CC BY
27
Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 3. 2009. С. 12-15
УДК 517.51
Оптимальное восстановление разностей последовательностей по неточной информации
С. С. Чудова
Advanced Chemistry Development (Московское отделение разработки) Россия, 117513, Москва, ул.Академика Бакулева, 6.
В работе ставится и решается задача оптимального восстановления k-й разности числовой последовательности на классе последовательностей, у которых п-я разность (к < п) ограничена, при условии, что исходная последовательность известна приближённо. Получены явные выражения для оптимального метода восстановления и оптимальной погрешности.
Ключевые слова: оптимальное восстановление, оптимальный метод, погрешность восстановления, разности последовательностей.
1. Введение
В работе рассматривается задача оптимального восстановления к-й разности числовой последовательности при условии, что сама последовательность известна приближённо и принадлежит классу последовательностей, у которых п-я разность ( п > к) ограничена некоторой константой. Это дискретный аналог задачи об оптимальном восстановлении к-й производной на соболевском классе функций, рассмотренной в [1] и [2]. Интерес к такой постановке вызван тем, что в практических задачах часто имеют дело с функциями, значения которых известны лишь в некотором наборе точек и при этом приближённо.
2. Постановка задачи
Перейдём к точным постановкам. Обозначим через ¿2 = Ь(Ъ) множество всех последовательностей х = {х^для которых ^|хj|2 < ж. Это нормированное пространство с нормой ||х||2 = (Х^г |х^|2)1/2. Пусть п £ N и И^ (Ъ) = {х £ 12 |Д"х £ ¿2}, где
" П . .
п
Д"х = '
ieZ
— п-я разность последовательности х = {xj Положим
W?(Z) = {х eW2"(Z) | ||Д"х||2 < 1}.
Ставится задача о восстановлении (по возможности наилучшим образом) к-й разности (1 ^ к ^ п — 1) последовательности х G W2"(Z) при условии, что эта последовательность известна приближённо, а именно, известна последовательность у G 12 такая, что ||х — у||2 ^ <5, где 5 > 0.
Под этим мы понимаем следующее. Любое отображение т: 12 объявляем методом восстановления и погрешностью этого метода называем величину
е(дк ,W2n(Z),<J,m) = sup ||Д*х — m(y)||2.
v у xeW^(Z), yei2
Статья поступила в редакцию 25 марта 2009 г.
Автор благодарен Г.Г. Магарил-Ильяеву за постановку задачи и внимание к работе.
Нас интересует величина
Е(Ак5)= М е(Ак^?(Е),6,т),
т: ¿2^2
которая называется погрешностью оптимального восстановления, и метод т, называемый оптимальным методом восстановления, на котором достигается нижняя грань.
3. Формулировка результата и схема доказательства
Напомним, что преобразование Фурье Р на ¿2 ставит каждой последовательности х = {xj£ 12 в соответствие 2-^-периодическую функцию по формуле: Ех(и) = .
Теорема. Пусть к,п £ N п > 2, к < п — 1 и 5 > 0. Тогда
Е [Дк ,W^(Z), S)
. 2к5, если 5 < 2—п,
2
, 51-к/п, если 5 > 2-п Оптимальный метод имеет вид
(Аку, если д < 2-п,
т(у) = \ , , У ' \Ак(z * у), если 5 > 2-п,
где х*у — свёртка последовательности у с последовательностью г такой, что
F z(u) =
1- *
П
1 — ^ (1 — 52\е}ш — 1|2 п)
Из теоремы видно, что если погрешность достаточно мала (S ^ 2-п), то оптимальный способ восстановления k-й разности последовательности х по наблюдению у заключается в том, чтобы использовать само наблюдение. Если же ё > 2-п, то наблюдаемую последовательность надо предварительно «сгладить», т.е. свернуть с некоторой последовательностью.
Доказательство (схема). Сначала оценим снизу Е (Ак ,W£ (Z), 5). Несложная проверка показывает, что эта величина не меньше значения следующей экстремальной задачи
||Afcx||2 ^ max, ||х||2 < S, ||Дпх||2 < 1, х еЩ(Я). (1)
Легко видеть, что F(Дтх)(ш) = \еш — 1\mFx(oo), если Дтх <Е 12. Тогда по теореме Планшереля
-к
||Дгох|2 = 7^ I \^ — 1\2т^х(ш)\2<1ш.
2ъ J
— 'К
Учитывая это обстоятельство, Перейдём к образам Фурье в задаче (1) и получим, что её значение равно квадрату значения следующей задачи
-к
1
Г \eiu — 1\2k^х(ш)\2йш ^ ma*,
2тт J
— -к
-к -к
^ I \Fх(ш)\2<1ш < 52, ^ I \е™ — 1\2п^х(ш)\2 duo < 1. 2тт J 2тт I
14
Чудова С. С.
Рассмотрим расширение этой задачи на пространство всех положительных мер на окружности (заменяя формально |^ж(ш)|2 с1и на (ц(и)):
к к
J |еш - 1|2fc dß(u) ^ max, J dp(u) < <52
|еш - 1l2ndß(oü) < 1, dß(oü) > 0.
Это выпуклая задача. Сопоставим ей функцию Лагранжа
(3)
£(dfi^\i,\2) = - I |- 1|2fc dfi(io) + Ai \ / dp(u) - ö2 I +
+ A2 \ j |еш - ^dp^) - 1 j .
Хорошо известно (см., например, [3]) и легко проверяется, что если найдутся допустимая в задаче (3) мера dp,• и Ai ^ 0, А2 ^ 0 такие, что (а): mind^o £(dp-,AbA2) = £(dp-,AbA2) и (b): A dp(üS) - ö2) =
lеШ - 1|2n dfl(Lo) - 1^=0, то dpi• — решение задачи 3.
Пусть сначала 6 > 2"п. Положим dp(Lü) = б26(ш - ш0), где ш0 = 2 arcsin(5~i/n/2) и 5(ш - шо) — ¿-функция в шо, A = (1 - к/п)6~2к/п, A = ( к/п)¿2(п~к)/п. Несложная проверка показывает, что условия (а) и (Ь) выполнены и тем самым dp• — решение задачи (3) и её значение: |еш - 1|2fcdp(w) =
ö2(n-k)/n
. Аппроксимируя dp^ соответствующей ¿-образной последовательностью, получаем, что то же значение имеет и задача (2). Тогда значение задачи (1) равно 51~к/п и значит Е(Ак,W?(Z), 6) > Si~k/n.
Пусть теперь 6 < 2~п. Положим dp(u) = 626(ш - п), A1 = 22к, A2 = 0. Снова простая проверка показывает, что условия (а) и (Ь) выполнены, т. е. dp• — решение задачи (3), её значение равно 22кб2 и по тем же соображениям, что и в предыдущем случае, получаем, что E(Afc,W2n(Z), Ö) > 2к6. Итак, оценка снизу для погрешности оптимального восстановления доказана.
Перейдём к построению оптимального метода. Согласно общим конструкциям (см. подробнее [1,2]), если для каждого у Gl 2 существует решение ху экстремальной задачи
Aillx -уУ2 + A ||ДпхУ2 ^ min, х gW2" (Z), (4)
где Ai = (1 - к/п)S~2k/n, А2 = (к/п)^(«-^V«, если <5 > 2"" и Ai = 22к, A = 0, если 6 ^ 2~п, то метод х(у) = Акху обладает тем свойством, что его погрешность е(Ак, W2™(Z),6,m) равна значению задачи (1), которое, по доказанному, не превосходит Е(Ак ,W2n(Z), S). Но, очевидно, E(Ak,W2^(Z), 5) < е(Ак ,W2^(Z),5,fn) и значит т — оптимальный метод.
Переходя к образам Фурье (используя теорему Планшереля), нетрудно найти для каждого у Gl 2 преобразование Фурье ху:
Fxv(ш) =
Ai
Ai + А21е^ - 1|
2п
Fy (ш).
П
■К
7Г
Подставляя сюда выражения для Ах и Л2, соответствующие случаю ё > 2-п, получаем, что последовательность ху есть свёртка последовательности г (преобразование Фурье которой указано в теореме) с последовательностью у, а оптимальный метод, как отмечено, есть к-я разность этой свёртки.
Если 5 < 2-п, то, очевидно, ху = у и поэтому т(у) = Аку. Теорема доказана.^
4. Заключение
Полученный оптимальный метод восстановления является универсальным методом для целого класса последовательностей и зависит от точности исходных данных. Данный метод гарантирует нам, что ошибка восстановления разности заданного порядка любой последовательности из нашего класса не превысит вычисленного значения погрешности.
Литература
1. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Матем. сб. — 2002. — № 193:3. — С. 79-100.
2. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прилож. — 2003. — № 37. — С. 51-64.
3. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, испр. — М.: Эдиториал УРСС, 2003. — 176 с.
UDC 517.51
Optimal Recovery of Differences of Sequences from Inaccurate
Information
S.S. Chudova
Advanced Chemistry Development, Moscow Department 6 Akademik Bakulev Street, Moscow 117513, Russia
In the paper the problem of optimal recovery of fc-th difference of numerical sequence in the class of sequences for which n-th difference (fc < n) is bounded from the inaccurate values of original sequence is formulated and solved. Explicit expressions are obtained for optimal recovery method and optimal error.
Key words and phrases: optimal recovery, optimal method, inaccurary of recovery, sequences differences.
