Оптимальный газовый эжектор с диффузором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XI

19 8 0

№ 2

УДК 621.694.2 (088.8)

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГАЗОВЫЙ ЭЖЕКТОР С ДИФФУЗОРОМ

Ю. К. Аркадов

Найдены условия оптимальности газового эжектора и расположенного за ним дозвукового диффузора. Вид этих условий зависит от основных параметров системы эжектор — диффузор. При больших степенях сжатия они аналогичны условиям оптимальности обычного газового эжектора, однако при малых степенях сжатия появляются совершенно новые максимумы. В связи с этим характеристики оптимальной системы эжектор — диффузор претерпевают разрыв в области перехода от малых степеней сжатия к большим.

Показано, что оптимальная система эжектор — диффузор при больших коэффициентах эжекции (к > 3) в несколько раз экономичнее изолированного оптимального эжектора.

Исследования оптимальных режимов работы изолированного газового эжектора в самом общем виде сводятся к анализу трех уравнений эжекции С. А. Христиановича [1], являющихся записью законов сохранения массы, энергии и импульса для входного и выходного сечений камеры смешения. Однако в связи с тем, что полученные условия оптимальности [2, 3] являются противоречивыми и соответствуют физически невозможным режимам, для практических целей приходится исследовать менее общие, но физически реализуемые случаи, например, оптимальный критический эжектор [4], оптимальный эжектор с заданной скоростью низконапорного газа [5] и т. д.

Во всех указанных работах эжектор рассматривался независимо от системы, в которой он работает. Этот подход является, по-видимому, в большинстве случаев оправданным и дает верные результаты. Однако при малых степенях сжатия, когда диффузор является неотъемлемым элементом эжектора, а изменения полного давления в них одного и того же порядка, целесообразно рассматривать их работу совместно и попытаться найти их оптимальное сочетание.

1. Исходные уравнения. Процесс в эжекторе (рис. 1) в случае полного смешения струй без теплообмена и трения на стенках камеры смешения удовлетворительно описывается тремя уравне-

ниями С. А. Христиановича. При одинаковых температурах и составах смешиваемых газов эти уравнения имеют вид:

ад (Хг)

к

(У =

«7<Х')

кг (Лд) + г (//)

1 + к «Я (ПП + к)

(1 ~т а) д (л3)

(1)

(2)

(3)

где & = (/,/0'— отношение расходов низконапорного и высокона-порного газов (коэффициент эжекции); <з = Р'01Ро1— отношение полных давлений высоконапорного и низконапорного газов; ег = = Роз/Р01 — отношение полных давлений смеси и низконапорного

Рис. 1

газа (степень сжатия); а = Р1/Р/— отношение площадей поперечных

сечений низконапорной и высоконапорной струй; Х„ У и Х3—

приведенные скорости низконапорного газа, высоконапорного

1

1 /х 4- 1' *— ^

газа и смеси соответственно: г (X) = X— ~—] X

1 х

^ ^3] > = “““1 ^2)Х 1 — газодинамические

функции.

Если за эжектором установлен диффузор, то полное давление смеси за ним уменьшается, и в уравнении (3), определяющем действительную степень сжатия системы эжектор — диффузор, появляется коэффициент V, характеризующий восстановление полного давления в диффузоре

е = -^- = + *>. (За)

Ли (1 + а)?(А3)

Коэффициент V зависит от целого ряда геометрических и газодинамических параметров диффузора, в частности, от степени_рас-ширения /•', угла раскрытия а, начального поля скоростей гу = — т(х), числа Яе и числа М на входе. Функция V = ч(Р, а, ъи, Не, М) имеет очень сложный вид и надежно может быть определена лишь экспериментально. Однако вид главной зависимости коэффициента восстановления давления V от числа М на входе известен, и в настоящее время существует несколько формул, связывающих параметры V, М и коэффициент сопротивления диффузора С

(см., например, [6]). В данной работе принята зависимость, полу-

2

ченная С. А. Христиановичем и имеющая вид С = (5 — 1/282),

где с=1 — V.

Пренебрегая членом 1/2о2 (малым при о<^0,1), получим для степени сжатия следующее уравнение:

а= °/?(Х')(1 +к) Л _ (3б)

(1 + а)<7(Х3) V 2 3/

Коэффициент сопротивления диффузора £ является, согласно [6], функцией числа Йе и не зависит от числа М на входе. При больших числах Ие коэффициент С перестает зависеть и от последнего, являясь практически постоянной величиной.

Формально рассматриваемая система уравнений не учитывает трения газа о стенки камеры смешения, однако его влияние легко может быть учтено соответствующим увеличением коэффициента сопротивления С, поскольку и в этом случае 5~Мз.

2. Условия оптимальности системы эжектор — диффузор. Будем искать методом множителей Лагранжа максимум степени сжатия системы эжектор — диффузор при заданном отношении полных давлений о, заданном коэффициенте эжекции заданном коэффициенте сопротивления диффузора С и уравнениях связи (1) и (2). Стационарные точки уравнения (36) находятся там, где обращаются в нуль все частные производные функции:

р = Л _ с Мз) + \акд (У) - а? (X,)] +

(1+я)<7(Л3) V 2 ]

+ *8[г(Х,)(1 +б)-М>м)-г(^)Ь

где хх и х2— неизвестные множители.

Дифференцируя, получим

да (1 -1-а)2<?(Л3) V 2 )

др _ о<7 (X') (I -1- к) /] с Л М;П ^(^-з) 0 + ¿0 ^

д13 (1 + «)72(^з) V 2 / Лз (1 +а)д(К3) с1),

+ *2(1 + к)^^ = 0,

Ж=-Х1айМ--Хгк«12й = 0,

<?АХ 1 ' ¿л.

й' (1 + £1> (/ (л.) V '2 7 А' ' Л' ‘ Л'

Находя из первых двух уравнений неизвестные множители хх и л:2 и подставляя их значения в оставшиеся два уравнения, получим следующие стационарные точки:

Х'= 1, (4)

>ч=1, (5)

Р (х1> — °Р (О = 0» (б)

Условие (6) может быть переписано в виде ру — р', физически означающем равенство статических давлений смешиваемых газов на входе в эжектор. Условие (7) при £ = 0 сводится также к простому физическому условию-—равенству статических давлений высоконапорного газа и смеси, полученному Б. А. Урюковым в работе [3] при анализе характеристик эжектора без диффузора.

Рассмотрим более подробно, какие из полученных стационарных точек являются условиями оптимальности газового эжектора и при каких начальных данных. Для этого в координатах ).и X' построены линии, соответствующие постоянным коэффициентам эжекции k = const при заданных значениях а, С и а (для примера были приняты значения а = 5 к С = 0,2). Все кривые k — const (рис. 2) являются замкнутыми и окружают области максимальной эффективности системы газовый эжектор — диффузор, наглядно демонстрируя их расположение в координатах X'.

На рис. 2 нанесены также линии, определяемые полученными уравнениями стационарных точек. Одна из этих линий, обозначенная цифрой 1, является прямой Xj=l, а две других — кривыми. Линия, определяемая уравнением (6), обозначена на рис. 2 цифрой 2, а линия, определяемая уравнением (7), — цифрой 3. Как показал анализ, линия, соответствующая уравнению (4) и условию К' = 1, не определяет экстремальных точек в характеристиках газового эжектора, и поэтому на рис. 2 она не приведена.

Рнс 2 Вид условий, при которых

достигается максимальная эффективность системы газовый эжектор — диффузор, сильно зависит от величины степени сжатия. При больших степенях сжатия, например, е = 1,16 (см. рис. 2, а), имеет место один максимум, распола-ющийся на пересечении линий 1 и 3, определяемых условиями (5) и (7). Интересно, что линии 2 и 3 нигде при этих начальных данных не пересекаются.

При меньших степенях сжатия, например, при £==1,15 (см. рис. 2, б), имеют место уже два максимума коэффициента эжек-ции, причем один из них по-прежнему располагается на пересечении линий 1 и 3. Однако теперь рядом с ним (при меньших значениях и X') появляется еще один максимум, лежащий на пересечении линий 2 и 3. При е< 1,15 линии 2 и 3 всегда пересекаются, причем точек пересечения две. В одной из них располагается максимум коэффициента эжекпии при заданной степени сжатия (либо максимум степени сжатия при заданном коэффициенте эжекции, так как оптимальный эжектор один и тот же). Вторая точка пересечения линий 2 и 3 также является характерной точкой уравнения (36). При г=1,15 она является точкой типа „седло“, расположенной между двумя максимумами. Отметим, что при данной степени сжатия первый максимум (лежащий при меньшем значении X,) но абсолютной величине ниже второго максимума.

При несколько меньших степенях сжатия (г =1,13, рис. 2, в) картина качественно не меняется, однако первый максимум (лежащий на пересечении линий 2 и 3) по абсолютной величине становится выше второго максимума (лежащего на пересечении линий 1 и 3). Следует сказать, что разница в коэффициентах эжекции, достигаемая в обоих максимумах, невелика при начальных данных, принятых на рис. 2, б и в. Однако рис. 2, б и в иллюстрируют лишь качественную картину поведения этих максимумов в данной интересной области, и величины степени сжатия на них выбраны специально близкими. При других начальных данных разница между абсолютными значениями коэффициента эжекции, достигаемыми в обоих максимумах, может быть очень большой.

При дальнейшем уменьшении степени сжатия первый максимум сдвигается влево в сторону меньших приведенных скоростей низконапорного газа, а вторая точка пересечения линий 2 и 3 движется вправо. При некоторой степени сжатия она достигает линии Х1=1. В этот момент меняется характер поведения исследуемой функции в указанных стационарных точках. Точка пересечения линий 2 и 3 становится теперь (см. рис. 2, г) вторым максимумом, а линий 1 и 3 -точкой типа „седло“. Следует сказать, что абсолютная величина коэффициента эжекции при £=1,05 во втором максимуме значительно (на 22%) ниже, чем в первом максимуме (¿, = 7,292 и ¿2 = 5,693) (см. рис. 2, г).

Таким образом, проведенное исследование показало, что условиями абсолютного максимума степени сжатия или коэффициента эжекции системы газовый эжектор — диффузор при больших степенях сжатия являются уравнения

и

а при малых степенях сжатия—уравнения

р(К) -<гр(к') = о

3. Возможность реализации полученных условий оптимальности. Рассмотрим теперь вопрос о том, реальны ли, т. е. осуществимы ли физически полученные условия оптимальности. На рис. 2, а и 2, б линией 4 нанесены критические режимы газовых эжекторов при тех же начальных данных. Расчеты критических режимов были проведены по уравнениям Ю. Н. Васильева [4]. Видно, что линии 4 делят плоскость а, — на две части, из которых левая верхняя часть является областью физически возможных, а правая нижняя часть — областью физически невозможных режимов. Левый оптимум (¿, = 3,283 на рис. 2,6) расположен в области физически осуществимых режимов и всегда может быть практически реализован. Второй оптимум, лежащий на пересечении линий 1 и 3 (см. рис. 2, а и б), расположен в области физически невозможных режимов и практически реализован быть не может. В этих условиях реальным оптимальным эжектором при больших степенях сжатия является эжектор, работающий на границе возможных режимов (критическом режиме), причем в точке, наиболее близко расположенной к абсолютному максимуму (к точке к2). Из рис. 2, а п б также видно, что линия 2, соответствующая равенству статических давлений смешиваемых газов, проходит достаточно близко к точке /г2 и даже несколько ближе, чем линия 4, рассчитанная по приближенным уравнениям критического режима Ю. Н. Васильева [4|.

Проведенный методом множителей Лагранжа анализ показал, что оптимальная система эжектор — диффузор при равенстве статических давлений смешиваемых газов и большой степени сжатия удовлетворяет условию

Это условие совпадает с полученным автором ранее условием оптимальности изолированного газового эжектора без диффузора.

Таким образом, реальная оптимальная система эжектор — диффузор во всех случаях должна соответствовать условию (6) (иметь равные статические давления смешиваемых газов на входе в эжектор) и в зависимости от величины степени сжатия е, отношения полных давлений о и коэффициента сопротивления диффузора С удовлетворять одному из двух условий: (7) или (8). На рис. 3 даны зависимости степени сжатия от коэффициента эжекции при р' и обоих условиях оптимальности (7) и (8). Цифрой 1 на рис. 3 обозначена характеристика эжектора при выполнении условия (7), а цифрой 2 — характеристика эжектора при выполнении условия (8). Видно, что при ^0,3 (6^3,3) кривые пересекаются, причем при малых коэффициентах эжекции лучше работает оптимальный эжектор, описываемый уравнениями (6) и (8), а при больших коэффициентах эжекции — оптимальная система эжектор — диффузор, отвечающая условиям (6) и (7).

В точке пересечения линий 1 и 2 (см. рис. 3) график зависимости степени сжатия оптимального эжектора от коэффициента эжекции претерпевает излом. Все остальные газодинамические и

(8)

где (>.) =

X .

1,15 1,10 1,05

1,0 О 0,1 0,2 0,5 к'1

Рис. З

геометрические характеристики при этом претерпевают разрыв (рис. 4), поскольку в этой точке имеет место скачкообразный переход от одного оптимума к другому. В точке разрыва приведенные

скорости и числа М низконапорного и высоконапорного газов достигают максимального значения. При увеличении и уменьшении коэффициента эжекции от точки разрыва оптимальная скорость низконапорного газа все время убывает, стремясь в пределе к нулю.

4. Об эффективности оптимальной системы эжектор — диффузор. Оптимальный газовый эжектор при средних коэффициентах эжекции имеет, как видно из рис. 2, а и б, околозвуковую скорость низконапорного газа на входе. В этой области параметров главные потери полного давления смеси (по сравнению с изоэнт-ропическим смешением) связаны с неупругим соударением смешиваемых струй, имеющих различную скорость, и с прохождением смеси через скачок уплотнения в конце камеры смешения. При околозвуковой скорости низконапорного газа камера смешения имеет минимальную площадь, и эти потери минимальны. Наличие за камерой смешения дозвукового диффузора картины не меняет, так как повышение статического давления в нем относительно камеры смешения мало, и поправка в степени сжатия из-за потерь в диффузоре невелика.

В области малых степеней сжатия картина меняется. Здесь и повышения статического давления в камере смешения и диффузоре, и изменения полного давления в них одного порядка. В этих условиях то, что благоприятно для работы собственно эжектора, может оказаться неблагоприятным для системы эжектор — диффузор в целом. Так, околозвуковая скорость низконапорного газа оптимальна для работы эжектора, но для диффузора этот режим является неблагоприятным. На его входе в этом случае имеет место наибольшая скорость смеси, и при заданном коэффициенте сопротивления диффузор имеет низкий коэффициент восстановления полного давления. Все это приводит к тому, что в оп-

тимальной системе эжектор — диффузор с уменьшением степени сжатия а ->■ 1 приведенная скорость низконапорного газа неограниченно убывает, а относительная площадь камеры смешения увеличивается.

Указанная оптимизация газового эжектора с диффузором существенно изменяет не только геометрию эжектора с малой степенью сжатия, но и, что самое главное, значительно увеличивает его эффективность. Из рис. 3 видно, что при принятых значениях з = 5 и £ = 0,2 обычный оптимальный эжектор с диффузором (линия 2) имеет степень сжатия 1 при ¿"' = 0,12 (/г = 8,5), т. е. даже при работе без противодавления коэффициент эжекции в нем не может быть очень большим. В оптимальной же системе эжектор — диффузор при е1 коэффициент эжекции неограниченно увеличивается (k ->■ со, ¿_1~>0). Оптимальная система эжектор — диффузор имеет целую область больших коэффициентов эжекции k > >8,5 -г- 10, где она может работать при противодавлении, в то время как в обычном оптимальном эжекторе степень сжатия в этой области £ меньше единицы.

На рис. 5 приведены отношения коэффициентов эжекции при одинаковой степени сжатия (г = const) в оптимальной системе эжектор—диффузор и изолированном оптимальном эжекторе. Это отношение khlk2 дано в зависимости от коэффициента эжекции оптимальной системы k{. Видно, что при больших коэффициентах эжекции (¿>-3) и соответствующих им малых степенях сжатия оптимальная система эжектора и диффузора в несколько раз экономичней обычного оптимального эжектора с таким же диффузором.

ЛИТЕРАТУРА

1. ХристиановичС. А. О расчете эжектора. Сб. .Промышленная аэродинамика“, М., ЦАГИ, 1944.

2. Харитонов В. Т. Исследование эффективности газового эжектора с цилиндрической камерой смешения. „Теплоэнергетика“,

J 958, № 4.

3. У р ю к о в Б. А. Теория дифференциального эжектора. ПМТФ,

1963, № 5.

4. В а с и л ь е в Ю. Н. Теория сверхзвукового газового эжектора с цилиндрической камерой смешения. Сб. „Лопаточные машины и струйные аппараты“, вып. 2, М., „Машиностроение*, 1967.

5. А р к а д о в Ю. К. Оптимальный газовый эжектор с заданной скоростью низконапорного газа. Труды ЦАГИ, вып. 1012, 1966.

6. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М., „Машиностроение“, 1975.

Рукопись поступила 5/Х 1978 г.