Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 519.216, 519.866 Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа

Рисса. Часть 1

М. Л. Гольдман, О. М. Гусельникова

Кафедра нелинейного анализа и оптимизации Российский университет дружбы народов ул. Миклухо Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

Для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса получены эффективные критерии вложения в перестановочно-инвариантные пространства. Даны явные описания для этих вложений.

Ключевые слова: потенциалы типа Бесселя, потенциалы типа Рисса, пространства Лоренца, перестановочно-инвариантные пространства, оптимальные вложения, убывающие перестановки.

1. Введение

В данной статье рассматривается пространство потенциалов Н^К"):

НЕ/т>п Е

) = {и = с * / : / е е(кп)},

где Е — перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). Здесь мы подробно выделяем случай, когда в качестве базового ПИП выступает пространство Ь1(Жп).

Сформулирована теорема об оптимальном вложении, и приведено доказательство для случая потенциалов типа Рисса при 1 < р < то. Случай, когда 1 < р < то для оптимального вложения потенциалов типа Бесселя и критерии вложения будут рассмотрены во второй части статьи.

Главной целью этой работы является получение конструктивных критериев вложения в ПИП и явных описаний оптимальных ПИП для вложений потенциалов типа Бесселя и типа Рисса.

Отметим, что в случае р =1 ответы выглядят и получаются достаточно просто. Для потенциалов типа Рисса оптимальным ПИП оказывается обобщённое пространство Марцинкевича М<ДКп) с весовой функцией определённой по ядру С. Для потенциалов типа Бесселя оптимальным будет пересечение М<ДКп) П Ьх(Кп). Там же установлены эффективные критерии вложений потенциалов в общие ПИП.

2. Вспомогательные определения. Потенциалы типа Бесселя и типа Рисса

Пространством потенциалов НЕ(Кп) называется:

н

Е(ш>п

) = {и = с * / : / е е(кп)},

||/||я : / е е(кп) : с * / = и),

е(кп) — перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). Мы используем аксиоматику, развитую К. Беннетом и Р. Шарпли [1].

Всюду в этой работе е = е(мп) ПИП, е' = е'(мп) ассоциированное ПИП, а ее = ее(к+) и е' = е'(м+) — их представления Люксембурга, т.е. такие ПИП, что

II/ 1Ы = II/Ъ, Ы\е' = Ь*\\е',

/* — убывающая перестановка функции f (неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция на к+: рп{х е к" : |/(ж)\ > у} = е к+ : /> у} [2].

Определим класс монотонных функций. Функция Ф : (0, К) ^ к+ принадлежит 3П(Д), если выполнены следующие условия:

1) Ф — убывает и непрерывна на (0, Л);

г

2) существует постоянная с е к+, т.ч.У Ф(р)рп-1ёр ^ сФ(г)г", г е (0, Д).

0

Пусть Ф е зп(то). Считаем, что О е 5^(Ф), если С#(р) = Ф(р), р = \х\ е м+. Считаем, что С е 5°,(Ф), если О(х) = Ф(р), р = \х\ е м+, где С# — симметричная перестановка функции С, т.е. радиально симметричная неотрицательная убывающая и непрерывная справа функция, равноизмеримая с С.

Пусть Д е м+, Ф е зп(Д), х = X(к") ПИП. Тогда С е 5Я(Ф;X), если (С0Н)#(р) = Ф(р), р е (0; Д), СЪ е X(к"), где С0Н = СХва, ^ = СХжЛВк.

Дадим теперь определение обобщённых потенциалов типа Рисса и типа Бесселя.

Определение 1. Пусть О е (Ф), тогда потенциалы ) называются

обобщёнными потенциалами типа Рисса [3-5].

Определение 2. Пусть Д е к+, Ф е зп(Я) и О е 5"°(Ф; ^ П Е'); JСЛх = 0.

к

Тогда и называют обобщёнными потенциалами типа Бесселя [3-5].

3. Общие теоремы

Для Ь,т е (0,Т) определим р(т) = Ф( \т/^п) ) е (Т). Определим оператор :

■((./v.) "")

Т

т^т(д; ¿) = / т)д(т)(\т; т) = шшМ^(т)}. (1)

0

Сформулируем критерии вложений потенциалов в ПИП:

тО /тп

и(£р(к") с х(м"). (2)

При 1 < р < оо полагаем, как обычно, —|—- = 1.

р р'

Теорема 1.

1. Для потенциалов Рисса вложение (2) эквивалентно ограниченности оператора

: ьр(ж+) ^ x(м+). (3)

2. Для потенциалов типа Бесселя каждое из следующих условий необходимо, а их совокупность достаточна для вложения (2):

а) ограничен оператор

: Ьр(0,Т) ^ x(0,Г), (4)

где Т = \п(Е/2)п;

б) имеет место вложение

Ьр(Жп) П Ь^(кп) с х(кп). (5)

Замечание 1. Для потенциалов типа Рисса вложение

и«р (к п) + (кп) (6)

эквивалентно условию р £ Ьр(£, то), £ £ (для разных £ £ условия эквивалентны). При нарушении этого условия пространство и« (к п) не вложено ни в одно ПИП.

Введём оболочку локального роста Хн(£) = вир{^*(£) : \\и||но л^) < 1}.

Ьр V >

Теорема 2.

1. При Т = то для потенциалов типа Рисса, Т = уп(Л/2)п £ для потенциалов типа Бесселя имеет место эквивалентность

И1р(к п) сЬ„(1п) ^ р £ Ьр(0, Т). (7)

2. Для оболочки локального роста Хн(£) справедлива двусторонняя оценка,

, ( Т , \1/Р Хн(1) = р(Ь) 11/р + Ц р(т)р Ат^ , Ь£ (0, Т). (8)

Замечание 2. При Т = то и любых £ £ для потенциалов типа Рисса или при Т £ £ (0,Т/2] для потенциалов типа Бесселя справедлива оценка

\н (г) = ^ I р(т)р'ёт^

Т ч 1/р'

)р' ёт! (9)

Действительно, в этих условиях из свойств р £ ^(Т) следует, что Т 24

У р(т)р'Ат > I р(т)р Ат > р(2г)р'г = р(^)р'г.

Таким образом, первое слагаемое в (8) поглощается вторым, и мы приходим к оценке (9).

Рассмотрим норму

Т

Хо(0,т) = 8ир{ / 1*9*А1 : д £ ьО(0,т); ||шф,т(д*)||ьр(О,т) < ^. (10)

Теорема 3.

1. Для потенциалов типа Рисса оптимальное ПИП Х0 = х0(м п) для вложения (2) имеет эквивалентную норму (10) с Т = то (в представлении Люксембурга).

2. Для потенциалов типа Бесселя оптимальное ПИП x0 = x0(r n) имеет эквивалентную норму

1Ш1х0(м+) = 11/11х0(о,т) + ll/lk(R+). (11)

Цель дальнейших рассмотрений — придать ответам, приведённым в теоремах 1, 3, явную конструктивную форму.

4. Оптимальные вложения при р = 1

Пусть Т £ (0, то],р £ ji(T). Если Т £ r+, то считаем в этом разделе, что р продолжена постоянной с (0,Т] на r+ : p(t) = р(Т),t > Т. Тогда продолженная функция р £ j1(to). Рассмотрим пространство Марцинкевича m^(rn) с нормой:

1Ш1м, = ||Г ll^(R+) = sup [f**(t)p(t)-1]. (12)

Замечание 3. При р £ j1(to) имеет место эквивалентность

м „ = a ^ = sup [f*(t)p(t)-1]. (13)

i>0

Действительно, так как /* < /**, то лф < ||/||м^• Обратно, если лф < то, то /*(т) < л фр(т), так что при р £ Зх(то)

Г* = Г1 !/*ёг < л^Г11рёт < сЛфр(Ь), Ь £ м+.

0 0

Поэтому ||/||м^ ^ сл ф, что и даёт требуемую эквивалентность. Теорема 4.

1. Для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса при р = 1 критерии вложений в ПИП имеют вид

и^ С х(кп) ^ р £ x(0, Т) (14)

(здесь Т = то для потенциалов Рисса, Т = уп(Л/2)п для потенциалов типа Бесселя).

2. Оптимальное ПИП х0(к. п) для вложения (14) в случае потенциалов типа Рисса совпадает с м ф(мп), а в случае потенциалов типа Бесселя оно совпадает с пересечением м ф(кп) П Ь1(Жп) с нормой

1Ш1х0 = + 1Шк. (15)

Пример 1. Для классических потенциалов Рисса здесь следует положить

Т = то, р{€) = га/п-1, 0 <а<п. (16)

Например, при х(кп) = Ьд(кп) имеем xx(м+) = Ьд(м+), так что условие (14) с Т = то не выполнено ни при каком £ [1, то].

Пример 2. Для классических потенциалов Бесселя можем считать здесь Т = 1;

р(€) = га/п-1, а £ (0, п); р(€) = 1п ^, а = п; (17)

р(Ь) = 1, а>п при ¿£ (0,1],

р(Ь) = 1, £ > 1. В случае а > п это означает, что пространство потенциалов Бесселя вложено в любое ПИП, а оптимальным ПИП является хо = Ь П В частности, при х(к") = Ьч(к") (14) ^ а > п(1 - 1/о).

Пример 3. Важные примеры ПИП дают весовые пространства Лоренца лч(ш) и гд(ш), где ш > 0 — измеримая функция (вес), 1 < д < то:

||/||л, и = II Гш||ь, (К+); ||/||г, и = || /**ш||^ (К+). (18)

В рамках теории ПИП требуется, чтобы эти пространства содержали характеристические функции множеств конечной меры. Для лд(ш) это требование эквивалентно конечности первого слагаемого, а для гд(ш) — суммы обоих слагаемых в (19):

1Мк(о,4) + *||т-1шЦЬа^ < то, ге (к+). (19)

Поскольку /** > /*, то всегда гд(ш) С лд(ш), причём в общем случае эти пространства различны. Для их совпадения необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое в (19) оценивалось сверху первым. Однако, при р е зл.(Т) в виду соотношений р** = р* = р, критерии (14) для них формулируются одинаково (Т = то для потенциалов типа Рисса)

(к") С лд(ш) ^ (к") С г,(ш) ^ ||рш||ь,(0,Т) < то. (20)

5. Обоснование теоремы 4

Лемма 1. Пусть Т е (0, то],Х(0, Т)- банахово функциональное пространство (БФП), р е Зл.(Т). Тогда для оператора (1)

|К,т|| := |К,т||ь1(о,т)^х(о,т) = ||р||х(о,т). (21)

Доказательство (леммы 1).

1. Поскольку 0 < /<^(£;т) < р(^), то в силу (1)

Т

Я^т(^)| < (Ы,€) ь(г)|ёг,

о

так что для БФП в силу монотонности нормы:

№<Р,Т(9)||Х(о,Т) < ||р||Х(о;Т) ■ ||9||Ь1 (0,T),

откуда

И^.т|| < ||р||х(о,т). (22)

2. Получим обратное неравенство. Пусть п е М, п > Т-1, дп(т) = пх(о,1/п)(т),

те (0,Т);

т (1/ ) (т íр(1/n), ге (0,1М

рп(4) = шт{р(1/п);р(1)} ^р(^), ^ е (1/п,Т).

Тогда

1 /п

Я<р,т(дп, ¿) = п ! шт{р(£);р(г)}ёт > рп(£). (23)

Действительно, при t £ (0,1/ п] имеем в силу убывания р:

1 / п

(9п, t) >п J р(1/п)6т = р(1/п) = Pn(t).

0

Если же t £ (1/ п,Т), то при т £ (0,1/п) имеем min{p(t); р(т)} = p(t), так что

1/ п

(дп, t) = n J p(t)dr = p(t) = <pn(t).

Итак, верно (23), причём ||дпЦь1(о,т) = 1. Поэтому

||r,TII > sup l|r^,T(#п)||х(0,Т) > sup ||<£п||х(0,T).

п>Тп>Т

Но 0 ^ рп t р(п t то) и в силу известных свойств БФП ||(^п||Х(0,Т) t||<^||X(0,T) (п tTO).

Итак, ||r^,T|| ^ |М|х(0,т). Вместе с (23) это даёт равенство (1). Лемма 1 доказана. □

Доказательство (теоремы 4).

А. Докажем эквивалентность (14). Согласно теореме 4 для потенциалов типа Рисса вложение (2) эквивалентно условию (3) при р = 1, а оно, по лемме 1, эквивалентно тому, что р £ Для потенциалов типа Бесселя вложение (2)

эквивалентно совокупности условий (4) и (5) с р = 1. По лемме 1 условие (4) эквивалентно тому, что р £ X(0, Т). Условие (5) с р = 1 выполнено для любого ПИП X(к"), поскольку Ь1 П есть самое узкое ПИП. Итак, эквивалентность (14) имеет место и для потенциалов типа Рисса (с Т = то) и для потенциалов типа Бесселя (с Т £ к+).

В1. Покажем, что Х0(к") = м«(кп) оптимально для вложения в (14) в случае потенциалов типа Рисса. Для р £ ЗДто) имеем р** = р* = р, так что

||р| 1хо(К+) = ||р11м,(К+) = ^р [р**№ ■ р(*)-1] < то. (24)

Согласно (14) это даст вложение

н£ (к") С м «дм"). (25)

Далее, если есть вложение в (14) для некоторого ПИП X(к"), то р £ XX(0, то). Тогда для любой функции f £ м «(к") получим из (12)

Г (г) < Г(Ь) < |ШМ(К") • р(*), * £ (к+); (26)

откуда

||/||х(®») = ||П1х(0^ < 11/11м, ■ ||р||х(0,те), V/ £ м«(к").

Следовательно, Х0(м") = м«(м") С X(к"), т.е. Х0(м") — оптимальное ПИП для потенциалов типа Рисса.

В2. Пусть теперь Т е к+, т.е. речь идёт о потенциалах типа Бесселя. Для них также установлена эквивалентность (14). Как в (24) получим, что

||р||

М^(о,Т)

8Ир

ге(о,т)

р**(€) -р(1)

1

< то,

т.е. имеет место вложение (25). Кроме того, ядра обобщённых потенциалов Бесселя и, в частности, ядра потенциалов типа Бесселя принадлежат Ь^к"). Из этого следует, что н^ (к") С Ь^м").

В результате для потенциалов типа Бесселя имеет место вложение

н£ (К") С Хо(Мп)

) ПЬ^к").

Обратно, пусть справедливо вложение в (14) для некоторого ПИП Х(к"). Нужно показать, что Хо(к") С Х(к"). Согласно эквивалентности (14) имеем

р е Х(0, Т). Кроме того, для любого ПИП Х(к") имеет место вложение (5) с

р =1, которое сопровождается оценкой с постоянной 6т е к+, не зависящей от /:

|| *||

х(т,<х>) ^ 0т||f*||Ll(R+).

Таким образом,

||(Е+) < ||f*||X(0,T) + ||/*|| X(Т,<х) ^

|| *||

X (о,т) + 0т ||/*||Ь1(К+). (27) ) П Ь1(к") имеем, в частности, оценку (26), из

Для / е Хо(К") которой следует, что

||(о,т) < НЛМ ■ М^(о,т). Подставим эту оценку в (27):

||(К+) < шах{||р1 ^(о,т);°т}

^ (К+)

Итак, для / е Хо(К"))

х < шах{ (о,т); вт

м^ +

Хп

что доказывает вложение Хо(к") С Х(к"). Таким образом, Хо(к") — оптимальное ПИП для вложения потенциалов типа Бесселя. Теорема 4 доказана. □

ь

1

6. Оптимальные вложения при 1 < р < то

Напомним, что всюду в этой работе Т = то для потенциалов типа Рисса, Т = V п(К/2)п е к+ для потенциалов типа Бесселя.

Если выполнено условие р е Ьр/ (0, Т), то согласно теореме 5 имеет место вложение (7). Более того, для потенциалов типа Бесселя это условие означает, что С е Ь^к") П Ьр1 (к"), а тогда

Н1р(к") С Ьр(к") П Ьоо(к"), (28)

причём стоящее справа ПИП оптимально.

В то же время для потенциалов типа Бесселя

р е ах(Т) ^р е Ьр>(I,Т), 1е (0,Т).

Для потенциалов типа Рисса, если р £ Ьр/(£, то),£ £ м+, то пространство потенциалов не вложено ни в одно ПИП, поэтому ниже мы будем предполагать, что

р £ ЗДТ) пьр, (г,Т), ге (0,Т); р £ Ьр, (0,Т) (29)

(при разных £ £ (0,Т) для р £ ЗДТ) условия р £ Ьр(£,Т) эквивалентны). Обозначим

ую(*) = ^)р'-1(/</ (30)

а при Т £ к+

т

ут(¿) = ^)р'-1(/</¿г)-1, ¿£ (0,Т/2]; утф = ут(Т/2), * > Т/2. (31)

Теорема 5. Пусть 1 < р < то и выполнены условия (29). Тогда оптимальное ПИП для вложения (2) имеет эквивалентную норму

Хс(К+) = П/Иг „(V т)

(СЮ /

о

/**(£) ут (¿) ё . (32)

Кроме того, в условиях теоремы гр(ут) = лр(ут), так что эквивалентную норму получим также, .заменив в (32) /** на /*.

Замечание 4. Пусть р кроме (29) удовлетворяет ещё условию

т

У ёт = р(г)Р'г, г £ (0, т/2). (33)

Тогда в описании (30)-(32)

г 1 -1

ут (г) = <р(г)г , Ь£ (0,т/2) (34)

эквивалентную норму получим, заменив здесь ** на *.

Замечание 5. Для потенциалов типа Бесселя, в отличие от (11), в формуле (32) отсутствует слагаемое ||/||ь„(к+). Дело в том, что в условиях теоремы 5 имеет место вложение гр(ут) С Ьр (поскольку ут(¿) ^ с0 > 0, £ £ (м+)), так что слагаемое поглощается нормой в правой части (32) и может быть опущено. Более того, ут(+0) = то, так что указанное вложение строгое: гр(ут) = Ьр.

Доказательство (теоремы 5 для потенциалов типа Рисса).

1. Согласно теореме 3 эквивалентная норма в оптимальном ПИП для вложения (2) имеет вид (10) с Т = то, причём в силу (1)

í СЮ

*,*) = р(*)/д*(т)ёт+I <р(т)д*(т)ёт, 1£ к+. (35)

Следовательно,

\\я<р,<(д *ЖР, (к+) =

(сю £ ; \ 1 /р /СЮ сю ; \ 1 /р

/«,)>■'(/ ,/Чг)' Л + /(/*» Л

о о / \ о г /

(36)

С учётом убывания *, первое слагаемое в (36) оценивается снизу следующим образом:

(СЮ í ; \1/р' /сю

1/р'

р( ) *( )

Л

о о о

Второе слагаемое в (36) оценим сверху по неравенству Харди:

(СЮ СЮ ; \1/р'

¡(¡рд ^ < Ц/

1/р'

р( ) *( )

о 4 / \ о

Следовательно, второе слагаемое поглощается первым и

№<р,<(д *)Иьр

где (см. (18))

(СЮ t / \

/(М^.р«)»'Л

оо

1/р'

9*ёг р(^ Л = |Ы|гр/(„), (37)

ь(г) = гр(г), ге к+.

(38)

Формула (10) показывает, что норма в оптимальном ПИП Хо(к+) является ассоциированной к норме (37), т.е.

Хс(К+)

гр' (■)

1 < р < то.

(39)

Наиболее удобная интегральная форма описания пространства, ассоциированного с весовым пространством Лоренца с учётом наших обозначений (18) и при выполнении условий (29) с Т = то, выглядит так:

гр> (о)

-1/**(í)p • т-р'ю(ту'&т . 1

(у(г) + & ^ т-р'и(ту а-г)

г

р+1

1/р

(40)

где

Уф = ьр ёт= тр(т)

ё г.

Ближайшая цель — упростить ответ (40), учитывая свойства функции р е Зх(то). Для неё тр(т) почти возрастает, так что

уф ¿р(^) /ёт = р(ьу'Ь1+р', ¿е к+.

р

р

Кроме того, для р £ (то) имеем <р(т) = р(£), т £ [£/2, ¿], так что

У(Ь) > ] [т<р(тЦ = р(Ь)р' ■ ¿1+р', £ £ м+.

4/2

В результате получим:

У (г) = р(^)р' ■ ^+р', ¿£ к+. Аналогично (см. (38))),

С 2

^ У т-р'ь(т)р'ёт > гр У р(т)р'ёт = +1.

(41)

Следовательно, сумма в знаменателе (40) эквивалентна её второму слагаемому, так что

г „ И

(СЮ

С

о

1/ р

Г*(г)рУю(г)рёг

где

у<х>(*)

р

¿р+г' -1 . у(£)

сю

(Р+1) ■ ( у ат)г

Подставив сюда соотношение (41), получим, что

г

у

(¿)р = р(^)р(У </ёг)

- р

Это даёт описания (30), (32) с Т = то. 2. Проверим теперь равенство гр(ус) = лр(ус). Как отмечалось выше (см. комментарии к формуле (19)), это равенство эквивалентно оценке: существует с £ К+, такая что при Т = то

/ С Р \ 1/Р 1 1/Р

(У ут (т) г-1 Рёт) У ут (т)рёт) Р, ¿£ М+

о

(42)

о

которую нам и предстоит доказать. Она вытекает из следующей леммы. Лемма 2. Пусть 1 < р < то; Ш > 0 — измеримая функция на К+;

Лр(^) = Ш(т)т-1 ёг; Вр($ = Гр Шрёт; £р(£) = Вр(т)т-1ёт. (43)

1. Справедливо неравенство

2. Пусть при некоторых е > 0, со > 1, функция Вр({)^, со почти убывает на к+, т.е.

вр(т)т£ < соВр(г)г£, 0 <г<т < то. (45)

Тогда

а)Бр(г) < Со ■ е-1Вр(г), г е к+, (46)

б)Ар(г) < р- со ■ е-1вр(г), ге к+. (47)

Доказательство.

1. Оценка (44) очевидна:

оо т í сю

Г-Р-1ё

Вр(1) = / ( / WPd^) Т-Р-1 ёт ^ /WPёi ■ / г-Р-1ёг = Р-1Вр^).

о о

2. В условиях части 2 леммы имеем аналогично

= I Вр(т)т£т-£-1ёт < со ■ Вр(^) ■ ^ у т-£-1ёт = со ■ е-1 ■ Вр(£),

что доказывает (46).

3. При выводе оценки (47) можем считать, что Вр(¿) < то, £ е к+ (иначе нечего доказывать). Тогда и ^р(^) < то, £ е к+, откуда следует, что Бр(+то) = 0, так что и Вр(+то) = 0 (см. (44)). Поэтому, интегрируя Ар(¿) по частям, получим:

сю т

Ар(г) = I г-рё(/ Wpёт) = -Врф + рБр(г) < р^р(^).

о

Вместе с (46) это неравенство даёт (47). Что и требовалось доказать. □

Следствие 1. Пусть 1 < р < то, 1 + 1 = 1; функция ф на к+ удовлетворяет условиям:

1) ф е Ьр' (г, то), г> 0; ф е Ьр* (0, то); (48)

2) 0 < ф(£)£ почти возрастает на к+.

Положим

сю

W ф = ф(г)р'-1 (У фр' ёт) , £ е к+. (49)

Тогда существует постоянная с = с(р) е к+, такая что

( °г г и? У/Р / г А1/Р

/ W(г)г-1 ёт < с ■ / W(г)ёг . (50)

Доказательство. В условиях следствия 1 имеем:

У ёг = У ф(т/ ( У ф*ё£) Лт = ( У фр'ё£)1-Р

(при р > 1 нижняя подстановка равна нулю).

Итак, обозначив

с

т _ *р'-1 i г' di,

имеем

¿Р-1ВД = Г1! Ш^т = (51)

о

Не ограничивая общности, можем считать, что ф(£)£ возрастает на (заменяя, если необходимо, функцию ф на эквивалентную ей, для которой это свойство выполнено). Тогда

р

р

(Р'-1) у г d^ = (Р'-1) j Фш • гр de > (Р'-1) mt I гр de = тр • t.

Отсюда следует, что

_ ,р'-2 di _

(р' - 1) / фр d£ - ф^)р •t > 0 ^ \(t) |

Отсюда и из (51) следует, что при е = р — 1 > 0, убывает, поэтому по

лемме 2 справедлива оценка (50). Что и требовалось доказать. □

Доказательство (оценки (42) при Т = В следствии положим ф = р, где р удовлетворяет условиям (29). В этом случае следствие применимо и даёт оценку (50), причём из (30) и (49) видим, что Ш = Тогда оценка (50) совпадает с (42) при Т = то, что и требовалось доказать. □

Теорема 5 для потенциалов типа Рисса доказана. □

Некоторые из обсуждаемых в данной работе результатов были анонсированы в [6,7]. Результаты данной работы обобщают и развивают результаты, полученные в [8].

Литература

1. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. — Academic, New York, Pure Appl. Math., 1988. — 129 p.

2. Neil R. O. Convolution Operators and Spaces // Duke Math. J. — 1963. — Vol. 30. — Pp. 129-142.

3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977. [Nikoljskiyj S. M. Priblizhenie funkciyj mnogikh peremennihkh i teoremih vlozheniya. — M.: Nauka, 1977. ]

4. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973. [Steyjn I. M. Singulyarnihe integralih i differencialjnihe svoyjstva funkciyj. — M.: Mir, 1973. ]

5. Мазья В. Г. Пространства Соболева. — Изд-во ЛГУ, 1985. [Mazjya V. G. Prostranstva Soboleva. — Izd-vo LGU, 1985. ]

6. Гольдман М. Л. Перестановочно инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса // Доклады РАН. — 2008. — Т. 423. — С. 151155. [Goljdman M. L. Perestanovochno invariantnihe obolochki obobthennihkh potencialov Besselya i Rissa // Dokladih RAN. — 2008. — T. 423. — S. 151-155. ]

7. Гольдман М. Л. Интегральные свойства обобщенных бесселевых потенциалов // Доклады РАН. — 2007. — Т. 414, № 2. — С. 159-164. [Goljdman M. L. Integraljnihe svoyjstva obobthennihkh besselevihkh potencialov // Dokladih RAN. — 2007. — T. 414, No 2. — S. 159-164. ]

8. Gogatishvili A, Neves J. S., Opitz B. Optimality of Embeddings of Bessel-Potential-Type Spaces, Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis // Proc. Conf., Milovy, Czech Republic. May 28-June 2, Prague: Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republic. — 2005. — Pp. 97-102.

UDC 519.216, 519.866 Optimal Embeddings for Bessel and Riesz Potentials. Part 1 M. L. Goldman, O. M. Guselnikova

Department of Nonlinear Analysis and Optimization

Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

We establish effective criteria of optimal embeddings for Bessel and Riesz potentials into rearrangement invariant spaces.

Key words and phrases: Bessel potentials, Riesz potentials, Lorentz spaces, rearrangement invariant spaces, optimal embeddings, decreasing rearrangement.