CC BY
27
______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Т о м IX 197 8
№ 2
УДК 533.6.071.087
ОБ ИНФОРМАЦИОННОМ КПД АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА
Г. Л. Гродзовский
Формализуются понятия: а) информационного КПД измерительной системы как отношения реально извлекаемого из результатов эксперимента количества информации об измеряемом параметре ко всей содержащейся в результатах эксперимента информации об искомом параметре; б) информационного КПД эксперимента как отношения получаемой информации об искомой функциональной зависимости ко всей содержащейся о ней информации в эксперименте.
Изложена методология определения указанных КПД для типичных задач аэродинамического эксперимента. Для оптимального эксперимента, использующего эффективные оптимальные оценки единичных измерений параметров и П) — б-оптимальные полиномиальные планы проведения эксперимента по определению функциональной зависимости, установлена связь между минимальной продолжительностью оптимального эксперимента, эффективным коэффициентом мощности шумов, допустимой относительной погрешностью и требуемой степенью подробности искомой функциональной зависимости.
1. Информационный КПД аэродинамических измерительных: систем. Основные задачи экспериментальной аэродинамики являются параметрическими: исследователя интересуют оптимальные оценки неизвестных параметров (аэродинамических нагрузок, скоростей потока, давлений, тепловых потоков и др.), информация о которых заключена в результатах измерений. Оптимальными являются несмещенные (т. е. не содержащие систематической погрешности) и эффективные оценки с наименьшей дисперсией (т. е. с минимальной среднеквадратичной погрешностью). Оптимальные оценки извлекают всю содержащуюся в результатах экспери-мента х информацию /„ о величине искомых параметров Поэтому отношение реально извлекаемого (в процессе измерения параметра 8-} из результатов эксперимента количества информации /„ * к максимально достижимой величине /„ характеризует степень совершенства (КПД) используемой измерительной системы
Для аэродинамического эксперимента характерна ситуация, когда дисперсия оценки искомого параметра в основном определяется малой погрешностью измерения и много меньше дисперсии априорного распределения. Иными словами искомые параметры в-являются неизвестными детерминированными величинами (с дельтафункцией распределения), о которых отсутствует сколь-нибудь существенная априорная информация.
В то же время, как показано в работе [1], на основе аэродинамических и физических предпосылок экспериментатор располагает статистическими характеристиками условной функции совместного распределения результатов измерений х при неизвестных параметрах в- —функцией правдоподобия Ьх (Э-) = № (х | 0-). Соответственно количество информации об искомых параметрах Э- = (&ь ..., 9*), содержащееся в результатах измерений х = (х1,..., хп), определяется известным соотношением [2, 3]:
[/„ (Щи = - м[—£—Ы /.,(«•)). (1.2)
14 I >
где /„ — квадратная информационная матрица Фишера, размером кХЬ } — символ математического ожидания.
Важную характеристику качества оптимальности измерительной системы устанавливает' неравенство Рао-Крамера [2, 3], определяющее нижнюю границу дисперсии з2 оптимальных несмещенных
Л
оценок искомых параметров 9-:
°2 А0} > ; *=!,..■,*, (1.3)
1П
где /(“-О—соответствующие диагональные элементы матрицы /„.
Л ~
Система оптимальных оценок для которой в (1.3) достигается
равенство, по определению является совместно эффективной,
например, для однопараметрического случая
тта2{д9ф} (1.4)
*11
и соответственно (1.1)
Л
I 1ШПа2(&э(ь}
’ (1-5)
где а2 {&} — реально реализуемая дисперсия определения искомого параметра.
В работе [1] методом максимального правдоподобия был проведен анализ и синтез оптимальных измерительных систем для типичных задач аэродинамического эксперимента. Ниже эти резуль-
л
таты дополнены методологией определения тта2{йЭф}; что позволяет по известным значениям реальной среднеквадратичной погрешности а находить КПД измерительной системы.
2. Граница Рао-Крамера для дисперсии оптимальной оценки
л
аэродинамической нагрузки /?0 с помощью тензовесов. Рассмотрим ситуацию, когда коэффициент затухания X и частоту собственных колебаний весов ш0 можно считать заданными. Задача является
(2.2)
трехпараметрической: искомые параметры — это аэродинамическая нагрузка /?0, начальное положение весов у0 и начальная фаза б. Исследованные в [1] оценки максимального правдоподобия этой задачи являются несмещенными и совместно эффективными. По-
л
этому оптимальной оценке аэродинамической нагрузки R0 соответствует расположенная на границе Рао-Крамера минимальная дисперсия, определяемая вторым соотношением (2.9) в работе [1]. Найдем выражение этого соотношения через экспериментально определяемые величины.
Параметры X и ш0 удобно определять в стендовых условиях при отсутствии шумов аэродинамического происхождения. По X и (о0 определяется декремент затухания колебаний весов S
5 = — = —. (2.1)
/о “о
Так как для тензовесов типична малая степень демпфирования Х^о>0, то случайные колебания весов (под воздействием широкополосных аэродинамических шумов) представляют узкополосный нормальный случайный процесс £(/)[2,4], а решением уравнения колебаний тензовесов является сумма статического отклонения весов, свободных колебаний и случайного процесса $(/) с известной корреляционной функцией Z?2(t)[1]:
у (t) = (1 — e~ucosu4) ±y0e-"cos«t + — y^j tg6 + ?(£);
X (t)=E (1) cos [<o0 t—y(f)]\ B2(*) —- ^coscut-f ^-sin to | ■
где k — упругость весов; m = Y^\ — X2; E(t) и cp(^) — случайные, медленно меняющиеся (по сравнению С COSid0£) функции времени.
Плотность вероятности огибающей E(t) определяется распределением Релея [2]
__ N0 ®п
£2 = 2S2(0)=-^. . (2.3)
В эксперименте удобно определять при Хг^>1 [см. (2.2)] относительную величину амплитуды среднеквадратичных пульсаций сигна-
- 1/2Р
ла тензовесов е = ’~ть и соответствующую величину спектральной
плотности белого шума N0, эквивалентного неизвестной пульсирую-
щей нагрузке от аэродинамических весов
N0 = —= Ё k\- . (2.4)
2*3/2 2л2/2
Как отмечалось в работе [1], замена широкополосных аэродинамических шумов эквивалентным белым шумом N0 допустима, так
как в полосе пропускания узкополосного фильтра (каким являются тензовесы) интенсивность аэродинамических шумов практически постоянна.
Рассмотрим предельный случай измерительной системы, не обладающей собственными шумами. При прохождении через тензовесы (линейная система) количество экспериментальной информации не изменяется. Поэтому рассматриваемую предельную задачу можно
переформулировать к условиям на входе в тензовесы: определить дисперсию оптимальной оценки постоянного неизвестного параметра
Д> по реализации х({) в аддитивной смеси с белым шумом Л/0:
х(0 = -§2- + «1(0; 6г (0 — (X) = ЛГ0 8 (/), (2.5)
где 8{() — дельта-функция Дирака.
Известное решение этой задачи по максимуму правдоподобия [2] определяет расположенную на границе Рао-Крамера минимальную дисперсию несмещенной и эффективной оптимальной
Л
оценки искомого параметра /?0
_л_~9гп1 .. тша2{$0} _ ёП _ с* /0 ^
1°о) — Л2 —• 2гс2/о^ — ^ ’ [4.0).
*0
где tk — длительность процесса единичного измерения параметра Я0
*в2 К
-^-2---эффективный коэффициент мощности шумов.
/о
еП
С л
а—режимы с большим уровнем шумов, б— режимы с малым уровнем шумов
На фигуре в качестве иллюстрации приведены соответствующие условию Рао-Крамера границы минимальной среднеквадратичной ОТНОСИТЕЛЬНОЙ погрешности Ш1П а для типичных тензовесов при околозвуковых скоростях потока. Аналогично определяется т!па и в других задачах аэродинамического эксперимента. Квадрат отношения минимально достижимого значения тт з к реальной относительной погрешности о (для конкретной измерительной системы) характеризует степень совершенства данной измерительной системы (1.5).
3. Информационный КПД аэродинамического эксперимента.
Задачей экономичного аэродинамического эксперимента является получение за кратчайшее время с заданной допустимой погрешностью совокупности искомых параметров Одг, необходимой для описания интересующей исследователя функциональной зависимости
Y (^). Выше были рассмотрены некоторые типичные ситуации определения оптимальных оценок параметров в- по максимуму функции правдоподобия и?(лг|9-) при фиксированных исходных экспериментальных данных х. Однако практически всегда существует ряд возможных способов измерить исходные экспериментальные данные х, например, варьируя контролируемые координаты и длительность единичных измерений параметров. Поэтому можно спланировать оптимальный эксперимент, т. е. выбрать способ измерения х, дающий максимум информации о параметрах в- и искомой функциональной зависимости У(^)[3, 5 и 6].
Для типичной в аэродинамическом эксперименте ситуации результаты измерений отдельных параметров независимы; примем, что их флуктуации аддитивны и следуют нормальному закону распределения. В таком случае определение оптимальных оценок искомой функциональной зависимости У (А") методом максимального правдоподобия сводится к методу наименьших квадратов: среди всех функций g'(A') наилучшее представление величин Y в смысле принципа наименьших квадратов
min M{[Y-g(X)]>} (3.1)
достигается функцией регрессии Y на X.
Для построения функции регрессии должны быть известны статистические характеристики совместного распределения (Y, X), чем экспериментатор обычно не располагает. Как показано в работе |7], типичные аэродинамические функциональные зависимости удовлетворительно аппроксимируются полиномами степени <7<;б:
д+1
У(^) = 2аД1-1=/да^,
а = 1 ~
где X’* = \Xi,...,Хп\ — контролируемые переменные, — неизвестные параметры искомой функциональной зависимости, Ут=| Ул,..., Клг |
— вектор результатов измерений, [^]т — символ транспонированной матрицы. ~
В такой постановке задача сводится к подробно исследованным оптимальным планам, соответствующим полиномиальной регрессии на отрезке [5, 6]. Будем рассматривать непрерывные нормированные планы эксперимента в
Хи ■ • ■’ , (3.2)
Р1. • ■ Рп I
П
где Xt — узлы плана, ptN—число измерений в г-м узле, 2 Pi = U
/ = 1
N—общее число измерений.
Информационная матрица для плана г
Ы*) = £ MW/M/W. (3.3)
~ г = 1
где Х(А'1) — функция эффективности, учитывающая различную дисперсию о2 измерений Yt. При соответствующей нормировке Pi или
f(X,) ЦХ^ = const. Дисперсионная матрица оптимальных оценок параметров равна
D(&) = /^(e)- (3-4)
С позиций экспериментатора рациональным является так называемый б-оптимальный план е*, для которого
шах й(Х, 8*) = тт т&хй(Х, е), (3.5)
X е х
т. е. он минимизирует максимальное значение дисперсии оценки искомой функциональной зависимости У (А'):
й(Х, г)=/(Х)1^(г)Г(Ху, о 1(Х) = ^С1. (3.6)
Отметим, что, согласно теореме Кифера — Вольфовица, О-опти-мальный план эквивалентен £>-оптимальному, для которого
|/л?(е*)| = тах|/д,(е)|, или | О (е*) | = тт |£> (е) |, (3.7)
т. е. он минимизирует объем эллипсоида рассеяния оценок параметров &а.
Соответственно для б-оптимального плана
гшп тах й (X, г*) = я= а + 1, р, — —— ;
,+' <3-8»
т1птах4И)=-^-(9+1).
В качестве иллюстрации в таблице по данным работы [8] приведен спектр распределения контролируемых переменных X
<7 1 2 3 4 5 6
X -1,0 -1,0 -1,0 — 1.0 -1.0 — 1,0
+ 1,0 0 -0,447 -0,655 -0.765 —0,830
+ 1,0 +0,447 0 —0,285 -0,463
+1 ,о +0,655 +0,285 0
+ 1,0 + 0,765 +0,463
+ 1,0 +0,830
+ 1,0
для £)- и б-оптимального непрерывного плана, соответствующего полиномиальной регрессии для искомой функциональной зависимости.
Последнее соотношение (3.8) позволяет определять минимально допустимое количество (серию УУ) измерений, необходимых для описания с заданной точностью искомой функциональной зависимо: сти У(X) с помощью полинома степени ц. Достаточная степень полинома уточняется по известному критерию Фишера — Снедеко-ра [3, 9].
На основе соотношений (2.6) и (3.8) доказывается следующая теорема: при использовании эффективных оптимальных оценок единичных измерений параметров и О—б-оптимальных планов проведения эксперимента (для нахождения искомой функциональной зависимости), соответствующих полиномиальной регрессии на отрезке, минимальная продолжительность времени определения
функциональной зависимости У (X) с относительной дисперсией
менее Оу (X) шах составляет
Ш1П п = -4(9 + 1} . (3.9)
0 У (X) шах
Эта теорема устанавливает связь между минимальной продол жительностью оптимального эксперимента эффективным
коэффициентом мощности шумов сдопустимой относительной погрешностью ау(Х) и требуемой степенью подробности искомой функциональной зависимости — степенью полинома </. Поскольку
содержащаяся в результатах эксперимента информация о функциональной зависимости У(X) пропорциональна суммарной затрате времени Тъ, то отношение ттГл к реальной затрате времени Те, определяет информационный КПД эксперимента в целом
шш Ту „ „ „
1.^-тГ1-- (ЗЛ0>
ы *
4. О характеристиках информационно-измерительных систем с использованием меры информации по Шенону. Проведенный выше анализ опирается на метод максимального правдоподобия и меру информации по Фишеру (1.2). Если использовать меру информации по Шенону, то количество информации об искомом параметре 0-, содержащееся в результатах эксперимента х, определяется разностью безусловной энтропии Н (х) и ее средней условной энтропией относительно в-, или отношением апостериорной вероятности к априорной [10]
Цх,Ъ)~Н{х)-Н{х\Ъ) = \&*Щ*-. (4.1)
При введении опорного значения параметра 9.,, разность частных количеств информации, связанная с оценочными значениями параметра составит
1(х, »,)-/(*, »,) = 18а(4-2)
где Р (л: | 9) = Ц7 (л: 19) — функция правдоподобия.
Соотношение (4.2) иллюстрирует известное положение о том, что максимум правдоподобия соответствует также максимуму информации по Шенону [10, 11]. Для условий аэродинамического эксперимента максимальное количество (в битах) информации может быть определено по соотношению (4.1) при использовании оптимальной оценки максимального правдоподобия -искомого пара-л
метра 9 [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Г родзовский Г. Л. Приложение метода максимума правдоподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента. «Ученые записки ЦАГИ”, т. 7, № 3, 1977.
2. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М., .Советское радио", 1975.
3. Идье В., Драйард Д., Джеймс Ф., Рус М., Садуле Б. Статистические методы в экспериментальной физике. Перевод с англ. яз. под ред. А. А. Тяпкина. М., Атомиздат, 1976.
4. Богданов В. В., Зименков В. И., Ташкинов Г. Д., Левицкий Н. П. Тензометрические измерительные устройства и преобразователи сил, моментов и давлений при испытаниях авиационной техники. В сб. „Тензометрия 76. Всесоюзное совещание — Методы и средства тензометрии и их использование в народном хозяйстве”. Тезисы докладов. М., Изд-во ИМАШ АН СССР, 1976.
5. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. М., „Наука”, 1971.
6. Налимов В. В., Голикова Т. И. Логические основания планирования эксперимента. М., „Металлургия”, 1976.
7. Б л и щ В. Г., Иванова О. Ф., С м и р н о в А. Д., Сошни-к о в а В. И. Исследование и разработка алгоритмов и программ для вторичной обработки на ЭЦВМ результатов весовых испытаний в аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1648, 1975.
8. Дубова И. С., Пцкиаладзе Т. В., Федоров В. В. Таблицы оптимальных планов, М., Изд-во МГУ, Препринт № 16, 1970.
9. Л и н н и к Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М., Физматгиз, 1962.
10. К л ю е в Н. И. Информационные основы передачи сообщений М., „Советское радио”, 1966.
11. Кавалеров Г. И., Мандельштам С. М. Введение в информационную теорию измерений. М., „Энергия”, 1974.
Рукопись поступила 51X11 1977
