CC BY
49
Том X
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
19 7 9
№ 6
УДК 533.6.071.087
ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ СИГНАЛА
ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ ТЕНЗОВЕСОВ ПРИ ДИСКРЕТНОМ ПОСТУПЛЕНИИ ИНФОРМАЦИИ
Ю. А. Зленко, Т. В. 'Гитовская
Исследована точность определения нагрузки при измерении сигнала тензовесов в дискретные моменты времени. Алгоритм разработан на основе принципа максимального правдоподобия. Получено приближенное аналитическое соотношение для зависимости точности определения нагрузки от длительности измерений, числа отсчетов, уровня шумов и параметров аппаратуры. Установлено, что при частоте отсчетов, превышающей удвоенную частоту колебаний весов, точность измерений практически не может быть увеличена путем увеличения частоты отсчетов, изменением алгоритма обработки информации или выбором динамических параметров тензовесов. Показано, что при использовании ЭЦВМ с быстродействием порядка сотен операций в секунду обработка информации может проводиться в темпе эксперимента.
При проведении весового аэродинамического эксперимента погрешность измерений зависит от уровня шумов, длительности проведения измерений, наличия априорной информации о сигнале и шумах, от алгоритма обработки результатов измерений и от типа применяемых датчиков [1].
В аэродинамических установках непрерывного действия длительность проведения измерений необходимо уменьшать для повышения эффективности использования установок и снижения стоимости проведения эксперимента. В импульсных аэродинамических установках длительность проведения измерений ограничена временем существования потока. Таким образом, задача разработки алгоритмов обработки результатов измерений, обеспечивающих максимальную точность оценки исследуемых параметров при ограниченной продолжительности эксперимента, является актуальной.
Для аэродинамического эксперимента характерна возможность получения априорной статистической информации о совместной функции распределения результатов измерений при условии существования искомых параметров. В то же время ему присуще отсутствие существенной априорной информации об измеряемых пара-
метрах [1]. Это обусловливает возможность отыскания алгоритмов обработки результатов измерений путем применения принципа максимального правдоподобия [2]. В дальнейшем такие алгоритмы будем называть ПМП-алгоритмами. Применение ПМП-алгоритмов обеспечивает получение оценки измеряемых параметров с наименьшей дисперсией (при заданном составе наблюдений) [2] и позволяет выбрать наилучший тип датчика (путем минимизации дисперсии оценки по характеристикам датчика).
В работе [1] рассматривалось применение ПМП-алгоритмов для обработки результатов аэродинамического эксперимента при непрерывном поступлении информации. В настоящей работе исследуется точность ПМП-алгоритма для обработки сигнала одноком-понентных тензовесов при дискретном поступлении информации.
Полагаем, что в момент времени ti=0 на чувствительный элемент тензовесов начинает действовать неизвестная постоянная нагрузка /?0 (сила или момент силы), величину которой следует определить по результатам измерений сигнала на выходе тензовесов в дискретные моменты времени ^ = (г... 1) Д^, где г= 1,..., ТУ; N—число отсчетов; М — постоянный промежуток времени между моментами считывания информации. Продолжительность измерений Т и число отсчетов N заданы. Считаем известными также параметры тензовесов: частоту собственных колебаний <о0, декремент затухания X и упругость к.
Рассматриваем два типа шумов, сопровождающих измерения: случайные флюктуации нагрузки /?0 во время проведения эксперимента, вызываемые, например, турбулентностью потока, нестационарностью обтекания, вибрацией державки тензовесов — в дальнейшем такие флюктуации будем называть аэродинамическим шумом, и случайные флюктуации сигнала на выходе тензовесов, вызываемые, например, электронными шумами усилителя, помехами в соединительных цепях — в дальнейшем такие флюктуации будем называть аппаратурными шумами. Шумы считаем аддитивными, стационарными и центрированными. Накладываем также ограничения на статистические характеристики шумов: аппаратурный шум считаем распределенным по нормальному закону с известной дисперсией а2у и достаточно широкополосным (чтобы значения этого шума в моменты времени были некоррелированы между собой); аэродинамический шум считаем распределенным по закону, близкому к нормальному, чтобы аэродинамический шум после прохождения тензовесов — узкополосной линейной системы [3] — имел нормальный закон распределения, учитывая нормализующее воздействие узкополосных линейных систем [2], и достаточно широкополосным, чтобы спектральная плотность /Уа аэродинамического шума в пределах полосы пропускания тензовесов была постоянной. Указанные шумы полагаем взаимно некоррелированными. Положение и скорость чувствительного элемента тензовесов в момент времени ¿,—0 полагаем неизвестными.
При сделанных выше предположениях требуется построить
л
алгоритм отыскания оценки /?0 нагрузки /?0 и исследовать зависимость дисперсии оценки от параметров задачи.
Следуя [1], полагаем, что при малых колебаниях однокомпо-нентных тензовесов связь между нагрузкой /?0 и отклонением тензовесов у с достаточной степенью точности может быть описана
обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами:
ylwo + 2ly/w0 + y = [R0 + bR(t)\lk-, (1)
у (0 )=/?2; jí (0) = /?а, (2)
где ш0 — частота свободных колебаний весов в отсутствие демпфирования, X —декремент затухания, k — упругость тензовесов; R0 — нагрузка, R2, R3 — неизвестные параметры, определяющие начальное состояние весов; bR(t) — случайные флюктуации измеряемого параметра— аэродинамический шум.
Решение уравнения (1) с начальными условиями (2) может быть записано в виде
з
(о=2 я,-мо
/=i
где
5, = 1—s2, s2 = e~xt eos«)/ 4- \s3, s3 = e~xt sin ^
\{t) — аэродинамический шум SR, преобразованный тензовесами.
Электрический сигнал I{t) на выходе тензовесов может быть записан в виде
где kg — коэффициент чувствительности тензодатчика, ^(^ — аппаратурные шумы, приведенные к выходу тензовесов.
Сигнал с выхода тензовесов после предварительного усиления z(t) подается на аналого-цифровой преобразователь (АЦП), так что в результате проведения эксперимента получается последовательность из N чисел z¡ (i — I, ... , AJ), пропорциональных значению сигнала на выходе тензовесов в известные моменты времени t¡.
Зависимость результатов измерения z¿ от неизвестных параметров Rj может быть записана в матричном виде
z=*-s7+ Г+ r¡,
—>
где z — вектор-столбец размерности [А^Х 1] с компонентами z¡ = — z (í¡); S — матрица размерности [7VX3] с элементами S¿/ —Sy (¿();
г — вектор-столбец размерности [3X1] с компонентами r¡~ Ry,
S, r¡ — случайные вектор-столбцы размерности [*VX1], компоненты которых = •*]/ = (td¡kg\ *—коэффициент пропорциональности между механическим перемещением чувствительного элемента тензовесов и выходом АЦП.
Поставленная выше задача может быть сформулирована следующим образом.
Требуется по результатам измерений — вектору г — определить
л
оптимальную оценку /?0 неизвестной нагрузки /?0-
Как показано, например, в [2], оценкой с наименьшей дисперсией для компонентов вектора г [а учитывая (3), и для /?0] является оценка, полученная методом максимума правдоподобия. Согласно
этому методу, в качестве оценки компонентов вектора г следует взять значения, доставляющие максимум условной вероятности Р{г\г) появления данного вектора при условии, что реализовался вектор г.
Учитывая сделанные предположения о статистических характеристиках шумов, находим, что вектор г распределен по нормальному закону. Задача определения оценки параметров входного
сигнала (компонент вектора г) при нормально распределенном векторе наблюдений г выходного сигнала линейной стационарной системы второго порядка (1) рассматривалась, например, в рабо-
л
те [4], где получен ПМП-алгоритм отыскания оценки г вектора г.
л
г = — йг, £ = (4)
где
й = (5Т ЛГ*1 Я)-1 5Т ЛГ1,
л л л л
Е = <(7-<г>)(Г-(г))т>,
М — корреляционная матрица шумов, Е— корреляционная матрица оценки вектора неизвестных параметров, символ () обозначает операцию математического ожидания, УИ-1—обратная матрица,
( )Т—транспонирование. Учитывая (3), находим ПМП-алгоритм
л
отыскания оценки неизвестной постоянной нагрузки /?0 тензо-весов и дисперсию оценки а\\
N
я»
(=1
(6)
где О, ¿ — элемент первой строки матрицы .О; Еи— первый элемент первой строки матрицы Е.
Элементы Оц и Еи не зависят от результатов эксперимента г и могут быть вычислены до проведения эксперимента.
л
Для вычисления и по формулам (5), (6) необходимо определить корреляционную матрицу шумов М. Вследствие взаимной некоррелированности аэродинамического и аппаратурного шумов имеем
М =Ка + Ку, (7)
где Ка и Ку — корреляционные матрицы аэродинамического и аппаратурного шумов, приведенных к выходу тензовесов.
Учитывая сделанные выше предположения о статистических характеристиках шумов, заменим флюктуации нагрузки IR эквивалентным белым шумом интенсивностью Na. В этом случае
4 Na ">0
ку = ту Е' К =
Rs
где элементы матрицы K¡¡ — (cos б Д<р -f ¡x sin бД»). Здесь Е — единичная матрица; р==Х/ш, Дср = <оД£; 6 = |/— /|.
Отметим, что для элементов K¡¡ справедливы равенства K¡j=z К{ I tl — t¡ I), где Áf( I tL —1¡ I) — корреляционная функция белого шума интенсивностью Na, прошедшего через колебательное звено [2].
Для исследования зависимости дисперсии оценки од от параметров задачи и для получения приближенного аналитического выражения для проводились параметрические расчеты на ЭЦВМ.
Результаты расчетов показали, что дисперсия оценки о^ при одновременном воздействии аэродинамического и аппаратурного шумов с достаточной для практики точностью может быть заменена суммой дисперсий, при вычислении которых полагалось, что один из шумов отсутствует:
^ со + Зь (8)
где со — дисперсия оценки при Оу = 0, о?— дисперсия оценки при Na = 0.
На рис. 1 представлена типичная зависимость величины Д3 = oR J }/" (1 — с) со + со? от параметра с, характеризующего соотношение интенсивностей шумов, а матрица /И при вычислениях зависимости Да(с) задавалась в виде М — (1 — с) Ка + сКу На этом и последующих рисунках П = шТ/2тс—число периодов колебаний весов, в течение которых производились измерения.
Приближенное равенство (8) позволяет производить параметрические исследования только для с=1 и для с = 0.
п=/ Н=60 ц=0,05
ч
10
' 0 0,25 0,5 0J5 с Рис. 1
Рис. 2
Исследование зависимости дисперсии оценки а\ от числа отсчетов N при заданной продолжительности измерений Т для случая, когда уровень аэродинамического шума много больше уровня аппаратурного шума (с = 0), показало, что с увеличением числа отсчетов N дисперсия весьма быстро стремится к своему предельному (при 7У=оо) значению оого. Из анализа результатов параметрических исследований следует, что при
ЛГ>Л/* = 2л + 3 (9)
с достаточной степенью точности можно считать
Типичная зависимость П)/а0оо от
N — 1
"я v"» ооо п
рис. 2. Разрывы на графике расположены в точках
(10)
представлена на N — 1 1
П х »
I— 1, 2, 3, ... , в которых система является статистически ненаблюдаемой. Приведенная на рис. 2 кривая слабо зависит от декремента затухания ¡а и практически не зависит от числа периодов П. Увеличение числа отсчетов N сверх указанного в (9) ведет к увеличению потока информации и резкому росту времени обработки (можно показать, что объем вычислений растет, как Л'3) и практически не увеличивает точность измерений.
Исследование зависимости дисперсии оценки а\ от числа отсчетов /V для случая, когда основным шумом является аппаратурный (с = 1), показало, что при увеличении N дисперсия а% также быстро стремится к своему предельному значению о?«, (рис. 3). Из анализа результатов расчетов, типичный пример которых представлен на рис. 4, следует, что при Л^Л^* с достаточной степенью точности можно считать
2 3| с
-(АУ^у.
(П)
Дисперсия аппаратурных шумов а2у может быть уменьшена установкой перед АЦП низкочастотного фильтра с полосой пропускания, согласованной с полезным сигналом тензовесов. Если для верхней частоты среза фильтра V выполняется условие так что аппаратурные шумы на выходе в АЦП в моменты времени £г остаются некоррелированными, то для определения дисперсии оценки по-прежнему применимы формулы (10), (11).
1.1
10
N=60 С-1
1Т= ^ 10
0,125 0,25 0,375 /и Рис. 4
Подставляя (10), (11) в (8), получаем приближенную аналитическую зависимость дисперсии оценки а% от параметров задачи (Т, Ы, ш, X, Ага, о2у, у., к, /гг) при одновременном воздействии аэродинамического и аппаратурных шумов при
Л-^+-1,4.
Коэффициент к1 = к^к в правой части (12) на практике удобно определять как частное от деления постоянного электрического выходного сигнала тензовесов на величину постоянной нагрузки, вызывающей этот сигнал. Из анализа результатов расчета следует, что точность оценки величины нагрузки при Л/^УУ* практически не зависит от параметров тензовесов ш, ¡л. В случае использования малошумящей аппаратуры [первое слагаемое в правой части (12) много больше второго] представляется полезным уменьшение частот собственных колебаний тензовесов, что вызывает уменьшение необходимого числа отсчетов /V* (при заданной продолжительности измерений) и, следовательно, уменьшает поток информации и объем вычислений.
Исследование чувствительности алгоритма к ошибкам в значении параметров тензовесов ш, у. показало, что алгоритм слабо чувствителен к изменениям относительного декремента затухания и: 100%-ная ошибка в знании коэффициента ¡л вызывает ошибку в оценке нагрузки /?0 порядка долей процента. Относительная ошибка в знании собственной частоты ш вызывает на порядок меньшую относительную ошибку в оценке нагрузки. При увеличении аппаратурного шума чувствительность к ошибкам возрастает.
Оценим требования, предъявляемые к быстродействию ЭЦВМ при реализации алгоритма (4) в темпе эксперимента. В случае, когда матрица И вычисляется до проведения эксперимента, для обработки одного измерения сигнала на выходе тензовесов необходимо произвести одно умножение и одно сложение [см. (5)]. При низком уровне аппаратурных шумов для достижения предельной точности необходимо производить два отсчета в течение одного периода колебаний тензовесов [см. (9)]. Следовательно, при собственной частоте колебаний тензовесов, например, 100 Гц для реализации ПМП-алгоритма в темпе эксперимента, необходимо за секунду производить 200 измерений сигнала тензовесов, а быстродействие ЭЦВМ должно позволять производить 200 умножений и 200 делений в секунду.
Достигаемая при этом точность определения нагрузки является предельной и не может быть улучшена увеличением числа отсчетов (при заданном времени измерения) или выбором другого алгоритма.
Приведенные оценки справедливы при достаточно низком уровне аппаратурных шумов. При высоком уровне аппаратурных шумов можно показать, что предельная частота отсчетов по порядку величины будет совпадать с удвоенной частотой среза фильтра, расположенного перед АЦП. Полоса пропускания фильтра должна быть согласованной с полезным сигналом тензовесов. В этом случае предельная частота отсчетов по порядку величины совпадает с удвоенной частотой собственных колебаний тензовесов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гродзовский Г. Л. Приложение метода максимума правдоподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента. „Ученые записки ЦАГИ", т. 8, № 3, 1977.
2. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М., „Советское радио", 1975.
3. Богданов В. В., Ромашкин С. Т. Многокомпонентные весовые измерительные системы для импульсных труб ЦАГИ. Труды ЦАГИ, вып. 1599, 1974.
4. Sage А. P., Me Isa J. L. Estimation theory with application to communications and conlrol. McGraw—Hill Book Company, New York, 1971.
Рукопись поступила 161VII 1978 г.
