CC BY
21
МАШИНОВЕДЕНИЕ, СИСТЕМЫ ПРИВОДОВ И ДЕТАЛИ МАШИН
УДК 621.833.6
ОПТИМАЛЬНЫЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ ВНУТРЕННЕГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
З.Т. Нгуен
Выполнен анализ существующих методик геометрического синтеза эволь-вентной цилиндрической зубчатой передачи внутреннего зацепления. Создана новая система расчета, в которой число выходных параметров синтеза увеличивается с двух до четырех. Предложена на этой основе методика для оптимального геометрического синтеза рассматриваемой передачи при использовании нестандартных радиальных зазоров. Разработано программное обеспечение, реализующее предложенную методику с помощью программы ЫмЬаЪ.
Ключевые слова: зубчатая передача, цилиндрическая зубчатая передача, внутреннее зацепление, геометрический синтез, оптимизация, оптимальный синтез.
Зубчатые передачи представляют собой наиболее распространенный вид механизмов в современном машиностроении и приборостроении. Усовершенствование технологии и улучшение их качественных характеристик при проектировании всегда являются актуальной задачей. По расположению зубьев в передаче и колесах зубчатая передача разделяется на два основных вида: внешнее и внутреннее зацепление. Благодаря простоте в изготовлении и эксплуатации прямозубые цилиндрические передачи внешнего зацепления получили наибольшую популярность. Однако прямозубые цилиндрические передачи внутреннего зацепления имеют свои преимущества по сравнению с внешним: высокий КПД, компактность и меньшие потери на трение [1, 2].
Геометрический синтез является первым этапом при проектировании зубчатых передач. Постановка и особенности задачи оптимального геометрического синтеза прямозубой цилиндрической эвольвентной передачи внешнего зацепления подробно рассматрены в работе [3].
В настоящей работе рассмотрена постановка задачи и описано программное обеспечение для оптимального геометрического синтеза цилиндрической эвольвентной передачи внутреннего зацепления. Объектом исследования (рис. 1) является прямозубая цилиндрическая зубчатая переда-
388
ча внутреннего зацепления с эвольвентным профилем зубьев, состоящая из шестерни 1 и зубчатого колеса 2. Обозначения на рисунке соответствуют ГОСТ 16530-83 и ГОСТ 16531-83: 21, 22 - числа зубьев шестерни 1 и зубчатого колеса 2 соответственно; йу 1, йу2 - диаметры окружностей впадин; йа1, йа2 - диаметры окружностей вершин; а^ - межосевое расстояние. Нестандартные радиальные зазоры обозначены: С12 - радиальный зазор между окружностями вершин шестерни 1 и впадин колеса 2; С21 -радиальный зазор между окружностями впадин шестерни 1 и вершин колеса 2.
Рис. 1. Геометрические параметры цилиндрической зубчатой передачи
внутреннего зацепления
Постановка задачи геометрического синтеза цилиндрических зубчатых передач внутреннего зацепления. Постановка задачи синтеза любого механизма требует выполнение следующих этапов [3].
1. Определение параметров синтеза и выделение среди них входных и выходных параметров; определение условий синтеза, характеризующих работу механизма и при возможности выделение среди них основного условия; определение ограничений синтеза.
2. Разработка математической модели синтеза - установление функциональных зависимостей между параметрами механизма, его качественными характеристиками и условиями выполнения ограничений синтеза.
3. Определение значений выходных параметров синтеза, обеспечивающих необходимые значения качественных показателей и выполнение всех ограничений синтеза.
Большое значение при решении задачи синтеза имеет определение существования решения, построение области существования решений и определение возможности расширения этой области.
При проектировании зубчатых колес на основе традиционного подхода (от инструмента к изделию) геометрические параметры зубчатых колес и передачи будут определяться [4]: модулем т , числами зубьев 21, 22,
коэффициентами смещения Хl, Х2, углом наклона зубьев Ь (для рассматриваемых прямозубых передач Р = 0°), параметрами исходного производящего контура и параметрами инструмента.
Для исходного профиля типа А согласно [5, 6] параметры исходного контура имеют следующие значения: угол главного профиля а = 20°;
коэффициент высоты головки И* = 1; коэффициент высоты ножки и* = 1;
коэффициент граничной высоты И* = 2; коэффициент радиуса переходной кривой р/ = 0,38; коэффициент высоты захода зубьев в паре исходных
контуров И* = 2; коэффициент радиального зазора в паре исходных контуров с = 0,25 . Модификация профиля головки зуба исходного контура отсутствует.
Шестерня 1 и зубчатое колесо 2 нарезаются способом обкатки с помощью прямозубого долбяка зуборезного чистового без модификации профиля. Основные параметры долбяка, оказывающие влияние на геометрию зацепления [7]: модуль т0 = т; число зубьев 20; диаметр делительной окружности d0; диаметр окружности вершин dao'; коэффициент смещения исходного контура xo . Шестерня 1 и зубчатое колесо 2 могут нарезаться разными долбяками.
Нормальная толщина зуба долбяка, определяется по формуле [4]
sn0
'я ^
— + 2 xo tg а
m.
у
При расчете геометрических параметров и качественных характеристик передачи используются общепринятые допущения: не учитываются деформации элементов передачи и погрешности изготовления и сборки. Параметры долбяка соответствуют номинальным. Межосевые расстояния не заданы.
Действующий стандарт по расчету геометрии цилиндрических эвольвентных зубчатых передач внутреннего зацепления [4] допускает в обоснованных случаях изменение диаметров окружностей вершин зубчатых колес, т.е. отнесение этих размеров к параметрам синтеза.
Удобнее использовать не диаметры окружностей вершин зубьев, а
d f 2 — dal
соответствующие радиальные зазоры (см. рис 1): Cl2 = ——---a*l2;
da 2 — d / 1
C2l =--—---a*l2 или соответствующие коэффициенты радиальных
* / * C91 /
зазоров ^ = % ; = % •
Входными параметрами синтеза, также как и при синтезе передачи внешнего зацепления [3], задаваемыми при геометрическом синтезе зубчатой передачи являются: модуль m - определяемый
условиями прочности зубьев; числа зубьев z^, z2 - определяемые реализуемым передаточным отношением; параметры исходного производящего контура.
Меняя инструмент можно в определенных пределах влиять на геометрию передачи, но выбор инструмента обычно диктуется технологическими соображениями и возможностями производства. Поэтому параметры инструмента также необходимо отнести к входным параметрам синтеза.
Традиционная методика синтеза относит коэффициенты радиальных зазоров к входным параметрам синтеза. Эти коэффициенты принимаются стандартными и одинаковыми с*2 = c*1 = 0,25 [8] или нестандартными, но заранее определенными [9].
Варьирование коэффициентами радиальных зазоров позволяет отнести их к выходным параметрам синтеза и расширить область существования решения задачи синтеза [10, 11].
Математическая модель прямозубой цилиндрической передачи внутреннего зацепления. Математическая модель для геометрического синтеза прямозубой эвольвентной цилиндрической зубчатой передачи представляет собой известную систему уравнений и зависимостей, связывающих между собой значения входных и выходных параметров синтеза, а также значения геометрических параметров передачи и качественных характеристик зацепления [4, 9].
К геометрическим параметрам передачи относятся: углы зацепления в станочных и рабочем зацеплениях
x1 + x0
inva woi = 2tga—-- + inva,
z1 + z0 X2 — X0
inva w02 = 2tga—-- + inva,
z2 — z0
x2 — x1
inva w12 = 2tga—-- + inva;
z2 — z1
межосевые расстояния в станочных и рабочем зацеплениях
_m(z1 + z0) cos a
aw01 aw 02 aw12
2 cos aw01'
= m(z2 — z0) cos a
2 cosaw02
= m(z2 — -1) cos a
2 cos a w12 делительные диаметры зубчатых колес
d,1 = mz1, d2 = mz2;
диаметры окружностей впадин зубьев
391
df i - 2aw0i - daü' df 2 - 2aw02 + da0-К этим известным зависимостям необходимо добавить зависимости для расчета диаметров окружностей вершин зубьев при нестандартных радиальных зазорах (см. рис. 1),
dal - df 2 - 2awi2 - 2q2m ; da2 - df 1 + 2awi2 + 2c* m . К основным качественным характеристикам зацепления относятся: коэффициент перекрытия eai2 и угол зацепления awi2, являющиеся функциями от коэффициентов смещения и коэффициентов радиальных зазоров. Значения a wi2 и eai2 определяются по следующим формулам [4]:
x2 - xi
invawi2 - 2tga—-- + inva;
z2 - zi
e - zifeaai - tgawi2) - z2feaa2 - tgawi2) a 2p 2p где aai, aa2 - углы профиля на вершинах зубьев колес,
aai - arccos
r mzi cosa^ V dai J
aa2 - arccos
с \
mz2 cosa
^2 у
Программное обеспечение для геометрического расчета цилиндрических зубчатых передач внутреннего зацепления. Использование вычислительной техники позволило автоматизировать решение задач геометрического анализа и синтеза зубчатых передач и устранить принципиальные недостатки методов проектирования зубчатых передач. В работе [3] рассмотрены две основные универсальные коммерческие программы, используемые для геометрического синтеза цилиндрических эвольвентных зубчатых передач как внешнего, так и внутреннего зацепления: Ю^бой швейцарской компании Ю^бой АО и АРМ "^пМасЫпе - российской компании ПО «Аскон».
Оба программных продукта позволяют при геометрическом расчете прямо или косвенно менять коэффициенты радиальных зазоров, но при решении задачи синтеза эти коэффициенты относятся к входным параметрам синтеза.
Постановка задачи оптимального геометрического синтеза цилиндрических зубчатых передач внутреннего зацепления. Синтезируемая прямозубая цилиндрическая передача внутреннего зацепления с эвольвентным профилем зубьев должна удовлетворять ограничениям синтеза, гарантирующем получение работоспособной передачи [4]: отсутствие подрезания зубьев; отсутствие интерференции зубьев; отсутствие срезания зубьев; отсутствие заострения зубьев.
Качество работы передачи характеризуется коэффициентом перекрытия еа12 и углом зацепления а^2. К входным параметрам синтеза относятся модуль m, числа зубьев зубчатых колес z2, параметры исходного производящего контура, к выходным - коэффициенты смещения
* *
Х\, Х2 и коэффициенты радиальных зазоров с\2, С2\.
Так как выбранные качественные характеристики передачи противоречивы, то для решения задачи оптимизационного синтеза выбрана стратегия аддитивной компенсации противоречий критериев [12]. Аддитивная целевая функция принята в виде
F (xi, Х2, С12, С21 ) = ki—— + k2k '2 a ^12,
ea12
где k1, k2 - весовые коэффициенты, значения которых назначаются в зависимости от важности критериев при решении конкретной задачи, причем k1 + k2 = 1; k'2 = 2,3 - нормирующий множитель, необходимый для масштабирования значений качественных показателей.
Разработка алгоритма и программного обеспечения. Для решения поставленной задачи нелинейного математического программирования была использована библиотека функций Optimization Toolbox, входящая в Matlab и позволяющая находить экстремум целевой функции при ограничениях в виде равенств и неравенств, а также ограничениях, накладываемых на значения оптимизируемых параметров (выходных параметров синтеза). Для нахождения начальной точки был организован просмотр области допустимых значений выходных параметров синтеза с равномерным шагом (10-20 точек по каждому параметру).
Взаимодействие пользователя с программой организовано с помощью графического интерфейса пользователя (GUI). Основное окно программы приведено на рис. 2.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
VAR-1
* 80 KI02s= 2
z01 = 50 ha01= 1
202= 50 | ha02= 1
х01= 0.4 j m=
х02= 0.4 | alpha= Û.34907
x0i= 0 | k1= 0.5
da01= 53.3 к2= С.5
ОГРАНИЧЕНИЯ
1. Коэффициент перекрытая
1.63421
2. Толщина зубъев на ркрумноста вершин
У колеса 1 0.393453 У колеса 2
3. УГОЛ зацеплений (Град.)
15.5823
4. Условия отсутствия интерференции 1-га рада
У колеса 1 0.01Й2339 У колеса 2
5. Условия отсутствия интерференции 2-го рода
0,00524415
6. Условия отсутствия подрезания зубьев
У колеса 1 0.192401 У колеса 2
0.370785
0.415953
7. Условия отсутствия срезания вершин эубъев
У колеса! 0.0333757 У колеса 2 1.21Э54е-06
3. Условия отсутствия срезания вершин внутренник зубьеа
-9.09834е-07
aw12= 29.26S4
da1= 23.211
13.4993 df2= 621438
da2= 77 7126
<алькулятор
Выход
ОПТИМИЗАЦИЯ
*1= 0.580341 с12= х2= -0.0786591 с21 =
Min(f)= 0.618715
Рис. 2. Рабочее окно программы
Программа позволяет вводить исходные данные зубчатых колес и инструмента, области допустимых значений оптимизируемых параметров, значения весовых коэффициентов в диалоговом режиме или из заранее подготовленной таблицы Microsoft Excel. В области «Оптимизация» выводятся оптимальные значения выходных параметров синтеза, а в области «Ограничения» - значения качественных показателей и запасы по ограничениям синтеза.
Тестирование программного обеспечения оптимального геометрического синтеза. Для проверки работоспособности и тестирования предлагаемой системы расчета и разработанного программного обеспечения было выполнено два цикла расчетов. Исходные данные для расчетов: модуль т = 1; числа зубьев зубчатых колес 2\ = 20, 22 = 80 . Для нарезания зубчатых колес используется долбяк 2536-0101 по ГОСТ 9323-79.
В первом цикле (табл. 1) был проведен расчет значений качественных показателей, целевой функции и проверка выполнения ограничений синтеза в оптимальной точке и нескольких точках, расположенных рядом с ней. Сравнение результатов расчетов подтверждает существование и правильность определения оптимальной точки.
Таблица 1
Тестирование программ_
Параметр Варианты
Оптимальный Не оптимальные
1 2 3 4
*1 0,5803 0,48 0,6192 0,6238 0,5076
-0,0787 -0,0753 -0,0857 -0,0845 -0,0739
с12 0,2 0,19 0,2169 0,2392 0,1826
С21 0,34 0,36 0,3901 0,3851 0,3921
еа12 1,6342 1,6437 1,5444 1,5369 1,5984
а град 15,5823 16,4565 15,1601 15,1279 16,2449
Выполнение ограничений Выполнены Выполнены Выполнены Выполнены Выполнены
С *2> с12, С21 0,6187 0,6345 0,6280 0,6290 0,6389
Гистограмма, приведенная на рис. 3, показывает соотношение между значениями целевой функции в оптимальной точке и ее окрестности. Для повышения наглядности при построении гистограммы использована
функция обратная к целевой уС.
Л"1
Рис. 3. Гистограмма распределения значений целевой функции
На рис. 4 проведена визуализация синтезированного зацепления, реализующего результаты исследования по новой системе расчета. Визуализация выполнена с помощью программы К188ой.
выполненная в программе КНЗбоА
Во втором цикле (табл. 2) был проведен расчет нескольких вариантов передачи, синтезированных по методу блокирующих контуров. Сравнение этих вариантов с оптимальным вариантом подтвердило улучшение качественных характеристик передачи.
Таблица 2
Сравнение результатов оптимизационного синтеза с результатами синтеза по методу блокирующих контуров_
Параметр Варианты
Оптимальный По методу блокирующих контуров
1 2 3 4
0,5803 0,63 0,34 1,18 0,78
х2 -0,0787 1,51 1,26 1,22 1,46
с12 0,2 0,25 0,25 0,25 0,25
с21 0,34 0,25 0,25 0,25 0,25
еа12 1,6342 1,4985 1,6002 1,4130 1,4731
аw12, град 15,5823 23,7756 23,9179 20,2078 23,0336
Выполнение ограничений Выполнены Выполнены Выполнены Выполнены Выполнены
р [ХЪ x2, с21 0,6187 0,8109 0,7925 0,7595 0,8017
Заключение. Предлагаемая методика позволяет увеличить число выходных параметров синтеза с двух до четырех и расширить область существования решения задачи геометрического синтеза цилиндрической зубчатой передачи внутреннего зацепления. Программное обеспечение, разработанное на основе новой системой расчета, позволяет оперативно подобрать наиболее оптимальный вариант зубчатой передачи, обеспечивающий выполнение всех ограничений синтеза и получение заданных значений качественных показателей, соответствующих конкретной решаемой
задаче. Как предлагаемая методика синтеза, так и программное обеспечение могут быть легко расширены за счет включения в их состав дополнительных ограничений и геометрических и кинематических параметров, применяемых в расчете зубчатой передачи на прочность или других качественных показателей.
Список литературы
1. Вулгаков Э.Б. Теория эвольвентных зубчатых передач. М.: Машиностроение, 1995. 320 с.
2. Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1968. 584 с.
3. Крюков В.А., Нгуен З.Т. Оптимальный геометрический синтез цилиндрических зубчатых передач внешнего зацепления // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2019. Вып. 12. С. 312-319.
4. ГОСТ 19274-73. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвент-ные внутреннего зацепления. Расчет геометрии.
5. ГОСТ 13755-81. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвент-ные. Исходный контур.
6. ГОСТ 13755-2015. Основные нормы взаимозаменяемости. зубчатые цилиндрические эвольвентные. Исходные контуры.
7. ГОСТ 9323-79. Долбяки зуборезные чистовые. Технические условия. С изменениями № 1, 2 (ИУС 11-82, 4-87). 69 с.
8. Гольдфарб В.И. Теория и практика зубчатых передач в теории машин и механизмов // Интеллектуальные системы в производстве. 2011. № 2 (18). С. 95-100.
9. Цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи внутреннего зацепления. Расчет геометрических параметров / И.А. Болотовский, Б.И. Гурьев, В.Э. Смирнов [и др.]. Справочное пособие. М.: Машиностроение, 1977. 192 с.
10. Сидоров П.Г., Крюков В.А., Плясов А.В. Новая система расчета геометрии внутреннего эвольвентного зубчатого зацепления // Известия Тульского государственного университета. Серия: Машиноведение, системы приводов и детали машин. 2006. № 3. С. 23-35.
11. Sidorov P.G, Kryukov V.A., Plyasov A.V. [et al.]. Synthesis of internal involute couplings of planetary transmissions // Russian engineering research. 2009. Vol. 29. N 6. P. 531-537.
12. Floudas C.A., Pardalos P.M. (Eds.) Encyclopedia of Optimization. 2009. Springer Science+BuisinessMedia, LLC. 4646 p.
Нгуен Зуи Тхе, аспирант, duythe1290@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
OPTIMAL GEOMETRIC SYNTHESIS OF INTERNAL CYLINDRICAL GEARS
D.T. Nguyen 396
The analysis of the existing methods of geometric synthesis of the involute cylindrical gears of internal gearing is performed. A new calculation system has been created in which the number of output synthesis parameters increases from two to four. On this basis, a method is proposed for optimal geometric synthesis of the transmission in consideration when using non-standard radial clearances. Software has been developed that implements the proposed method using the MatLab program.
Key words: gearing, cylindrical gearing, internal gearing, geometric synthesis, optimization, optimal synthesis.
Nguyen Duy The, postgraduate, duythe1290@gmail. com, Russia, Tula, Tula State Uiversity
УДК 621.65
ЛОПАСТНЫЕ НАСОСЫ КАК ВИД ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ МАШИНЫ. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ
А.А. Вайцель
Описан принцип работы лопастных насосов, приведены достоинства и недостатки. Проведено компьютерное моделирование работы лопастного насоса в компьютерном программном комплексе.
Ключевые слова: гидравлическая машина, насос, водоснабжение, моделирование работы, программное обеспечение.
Машины, способные сообщить механическую энергию жидкости, протекающей через них, или, напротив, получить эту энергию из жидкости, называются гидравлическими. Первые — это насосы (передают энергию), вторые - гидравлические двигатели (получают энергию). Объединение этих механизмов в один класс объясняется их обратимостью, правда, неполной, не всегда возможна их замена друг другом, не каждый насос может работать в режиме двигателя, и не всякий двигатель умеет выполнить функции насоса [1-5].
Гидравлические машины распространены довольно широко. На производстве электрической энергии работают турбины - яркий представитель гидродвигателей. Насосы применяются при водоснабжении, подаче топлива в двигателях ракет, в нефтепроводах. Если учесть, что 20% всей электроэнергии получается на электростанциях, оценить значение хотя бы только одного водоснабжения, можно понять, как часто используются гидромашины.
Ещё одно применение гидромашин - гидропередачи. Насосы и гидродвигатели работают в них совместно, то есть энергия преобразуется дважды. Насос сообщает механическую энергию потоку, а на выходе эта энергия снова становится механической. Назначение этой передачи то же, что и известных других, ремённой, цепной и так далее.
397
