CC BY
47
МАШИНОВЕДЕНИЕ, СИСТЕМЫ ПРИВОДОВ И ДЕТАЛИ МАШИН
УДК 621.833.6
ОПТИМАЛЬНЫЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
ВНЕШНЕГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
В. А. Крюков, З.Т. Нгуен
Рассмотрены возможности расширения области существования решения задачи геометрического синтеза цилиндрической эвольвентной зубчатой передачи внешнего зацепления за счет использования нестандартных радиальных зазоров. Выполнен анализ существующих методик синтеза рассматриваемой передачи. Описана математическая модель синтеза с числом выходных параметров синтеза увеличенным до четырех. Сформулирована задача оптимального геометрического синтеза, разработано соответствующее программное обеспечение, приведены результаты его тестирования и сравнения с результатами синтеза передачи по существующей методике.
Ключевые слова: зубчатая передача, цилиндрическая зубчатая передача, геометрический синтез, оптимизация, оптимальный синтез.
Одним из наиболее распространенных механизмов для преобразования параметров вращательного движения является зубчатая передача. Совершенствование технологии позволяет создавать новые виды зубчатых передач: с неэвольвентным профилем зубьев, с несимметричными зубьями и т.д. Традиционный подход, применяемый при проектировании зубчатых передач: от технологии и инструмента (исходного производящего контура) к изделию, заменяется новым подходом: от изделия - зубчатого колеса к технологии - производящему контуру и инструменту [1, 2]. Тем не менее, прямозубые цилиндрические передачи с эвольвентным профилем зубьев продолжают наиболее часто применяться в промышленности [3].
Первым этапом проектирования зубчатых передач является геометрический синтез. Несмотря на то, что начало разработки методов геометрического расчета зубчатых передач относится к XVI в. (О. Сагёапв, Р. Бв Ьа Н1тв, Леонард Эйлер) [4, 5], а в настоящее время существует множество различных методик синтеза, зафиксированных в отечественных и международных стандартах, вопросы геометрии зубчатых передач продолжают привлекать внимание ученых. По данным проф. В.И. Гольдфарб [6] 18,1 % докладов на основных конференциях в этой области техники за период 1994-2009 годы были посвящены геометрии зубчатых передач.
Широкое использование вычислительной техники значительно расширяет возможности геометрического синтеза зубчатых передач, позволяет оперативно просчитывать и сравнивать тысячи различных вариантов проектируемой передачи. Поэтому наиболее актуальным на сегодняшний день становится вопрос о существовании решения задачи геометрического синтеза и расширении области существования решения задачи синтеза.
Данная работа посвящена сравнению существующих методик геометрического синтеза цилиндрической эвольвентной передачи внешнего зацепления, постановке и разработке математической модели и программного обеспечения оптимального геометрического синтеза. Объектом исследования (рис. 1) является прямозубая цилиндрическая зубчатая передача внешнего зацепления с эвольвентным профилем зубьев, состоящая из шестерни 1 и зубчатого колеса 2. Обозначения на рисунке соответствуют ГОСТ 16530-83 и ГОСТ 16531-83: 2Ь - числа зубьев шестерни 1 зубчатого колеса 2 соответственно;
1, 2 - диаметры окружностей впадин; ¿а1, da2 - диаметры окружностей вершин; а^ - межосевое
расстояние. Нестандартные радиальные зазоры обозначены: ^ - радиальный зазор между окружностями вершин шестерни 1 и впадин колеса 2; С2\ - радиальный зазор между окружностями впадин шестерни 1 и вершин колеса 2.
Рис. 1. Геометрические параметры цилиндрической зубчатой передачи внешнего зацепления
Постановка задачи геометрического синтеза цилиндрических зубчатых передач внешнего зацепления. Постановка задачи синтеза любого механизма требует выполнение следующих этапов.
1. Определение параметров синтеза и выделение среди них входных и выходных параметров; определение условий синтеза, характеризующих работу механизма и при возможности выделение среди них основного условия; определение ограничений синтеза.
2. Разработка математической модели синтеза - установление функциональных зависимостей между параметрами механизма, его качественными характеристиками и условиями выполнения ограничений синтеза.
3. Определение значений выходных параметров синтеза, обеспечивающих необходимые значения качественных показателей и выполнение всех ограничений синтеза.
Большое значение при решении задачи синтеза имеет определение существования решения, построение области существования решений и определение возможности расширения этой области.
При проектировании зубчатых колес на основе традиционного подхода (от инструмента к изделию) геометрические параметры зубчатых колес и передачи будут определяться [7]: модулем т, числами зубьев 2\, 22, коэффициентами смещения Х2, углом наклона зубьев р (для рассматриваемых
прямозубых передач р = о0), параметрами исходного производящего контура и параметрами инструмента.
Для исходного профиля типа А согласно [8, 9] параметры исходного контура имеют следующие значения: угол главного профиля а = 200; коэффициент высоты головки И* = 1; коэффициент высоты ножки и* = 1; коэффициент граничной высоты И* = 2; коэффициент радиуса переходной кривой р* = 0.38; коэффициент высоты захода зубьев в паре исходных контуров й*, = 2; коэффициент радиального зазора в паре исходных контуров с* = 0,25. Модификация профиля головки зуба исходного контура отсутствует.
Шестерня 1 и зубчатое колесо 2 нарезаются способом обкатки с помощью прямозубого долбя-ка зуборезного чистового без модификации профиля. Основные параметры долбяка, оказывающие влияние на геометрию зацепления [10]: модуль т0 = т; число зубьев диаметр делительной окружности
й?0 ; диаметр окружности вершин (!а0; коэффициент смещения исходного контура Х0 .
Нормальная толщина зуба долбяка, определяется по формуле [7]
*П0 = (р + 2x0 а ^т.
При расчете геометрических параметров и качественных характеристик передачи используются общепринятые допущения: не учитываются деформации элементов передачи и погрешности изготовления и сборки. Параметры долбяка соответствуют номинальным. Межосевые расстояния не заданы.
Действующий стандарт по расчету геометрии цилиндрических эвольвентных зубчатых передач внешнего зацепления [7] допускает в обоснованных случаях изменение диаметров окружностей вершин зубчатых колес, т. е. отнесение этих размеров к параметрам синтеза.
Удобнее использовать не диаметры окружностей вершин зубьев, а соответствующие радиальные зазоры (см. рис 1): с = а^12 _ ^'а1 + 2 ; с = а _ ^а2 + 1 или соответствующие коэффициен-
2 2
ты радиальных зазоров, = 12/ ; ^ =
= с12/ ■ с*, = с21/ .
т
Входными параметрами синтеза, задаваемыми при геометрическом синтезе зубчатой передачи являются: модуль m - определяемый условиями прочности зубьев; числа зубьев zy, Z2 - определяемые реализуемым передаточным отношением; параметры исходного производящего контура.
Меняя инструмент можно в определенных пределах влиять на геометрию передачи, но выбор инструмента обычно диктуется технологическими соображениями и возможностями производства. Поэтому параметры инструмента также необходимо отнести к входным параметрам синтеза.
Традиционная методика синтеза относит коэффициенты радиальных зазоров к входным параметрам синтеза. Эти коэффициенты принимаются стандартными и одинаковыми с*2 = c*i = 0,25 [7] или нестандартными, но заранее определенными [11].
Варьирование коэффициентами радиальных зазоров позволяет отнести их к выходным параметрам синтеза и расширить область существования решения задачи синтеза. Известно, что отнесение радиальных зазоров к выходным параметрам синтеза при синтезе внутренних зацеплений [12] позволило в несколько раз расширить область существования решения задачи синтеза [13].
Математическая модель прямозубой цилиндрической передачи внешнего зацепления. Математическая модель для геометрического синтеза прямозубой эвольвентной цилиндрической зубчатой передачи представляет собой известную систему уравнений и зависимостей, связывающих между собой значения входных и выходных параметров синтеза, а также значения геометрических параметров передачи и качественных характеристик зацепления [7, 11]. К геометрическим параметрам передачи относятся: углы зацепления в станочных и рабочем зацеплениях; межосевые расстояния в станочных и рабочем зацеплениях; делительные диаметры зубчатых колес и диаметры окружностей впадин зубьев. К этим известным зависимостям необходимо добавить зависимости для расчета диаметров окружностей вершин зубьев при нестандартных радиальных зазорах (см. рис. 1),
da1 = 2aw12 - df 2 - 2c*2m ;
da2 = 2aw12 - df 1 - 2c*1m .
К качественным характеристикам зацепления относятся: коэффициент перекрытия ea12 и угол зацепления aw12, являющиеся функциями от коэффициентов смещения и коэффициентов радиальных зазоров.
Сравнительный анализ существующих методик геометрического синтеза. Использование простейшей зубчатой передачи без смещения резко ограничивает возможности геометрического синтеза передачи. Задача синтеза в этом случае может иметь единственное решения, а в ряде случаев, например, при малом числе зубьев шестерни, решение может отсутствовать. Хорошо известным и давно используемым методом расширения возможностей синтеза цилиндрической зубчатой передачи внешнего зацепления является использование зубчатых колес со смещением (по первоначальной терминологии «корригированных» или «исправленных» зубчатых колес). Первоначально корригирование зубчатых колес появилось как средство для устранения подрезания зуба у шестерни с малым числом зубьев [14]. Но смещение исходного контура при нарезании зубчатых колес влияет на все геометрические параметры зубчатых колес и качественные характеристики передачи. Отнесение коэффициентов смещения Х1, Х2 к выходным параметрам синтеза позволило вместо одного возможного решения создать область существования решения задачи синтеза, значительно расширить возможности конструктора и создать предпосылки для оптимального синтеза передачи.
Основным вопросом, который при этом приходится решать конструктору, является обоснованный выбор коэффициентов смещения, обеспечивающих выполнение всех ограничений синтеза и рациональные или оптимальные значения качественных характеристик.
Первые методики по выбору коэффициентов смещения давали только одну точку в области существования решения, обеспечивающую выполнение ограничений синтеза и , как правило, одного дополнительного условия. В качестве примера рассмотрим несколько таких систем [15].
Система центрального конструкторского бюро редукторостроения (ЦКБР) была разработана в сороковые годы прошлого века на основе таблиц Дикера Я.И. [16]. Первый вариант этой системы использует равносмещенную передачу. Рекомендуемые значения коэффициентов смещения Х1 = -Х2 представлены в табличной форме, для чисел зубьев 10 < Z1 < 40; 17 < Z2 < 210 с шагом от одного до 40 зубьев. Второй вариант использует положительную зубчатую передачу. В табличной форме представлены рекомендуемые значения Х1 и xs = Х1 + Х2 для чисел зубьев 14 < Z1 < 40; 12 < Z2 < 200, Z2 > Z1 с шагом от одного до 30 зубьев. В основу выбора рекомендуемых значений коэффициентов смещения положено выравнивание удельных скольжений.
На основе тех же таблиц Дикера Я.И. на Новокрамоторском машиностроительном заводе им. Сталина (в настоящее время ЧАО «НКМЗ», Украина) была разработана упрощенная система, в которой
использовались средние значения коэффициентов смещения. Она позволяет находить одно решение задачи синтеза при 10 < 21 < 17 для любого передаточного отношения, т.е. независимо от числа зубьев ^
Существенными недостатками всех таких методик являлось невозможность целенаправленно -го формирования качественных характеристик зацепления, невозможность представления в табличном виде всех возможных комбинаций чисел зубьев зубчатых колес, отсутствие учета влияния конкретного инструмента на характеристики зацепления.
Действующий в настоящее время стандарт по расчету геометрии зубчатых эвольвентных передач внешнего зацепления [7] содержит аналогичные рекомендации - в области существования решений задачи синтеза выбирается одна точка. Рекомендации стандарта обеспечивают выполнение ограничений синтеза, за исключением толщины зуба на окружности вершин. Блокирующие контуры, значительно расширяющие возможности синтеза, включены в этот стандарт в качестве справочного приложения.
Значительным достижением в решении задачи геометрического синтеза цилиндрических зубчатых передач явилась разработка метода блокирующих контуров [17, 18], который в течение ряда лет являлся основным методом геометрического синтеза. Метод основан на построении для заданного числа зубьев 21, 22 в плоскости Х1, Х2 линий, соответствующих определенным значениям качественных показателей, а также линий, отсекающих области, в которых гарантируется выполнение ограничений синтеза. По сути, блокирующий контур является пересечением областей существования решений задачи синтеза при разных условиях и ограничениях синтеза. Данный метод простой, наглядный, и как было отмечено выше, включен в действующие стандарты в качестве справочного приложения. В дальнейшем этот метод был расширен - к чисто геометрическим условиям синтеза был добавлен ряд других условий [19, 20]. Также метод был успешно применен для синтеза рычажных [21, 22], планетарных и волновых механизмов [23, 24], нестандартных зубчатых передач [25], цепных передач [26] и ряда других механизмов.
Графическое представление области существования решения задачи синтеза, как и любой графический метод решения, имеет принципиальные недостатки: высокую трудоемкость, низкую точность. Очень большое число вариантов значений входных параметров синтеза не позволяет представить графически все возможные варианты. Например, действующий стандарт [10] содержит более сотни вариантов долбяков, отличающихся значениями модулей и чисел зубьев. Кроме того, износ инструмента приводит к смещению граничных линий блокирующего контура. Таким образом, число возможных комбинаций значений входных параметров синтеза будет исчисляться сотнями тысяч, что делает невозможным графическое представление всех возможных вариантов. Поэтому строятся комбинированные контуры, объединяющие несколько вариантов [11, 18, 27]. А это снижает точность решения, приводит к необходимости применения интерполирования при решении конкретной задачи и может исключить из рассмотрения приемлемые варианты решения.
Программное обеспечение для геометрического расчета цилиндрических зубчатых передач внешнего зацепления. Использование вычислительной техники позволило автоматизировать решение задач геометрического анализа и синтеза зубчатых передач. Появление персональных компьютеров и широкое внедрение их в учебный процесс в большинстве высших технических учебных заведений сопровождалось разработкой собственного программного обеспечения для геометрического расчета зубчатых передач [28-31]. Использование таких программ в учебном процессе предопределило их ограниченные возможности. Решение задачи синтеза, как правило, выполняется методом подбора [32], что объясняется необходимостью изучения студентами взаимосвязей между исходными параметрами передачи и её качественными характеристиками.
Использование вычислительной техники также позволило устранить принципиальный недостаток метода блокирующих контуров, связанный с графическим представлением результатов, перейти к построению блокирующих контуров для каждого конкретного случая и значительно расширить число условий, используемых при их построении. Были разработаны различные варианты программного обеспечения, позволяющие строить блокирующий контур в интерактивном режиме [33], строить динамический блокирующий контур, меняя граничные значения показателей качества [34, 35], учитывающий также дополнительные показатели качества: контактной прочности, удельного скольжения и т.д. [19].
Позднее появились универсальные коммерческие программные продукты, позволяющие автоматизировать проектирование и построение большинства узлов и деталей механических устройств. В качестве примера рассмотрим возможности двух программных продуктов для геометрического синтеза цилиндрических эвольвентных зубчатых передач внешнего зацепления.
Программа для проектирования, оптимизации и проверочного расчета деталей машин КНЗяоА швейцарской компании КНЗяоА АО включает в себя модуль «Зубчатые колеса/Передачи», позволяющий рассчитывать все размеры и параметры зубчатой передачи [36]. При геометрическом анализе эвольвент-ной цилиндрической зубчатой передачи вычисляются номинальные размеры зубчатой передачи и зубчатых колес, качественные показатели зацепления, контрольные размеры, а также значения геометрических параметров с учетом принятых допусков. Программа позволяет синтезировать передачу из условия обеспечения заданного скольжения, минимальной скорости скольжения, минимального износа, устранения подрезания и заострения зубьев, обеспечения заданной толщины зуба на окружности вершин. Оптимальный вариант выбирается на основе сравнения синтезированных.
АРМ WinMachine российской компании ПО «Аскон» [37] представляет собой многофункциональную систему автоматизированного расчета и проектирования механического оборудования в машиностроении и включает в свой состав приложение «Валы и механические передачи 3D», позволяющее проектировать шестерни цилиндрические с внешним и внутренним зацеплением. Система позволяет найти оптимальный вариант передачи по четырем прочностным критериям: контактной прочности, прочности по изгибу, равнопрочности по изгибу зубьев ведомого и ведущего колес, износостойкости и наибольшего сопротивления заеданию и одному геометрическому: плавности работы передачи (коэффициенту перекрытия), при выполнении всех ограничений синтеза [33]. Визуально результаты синтеза отображаются с помощью интерактивного блокирующего контура, на котором указываются найденные варианты решения. На следующем этапе возможно изменение коэффициентов смещения для целенаправленного изменения характеристик передачи. Возможно также нахождения оптимального варианта при произвольной комбинации указанных критериев, но весовые коэффициенты для всех критериев одинаковы.
Оба программных продукта позволяют при геометрическом расчете прямо или косвенно менять коэффициенты радиальных зазоров, но при решении задачи синтеза эти коэффициенты относятся в входным параметрам синтеза.
Постановка задачи оптимального геометрического синтеза цилиндрических зубчатых передач внешнего зацепления. Синтезируемая прямозубая цилиндрическая передача внешнего зацепления с эвольвентным профилем зубьев должна удовлетворять ограничениям синтеза, гарантирующем получение работоспособной передачи [7]: отсутствие подрезания зубьев; отсутствие интерференции зубьев; отсутствие срезания зубьев; отсутствие заострения зубьев.
Качество работы передачи характеризуется коэффициентом перекрытия eai2 и углом зацепления awi2. К входным параметрам синтеза относятся модуль m , числа зубьев зубчатых колес z\, Z2, параметры исходного производящего контура, к выходным - коэффициенты смещения х^, %2 и коэффициенты радиальных зазоров с*2, c*i.
Так как выбранные качественные характеристики передачи противоречивы, то для решения задачи оптимизационного синтеза выбрана стратегия аддитивной компенсации противоречий критериев. Аддитивная целевая функция принята в виде
F(xi,Х2,Ci2,C2i) = ki—^ + k2k'2 awl2 , ea12
где ki, k2 - весовые коэффициенты, значения которых назначаются в зависимости от важности критериев при решении конкретной задачи, причем ki + k2 = i; k'2 = 2,3 - нормирующий множитель, необходимый для масштабирования значений качественных показателей.
Разработка и тестирование программного обеспечения оптимального геометрического синтеза. Для решения поставленной задачи нелинейного математического программирования была использована библиотека функций Optimization Toolbox, входящая в Matlab и позволяющая находить экстремум целевой функции при ограничениях в виде равенств и неравенств, а также ограничениях, накладываемых на значения оптимизируемых параметров (выходных параметров синтеза). Для нахождения начальной точки был организован просмотр области допустимых значений выходных параметров синтеза с равномерным шагом (i0-20 точек по каждому параметру).
Взаимодействие пользователя с программой организовано с помощью графического интерфейса пользователя (GUI). Основное окно программы приведено на рис. 2.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
VAR-1
Ж
awl 2=_26.2667
hi01 = h!02= ha01= ha02= m=
alpha= 0.34907
x0i= 0 daC1= 104.3 da02= 104.3
da2= 39.9653
ОГРАНИЧЕНИЯ
1. Коэффициент перекрытия
| 1.71071
2. Толщина зубьев на окружности вершин
У колеса 1 0.512323 У колеса 2 0.868332
3. Угол зацепления (град.)
15.0001
4. Условия отсутствия интерференции 1-го рода
У колеса 1 1,00076е-06 У колеса 2 0 0352555
5. Условия отсутствия подрезания зубьев
У колеса 1 0.00133534 У колеса 2 0.0570915
6. Условия отсутствия срезания вершин зубьев
У колеса! 0.0163В76 У колеса 2 0.00220519
Калькулятор
Выход
ОПТИМИЗАЦИЯ
0.331796 C12= 0.2 -0.98125 c21= 0.284222
Min{f]= 0.593347
Рис. 2. Рабочее окно программы
3i6
Программа позволяет вводить исходные данные зубчатых колес и инструмента, области допустимых значений оптимизируемых параметров, значения весовых коэффициентов в диалоговом режиме или из заранее подготовленной таблицы Microsoft Excel. В области «Оптимизация» выводятся оптимальные значения выходных параметров синтеза, а в области «Ограничения» - значения качественных показателей и запасы по ограничениям синтеза.
Для проверки работоспособности и тестирования предлагаемой системы расчета и разработанного программного обеспечения было выполнено два цикла расчетов. Исходные данные для расчетов: модуль m = 1; числа зубьев зубчатых колес zj = 14, z2 = 40. Для нарезания зубчатых колес используется долбяк 2530-0191 по ГОСТ 9323-79.
В первом цикле (табл. 1) был проведен расчет значений качественных показателей, целевой функции и проверка выполнения ограничений синтеза в оптимальной точке и нескольких точках, расположенных рядом с ней. Сравнение результатов расчетов подтверждает существование и правильность определения оптимальной точки.
Таблица 1
Подтверждение работоспособности программы_
Параметр Варианты
Оптимальный Не оптимальные
1 2 3 4
x1 0,3318 0,3521 0,3501 0,3652 0,3731
x2 -0,9813 -0,1000 -0,9762 -0,9654 -0,9902
c12 0,2000 0,2123 0,2189 0,2201 0,2165
c21 0,2842 0,2761 0,2808 0,2951 0,2734
ea12 1,7107 1,5502 1,6972 1,6674 1,6920
a w12, град 15,0000 21,3657 15,2471 15,5115 15,3400
Выполнение ограничений Выполнены Выполнены Выполнены Выполнены Выполнены
F (xb ^ c2\) 0,5933 0,7514 0,6015 0,6112 0,6034
Во втором цикле (табл. 2) был проведен расчет нескольких вариантов передачи, синтезированных по методу блокирующих контуров. Сравнение этих вариантов с оптимальным вариантом подтвердило улучшение качественных характеристик передачи. В синтезированном оптимальном варианте коэффициент перекрытия еа12 = 1,7107, а в вариантах, синтезированных по методу блокирующих контуров, его значение находится в пределах от 1,3364 до 1,4920.
Таблица 2
Сравнение результатов оптимизационного синтеза с результатами синтеза по методу блокирующих контуров_
Параметр Варианты
Оптимальный По методу блокирующих контуров
1 2 3 4
x1 0,3318 0,4 0,6 0,5 0,8
x2 -0,9813 0,2 0,4 0,1 0,6
c12 0,2000 0,25 0,25 0,25 0,25
c21 0,2842 0,25 0,25 0,25 0,25
ea12 1,7107 1,4920 1,4112 1,4773 1,3364
a w12, ^ад 15,0000 22,9822 24,5728 22,9822 25,9592
Выполнение ограничений Выполнены Выполнены Выполнены Выполнены Выполнены
F(хЪ ^ c12, c21) 0,5933 0,7964 0,8475 0,7997 0,8952
Заключение. Отнесение радиальных зазоров к выходным параметрам синтеза позволяет расширить область существования решений задачи геометрического синтеза цилиндрической зубчатой передачи внешнего зацепления, улучшить её качественные характеристики. Разработанное программное
обеспечение позволяет оперативно подобрать наиболее оптимальный вариант зубчатой передачи, обеспечивающий выполнение всех ограничений синтеза и получение опитмальных значений качественных показателей, соответствующих конкретной решаемой задаче. Как предлагаемая методика синтеза, так и программное обеспечение могут быть легко расширены за счет включения в их состав дополнительных ограничений и геометрических и кинематических параметров, применяемых в расчете зубчатой передачи на прочность или других качественных показателей.
Список литературы
1. Вулгаков Э.Б. Теория эвольвентных зубчатых передач. М.: Машиностроение, 1995. 320 с.
2. Вулгаков Э.Б. Зубчатые передачи с улучшенными свойствами. Обобщенная теория и проектирование. М.: Машиностроение, 1974. 264 с.
3. Калашников А.С. Технология изготовления зубчатых колес. М.: Машиностроение, 2004. 480
с.
4. Goldfarb V.I. Theory and Practice of Gearing in Machines and Mechanism Science / Technology Developments: the Role of Mechanism and Machine Science and IFToMM / Mechanism and Machines Science. Vol. 1 Ser. Ed. Marco Ceccarelli. Springer Science+Business Media, 2011. P. 133-139.
5. Бабичев Д.Т., Лагутин С.А., Бармина Н.А. Обзор работ русской школы теории и геометрии зацеплений. Ч. 1. Истоки теории зацеплений и период её расцвета в 1935-1975 годы // Теория механизмов и машин. 2016. № 3 (31). Т. 14. С. 101-134.
6. Гольдфарб В.И. Теория и практика зубчатых передач в теории машин и механизмов // Интеллектуальные системы в производстве. 2011. № 2 (18). С. 95-100.
7. ГОСТ 16532-70. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные внешнего зацепления. Расчет геометрии.
8. ГОСТ 13755-81. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные. Исходный контур.
9. ГОСТ 13755-2015. Основные нормы взаимозаменяемости. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные. Исходные контуры.
10. ГОСТ 9323-79. Долбяки зуборезные чистовые. Технические условия. С изменениями № 1, 2 (ИУС 11-82, 4-87). 69 с.
11. Цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи внешнего зацепления / И. А. Болотовский, Б.И. Гурьев, В.Э. Смирнов [и др.]. М.: Машиностроение, 1974. 160 с.
12. Сидоров П.Г., Крюков В.А., Плясов А.В. Новая система расчета геометрии внутреннего эвольвентного зубчатого зацепления // Известия Тульского государственного университета. Серия: Машиноведение, системы приводов и детали машин. 2006. № 3. С. 23-35.
13. Sidorov P.G, Kryukov V.A., Plyasov A.V. [et al.]. Synthesis of internal involute couplings of planetary transmissions // Russian engineering research. 2009. Vol. 29. № 6. P. 531-537.
14. Большая советская энциклопедия. Т. 13. Конда - Кун. М.: Советская энциклопедия, 1973.
608 с.
15. Птицын Г.А., Кокичев В.Н. Расчет и изготовление зубчатых передач в ремонтном деле. Л.: Судпромгиз, 1961. 519 с.
16. Дикер Я.И. Таблица расчета зацеплений зубчатых передач. М.: Оргметалл, 1937. 32 с.
17. Громан М.Б. Графики для подбора коррекции прямозубых зубчатых передач и указания по их применению // Вестник машиностроения. 1957. № 7. С. 32-38.
18. Справочник по геометрическому расчету эвольвентных зубчатых и червячных передач / И.А. Болотовский, В.И. Безруков, О.Ф. Васильева [и др.]. Под. ред. И.А. Болотовского. М.: Машиностроение, 1986. 448 с.
19. Гольдфарб В.И., Ткачев А. А. Совершенствование прочностного расчета зубчатых передач на основе концепции динамического блокирующего контура // Интеллектуальные системы в производстве. 2013. № 1 (21). С. 69-73.
20. Ткачев А.А. Классификация линий блокирующего контура // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2007. № 1. С. 165-170.
21. Пейсах Э.Е. Метод блокируемых зон в синтезе шарнирно-рычажных механизмов // Механика машин. 1969. Т. 21-22. С. 15-28.
22. Крюков В. А. Метод построения области существования решений задачи кинематического синтеза стержневых механизмов // Известия ТулГУ. Серия: Машиноведение, системы приводов и детали машин. 2004. Вып. 1. С. 139-144.
23. Егорова О.В., Самойлова М.В., Тимофеев Г.А. Метод комбинированного блокирующего контура для проектирования планетарного механизма 2K-H типа // Современное машиностроение. Наука и образование. 2018. № 7. С. 797-808.
24. Тимофеев Г.А., Самойлова М.В. Области существования комбинированного планетарно-волнового механизма // Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Серия: Машиностроение. 2012. № 2 (87). С. 117-122.
25. Вулгаков Э.Б., Васина Л.М. Эвольвентные зубчатые передачи в обобщающих параметрах. Справочник по геометрическому расчету. М.: Машиностроение, i 978. i74 с.
26. Бережной С.Б., Остапенко О.И., Война А.А. [и др.]. Блокирующие контуры для цепных передач с малыми межосевыми расстояниями // Перспективы развития науки и образования: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции: в i4 частях. Ч. i0. 20i2. С. 35-38.
27. Цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи внутреннего зацепления. Расчет геометрических параметров / И. А. Болотовский, Б.И. Гурьев, В.Э. Смирнов [и др.]. Справочное пособие. М.: Машиностроение, i977. i92 с.
28. Kuzlyakina V.V., Nagaeva M. Computer-Aided Laboratory Work to "Mechanism And Machine Science" Course // 2007 Proceedings of the ASME international design engineering technical conferences and computers and information in engineering conference. DETC2007. Las Vegas, NV, 2008. P. 576-580.
29. Тимофеев Г.А., Яминский А.В., Каганова В.В. Проектирование зубчатых передач и планетарных механизмов с использованием ЭВМ. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 60 с.
30. Крюков В. А. Пакет прикладных программ для синтеза внутренних зацеплений эвольвент-ных зубчатых передач / Современное промышленные технологии, оборудование и приборы: Информационный аннотированный каталог / Под ред. В.В. Прейса. Тула: Тул. гос. ун-т, 2000. С. i08-i09.
31. Попов С.А. Тимофеев Г.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике машин / под ред. К. В. Фролова. Москва, 2004. 324 с.
32. Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование / под ред. Г. А. Тимофеева. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20i2. i69 с.
33. Голованёв В.А. Применение оптимизационных методов и интерактивного блокирующего контура при выборе коэффициентов смещения (корригировании) цилиндрических эвольвентных зубчатых передач внешнего зацепления // САПР и графика. 20i4. № ii. С. 89-93.
34. Гольдфарб В.И., Ткачев А.А. Проектирование эвольвентных цилиндрических передач. Новый подход. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. 94 с.
35. Ткачев А.А. Прогнозное проектирование эвольвентных цилиндрических передач // Интеллектуальные системы в производстве. 20i i. № 2 (i8). С. i73-i78.
36. KISSsoft. Программа для проектирования, оптимизации и проверочного расчета деталей машин. KISSsoft AG, 20i2. 20 p.
37. АРМ WinMachine [Электронный ресурс]. URL: https://ascon.ru/products/iii5/review (дата обращения: i9.i0. 20i9).
Крюков Владимир Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, va.krukov@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Нгуен Зуи Тхе, аспирант, duythe1290@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
OPTIMAL GEOMETRIC SYNTHESIS OF EXTERNAL CYLINDRICAL GEARS V.A. Krukov, D.T. Nguyen
The possibilities of solution domain existence expansion of the cylindrical involute gears geometric synthesis problem due to the use of non-standard radial clearances are considered. The analysis of existing methods of synthesis of the considered gears is carried out. The mathematical model of synthesis with the number of output parameters of synthesis increased to four is described. The problem of optimal geometric synthesis is formulated, the corresponding software is developed, the results of its testing and comparison with the results of gear synthesis by the existing technique are presented.
Key words: gearing, cylindrical gearing, geometric synthesis, optimization, optimal synthesis.
Krukov Vladimir Alekseevich, doctor of technical science, professor, va.krukov@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,
Nguyen Duy The, postgraduate, duythe1290@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University
