CC BY
29
ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2010
Секция 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 511
ОПТИМАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ РОДА 3 НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ С ДИСКРИМИНАНТОМ -19
Е. С. Алексеенко, С. И. Алешников, А. И. Зайцев
Пусть Е — эллиптическая кривая, определенная над конечным полем с дискриминантом ё(Е9) = [2-^д]2 — 4д = -19.
Если число рациональных точек кривой равно д + 1 ± д[2^/д], то кривая называется максимальной (соответственно минимальной) кривой. Будем называть такие кривые оптимальными над .
Теория Хонда — Тэйта [1] показывает, что для максимальной (минимальной) кривой С имеет место изогения Лае(С) ~ Е9, где Е — максимальная (минимальная) эллиптическая кривая над конечным полем . Класс изогении эллиптической кривой Е определяется с помощью характеристического многочлена эндоморфизма Фробениуса кривой Е.
Пусть Лае(С) —главное поляризованное якобиево многообразие кривой С с тэта-дивизором в. По теореме Торелли [2] кривая С полностью определена посредством (Лае(С), в) с точностью до изоморфизма над алгебраическим замыканием поля . Рассмотрим эрмитов модуль (Оак; к), где Оак является Ок-модулем, и к : Оак х Оак ^ Ок — эрмитова форма. Эквивалентность категорий определяется посредством функтора Е : Лае(С) —> Нот(Е, Лае(С)) и обратного к нему V : О9К —> О9К 0Ок Е. Относительно этой эквивалентности главная поляризация якобиана Лае(С) соответствует неприводимой эрмитовой О к-форме к. Таким образом, мы можем использовать классификацию унимодулярных неприводимых эрмитовых форм для изучения изоморфных классов Лае(С).
Получение оптимальных (максимальных) алгебраических кривых над конечным полем является важной проблемой в дискретной математике, решение которой имеет многочисленные приложения в криптографии и теории кодирования. На таких кривых можно строить алгебро-геометрические коды большой длины, и трудность разрешения проблемы дискретного логарифма в якобиане такой кривой гарантирует криптостойкость соответствующей криптосистемы. В работе представлены максимальные и минимальные оптимальные кривые рода 3 над конечным полем с дискриминантом —19 мощности до 997.
Теорема 1.
1. Над полем не может одновременно существовать максимальной и минимальной оптимальной кривых.
2. Если С — оптимальная кривая рода 3 над конечным полем с дискриминантом — 19, то С не является гиперэллиптической.
Теорема 2. Оптимальная кривая C задается следующими уравнениями:
J z2 = а0 + o^x + a2x2 + воУ,
[ y2 = x3 + ax + b,
или
J z2 = a0 + a1x + a2x2 + (в0 + в1х)у,
[ y2 = x3 + ax + b,
или
J z2 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + (в0 + e1x)y,
[ y2 = x3 + ax + b,
где а0, а1, а2, в0, в1, a, b — коэффициенты из Fq. Эллиптическая кривая E задана уравнением y2 = x3 + ax + b.
ЛИТЕРАТУРА
1. Waterhouse W. C. Abelian varieties over finite fields // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1969. No. 2. P. 521-560.
2. Andreotti A. On a Theorem of Torelli // American J. of Math. V. 80. 1958. No. 4. P. 801-828. УДК 512.6
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ПОЛЯХ КОНЕЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
А. М. Гришин
Дискретное преобразование Фурье — это один из видов ортонормированного преобразования векторов [1, 2]. Для конечной последовательности элементов {s0, s1,..., Sn-1} дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности {S0, S1,..., SN-1}, элементы которой вычисляются по формуле (прямое преобразование)
N-1 ________
Sfc = E Sn ■ WNn; k = 0,N - 1, (1)
n=0
где Wn —примитивный корень степени N из единицы [1, 3]. В предположении, что
элемент N-1 = 1/n существует, для обратного преобразования можно записать выра-
жение
1 N-1 ________
Sn = ^Е Sfc ■ W/n; n = 0, N - 1. (2)
N fc=0
Считается, что вектор s = (s0, s1,..., Sn-1) является представлением данных во временной области, а вектор S = (S0, S1,..., SN-1) —в частотной (спектральной).
Векторы s и S можно задать с помощью соответствующих многочленов s(X)
и S (X )
s(X ) = S0 + S1X + ... + Sn-1XN 1; (3)
S (X ) = S0 + S1X + ... + Sn-1XN-1. (4)
Если конечная последовательность
{sn = s[nT] = s(t), n = 0, N — 1; t = nT} (5)
