CC BY
55
Теорема 2. Оптимальная кривая C задается следующими уравнениями:
J z2 = а0 + a\x + a2x2 + воУ,
[ y2 = x3 + ax + b,
или
J z2 = a0 + aix + a2x2 + (в0 + fîix)y,
\ y2 = x3 + ax + b,
или
J z2 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + (в0 + P1x)y,
\ y2 = x3 + ax + b,
где a0, a1, a2, в0, в1, a, b — коэффициенты из Fq. Эллиптическая кривая E задана уравнением y2 = x3 + ax + b.
ЛИТЕРАТУРА
1. Waterhouse W. C. Abelian varieties over finite fields // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1969. No. 2. P. 521-560.
2. Andreotti A. On a Theorem of Torelli // American J. of Math. V. 80. 1958. No. 4. P. 801-828. УДК 512.6
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ПОЛЯХ КОНЕЧНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
А. М. Гришин
Дискретное преобразование Фурье — это один из видов ортонормированного преобразования векторов [1, 2]. Для конечной последовательности элементов {s0, s1,..., Sn-1} дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности {S0, S1,..., SN-1}, элементы которой вычисляются по формуле (прямое преобразование)
N-1 _______
Sk = E Sn ■ WNn; k = 0,N — 1, (1)
n=0
где Wn —примитивный корень степени N из единицы [1, 3]. В предположении, что
элемент N-1 = 1/n существует, для обратного преобразования можно записать выра-
жение
1 N-1 _______
Sn = ^Е Sk ■ W-kn; n = 0, N - 1. (2)
N k=0
Считается, что вектор s = (s0, s1,..., Sn-1) является представлением данных во временной области, а вектор S = (S0, S1,..., SN-1) —в частотной (спектральной).
Векторы s и S можно задать с помощью соответствующих многочленов s(X)
и S (X )
s(X ) = S0 + S1X + ... + Sn-1XN 1; (3)
S (X ) = S0 + S1X + ... + Sn-1XN-1. (4)
Если конечная последовательность
{sn = s[nT] = s(t), n = 0, N — 1; t = nT} (5)
получена в результате дискретизации действительной (комплексной) функции в(£), то, в предположении Т = 1, в(£) соответствует преобразование Фурье
N-1
Б(егш) = Е Зпв-^, (6)
п=0
где Б(егш) —непрерывная 2п-периодическая функция, г = л] —1.
Согласно теореме Котельникова [4, 5], в частотной области функция Б(е-7") полностью определяется последовательностью своих равноотстоящих отсчетов
{Б(е ) = Б^; к = 0, N — 1}, взятых с интервалом Аш = 2п/^, что соответству-
_г2п
ет применению в (1), (2) = е ^. Это позволяет вычислять значения функ-
ции Б(егш) различными методами. Например:
1. В любых точках с помощь интерполяционной формулы [4]
Б(е"ш) = — ^:в1п[(ш^^ — 2пк)/2] _ е-*[^ 1)/2](^ 2пк/^/) к = о N - 1 (7)
Б (е ) N ¿08т[(^ — 2пк^)/2] е , к 1 (7)
которая позволяет вычислить значение спектра для любого ш.
2. Методом подбора значения NF ^ N, дополнением вектора в = (в0, в1,...вN-:)
нулевыми значениями до длины NF и вычислением (1) для к = 0, NF — 1.
В поле комплексных чисел С лежат корни из 1 для любого натурального N; таким
_г2п
образом, в (1), (2) N может принимать любое натуральное значение, и = е ^ является примитивным корнем степени N из 1.
Величина периодична по к и п с периодом N:
)(га+^), (8)
где А, В — любые целые. Для четных п и N имеет место равенство
ЖкП = , где п = 2г. (9)
Используя (9), для четного N выражение (1) можно переписать в виде
N/2-1 N/2-1
Б* = Е в2г ■ ^ + Ж* ■ Е в2г+1 ■ ^/2; г = 0, N/2 — 1. (10)
г=0 г=0
Таким образом можно построить быстрые алгоритмы вычисления ДПФ (БПФ) для любого составного N. Оценка сложности выполнения алгоритма БПФ носит логарифмический характер, и для N = 2м эта оценка равна О^М) [6].
Особенности строения поля С позволяют построить алгоритмы БПФ логарифмической сложности для любого, в том числе простого N [7]. Это достигается дополнением вектора в = (в0,в:,...,в^1) нулевыми значениями до длины NF = 2м, ближайшей к 2N (метод 2). Например, для N =13 получим NF = 32. При этом всегда NF < 4N.
В поле С алгоритмы БПФ позволяют определять свойства анализируемых данных, эффективно проводить вычисления сверток и многое другое. Свойства данных исследуются путем определения спектральных максимумов и минимумов в амплитудной характеристике (6), разрывов в фазовой характеристике, при этом нахождение точных значений корней многочленов (3), (4), как правило, не требуется [4, 5].
В конечном поле Галуа СЕ(д) [1, 3] N в (1), (2) уже не может принимать произвольное значение, так как порядок элемента Жлт должен быть кратен порядку мультипликативной группы СЕ(д), равному д — 1. В частности, корни из 1 степени 2м принадлежат СЕ(д), где д — простое, если д = с2м + 1, где с — натуральное. В этом случае можно использовать (10) с максимальной эффективностью.
Многие свойства ДПФ переносятся на случай конечных полей, но с учетом сформулированного выше ограничения. Произвольное дополнение вектора в = (в0, в:,..., вN-1) нулевыми значениями с целью построения алгоритмов БПФ с максимальным быстродействием невозможно. Для СР(д) справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. Спектральная координата Б& вектора Б равна 0 тогда и только тогда, когда является корнем многочлена в(Х) (3).
Утверждение 2. Координата вп вектора в равна 0 тогда и только тогда, когда является корнем многочлена Б(X) (4).
Доказательства утверждений 1, 2 очевидны, так как
в(ЖМ) = в0 + в1ЖМ + ... + ^-1ЖЛ?( ) = Б*;
Б (^) = Б0 + Б^ + ... + БN-1^-га^-1) = вга.
Элементы ОЕ(рт), где р — простое, могут быть представлены в надполе ОЕ(ртК) или расширении поля ОЕ(рт) [1, 3]. При этом корни и спектральные нули исходного поля ОЕ(рт) будут «видны» во всех этих расширениях.
Например, пусть С1 = ОЕ(рт) = ОЕ(26), N = 26 — 1 = 63. Возможные расширения поля С1: С2 = ОЕ(р2т) = ОЕ(212) и С3 = ОЕ(р3т) = ОЕ(218) содержат элементы поля С1, и корни многочлена в(Ж^) = 0 над С1 могут быть найдены и в С2, и в С3. Это свойство позволяет по спектральным нулям в максимально возможном для исследования поле строить предположения о возможных подполях, в которых эти нули также проявятся.
ЛИТЕРАТУРА
1. Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. Т. 1, 2. М.: ГелиосАРВ, 2003.
2. Ярославский Л. П., Мерзляков Н. С. Методы цифровой голографии. М.: Наука, 1977.
3. Фомичев В. М. Методы дискретной математики в криптологии. М.: Диалог-МИФИ, 2010.
4. Оппенгейм А, Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2009.
5. Солонина А. И., Улахович Д. А., Арбузов С. М., Соловьева Е. Б. Основы цифровой обработки сигналов. 2-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2006.
6. Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.: МЦН-МО, 2002.
7. http://psi-logic.shadanakar.org/fft/fft.htm
