CC BY
4ВКВО-2023 СТЕНДОВЫЕ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫТЯЖКОЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ ВОЛОКОН
В УСЛОВИЯХ НЕИЗОТЕРМИЧНОСТИ
*
Первадчук В.П. , Владимирова Д.Б.
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь * E-mail: [email protected] DOI 10.24412/2308-6920-2023-6-388-389
Для описания течения кварцевого расплава предлагается модифицированная квазиодномерная математическая модель вытяжки кварцевых капилляров, учитывающая все виды теплообмена: теплопроводность, конвективный теплообмен с окружающей средой, а также излучение:
2 2 dV dV д 2 2 dV (1
pR - R?X—+v-— g)=—(3KR2 - R2)—+YR + R2)), (1
dt дх дх dx
)
R + д (R2V) PqR\RI -yR\Ri(Ri + R2) R д R2V) PqR\R2 -yR\Ri(Ri + R2) (2—+ (R\ V) =-z-z-, ——+ —(R2V) =-~-~-
dt дх M(r2 -r2) dt дх M(R2 -r2) 3)
(r2 - R2 "Pcp (f + V дТ) = | («с + ^ - R2) f°" + {lt ^ 4 - ГЦ) + a2(T - Ta))+ )
(4
дR
2 h(ßZpTp,(n) - 4) ■ (Rp - R2 + k-^ix - П)) I (дкЛ2
+ 4n2coоRpR2 (Rp - R2) J-2-^-dn - 2R\ 1 +1 —L I a\(T - TH).
L ((П- x)2 + (Rp -R2)2)2 V l дх 1
Здесь V(t,x),Ri(t,x),R^(t,x),T(t,x) - состояние системы (скорость движения вещества, геометрические характеристики - внутренний и внешний радиусы капилляра, температура процесса), x е [0;l]-пространственная переменная, ось направленности которой соответствует ходу вытяжки, t е [0; т] -время. Уравнения (1) - (4) дополняются своими начальными и граничными условиями. В уравнении энергии учитываются влияния радиационного теплообмена и теплообмена между кварцем и газом, протекающим в полости, а также с окружающей средой.
Постановка задачи оптимального управления процессом вытяжки ведется на языке малых возмущений [1]. Модель (1-4) линеаризуется в окрестности своего стационарного состояния. Интерес для наблюдения представляет развитие малых возможных возмущений линеаризованной модели, имеющих форму неоднородностей в начальных и/или граничных условиях. Для управления процессом стабилизации предлагается варьировать малыми отклонениями скорости вытяжки. Целью управления является нивелирование действий малых возмущений в наблюдаемой области решения задачи.
Линеаризованная модель и формулировка задачи оптимального стабилизирующего управления с граничным управлением (скоростью вытяжки) и граничным наблюдением (за формой внешней поверхности готового волокна) имеет вид:
dV д 2V dV ~ dT ~ d~2 ~ dT ~ (5)
— = 3v—- + ß4(x)— - ß5(x)V + a6(x)—1 + a7(x)R + a8(x)—2 + a9(x)R2 + Ws(x) — + V4(x)T , v '
dt dx dx dx dx dx
+ a2(x)R1 + a3 (x)R2 + ß1 (x) — + ß2 (x)V + щ1 (x)T = 0 , (6)
dx
+ a4( xR + a3(x)R + ßl(x)dV + ß3(x)V + V2(x)T = 0, (7) dx
~ dR1 ~ d~2 ~ ~ (8)
+ W6(x)T + al0(x)— + all(x)Rl + al2(x)-г— + al3(x)R2 + ß6(x)V ,
dx dx
V~(0, x) = R1(0, x) = R2(0, x) = T(0, x) = V(t,0) = R1(t,0) = ~(t,0) = R1(t, L) = R2(t, L) = ~(t, L) = 0, R2(t,0) = Rdef (t), V(t, L) = ~(t), (9)
Т(~-Л 2 2 (10)
F(u) = J \R2 R2\ dt + ai(u (t))2dt ^ min.
0 x=L 0
В (5)-(10) R1(t,x),R2(t,x),V(t,x),T(t,x) - отклонения (в долях) от программного (стационарного) состояния процесса вытяжки. Связь малых отклонений и программных значений с фактическими состояниями внешнего радиуса задается соотношением R2(t,x) = R2(x)(1+R2(t,x)), для остальных состояний системы - аналогично. Коэффициенты моделиai(x),ßt(x),yt(x) - функции, зависящие от
дК\ дг + a\( х)—:— дх
дИ2 дг + a\( х)——2-дх
дT дt ' X PCp д 2T дх 2 dT ■ + ¥s(х) -дх
ВКВ0-2023 СТЕНДОВЫЕ
стационарного решения R^x), R2( x),V (x),T (x) задачи (1) - (4), Rdef (t)- функция, определяющая геометрию дефекта поверхности заготовки, u(t) - функция управления, а > 0.
Для задачи управления (5)-(10) получены необходимые условия оптимальности в форме краевой дифференциальной задачи для функций отклонений Rj(t, x), R2(t, x),V (t, x),T (t, x) фактических значений от программных и сопряженных Этим отклонениям состояний p(t, x), q(t, x), s(t, x), w(t, x)[2,3]. Оптимизационная система задачи управления (5)-(10) имеет вид:
dR dR ~ ~ dV ~ ~ —1 + 1 + «2Rl + «3R2 + Pi— + PlV + щт = 0 ;
dt dx dx
dR ~3t
dR
^- + а1—2 + «4 R2 + «3R1 + p1— + e3V + щ2т = 0,
^ dx
dV dx
dV d~V а dV ~ dR1 ~ dR2 ~ dT ~
— = 3V-- + ,£4—--e5V + «6^— + «7R1 + «8^— + «9R2 + V3~T- + V4T ,
dt dx 2 ox ox ox dx
dT
Я d 2T
дТ
dR1
dR2
+ щ5— + ЩбТ + «10+ «11R1 + «12^— + «13R2 + e6V , dt pCp dx2 dx dx dx
dp d(«1 p) d(«10 w) d(«6 s) ---v 1r' + «2p + «5q +— 10 +— 6 - «7s _ «11w = 0 ,
dt dx dx dx
dq d(«1q) +« q +« n . d(«12w) , d(«8s) « s « w = 0
—------+ «4q + «3p +-----+-----«9S _ «13w = 0 ,
dt dx dx dx
as + a2(3v£)+ _ A p_ Aq+ dJMl = 0,
dt dx dx dx dx
/
d(w)
dt '
Я pc
dx
Л
p ) d(v5 w) d(w3s)
-2----^T^ + Щ6w _ щp _ V24--+ V4s = 0,
dx2 dx dx
V (0, x) = R1 (0, x) = R2(0, x) = T (0, x) = V (t,0) = R1(t,0) = T (t,0) = T (t, L) = 0, R2(t,0) = Rdef (t), V (t, L) = -
p(T, x) = q(r, x) = s(t, x) = w(t, x) = p(t, L) = s(t, L) = w(t,L) = s(t,0) = w(t,0) == 0, q(t, L) = -
A( p + q) +
d(3vs)
dx
«1
x=L
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
«1
Уравнения (11-14) и (15-18) системы оптимальности имеют несколько особенностей - одной из них является разный ход по переменной "время", что вносит определенные трудности в реализацию ее решения. Однако слабая связанность блоков уравнений (лишь через граничные условия для функций Vх) и q(t, х) в точке х=Ь) позволяет использовать особые итерационные методы для быстрого установления решений. Несомненным достоинством данного подхода является наличие явного выражения значений функции оптимального управления. Так, если известно решение (11)-(20), в частности, найдены функции сопряженных состояний, возможно корректировать скорость вытяжки по следующему закону:
V(t,L) ■-
Ж p+q) +
d(3vs)
dx
«1
(21)
x=L
Литература
1. Pervadchuk V., et al, Fibers 2021, 9(12), 77; https://doi.org/10.3390/fib9120077
2. Pervadchuk V., et al, Algorithms 2023, 16(2), 83; https://doi.org/10.3390/a16020083
3. V.P.Pervadchuk, et al, Problemy Upravleniya, 2020, Issue 6, Pages 71-80; https://doi.org/10.25728/pu.2020.6J
2
c)
