Дифференциальные свойства обобщённых потенциаловтипа Бесселя и типа Рисса Текст научной статьи по специальности «Математика»

#

Вестник РУДН. Серия МИФ

ИиБК Лоигпа1 of М1РЬ

http://journals.rudn.ru/miph

2018 У01. 26 N0. 1 3-12

Математика

УДК 517.951

Б01: 10.22363/2312-9735-2018-26-1-3-12

Дифференциальные свойства обобщённых потенциалов типа Бесселя и типа Рисса Н. Х. Альхалиль, Х. Алмохаммад

В работе изучаются дифференциальные свойства свёрток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда Са(х), х € К", 0 < а < п. Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и её приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах Беннетта и Шарпли, С. М. Никольского, И. М. Стейна, В. Г. Мазьи. Локальное поведение ядер Бесселя-Макдональда в окрестности начала координат характеризуется наличием особенности степенного типа |ж|"-а. На бесконечности они стремятся к нулю с экспоненциальной скоростью. Исследованию дифференциальных свойств обобщённых потенциалов Бесселя-Рисса были посвящены недавние работы М. Л. Гольдмана, А. В. Малышевой и Д. Хароске.

В данной статье изучаются дифференциальные свойства потенциалов, обобщающих классические потенциалы Бесселя-Рисса. Ядра потенциалов могут иметь нестепенные особенности в окрестности начала координат. Их поведение на бесконечности связано лишь с условием интегрируемости, так что в рассмотрение включены и ядра с компактным носителем, В связи с этим порождённые ими пространства обобщённых потенциалов Бесселя относятся к так называемым пространствам обобщённой гладкости. Рассмотрен случай когда выполнен критерий вложения потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций. В этом случае дифференциальные свойства потенциалов выражены в терминах поведения их модулей непрерывности в равномерной метрике. Установлены критерии вложения потенциалов в пространства Кальдерона и получены явные описания модулей непрерывности потенциалов и оптимальных пространств для таких вложений в случае, когда базовое пространство для потенциалов есть весовое пространство Лоренца. Эти результаты конкретизируют общие конструкции, установленные в предыдущих работах.

Ключевые слова: потенциалы Бесселя, пространства Лоренца, пространства Кальдерона, модули непрерывности, перестановочно инвариантные пространства, оптимальные вложения

В работе изучаются дифференциальные свойства свёрток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда Са(х), х € К", 0 < а < п. Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и её приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах Беннетта и Шарпли [1], С.М. Никольского [2], И.М. Стейна [3], В.Г. Мазьи [4]. Локальное поведение ядер Бесселя-Макдональда в окрестности начала координат характеризуется наличием особенности степенного типа 1/|ж|п-а. В данной статье мы изучаем дифференциальные свойства свёрток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат (см. подробнее [5,6]).

Статья поступила в редакцию 15 июня 2017 г.

Кафедра нелинейного анализа и оптимизации Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

1. Введение

Интегральные свойства обобщённых потенциалов Бесселя—Рисса были рассмотрены в нашей работе [7]. Мы опираемся в наших оценках на результаты работы [8]. Дифференциальные свойства потенциалов характеризуются с помощью модулей непрерывности любых порядков в равномерной норме. В данной работе установлены точные оценки модулей непрерывности порядка к £ N. Отметим, что общие точные по порядку оценки для модулей непрерывности потенциалов были получены работах М.Л. Гольдмана, А. В. Малышевой, Д. Хароске [9—11]. Здесь мы конкретизируем эти общие результаты в случае, когда базовое пространство для потенциалов является весовым пространством Лоренца с общими весовыми функциями. Полученная конкретизация общих построений позволяет дать явные выражения для точных мажорант модулей непрерывности потенциалов и применить эти оценки для описания пространств типа Кальдерона, в которые вложены пространства потенциалов.

2. Вспомогательные определения

Пространство потенциалов Нд(Ш.п) на п-мерном евклидовом пространстве определяем как множество свёрток ядер потенциалов с функциями из базового пространства (см. [7]) Н| (К") = и = С * / : / £ Е(К"), где Е(К") — перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). При этом используется аксиоматика, введённая авторами К. Беннетт и Р. Шарпли [1].

В частности, Е' = Е'(Шп) — ассоциированное ПИП, т.е. ПИП с нормой:

\\д\\Е' = вир Ы \/д\ф :

Шп

/ £ Е, \\/\\Е < 1

Для ПИП Е(К"), Е'(Шп) рассмотрим пространства Ё = £(М+), Ё' = £'(М+) — их представления Люксембурга, т. е. ПИП, для которых выполнены следующие соотношения \\/\\_е = \\/*\\_ё, \\д\\Е' = Н^Нв', где /* — убывающая перестановка функции f, т.е. неотрицательная убывающая непрерывная справа функция на К+ = (0, то), которая равноизмерима с /:

рп{х £ К" : \/(у)\ >у} = £ К+ : \/*№\ > У}, У £ Введём понятие максимальной функции (см. [7]):

4

/**(г) = -г !1 *(т)ёт, г £ к+.

Введём класс монотонных функций 1ш„(Л) следующим образом: функция Ф (0,К) ^ К+ £ 1ш„(Л), если для Ф выполнены следующие условия::

1) Ф — убывающая и непрерывная на (0,К) функция;

2) существует постоянная с £ К+ такая, что

I Ф(р)рп-1 ёр < сФ(г)гп, г £ (0,К).

Определение 1. Пусть Ф £ 1шп(то). Считаем, что С £ 5д(Ф), если С(х) = Ф(\ж\), 0 <р = \х\ < К, К £ М+.

7

Определение 2. Пусть Ф € 1ш„(ю). Считаем, что С € 5д(Ф;X), где X(К") — ПИП, если С(х) = С0Е(х) + С1к(х): Вк = {х € К" : |ж| < Я}, Я € К+, С0Е(х) = С(х)Хвя(х); С^х) = С(х)хвн(х), С°Е(х) = Ф(|ж|) при |ж| < Я, ^ € X(К").

Определение 3 (см. [6]). Потенциалы и € Нд(Ш.п) называются обобщёнными потенциалами Бесселя, если

С € 5д(Ф; Ьх П Е'), IС ¿х = 0, Ф € 1ш„(Д),

где Я € К+.

Определение 4. Модуль непрерывности для и €

1) в равномерной норме:

икс(щ т) = 8ПР{ ||Д£«||с : |Л| < т), т € К+.

Определение 5. Пространством Лоренца Лд(у)иГд(у), где 5 и V > 0 — измеримые функции, называются пространства измеримых функций с конечной нормой (см. [7]):

Л«(и) = <

I /*«(1)и(¿)ёИ , 1 < д< ю;

в88 ЭИр {/, д = С.

Определение 6. Пусть X = X(0,Т) — идеальное пространство и к € N. Мы вводим пространство Кальдерона Лк(С; X):

Лfc (С; X) = { и € С (К") : ш* (и; г ») € X (0,Т)} У^Л^С;*) = Мс +

ик (и; и

X (о ,т)

3. Вспомогательные теоремы

Замечание 1. Пусть р, д € (0, ю], пусть и, 5, ш — веса, и

5 5

у(.8) = ! м, V(.8) = ! р(г) ¿г.

Мы будем использовать результат из работы [8]. А именно, при 1 < р ^ д < ю, 1/р + 1/р' = 1 ||/И и < СII/Ил-м ^

/О

*>о I \ .) (ж) + Г(€)

о

*=8Цр<|/(^ь-у^) (/у+у*ф

<и

<.

о

«

Кроме того, наилучшая постоянная С в оценке ||/||г«(ш) ^ С||/Цлр(^) удовлетворяет условию С ~ A3.

Теорема 1 (см. [10]). Пусть G е Li(1n), G = 0, <р(т) = G*(t), т е 1+, и функция f : 1™ ^ 1+ такова, что при некотором Т е 1+

т

¡Ф)f *(т)dr< то. (1)

0

1) Для свёртки

и(х) = j G(x - y)f (y)dy, x е 1" (2)

R™

справедлива оценка,

Т / о \ / т \ -1

sup |и(ж)| < со J у(т )f *(т) dr, со = 1 + ( У у(т )dr 1 ¡J у(т) dr

же о \т ) \о )

22) пусть ещё G е Gk(1"\{0}), к е N, для Gk(х) := £ IDaG(x)l, х е 1", при

\а\=к

ci е 1+ имеет место оценка

IGk(®)| < Ci№(|ж|), Ж е 1", (3)

где

0 < фк(т) := Ф* ( ( — ) Ц на 1+

(ш *)

и выполнены соотношения

сю

фк(г) < Г-к/п<р(т), т £ (0,Т]; У фк(т)ёт < то.

т

Тогда свёртка и, определённая в (2), непрерывна на М+, и при £ £ (0, Т] для модуля непрерывности справедлива оценка,

ик (и; tп) < С2 J

о

Здесь с2 = c1cd, где

_к

'у п

Т п + t п

<р(т )f *(т )dr. (4)

о

d = 1+ 2

У фк (r)dr 1 ,

Тфк (Т)

\т

с1 — постоянная из условия (3), с = с(к,п) £ М+.

Замечание 2. При выполнении условия у £ Е'(0,Т) неравенство (1) выполнено для любой функции / £ Е(К"), т.е. теорема 1 применима для любого потенциала и £ Нс£(К"), поскольку для него верна формула (2).

Далее рассмотрены некоторые более простые оценки модулей непрерывности при дополнительных ограничениях на ядра потенциалов.

Лемма 1. Пусть выполнено следующее условие:

Т

/к т к

т~кф(т)&т ^Ф), ^ € (0,Т], (5)

где В0 € К+ не .зависит от I.

Кроме того, пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда

Z

шкс (и; ) < czj <p(r)f *(r)dr, t e (0,Tj, (6)

0

где c3 = (1 + B0)c2, c2 — постоянная из (4).

Лемма 2. Для классических потенциалов, если к > а, справедлива оценка

t

шк(и; i") J —f*(r)dT, te (0,Tj,

0

где с = с(к,п,а,Т) e R+.

4. Основная часть

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1 и, кроме того,

Л3 = sup((If ,?>(*),,"(7(-ML-Y^dtI ><

3 *>0\ll \Фо(() + ФоМ/ w I \J \Фо(1) + Фо(х) J V(ty 1 ' •

где

U(t) f.^J- 1 , 1

w

11

&o(t)= <p(r)dT, - + - = 1.

' J q q

ФоС^К J гк J , q q,

Тогда ш*к (и; t'

Доказательство (леммы 3). Из леммы 1 следует, что

t

Т _ < С2СII/Уа«(у).

Lq (w)

ик (и; t" ) < с2 f ip(r)f * (т) dr, te (0,Т ], (7)

0

Мы будем использовать следующий вариант «второй перестановки»:

t

/;* (t) = (Г--г/ V(r) f*(r)dr.

(J(p(T)dTJ о

Обозначим Фоф = ^ (р(т)ёт. Подставим эти обозначения в неравенство (7):

о

г

икс (и; г $ ) < С2Фо(.)^/ф(т)/*(т )ёт, г £ (0,Т]. оо

Итак, шк (и; í< с2Фо^)/***(Ь), £ £ (0, Т]. Из этой оценки следует, что

ик (и; г »)

Тогда получим

Фо(^) ок (и; г

< С2/;*(Ь), г £ (0, т].

Фо (г)

< С2\\1***\\ьч(Ш).

Из определения нормы в Ья (и>) следует

(и;

Итак,

шк [и; г»

ш(^) < С2\\/;*\\Мш).

и>(г)

Фо(^)

< \\ ьч{ш), где ю(г) =

Фо(^

Но Ц//**\\ь (ш) = \\/\\Г« по определению /**, так что последняя оценка даёт

^ у ^ ' ( ( ш) ^

По замечанию 1 отсюда следует, что Аз <оо.

шк (и; ) < С2с\и\\л«{^) при условии

\ / Ьд (ш)

□

Приведём критерий вложения пространства потенциалов в пространство Каль-дерона Л(С; X) (см. [11]).

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 1, тогда

НЧ(Жп) с А(С; X) ^ (и; I$) ^ < с2с\\/\\Ё.

При Е = А9(и), X = это условие выполнено при А3 < то, 1 + 1 = 1, где

^ (1)

Фо(г) + Фо(х); VI' (€)

[ ( Фо(*) А

У ^Фо(^) + Фо(ж)У

9

у

к

Доказательство (теоремы 2). При А3 < то справедливо следующее вложение

икс (и; I< С2С\\/\луи ^ Н%(Кп) с Л(С; X)

V / Ьу (ш)

Ьу {-ш)

где Е = Л9(и), X = Ьч{,ш), й(1) = , Фо(^) = | <р(т)ёт.

о

Теперь покажем, что Н'^(Жп) с Л(С; X) ^ [и; £ п ) < с2с\/\\Лу ы, где

V / Ьу (ш)

Е = Л9(„), X = ^{щ,), = Ф^, Фо(^) = | ф) ёт.

о

В работе [11] установлено, что Нд(Ш.п) с Л(С; X) ^ К ^ X, где К — конус из функций в (0, Т):

К = { Н(г) = п(г, т)а(т) ёт : а £ Ё0(0, Т)

рк(Л,)=т! | \\а\\ ё(о,т); ! П(ь,т)а(т) ёт = к(ь)

Здесь Ё0(0, Т) = {а £ Е(0, Т) : 0 < а П(Ь, т) = ф) ( 1 + ( 7 Поэтому можно записать формулу для в виде

(1 + (т) $)

-1

1

и® = I

_ А

_ А ,_ А

Т $ + I п

(р(т)а(т) ёт, 0 < а I

Но

Поэтому

_ А _А 0 <т т $ > Ь »=>•

^ п

_ А ,_ А

Т п + Ъ п

г т

Лф = I ф)а(т) ёт + J 0

_ А

"у п

_ А . — А

Т п + Ъ п

(р(т)а(т) ёг.

При условии

/А л А

т-п^(т)ёт <В0^пф), г£ (0,Т],

где Во £ К+ не зависит от I, имеем:

_ А

7" п

_ А ,_ А

Т п + I п

р(т)а(т) ёг </ (р(т)а(т)ёт.

А

1

Т

Тогда

h(t)^j^(r)a(r)dr] a G Ео, \\а\\Ё = pK(h),

о

Вложение К ^ X означает, что К с X, и 3Ск G R+; \\h\\x < СкРк(h), это даёт оценку

р(т)а(т) dr

< ск\\а\\Ё, ск G R+.

х

При Е = Ля(и), X = Ьд(гй), оценка примет вид

р(т)а(т) dr

< Ск\\а\л« (и) ■

Lq

При условии (5) и при a = f* ^ 0 4 можно писать, что

(и;^) < С2 c\\f\\лq (у).

\ / Lq (w)

Отметим, что (Мп) с Л(С;X)

шкс (u;t~

х

< С2С У\\Ё.

При Е = Л9(и), X = Ь^) и условии Лз < то можно использовать критерий:

Н%(Шп) С Л(С;Х) ^ Щ* (и; £) ^ < с2с\\П\Ё.

Итак, при Е = Л9(т/), X = Ь^) и условии Лз < то справедливо вложение Нд(Жп) С Л(С;Х). Здесь Ф0 — функция, введённая в лемме 1. □

5. Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. рассмотрены общие свойства потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами;

2. установлены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций;

3. получены критерии вложений пространства потенциалов в пространство Каль-дерона, приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Литература

1. Bennett C, Sharpley R. Interpolation of Operators // Pure and Applied Mathematics Journal. — New York: Academic Press, 1988. — Vol. 129.

2. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977.

3. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.

4. Мазья В. Г. Пространства Соболева. — Ленинград: ЛГУ, 1985.

t

t

t

k

5. Гольдман М. Л. Конус перестановок для обобщённых бесселевых потенциалов // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 2008. — Т. 260. — С.151-163.

6. Гольдман М. Л. Об оптимальных вложениях обобщённых потенциалов Бесселя и Рисса // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 2010. — Т. 269. — С. 91-111.

7. Алмохаммад Х., Альхалиль Н. Х. Интегральные свойства обобщённых потенциалов Бесселя и Рисса // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2017. — Т. 25, № 4. — С. 331-340.

8. Characterization of Embeddings in Lorentz Spaces Using a Method of Discretization and Anti-Discretization / A. Gogatishvili, M. Johansson, C. A. Okpoti, L. E. Persson // Bulletin of the Australian Mathematical Society. — 2007. — Vol. 76. — Pp. 69-92.

9. Гольдман М. Л., Малышева А. В. Двусторонняя оценка модуля непрерывности свёртки // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 585-596.

10. Гольдман М. Л., Малышева А. В. Об оценке равномерного модуля непрерывности обобщённого потенциала Бесселя // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 2013. — Т. 283. — С. 1-12.

11. Goldman M. L., Haroske D. Optimal Calderon Spaces for Generalized Bessel Potentials // Doklady Mathematics. — 2015. — Т. 492, № 1. — С. 404-407.

UDC 517.951

DOI: 10.22363/2312-9735-2018-26-1-3-12

Differential Properties of Generalized Potentials of the Type Bessel and Riesz Type

N. Alkhalil, Kh. Almohammad

Department of Nonlinear Analysis and Optimization Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University) 6, Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

In this paper we study differential properties of convolutions of functions with kernels that generalize the classical Bessel-Macdonald kernels Ga(x), x G R", 0 < a < n. The theory of classical Bessel potentials is an important section of the general theory of spaces of differentiable functions of fractional smoothness and its applications in the theory of partial differential equations. The properties of the classical Bessel-Macdonald kernels are studied in detail in the books of Bennett and Sharpley, S. M. Nikolskii, I. M. Stein, V. G. Mazya. The local behavior of the Bessel-Macdonald kernels in the neighborhood of the origin is characterized by the presence of a power-type singularity |x|"-Q\ At infinity, they tend to zero at an exponential rate. The recent work of M. L. Goldman, A. V. Malysheva, and D. Haroske was devoted to the investigation of the differential properties of generalized Bessel-Riesz potentials.

In this paper we study the differential properties of potentials that generalize the classical Bessel-Riesz potentials. Potential kernels can have nonpower singularities in the neighborhood of the origin. Their behavior at infinity is related only to the integrability condition, so that kernels with a compact support are included. In this connection, the spaces of generalized Bessel potentials generated by them belong to the so-called spaces of generalized smoothness. The case with the satisfied criterion for embedding potentials in the space of continuous bounded functions is considered. In this case, the differential properties of the potentials are expressed in terms of the behavior of their module of continuity in the uniform metric. Criteria for embedding of potentials in Calderon spaces are established and explicit descriptions of the module of continuity of potentials and optimal spaces for such embeddings are obtained in the case when the base space for potentials is the Lorentz weight space. These results specify the general constructions established in previous works.

Key words and phrases: Bessel potentials, Lorentz spaces, Calderon spaces, rearrangement-invariant spaces, optimal embeddings

References

1. C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of Operators, Vol. 129, Academic Press, New York, 1988.

2. S. M. Nikolsky, Approximation of Functions of Several Variables and Embedding Theorems, Nauka, Moscow, 1977, in Russian.

3. E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Mir, Moscow, 1973, in Russian.

4. V. G. Mazya, Sobolev Spaces, LSU, Leningrad, 1985, in Russian.

5. M. L. Goldman, The Cone of Permutations for Generalized Bessel Potentials, Vol. 260, 2008, pp. 151-163, in Russian.

6. M. L. Goldman, On Optimal Investment Potentials of the Generalized Bessel and Riesz, Vol. 269, 2010, pp. 91-111, in Russian.

7. Kh. Almohammad, N. Alkhalil, Integral properties of generalized bessel and riesz potentials, Bulletin of RUDN University. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics 25 (4) (2017) 331-340, in Russian. doi:10.22363/2312-9735-2017-25-4-340-349.

8. A. Gogatishvili, M. Johansson, C. A. Okpoti, L. E. Persson, Characterization of Embeddings in Lorentz Spaces Using a Method of Discretization and Anti-Discretization, Bulletin of the Australian Mathematical Society 76 (2007) 69-92.

9. M. L. Goldman, A. V. Malysheva, Two-Sided Estimate for the Modulus of Continuity of a Convolution, Differential Equations 49 (5) (2013) 557-568.

10. M. L. Goldman, A. V. Malysheva, An Estimate of the Uniform Modulus of the Generalized Bessel Potential Continuity, Proceedings of Steklov Mathematical Institute 283 (2013) 1-12, in Russian.

11. M. L. Goldman, D. Haroske, Optimal Calderon Spaces for Generalized Bessel Potentials, Doklady Mathematics 492 (1) (2015) 404-407, in Russian.

© Альхалиль Н.Х., Алмохаммад Х., 2018

Для цитирования:

Альхалиль Н.Х., Алмохаммад Х. Дифференциальные свойства обобщённых потенциалов типа Бесселя и типа Рисса // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2018. — Т. 26, № 1. — С. 312. — DOI: 10.22363/2312-9735-2018-26-1-3-12.

For citation:

Alkhalil N., Almohammad Kh. Differential Properties of Generalized Potentials of the Type Bessel and Riesz Type, RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics 26 (1) (2018) 3-12. DOI: 10.22363/2312-9735-2018-26-1-3-12. In Russian.

Сведения об авторах:

Алмохаммад Халиль — студент кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН (e-mail: [email protected], тел.: +7 (968) 0806641) Альхалиль Нисрин Хамадех — студент кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН (e-mail: [email protected], тел.: +7 (968) 0806641)

Information about the authors:

Almohammad Kh. — student of Nonlinear Analysis and Optimization Department of Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University) (e-mail: [email protected], phone: +7 (968) 0806641) Alkhalil N. — student of Nonlinear Analysis and Optimization Department of Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University) (e-mail: [email protected], phone: +7 (968) 0806641)