запаса прочности, а также оптимизировать величину вероятности безотказной работы строительных конструкций.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Стрелецкий Н.С. Основы статистического учета коэффициента запаса прочности сооружений [Текст]. - М.: Стройиздат, 1947. - 92 с.
2. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов [Текст]: Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1964. - 275 с.
3. Fisher R.A. The design of experiments [Текст], Edinburg, Oliver and Boyd. 1935.
4. Tippet. The Methods of statistics [Текст], J.,Wiley, N.J.
5. Касьянов В.Е., Зайцева М.М., Котесов А.А. Оценка параметров распределения Вейбулла для совокупности конечного объема [Текст] // Деп. в ВИНИТИ, 24.01.2012 №21-В2012.
6. Райзер В.Д. Теория надежности в строительном проектировании [Текст]. - М.: Изд-во АСВ, 1998. - 304 с.
7. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике [Текст]. - М.: Изд-во литературы по строительству, 1965. - 279 с.
8. Касьянов В.Е., Котесов А.А., Котесова А.А. Аналитическое определе-
ние параметров закона Вейбулла для генеральной совокупности конечного объема по выборочным данным прочности стали [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №2. - Режим доступа:
http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/804 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
9. Демченко Д.Б., Касьянов В.Е. Анализ метода статического расчета строительных стальных конструкций с применением вероятностных законов [Текст] // «Научное обозрение», 2013. - №2. - С. 97-99
10. Касьянов В.Е., Щулькин Л.П., Котесова А.А., Котова С.В. Алгоритм определения параметров прочности, нагруженности и ресурса с помощью аналитического перехода от выборочных данных к данным совокупности [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4 (часть 2). -Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1236 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
